Phương pháp giải môn Toán học Lớp 9 - Chương 4: Hàm số y=ax² (a≠0). Phương trình bậc hai một ẩn - Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải môn Toán học Lớp 9 - Chương 4: Hàm số y=ax² (a≠0). Phương trình bậc hai một ẩn - Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai (Có đáp án)

1. Bài 4. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM ▪ Xét phương trình bậc hai ẩn x : ax2 bx c 0 (a 0) . Với biệt thức b2 4ac, ta có a) Trường hợp 1. Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm. b b) Trường hợp 2 . Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép: x x . 1 2 2a b c) Trường hợp 3 . Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x . 1,2 2a B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn cho trước ▪ Bước 1: xác định các hệ số a,b,c . ▪ Bước 2: Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình. Ví dụ 1. Xác định các hệ số a,b,c; tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình sau: 2 a) x 3x 2 0 . ĐS: x1 1; x2 2 . 1 b) 2x2 x 1 0 . ĐS: x 1; x . 1 2 2 2 c) x 4x 4 0. ĐS: x1 x2 2 . d) x2 x 4 0 . ĐS: PT vô nghiệm. Ví dụ 2. Xác định các hệ số a,b,c; tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình sau: 2 a) x x 2 0 . ĐS: x1 1; x2 2 . 2 b) x 5x 6 0 . ĐS: x1 1; x2 6 . 1 c) 4x2 4x 1 0 . ĐS: x x . 1 2 2 d) x2 3x 4 0 . ĐS: PT vô nghiệm. Ví dụ 3. Giải các phương trình sau : 1 a) 2x2 2x 0,5 0 . ĐS: x x . 1 2 2 2 b) x 2 2x 2 0 . ĐS: x1 x2 2 . c) x2 3x 1. ĐS: PT vô nghiệm.
2. 2 d) 2(x 2) 4x . ĐS: x1,2 2 2 . Ví dụ 4. Giải các phương trình sau : a) x2 x 1 0 . ĐS: PT vô nghiệm. 2 b) x 2 3x 3 0 . ĐS: x1 x2 3 . 2 c) x2 8x 2 . ĐS: x 2; x . 1 2 3 5 1 5 1 d) x2 5x 1. ĐS: x ; x . 1 2 2 2 Dạng 2: Sử dụng công thức nghiệm, xác định số nghiệm của phương trình dạng bậc hai Xét phương trình dạng bậc hai: ax 2 + bx + c = 0. (*) ì ï a ¹ 0 ▪ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi í . ï D > 0 îï ì ï a ¹ 0 ▪ Phương trình (*) có nghiệm kép khi và chỉ khi í . ï D = 0 îï ì ï a = 0 ▪ Phương trình (*) có đúng một nghiệm khi và chỉ khi í . ï b ¹ 0 îï éa = 0,b = 0,c ¹ 0 ▪ Phương trình (*) có vô nghiệm khi và chỉ khi ê . êa ¹ 0,D < 0 ëê Ví dụ 5. Cho phương trình mx2 3x 1 0 ( m là tham s?) . Tìm m để phương trình: 9 a) Có hai nghiệm phân biệt. ĐS: m , m 0 . 4 9 b) Có nghiệm kép. ĐS: m . 4 9 c) Vô nghiệm. ĐS: m . 4 d) Có đúng một nghiệm. ĐS: m 0 . Ví dụ 6. Cho phương trình mx2 2x 1 0 ( m là tham s?) . Tìm m để phương trình: a) Có hai nghiệm phân biệt. ĐS: m 1, m 0 . b) Có nghiệm kép. ĐS: m 1. c) Vô nghiệm. ĐS: m 1. d) Có đúng một nghiệm. ĐS: m 0 .
3. Dạng 3: Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai ▪ Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m là tìm tập nghiệm của phương trình tùy theo sự thay đổi của m. ▪ Xét phương trình dạng bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 với D = b2 - 4ac . ✓ Nếu a = 0 , ta biện luận phương trình bậc nhất. ✓ Nếu a ¹ 0 , ta biện luận phương trình bậc hai theo D . Ví dụ 7. Giải và biện luận các phương trình sau:( m là tham số) a) x2 x m 0 . b) mx2 (2m 1)x m 0 . Ví dụ 8. Giải và biện luận các phương trình sau:( m là tham số) a) x2 2x m 0 . b) mx2 x 1 0 . Dạng 4: Một số bài toán về tính số nghiệm của phương trình bậc hai ▪ Dựa vào điều kiện của D để phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0) có nghiệm. Ví dụ 9. Chứng tỏ rằng khi một phương trình ax2 bx c 0 có các hệ số a và c trái dấu thì phương trình đó luôn có nghiệm. Ví dụ 10. Không tính , hãy giải thích vì sao các phương trình sau đây có nghiệm a) 3x2 2x 5 0 . b) x2 3x 2 1 0 . c) 5x2 2x m2 1 2x 2 . d) 2mx2 x m 0 (m 0) . C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Xác định các hệ số a,b,c; tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình sau: 2 a) x 5x 6 0 . ĐS: x1 2; x2 3 . 1 b) 3x2 2x 1 0 . ĐS: x 1; x . 1 2 3 2 c) x 2 2x 2 0 . ĐS: x1 1; x2 2 . d) x2 2x 4 0. ĐS: PT vô nghiệm . Bài 2. Giải các phương trình sau 1 13 a) x2 x 3 . ĐS: x . 1,2 2 2 b) x 3x x 1. ĐS: x1,2 2 5 . 2 c) x 2(x 1) . ĐS: x1,2 1 3 .
4. d) x2 3(x 1) 0 . ĐS: PT vô nghiệm. Bài 3. Cho phương trình mx2 x 2 0 ( m là tham s?) . Tìm m để phương trình: 1 a) Có hai nghiệm phân biệt. ĐS: m , m 0. 8 1 b) Có nghiệm kép. ĐS: m . 8 1 c) Vô nghiệm. ĐS: m . 8 d) Có đúng một nghiệm. ĐS: m 0 . Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau:( m là tham số) a) x2 x m 0 . b) mx2 x 3 0 . Câu 15. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì phương trình sau luôn có nghiệm. a) x2 (m 2)x 2m 0 . b) x2 2mx (m 1) 0 . HƯỚNG DẪN GIẢI Ví dụ 1. Xác định các hệ số a,b,c; tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình sau: a) x2 3x 2 0 . b) 2x2 x 1 0 . c) x2 4x 4 0. d) x2 x 4 0 . Lời giải. 2 a) Ta có a 1, b 3, c 2; b 4ac 1, từ đó tìm được x1 1; x2 2 . 1 b) Ta có a 2, b 1, c 1; b2 4ac 9, từ đó tìm được x 1; x . 1 2 2 2 c) Ta có a 1, b 4, c 4; b 4ac 0, từ đó tìm được x1 x2 2 . d) Ta có a 1, b 1, c 4; b2 4ac 15 0, PT vô nghiệm. Ví dụ 2. Xác định các hệ số a,b,c; tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình sau: a) x2 x 2 0 . b) x2 5x 6 0 . c) 4x2 4x 1 0 . d) x2 3x 4 0 . Lời giải.
5. 2 a) Ta có a 1, b 1, c 2; b 4ac 9, từ đó tìm được x1 1; x2 2 . 2 b) Ta có a 1, b 5, c 6; b 4ac 49, từ đó tìm được x1 1; x2 6 . 1 c) Ta có a 4, b 4, c 1; b2 4ac 0, từ đó tìm được x x . 1 2 2 d) Ta có a 1, b 3, c 4; b2 4ac 7 0, PT vô nghiệm. Ví dụ 3. Giải các phương trình sau : a) 2x2 2x 0,5 0 . b) x2 2 2x 2 0 . c) x2 3x 1. d) 2(x2 2) 4x . Lời giải. 1 a) Ta có 0 x x . 1 2 2 b) Ta có 0 x1 x2 2 . c) Biến đổi thành x2 3x 1 0, 1 0 PT vô nghiệm. 2 d) Biến đổi thành x 2 2x 2 0, 16 . Từ đó tìm được x1,2 2 2 . Ví dụ 4. Giải các phương trình sau : a) x2 x 1 0 . b) x2 2 3x 3 0 . c) x2 8x 2 . d) x2 5x 1. Lời giải. a) 3 0 PT vô nghiệm. b) Ta có 0 x1 x2 3 . 2 c) Biến đổi PT thành 3x2 8x 2 0, 4 2 x 2; x . 1 2 3 5 1 5 1 d) Biến đổi PT thành x2 5x 1 0, 1 x ; x . 1 2 2 2 Ví dụ 5. Cho phương trình mx2 3x 1 0 ( m là tham s?) . Tìm m để phương trình: a) Có hai nghiệm phân biệt. b) Có nghiệm kép. c) Vô nghiệm. d) Có đúng một nghiệm.
6. Lời giải. Xét 9 4m . a 0 9 a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt . Tìm được m , m 0 . 0 4 a 0 9 b) Phương trình có nghiệm kép . Tìm được m . 0 4 1 c) Xét m 0 3x 1 0 x .Suyra m 0 loại 3 9 Xét m 0 phương trình vô nghiệm khi 0 m . 4 a 0 m 0 d) Có đúng một nghiệm khi m 0 . b 0 3 0 Ví dụ 6. Cho phương trình mx2 2x 1 0 ( m là tham số) Tìm m để phương trình: a) Có hai nghiệm phân biệt. b) Có nghiệm kép. c) Vô nghiệm. d) Có đúng một nghiệm. Lời giải. Xét 4 4m . a 0 a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt Tìm được m 1, m 0 . 0 a 0 b) Phương trình có nghiệm kép Tìm được m 1. 0 1 c) Xét m 0 2x 1 0 x .Suyra m 0 loại 2 Xét m 0 phương trình vô nghiệm khi 0 m 1. a 0 m 0 d) Có đúng một nghiệm khi m 0 . b 0 2 0 Ví dụ 7. Giải và biện luận các phương trình sau:( m là tham số) a) x2 x m 0 . b) mx2 (2m 1)x m 0 . Lời giải. a) x2 x m 0 .
7. Xét 1 4m . 1 0 m : Phương trình vô nghiệm. 4 1 1 0 m : Phương trình có nghiệm kép x x . 4 1 2 2 1 1 1 4m 0 m : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x . 4 1,2 2 b) mx2 (2m 1)x m 0 . Với m 0 phương trình có 1 nghiệm x 0 . Với m 0 4m 1. 1 0 m : Phương trình vô nghiệm. 4 1 2m 1 0 m : Phương trình có nghiệm kép x x . 4 1 2 2m 1 2m 1 1 4m 0 m : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x . 4 1,2 2m Ví dụ 8. Giải và biện luận các phương trình sau:( m là tham số) a) x2 2x m 0 . b) mx2 x 1 0 . Lời giải. a) x2 2x m 0 . Xét 4 4m . 0 m 1: Phương trình vô nghiệm. 0 m 1: Phương trình có nghiệm kép x1 x2 1. 2 4 4m 0 m 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x . 1,2 2 b) mx2 x 1 0 . Với m 0 phương trình có 1 nghiệm x 1. Với m 0 4m 1. 1 0 m : Phương trình vô nghiệm. 4
8. 1 1 0 m : Phương trình có nghiệm kép x x . 4 1 2 2m 1 1 1 4m 0 m : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x . 4 1,2 2m Ví dụ 9. Chứng tỏ rằng khi một phương trình ax2 bx c 0 có các hệ số a và c trái dấu thì ph ương trình đó luôn có nghiệm. Lời giải. Do a c 0 a c 0. Ta có b2 4ac b2 4( ac) 0 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Ví dụ 10. Không tính , hãy giải thích vì sao các phương trình sau đây có nghiệm a) 3x2 2x 5 0 . b) x2 3x 2 1 0 . c) 5x2 2x m2 1 2x 2 . d) 2mx2 x m 0 (m 0) . Lời giải. a) Do a.c 3( 5) 15 0 . b) Do a.c 1( 2 1) 1 2 0 . c) Do a.c 5( m2 3) 0 . d) Do a.c 2 m2 0 . Bài 1. Xác định các hệ số a,b,c; tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình sau: a) x2 5x 6 0 . b) 3x2 2x 1 0 . c) x2 2 2x 2 0 . d) x2 2x 4 0. Lời giải. a) Ta có a 1, b 5, c 6; 1, từ đó tìm được x1 2; x2 3 . 1 b) Ta có a 3, b 2, c 1; 16, từ đó tìm được x 1; x . 1 2 3 c) Ta có a 1, b 2 2, c 2; 0, từ đó tìm được x1 1; x2 2 . d) Ta có a 1, b 2, c 4; 12 PT vô nghiệm . Bài 2. Giải các phương trình sau a) x2 x 3 . b) x2 3x x 1.
9. c) x2 2(x 1) . d) x2 3(x 1) 0 . Lời giải. 1 13 a) 13, từ đó tìm được x . 1,2 2 b) 20, từ đó tìm được x1,2 2 5 . c) 12, từ đó tìm được x1,2 1 3 . d) Biến đổi thành x2 3x 3 0, 3 4 3 0 PT vô nghiệm. Bài 3. Cho phương trình mx2 x 2 0 ( m là tham s?) . Tìm m để phương trình: a) Có hai nghiệm phân biệt. b) Có nghiệm kép. c) Vô nghiệm. d) Có đúng một nghiệm. Lời giải. Xét 1 8m . a 0 1 a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt Tìm được m , m 0. 0 8 a 0 1 b) Phương trình có nghiệm kép Tìm được m . 0 8 c) Xét m 0 x 2 0 x 2 .Suyra m 0 loại 1 Xét m 0 phương trình vô nghiệm khi 0 m . 8 a 0 m 0 d) Có đúng một nghiệm khi m 0 . b 0 1 0 Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau:( m là tham số) a) x2 x m 0 . b) mx2 x 3 0 . Lời giải. a) x2 x m 0 .Xét 1 4m . 1 0 m : Phương trình vô nghiệm. 4 1 1 0 m : Phương trình có nghiệm kép x x . 4 1 2 2
10. 1 1 1 4m 0 m : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x . 4 1,2 2 b) mx2 x 3 0 . Với m 0 phương trình có 1 nghiệm x 3. Với m 0 12m 1. 1 0 m : Phương trình vô nghiệm. 12 1 1 0 m : Phương trình có nghiệm kép x x . 12 1 2 2m 1 1 1 12m 0 m : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x . 12 1,2 2m Bài 5. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì phương trình sau luôn có nghiệm. a) x2 (m 2)x 2m 0 . b) x2 2mx (m 1) 0 . Lời giải. a) x2 (m 2)x 2m 0 . Có (m 2)2 0, m ¡ nên với mọi giá trị của m thì phương trình sau luôn có nghiệm b) x2 2mx (m 1) 0 . Có (2m 1)2 3 0, m ¡ nên với mọi giá trị của m thì phương trình sau luôn có nghiệm HẾT