Phương pháp giải môn Toán học Lớp 9 - Chương 4: Hàm số y=ax² (a≠0). Phương trình bậc hai một ẩn - Bài 2: Đồ thị của hàm số y=ax² (a≠0) (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải môn Toán học Lớp 9 - Chương 4: Hàm số y=ax² (a≠0). Phương trình bậc hai một ẩn - Bài 2: Đồ thị của hàm số y=ax² (a≠0) (Có đáp án)

1. Bài 2. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y ax2 a 0 A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Đồ thị của hàm số y ax2 (a 0) là một parabol đi qua gốc tọa độ O, nhận Oy làm trục đối xứng (O là đỉnh của parabol). ▪ Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. ▪ Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số ▪ Bước 1: Lập bảng các giá trị đặc biệt tương ứng giữa x và y của hàm số y = ax 2(a ¹ 0) . ▪ Bước 2: Biểu diễn các điểm đặc biệt trên mặt phẳng tọa độ và vẽ đồ thị Parabol của hàm số đi qua các điểm đó. Ví dụ 1. Cho hàm số y f (x) (m 2)x2 ( m là tham số). Tìm m để: 1 3 a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A ; . ĐS: m 8 . 2 2 5x 2y 5 b) Đồ thị hàm số đi qua điểm (x0 ; y0 ) với (x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ phương trình . 3x y 2 ĐS: m 7 . c) Vẽ đồ thị hàm số với các giá trị m tìm được trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Ví dụ 2. Cho hàm số y f (x) (m 1)x2 ( m là tham số). Tìm m để: 5 a) Đồ thị hàm số đi qua điểm B 2; 6 . ĐS: m . 2 x 3y 5 b) Đồ thị hàm số đi qua điểm (x0 ; y0 ) với (x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ phương trình . x 2y 3 ĐS: m 1. c) Vẽ đồ thị hàm số với các giá trị m tìm được trên cùng một mặt phẳng tọa độ. a Ví dụ 3. Cho hàm số y x2 (a 0) có đồ thị là parabol (P) . 2 a) Xác định a để (P) đi qua điểm A( 3;6) . ĐS: a 4 . b) Với giá trị a vừa tìm được ở trên, hãy: i) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ. ii) Tìm các điểm trên (P) có hoành độ bằng 3 .
2. 1 1 1 1 iii) Tìm các điểm trên (P) cách đều hai trục tọa độ. ĐS: B(3;18) ; ; ; ; . 2 2 2 2 Ví dụ 4. Cho hàm số y (m2 2)x2 (m 2) có đồ thị là parabol (P) . a) Xác định m để (P) đi qua điểm A( 2;4) . ĐS: m 2 . b) Với giá trị m vừa tìm được ở trên, hãy: i) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ. ii) Tìm các điểm trên (P) có hoành độ bằng 3 . 1 1 1 1 iii) Tìm các điểm trên (P) cách đều hai trục tọa độ. ĐS: B(3;18) ; ; ; ; . 2 2 2 2 1 Ví dụ 5. Cho hàm số y x2 có đồ thị là parabol (P) . 8 a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ. 3 1 b) Trong các điểm A 2; ; B 2; ; C(0; 2) , điểm nào thuộc P , điểm nào không thuộc (P) ? 8 2 Ví dụ 6. Cho hàm số y 7x2 có đồ thị là parabol (P) . a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ. b) Trong các điểm A(2; 28) ; B( 1;7) ; C(0; 2) , điểm nào thuộc P , điểm nào không thuộc (P) ? Dạng 2: Tọa độ giao điểm của Parabol và đường thẳng ▪ Cho Parabol (P) : y = ax 2(a ¹ 0) và đường thẳng d : y = mx + n . Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của (P) và d, ta làm như sau ▪ Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d: ax 2 = mx + n . (*) ▪ Bước 2: Giải phương trình (*) ta tìm được nghiệm (nếu có). Từ đó ta tìm được tọa độ giao điểm của (P) và d. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (*) đúng bằng số giao điểm của (P) và d, cụ thể ▪ Nếu (*) vô nghiệm thì d không cắt (P). ▪ Nếu (*) có nghiệm kép thì d tiếp xúc với (P). ▪ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì d cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Ví dụ 7. Cho parabol (P) : y 2x2 và đường thẳng d : y x 3 . a) Vẽ (P) và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ. 3 9 b) Xác định tọa độ giao điểm của (P) và d . ĐS: A(1;2); B ; . 2 2
3. x 1 2 c) Dựa vào đồ thị, hãy giải bất phương trình 2x x 3. ĐS: 3 . x 2 Ví dụ 8. Cho parabol (P) : y 3x2 và đường thẳng d : y 6x 3. a) Vẽ (P) và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Xác định tọa độ giao điểm của (P) và d . ĐS: ( 1; 3) . c) Dựa vào đồ thị, hãy giải bất phương trình 3x2 6x 3 0 . ĐS: x 1. Ví dụ 9. Cho hàm số y x2 có đồ thị là parabol (P) . a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ. b) Dựa vào đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình x2 m 2 0 theo m . Ví dụ 10. Cho hàm số y 2x2 có đồ thị là parabol (P) . a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ. b) Dựa vào đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình 2x2 2m 1 0 theo m . 1 Ví dụ 11. Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng d có phương trình y x m . Tìm m để: 4 a) d và (P) có điểm chung duy nhất. ĐS: m 1. b) d và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. ĐS: m 1. c) d và (P) không có điểm chung. ĐS: m 1. Ví dụ 12. Cho parabol (P) : y 2x2 và đường thẳng d có phương trình y 3x m . Tìm m để: 9 a) d và (P) có điểm chung duy nhất. ĐS: m . 16 9 b) d và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. ĐS: m . 16 9 c) d và (P) không có điểm chung. ĐS: m . 16 C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho hàm số y f (x) (m2 1)x2 ( m là tham số). Tìm m để: 1 a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A ;2 . ĐS: m 3 . 2
4. 3x 2y 3 b) Đồ thị hàm số đi qua điểm (x0 ; y0 ) với (x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ phương trình . 2x y 1 ĐS: m 2 . c) Vẽ đồ thị hàm số với các giá trị m tìm được trên cùng một mặt phẳng tọa độ. a Bài 2. Cho hàm số y x2 (a 0) có đồ thị là parabol (P) . 3 a) Xác định a để (P) đi qua điểm A( 5;5) . ĐS: a 2 . b) Với giá trị vừa tìm được ở trên, hãy: i) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ. ii) Tìm các điểm trên (P) có hoành độ bằng 4 . 3 3 3 3 iii) Tìm các điểm trên (P) cách đều hai trục tọa độ. ĐS: B(4;24) ; ; ; ; . 2 2 2 2 1 Bài 3. Cho hàm số y x2 có đồ thị là parabol (P) . 5 a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ. 2 6 3 9 b) Trong các điểm A 1; ; B 2; ; C ; , điểm nào thuộc (P) , điểm nào không thuộc 5 5 2 20 (P) ? 1 Bài 4. Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng d : y 2x 2 . 2 a) Vẽ (P) và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Xác định tọa độ giao điểm của (P) và d . ĐS: ( 2; 2) . Bài 5. Cho hàm số y 3x2 có đồ thị là parabol (P) . a) Vẽ (P) lên mặt phẳng tọa độ. b) Dựa vào đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình 3x2 m 2 0 theo m . 1 Bài 6. Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng d có phương trình y x m . Tìm m để: 2 1 a) d và (P) có điểm chung duy nhất. ĐS: m . 2 1 b) d và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. ĐS: m . 2
5. 1 c) d và (P) không có điểm chung. ĐS: m . 2
6. HƯỚNG DẪN GIẢI Ví dụ 1. Cho hàm số y f (x) (m 2)x2 ( m là tham số). Tìm m để: 1 3 a). Đồ thị hàm số đi qua điểm A ; . 2 2 5x 2y 5 b). Đồ thị hàm số đi qua điểm (x0 ; y0 ) với (x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ phương trình . 3x y 2 c). Vẽ đồ thị hàm số với các giá trị m tìm được trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Lời giải. 2 3 1 a). (m 2) m 2 6 m 8. 2 2 5x 2y 5 x 1 2 b). 5 (m 2)( 1) m 7 . 3x y 2 y 5 c). Với m 8 và m 7 thì y f (x) 6x2 và y g(x) 5x2 . Ví dụ 2. Cho hàm số y f (x) (m 1)x2 ( m là tham số). Tìm m để: a). Đồ thị hàm số đi qua điểm B 2; 6 . x 3y 5 b). Đồ thị hàm số đi qua điểm (x0 ; y0 ) với (x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ phương trình . x 2y 3 c). Vẽ đồ thị hàm số với các giá trị m tìm được trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Lời giải.
7. 3 5 a). 6 (m 1)22 m 1 m . 2 2 x 3y 5 x 1 2 b). 2 (m 1)( 1) m 1. x 2y 3 y 2 5 3 c). Với m và m 1 thì y f (x) x2 và y g(x) 2x2 . 2 2 a Ví dụ 3. Cho hàm số y x2 (a 0) có đồ thị là parabol (P) . 2 a). Xác định a để (P) đi qua điểm A( 3;6) . b). Với giá trị a vừa tìm được ở trên, hãy: i) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ. ii) Tìm các điểm trên (P) có hoành độ bằng 3 . iii) Tìm các điểm trên (P) cách đều hai trục tọa độ. Lời giải.
8. a 2 a). (P) đi qua điểm A( 3;6) nên 6 3 a 4 . 2 b). i) Với a 4 ta có hàm số y 2x2 . ii) Ta có y 232 18suyra B(3;18) . 1 2 x 2 x 2x 2 1 iii) y 2x ;| x | | y | ; y . x 2x2 1 2 x 2 Ví dụ 4. Cho hàm số y (m2 2)x2 (m 2) có đồ thị là parabol (P) . a). Xác định m để (P) đi qua điểm A( 2;4) . b). Với giá trị m vừa tìm được ở trên, hãy: i) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ. ii) Tìm các điểm trên (P) có hoành độ bằng 3 . iii) Tìm các điểm trên (P) cách đều hai trục tọa độ. Lời giải. a). (P) đi qua điểm A( 2;4) nên 4 (m2 2)( 2)2 m 2. b). i) Với m 2 ta có hàm số y 2x2 . ii) Ta có y 232 18suyra B(3;18) . 1 2 x 2 x 2x 2 1 iii) y 2x ;| x | | y | ; y . x 2x2 1 2 x 2
9. 1 Ví dụ 5. Cho hàm số y x2 có đồ thị là parabol (P) . 8 a). Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ. 3 1 b). Trong các điểm A 2; ; B 2; ;C(0; 2) , điểm nào thuộc P , điểm nào không thuộc (P) ? 8 2 Lời giải. a). 1 3 b). B 2; thuộc (P) , A 2; ;C(0; 2) không thuộc (P) . 2 8 Ví dụ 6. Cho hàm số y 7x2 có đồ thị là parabol (P) . a). Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ. b). Trong các điểm A(2; 28) ; B( 1;7) ;C(0; 2) , điểm nào thuộc P , điểm nào không thuộc (P) ? Lời giải. a). b). A(2; 28) thuộc (P) , B( 1;7) ;C(0; 2) không thuộc (P) .
10. Ví dụ 7. Cho parabol (P) : y 2x2 và đường thẳng d : y x 3 . a). Vẽ (P) và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b). Xác định tọa độ giao điểm của (P) và d . c). Dựa vào đồ thị, hãy giải bất phương trình 2x2 x 3. Lời giải. a). x 1 2 2 3 9 b). 2x x 3 2x x 3 0 3 A(1;2); B ; . x 2 2 2 x 1 2 2 c). 2x x 3 2x x 3 0 3 . x 2 Ví dụ 8. Cho parabol (P) : y 3x2 và đường thẳng d : y 6x 3. a). Vẽ (P) và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b). Xác định tọa độ giao điểm của (P) và d . c). Dựa vào đồ thị, hãy giải bất phương trình 3x2 6x 3 0 . Lời giải.
11. a). b). 3x2 6x 3 3x2 6x 3 0 x 1 y 3. c). 3x2 6x 3 0 3(x 1)2 0 x 1. Ví dụ 9. Cho hàm số y x2 có đồ thị là parabol (P) . a). Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ. b). Dựa vào đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình x2 m 2 0 theo m . Lời giải. a). b). Xét đường thẳng d có phương trình y m 2 . Số nghiệm của phương trình x2 m 2 0 (1) là số giao điểm của đường thẳng d và (P) . Từ đồ thị ta thấy: + Với m 2 0 hay m 2 , d không cắt (P) . Do đó phương trình (1) vô nghiệm. + Với m 2 0 hay m 2 , d tiếp xúc (P) . Do đó phương trình (1) có nghiệm kép. + Với m 2 0 hay m 2 , d cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Do đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Vậy: + Với m 2 phương trình x2 m 2 0 vô nghiệm.
12. + Với m 2 phương trình x2 m 2 0 có nghiệm kép. + Với m 2 phương trình x2 m 2 0 có hai nghiệm phân biệt. Ví dụ 10. Cho hàm số y 2x2 có đồ thị là parabol (P) . a). Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ. b). Dựa vào đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình 2x2 2m 1 0 theo m . Lời giải. a). b). Xét đường thẳng d có phương trình y 2m 1. Số nghiệm của phương trình 2x2 2m 1 0 (1) là số giao điểm của đường thẳng d và (P) . Từ đồ thị ta thấy: 1 + Với 2m 1 0 hay m , d không cắt (P) . Do đó phương trình (1) vô nghiệm. 2 1 + Với 2m 1 0 hay m , d tiếp xúc (P) . Do đó phương trình (1) có nghiệm kép. 2 1 + Với 2m 1 0 hay m , d cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Do đó phương trình (1) có hai nghiệm 2 phân biệt. Vậy: 1 + Với m phương trình 2x2 2m 1 0 vô nghiệm. 2 1 + Với m phương trình 2x2 2m 1 0 có nghiệm kép. 2 1 + Với m phương trình 2x2 2m 1 0 có hai nghiệm phân biệt. 2 1 Ví dụ 11. Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng d có phương trình y x m . Tìm m để: 4
13. a). d và (P) có điểm chung duy nhất. b). d và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. c). d và (P) không có điểm chung. Lời giải. Cách 1: Vẽ đồ thị (P) và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Chú ý hình dạng của d là một đường thẳng song song với đường thẳng với trục Ox . Sử dụng thước di chuyển d trên đồ thị và nhận xét. Cách 2: Xét phương trình hoành độ giao điểm 1 x2 x m x2 4x 4m x2 4x 4m 0.1 4 a). Đường thẳng d và parabol (P) có điểm chung duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép x2 4x 4m 0 có dạng hằng đẳng thức m 1. b). Đường thẳng d và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. x2 4x 4m 0 x2 4x 4 4m 4 0 x2 4x 4 4 4m (x 2)2 4 4m. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 4 4m 0 m 1. c). Đường thẳng d và parabol (P) không có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (1) vô nghiệm. (x 2)2 4 4m 0 m 1. Ví dụ 12. Cho parabol (P) : y 2x2 và đường thẳng d có phương trình y 3x m . Tìm m để: a). d và (P) có điểm chung duy nhất. b). d và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. c). d và (P) không có điểm chung. Lời giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm 2x2 3x m 2x2 3x m 0.1 a). Đường thẳng d và parabol (P) có điểm chung duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có 9 nghiệm kép 2x2 3x m 0 có dạng hằng đẳng thức m . 16 b). Đường thẳng d và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. 3 9 9 9 3 9 2x2 3x m 0 x2 x m 0 x2 4x 4 m (x )2 m . 2 16 16 16 4 16
14. 9 9 Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m 0 m . 16 16 c). Đường thẳng d và parabol (P) không có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (1) vô nghiệm. 3 9 9 (x )2 m 0 m . 4 16 16 Bài 1. Cho hàm số y f (x) (m2 1)x2 ( m là tham số). Tìm m để: 1 a). Đồ thị hàm số đi qua điểm A ;2 . 2 3x 2y 3 b). Đồ thị hàm số đi qua điểm (x0 ; y0 ) với (x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ phương trình . 2x y 1 c). Vẽ đồ thị hàm số với các giá trị m tìm được trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Lời giải. 2 2 1 2 a). 2 (m 1) m 1 8 m 3. 2 3x 2y 3 x 1 2 2 b). 3 (m 1)( 1) m 2 . 2x y 1 y 3 c). Với m 2 và m 3 thì y f (x) 3x2 và y g(x) 8x2 . a Bài 2. Cho hàm số y x2 (a 0) có đồ thị là parabol (P) . 3 a). Xác định a để (P) đi qua điểm A( 5;5) . b). Với giá trị vừa tìm được ở trên, hãy: i) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ. ii) Tìm các điểm trên (P) có hoành độ bằng 4 . iii) Tìm các điểm trên (P) cách đều hai trục tọa độ.
15. Lời giải. a 2 a). (P) đi qua điểm A( 5;5) nên 5 5 a 2 . 2 2 b). i) Với a 2 ta có đồ thị hàm số y x2 . 3 2 ii) Ta có y 42 18 suyra B(4;24) . 3 2 2 3 x x x 2 2 3 2 3 iii) y x ;| x | | y | ; y . 3 2 3 2 x x2 x 3 2 1 Bài 3. Cho hàm số y x2 có đồ thị là parabol (P) . 5 a). Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ. 2 6 3 9 b). Trong các điểm A 1; ; B 2; ;C ; , điểm nào thuộc (P) , điểm nào không thuộc (P) 5 5 2 20 ? Lời giải. a). 3 9 2 6 b). C ; thuộc (P) , A 1; ; B 2; không thuộc (P) . 2 20 5 5
16. 1 Bài 4. Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng d : y 2x 2 . 2 a). Vẽ (P) và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b). Xác định tọa độ giao điểm của (P) và d . Lời giải. a). b). Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) 1 x2 2x 2 x2 4x 4 0 x2 4x 4 0 x 2 y 2 . 2 Bài 5. Cho hàm số y 3x2 có đồ thị là parabol (P) . a). Vẽ (P) lên mặt phẳng tọa độ. b). Dựa vào đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình 3x2 m 2 0 theo m . Lời giải. a). b). Xét đường thẳng d có phương trình y m 2 . Số nghiệm của phương trình 3x2 m 2 0 (1) là số giao điểm của đường thẳng d và (P) . Từ đồ thị ta thấy: + Với m 2 0 hay m 2 , d không cắt (P) . Do đó phương trình (1) vô nghiệm.
17. + Với m 2 0 hay m 2 , d tiếp xúc (P) . Do đó phương trình (1) có nghiệm kép. + Với m 2 0 hay m 2 , d cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Do đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Vậy: + Với m 2 phương trình x2 m 2 0 vô nghiệm. + Với m 2 phương trình x2 m 2 0 có nghiệm kép. + Với m 2 phương trình x2 m 2 0 có hai nghiệm phân biệt. 1 Bài 6. Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng d có phương trình y x m . Tìm m để: 2 a). d và (P) có điểm chung duy nhất. b). d và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. c). d và (P) không có điểm chung. Lời giải. Cách 1: Vẽ đồ thị (P) và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Chú ý hình dạng của d là một đường thẳng song song với đường thẳng với trục Ox . Sử dụng thước di chuyển d trên đồ thị và nhận xét. Cách 2: Xét phương trình hoành độ giao điểm 1 x2 x m x2 2x 2m x2 2x 2m 0.1 2 a). Đường thẳng d và parabol (P) có điểm chung duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có 1 nghiệm kép x2 2x 2m 0 có dạng hằng đẳng thức m . 2 b). Đường thẳng d và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. x2 2x 2m 0 x2 2x 1 2m 1 0 x2 2x 1 2m 1 (x 1)2 2m 1. 1 Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 2m 1 0 m . 2 c). Đường thẳng d và parabol (P) không có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (1) vô nghiệm. 1 (x 1)2 2m 1 0 m . 2 HẾT