Phương pháp giải môn Hình học Lớp 9 - Chương 3: Góc với đường tròn - Bài 7: Tứ giác nội tiếp (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải môn Hình học Lớp 9 - Chương 3: Góc với đường tròn - Bài 7: Tứ giác nội tiếp (Có đáp án)

1. Bài 7. TỨ GIÁC NỘI TIẾP A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa ▪ Tứ giác nội tiếp là tứ giác cĩ bốn đỉnh nằm trên đường trịn đĩ. Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) và đường trịn (O) gọi là ngoại tiếp tứ giác. 2. Định lí: Tứ giác nội tiếp đường trịn khi và chỉ khi tổng số đ o của hai gĩc đối bằng 180 . Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. ✓ Tổng của hai gĩc đối bằng 180 . ✓ Tứ giác cĩ gĩc ngồi tại một đỉnh bằng gĩc trong của đỉnh khơng kề với nĩ. ✓ Tứ giác cĩ bốn đỉnh cách đều một điểm O cố định. ✓ Tứ giác cĩ hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh nối hai đỉnh cịn lại với gĩc bằng nhau. Chú ý Trong các hình tứ giác đã học thì hình vuơng, hình chữ nhật, hình thang cân là các tứ giác nội tiếp được trong đường trịn. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tính số đo các gĩc và chứng minh tứ giác nội tiếp ▪ Sử dụng định lý về điều kiện của tứ giác nội tiếp. Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn tâm M . Biết D· AB 80 , D· AM 30 và B· MC 70 . Tính số đo các gĩc M· AB , B· CM và B· CD . Lời giải Ta cĩ D· AB D· AM M· AB M· AB D· AB D· AM 80 30 50 . 180 B· MC Do tam giác CBM cân tại M nên B· CM 55 . 2 Do tứ giác ABCD nội tiếp nên B· CD 180 D· AB 100 . Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn tâm O , AB và CD cắt nhau tại E , BC và AD cắt nhau tại F . Cho biết B· EC 40 ,C· FD 20 . Tính số đo các gĩc của tứ giác. Lời giải 1 1 Ta cĩ B· EC sđ»AD sđB»C , D· FC sđ»AB sđD»C . 2 2 1 1 Suy ra sđ»AD sđ»AB sđB»C sđD»C 60 . 2 2 1 1 Hay sđB¼AD sđB¼CD 60 D· CB D· AB 60 . 2 2
2. Mà tứ giác ABCD nội tiếp nên D· CB D· AB 180 . Do đĩ D· CB 120 , D· AB 60 . Tương tự như trên ta suy ra ·ABC 80 , ·ADC 100 . Ví dụ 3. Trên đường trịn (O) cĩ một cung AB , S là điểm chính giữa của cung đĩ. Trên dây AB lấy hai điểm E, H . Các đường thẳng SE, SH cắt đường trịn theo thứ tự tại C, D . Chứng minh rằng: a) S· HA S· CD . b) Tứ giác EHCD nội tiếp. Lời giải 1 a) Ta cĩ S· CD sđS»D 2 1 1 1 và S· HA sđSºA sđB»D sđS»B sđB»D sđS»D do 2 2 2 SA SB . Do đĩ S· HA S· CD . Theo câu trên ta cĩ S· HA S· CD mà S· HA D· HE 180 nên E· CD D· HE 180 . Suy ra tứ giác EHCD nội tiếp. Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) . Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC và N là một điểm thuộc cung nhỏ AB . AM , MN cắt BC lần lượt tại D, E . Chứng minh rằng tứ giác ADEN nội tiếp. Lời giải 1 Ta cĩ ·ANE sđ¼AM 2 1 1 1 và ·ADB sđ»AB sđC¼M sđ»AB sđB¼M sđ¼AM do 2 2 2 MB MC . Do đĩ ·ANM ·ADE 180 , suy ra tứ giác ADEN nội tiếp. Dạng 2: Khai thác tính chất của tứ giác nội tiếp ▪ Sử dụng các tính chất về tổng hai gĩc đối trong tứ giác nội tiếp hay các gĩc chắn một cung Ví dụ 5. Cho đường trịn tâm O đường kính AB 2R và điểm C thuộc đường trịn đĩ (C khác A, B ). Lấy điểm D thuộc dây BC ( D khác B,C ). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E , tia AC cắt BE tại F . Chứng minh a) FCDE nội tiếp. b) C· FD O· CB . c) DA DE DB  DC .
3. Lời giải a) Ta cĩ B· CF ·AEF 90 suy ra tứ giác FCDE nội tiếp. Do tứ giác FCDE nội tiếp nên C· FD C· ED . Mà C· ED C· BA O· CB , do đĩ C· FD O· CB . Ta cĩ ·ADC E· DB và D· AC D· BE (cùng chắn cung EC ). Suy ra, hai tam giác CDA và EDB đồng dạng (g-g), nên DA DE DB  DC . Ví dụ 6. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) . Các đường cao BD,CE cắt nhau tại H . Chứng minh a) Các tứ giác ADHE và BCDE nội tiếp. b) AE  AB AD  AC . c) OA  DE . Lời giải a) Ta cĩ ·ADH ·AEH 90 hay ·ADH ·AEH 180 . Suy ra tứ giác ADHE nội tiếp. Và BCDE cĩ hai gĩc kề nhìn cạnh cịn lại gĩc bằng nhau nên nội tiếp. Xét hai tam giác vuơng ADB và AEC cĩ Aˆ là gĩc chung, do đĩ chúng đồng dạng. Suy ra AE  AB AD  AC . Vẽ tiếp tuyến Ax với đường trịn (O) khi đĩ ta cĩ x· AB ·ACB ·AED . Suy ra xA PED , mà OA  Ax hay OA  DE . Ví dụ 7. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) . Các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H và cắt đường trịn (O) lần lượt tại M , N, P . Chứng minh rằng a) Tứ giác CEHD nội tiếp. b) Bốn điểm B,C, E, F cùng thuộc một đường trịn. c) AE  AC AH  AD và AD  BC BE  AC . d) H, M đối xứng nhau qua BC . Lời giải a) Ta cĩ C· EH H· DC 90 suy ra tứ giác CEHD cĩ tổng hai gĩc đối bằng 180 nên nội tiếp. Ta cĩ C· EB C· FB 90 suy ra tứ giác BCEF nội tiếp.
4. Do hai tam giác vuơng AEB và AFC đồng dạng (g-g) nên AE  AC AH  AD . 1 Ta cĩ AD  BC BE  AC S . 2 ABC Ta cĩ ·ADB ·AEB 90 nên tứ giác ABDE nội tiếp.Do đĩ C· AM N· BC (cùng chắn cung ED ) nên C· BM C· AM N· BC . Suy ra tam giác HBM cân tại B hay H, M đối xứng nhau qua BC . Ví dụ 8. Cho tam giác ABC cân tại A các đường cao AD, BE cắt nhau tại H . Gọi I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AHE . Chứng minh rằng a) Tứ giác CEHD nội tiếp. b) Bốn điểm A, E, B, D cùng thuộc một đường trịn. 1 c) ED BC . 2 d) DE là tiếp tuyến của đường trịn (I) . Lời giải a) Ta cĩ C· EH H· DC 90 suy ra tứ giác CEHD cĩ C· EH H· DC 180 nên nội tiếp. Ta cĩ B· EA ·ADB 90 suy ra tứ giác AEDB nội tiếp. Ta cĩ tam giác BEC vuơng tại E và D là trung điểm BC 1 suy ra ED BC . 2 Ta cĩ E· IH 2E· IH C· AB . Do tứ giác ABDE nội tiếp suy ra ·ABE ·ADE . Mà C· AB ·ABE 90 E· IH ·ADE 90 . Suy ra IE  DE hay DE là tiếp tuyến của đường trịn (I) . C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho tam giác ABC nhọn các đường cao BM ,CN cắt nhau tại H . Chứng minh rằng AMHN và BNMC là các tứ giác nội tiếp. Lời giải Ta cĩ ·AMB ·ANC 90 suy ra ·AMH ·ANH 180 hay tứ giác AMHN nội tiếp. Và BNMC cĩ ·AMB ·ANC 90 nên nội tiếp. Bài 2. Cho đường trịn (O) và điểm A nằm ngồi đường trịn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đường trịn (
5. AM AN ). Gọi I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với đường trịn (E là trung điểm của MN ). Chứng minh a) Bốn điểm A,O, E,C cùng thuộc một đường trịn. b) ·AOC B· IC . c) BI song song với MN . Lời giải a) Ta cĩ E là trung điểm của đoạn MN nên OE  AN , AC là tiếp tuyến của (O) nên OC  AC . Do đĩ ·AEO ·ACO 180 hay tứ giác AEOC nội tiếp. Vì AB, AC là các tiếp tuyến của (O) nên 1 1 ·AOC B· OC sđB»C B· IC hay ·AOC B· IC . 2 2 Do tứ giác AEOC nội tiếp nên ·AEC ·AOC , mà theo câu trên lại cĩ ·AOC B· IC suy ra B· IC ·AEC . Do đĩ BI song song với MN . Bài 3. Cho đường trịn (O, R) và điểm M nằm ngồi đường trịn. Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MNP với đường trịn. Gọi K là trung điểm NP , kẻ AC  MB, BD  MA . Gọi H là giao điểm của AC và BD , I là giao điểm của OM và AB . Chứng minh a) Bốn điểm A,O, B, M cùng thuộc một đường trịn. b) Năm điểm O, K, A, M , B cùng thuộc một đường trịn. c) OI OM R2 . d) AOHB là hình thoi. e) O, H, M thẳng hàng. Lời giải a) Ta cĩ MA, MB là các tiếp tuyến của (O) nên OA  MA , OB  MB . Suy ra O· AM O· BM 180 hay OAMB nội tiếp. Ta cĩ các điểm A, K, B cùng nhìn OM một gĩc vuơng nên năm điểm O, K, A, M , B cùng thuộc một đường trịn. Tam giác OAM vuơng tại A và AI là đường cao nên OI OM OA2 R2 . Ta cĩ AC POB vì cùng vuơng gĩc với MC . Tương tự BH POA nên tứ giác AOBH là hình bình hành. Hơn nữa, OA OB nên AOHB là hình thoi.
6. Ta cĩ HI  AB do AOHB là hình thoi và MO  AB nên O, H, M thẳng hàng. Bài 4. Cho đường trịn (O) và điểm A nằm ngồi đường trịn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM , AN . Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại hai điểm B,C ( AB AC , d khơng đi qua O ). Chứng minh a) AMON nội tiếp đường trịn. b) Chứng minh AN 2 AB  AC . Tính độ dài BC khi AB 4 cm, AN 6 cm. c) Gọi I là trung điểm BC . Đường thẳng NI cắt đường trịn (O) tại điểm thứ hai T . Chứng minh MT P AC . Lời giải a) Ta cĩ AM , AN là các tiếp tuyến của (O) nên AM  OM , AN  OM . Do đĩ ·ANO ·ANO 180 hay tứ giác AMON nội tiếp đường trịn. Xét hai tam giác ANB và ACN cĩ A là gĩc chung, ·ANB ·ACN (do cùng chắn cung BN ). Do đĩ hai tam giác ANB và ACN AN AC đồng dạng nhau. Suy ra AN 2 AB  AC . AB AN Do AN 2 AB  AC suy ra AC 9. Do đĩ BC AC AB 5 Ta cĩ các điểm I, M , N cùng nhìn OA một gĩc 90 nên năm điểm O, I, M , A, N cùng nằm trên một đường trịn suy ra ·AIN ·AMN . Lại cĩ M· TN ·AMN hay ·AIN M· TN suy ra MT P AC . HẾT