Phương pháp giải môn Hình học Lớp 9 - Chương 3: Góc với đường tròn - Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong. Bên ngoài đường tròn (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải môn Hình học Lớp 9 - Chương 3: Góc với đường tròn - Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong. Bên ngoài đường tròn (Có đáp án)

1. Bài 5. GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN TRONG. BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Gĩc cĩ đỉnh ở bên trong đường trịn Là gĩc cĩ đỉnh nằm bên trong đường trịn, mỗi gĩc cĩ đỉnh bên trong đường trịn, một cung nằm bên trong gĩc và cung kia nằm bên trong gĩc đối đỉnh của nĩ. Gĩc B· ED là gĩc cĩ đỉnh ở bên trong đường trịn chắn cung ¼AmB và B¼mD . ĐỊNH LÍ. Số đo của gĩc cĩ đỉnh ở bên trong đường trịn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn. 2. GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN Là gĩc cĩ đỉnh nằm bên ngồi đường trịn, các cạnh đều cĩ điểm chung với đường trịn. Các gĩc cĩ đỉnh E trong hình vẽ là gĩc cĩ đỉnh ở bên ngồi đường trịn. ĐỊNH LÍ. Số đo của gĩc cĩ đỉnh ở bên ngồi đường trịn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Chứng minh hai gĩc hoặc hai đoạn thẳng bằng nhau ▪ Sử dụng định lý về số đo gĩc cĩ đỉnh ở bên trong đường trịn và gĩc cĩ đỉnh ở bên ngồi đường trịn. Ví dụ 1. Cho đường trịn (O) hai dây AB , AC . Gọi M , N lần lượt là điểm chính giữa của cung AB , AC . Đường thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây AC tại H . Chứng minh VAEH là tam giác cân. Lời giải 1 ·AHE sđ¼AM sđC»N 2 1 ·AEH sđB¼M sđ»AN Ta cĩ 2 sđ¼AM sđB¼M » » sđ AN sđCN. ·AHE ·AEH .
2. VAEH cân tại A . Ví dụ 2. Qua điểm S nằm bên ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của đường trịn. Tia phân giác gĩc BAC cắt dây BC tại D . Chứng minh SA SD . Lời giải Ta cĩ S· DA S· BA D· AB (gĩc ngồi của tam giác) (1) S· AD S· AC D· AC (2) S· BA S· AC (gĩc nội tiếp và gĩc tạo bởi tiếp tuyến) (3) D· AB D· AC ( AD là phân giác) (4) Từ (1), (2), (3) và (4) ta cĩ S· DA S· AD . Suy ra VSAD cân tại S . Vậy SA SD . Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song hoặc vuơng gĩc hoặc các đẳng thức cho trước ▪ Sử dụng định lý về số đo gĩc cĩ đỉnh ở bên trong đường trịn và gĩc cĩ đỉnh ở bên ngồi đường trịn. Ví dụ 3. Cho VABC nội tiếp đường trịn. Gọi P , Q , R theo thứ tự là các điểm chính giữa của các cung bị chắn BC , CA , AB bởi các gĩc A , B , C . a) Chứng minh AP  QR . b) Gọi I là giao điểm của AP , CR . Chứng minh VCPI cân. Lời giải a) Chứng minh AP  QR . Gọi H là giao điểm của AP và QR . Ta cĩ ·AHQ là gĩc cĩ đỉnh bên trong (ABC) . 1 1 Suy ra ·AHQ sđ»AQ sđR»P 180 90 . 2 2 Vậy AP  QR tại H . b) Chứng minh VCPI cân.
3. 1 P· IC sđ»AR sđC»P 2 1 P· CI sđB»R sđB»P Ta cĩ 2 sđ»AR sđB»R » » sđCP sđBP. P· IC P· CI . VCPI cân tại P . Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) . Các tia phân giác của gĩc A và gĩc B cắt nhau ở I và cắt đường trịn theo thứ tự ở D và E . a) Chứng minh VBDI cân. b) Chứng minh DE là đường trung trực của IC . c) Gọi F là giao điểm của AC và DE . Chứng minh IF PBC . Lời giải a) Chứng minh VBDI cân. 1 B· ID sđ»AE sđB»D 2 1 I·BD sđC»E sđC»D Ta cĩ 2 sđ»AE sđC»E » » sđBD sđCD. B· ID I·BD . VBDI cân tại D . b) Chứng minh DE là đường trung trực của IC . Ta cĩ DB DI và DB DC . Suy ra DI DC và VDIC cân tại D . Mặt khác DE là phân giác (vì sđ»AE sđC»E ) nên DE là đường trung trực của IC . c) Chứng minh IF PBC . VABC cĩ AI và BI là phân giác. CI là phân giác. Suy ra I·CB I·CA.
4. Mặt khác I·CA F· IC ( F thuộc trung trực của IC ) nên I·CB F· IC . Suy ra IF PBC . C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Trên một đường trịn lấy ba cung liên tiếp AC , CD , DB sao cho số đo các cung AC , CD , DB bằng 60 . Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E . Hai tiếp tuyến của đường trịn tại B và C cắt nhau tại T . Chứng minh a) ·AEB B· TC ; b) CD là tia phân giác của B· CT . Lời giải a) ·AEB B· TC . 1 ·AEB sđ»AB sđC»D 2 Ta cĩ 1 1 B· TC sđB¼AC sđB¼DC sđ»AB sđD»C . 2 2 ·AEB B· TC . CD là tia phân giác của B· CT . 1 D· CT C»D 30 2 Ta cĩ 1 D· CB B»D 30. 2 D· CT D· CB . CD là tia phân giác của B· CT . Bài 2. Cho VABC vuơng ở A . Đường trịn đường kính AB cắt BC tại D . Tiếp tuyến ở D cắt AC ở P . Chứng minh PD PC . Lời giải VABD nội tiếp đường trịn đường kính AB . Suy ra VABD vuơng tại D. Ta cĩ PA PD (hai tiếp tuyến cắt nhau) VPAD cân tại P . P· AD P· DA (1) Ta cĩ P· AD P· CD 90 . (2) Ta cĩ P· DA P· DC 90 (3)
5. Từ (1), (2) và (3) ta cĩ P· DA P· DC . Suy ra VPCD cân tại P . Vậy PD PC . Bài 3. Cho đường trịn (O) và điểm S nằm bên ngồi đường trịn. Từ S kẻ tiếp tuyến SA , SD và cát tuyến SBC tới đường trịn ( SB SC ). a) Phân giác B· AC cắt dây cung BC ở M . Chứng minh SA SM . b) AM cắt (O) tại E , OE cắt BS tại G , AD cắt BC tại F . Chứng minh SA2 SG  SF . Lời giải a) Chứng minh SA SM . Ta cĩ S· MA M· AC M· CA (gĩc ngồi của tam giác); (1) Ta cĩ S·AM S· AB B· AM ; (2) Ta cĩ M· CA S· AB (gĩc nội tiếp và gĩc tạo bởi tiếp tuyến); (3) Ta cĩ M· AC B· AM ( AM là phân giác); (4) Từ (1), (2), (3) và (4) ta cĩ S· MA S·AM . Suy ra VSAM cân tại S . Vậy SA SM . b) Chứng minh SA2 SG  SF . Gọi I là giao điểm của SO và AD . Suy ra SO  AD tại I . Ta cĩ OE là trung trực của BC . SA2 SI  SO (hệ thức lượng) Ta cĩ SI  SO SG  SF (VSIF ∽ VSGO). SA2 SG  SF . Bài 4. Từ điểm P nằm bên ngồi đường trịn (O) , vẽ tiếp tuyến PA với đường trịn. Qua trung điểm B của đoạn PA vẽ cát tuyến BCD với đường trịn ( BC BD ). Các đường thẳng PC và PD lần lượt cắt đường trịn (O) tại E và F . Chứng minh a) D· CE D· PE C· AF ; b) AP PEF . Lời giải a) D· CE D· PE C· AF .
6. Ta cĩ D· CE D· PE C· DF (gĩc ngồi của tam giác). Mà C· DF C· AF (hai gĩc nội tiếp cùng chắn một cung) nên D· CE D· PE C· AF . AP PEF . VABC ∽ VDBA (g-g). AB BC BP BC . DB AB BD BP VBDP ∽ VBPC (c-g-c). B· PC B· DP C· EF . AP PEF . D. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 5. Cho đường trịn (O) hai dây AB và AC bằng nhau. Trên cung nhỏ AC lấy một điểm M . Gọi S là giao điểm của AM và BC . Chứng minh ·ASC M· CA . Lời giải · 1 » ¼ ASC sđ AB sđCM Ta cĩ 2 » » sđ AB sđ AC. 1 ·ASC sđ¼AM . 2 1 Mặt khác M· CA sđ¼AM nên ·ASC M· CA . 2 Bài 6. Cho AB và CD là hai đường kính vuơng gĩc của (O) . Trên cung nhỏ BD lấy điểm M . Tiếp tuyến tại M cắt AB ở E , đoạn thẳng CM cắt AB ở S . Chứng minh ES EM . Lời giải 1 B· SM sđ »AC sđB¼M 2 1 Ta cĩ E· MC sđB»C sđB¼M 2 sđ »AC sđB»C. B· SM E· MC . VESM cân tại E . ES EM .
7. Bài 7. Cho A , B , C là ba điểm thuộc đường trịn (O) sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia BC tại D . Tia phân giác của gĩc BAC cắt đường trịn ở M , tia phân giác của gĩc D cắt AM ở I . Chứng minh DI vuơng gĩc AM . Lời giải 1 Ta cĩ M· AD sđ¼AM (gĩc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung) (1) 2 1 Ta cĩ D· TA sđ »AC sđB¼M (2) 2 Ta cĩ sđC¼M sđB¼M ( AM là phân giác) (3) Từ (1), (2) và (3) ta cĩ M· AD D· TA . Suy ra VDTA cân tại D . Mà DI là phân giác nên DI là đường cao. Vậy DI  AM tại I . Bài 8. Cho đường trịn (O) và điểm M nằm ngồi đường trịn đĩ. Từ M kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC với đường trịn ( MB MC ). Phân giác gĩc BAC cắt BC tại D , cắt đường trịn ở E . Chứng minh a) MA MD ; b) AD  AE AC  AB . Lời giải a) MA MD . 1 Ta cĩ M· AD sd»AE (gĩc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung) (1) 2 1 Ta cĩ M· DA sd»AB sdE»C (2) 2 Ta cĩ sđC»E sđB»E ( AE là phân giác) (3) Từ (1), (2) và (3) ta cĩ M· AD M· DA . Suy ra VMDA cân tại M . Vậy MA MD . AD  AE AC  AB . VADC và VABE cĩ · · DAC BAE phan giac · · ACD AEB (goc noi tiep)
8. VADC ∽ VABE (g-g). AD AC AD  AE AC  AB . AB AE HẾT