Tuyển tập đề học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán Khối 9 - Năm 2022-2023 - Vũ Ngọc Thành (Có đáp án)

233 trang Kiều Nga 07/07/2023 720

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập đề học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán Khối 9 - Năm 2022-2023 - Vũ Ngọc Thành (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tuyen_tap_de_hoc_sinh_gioi_cap_tinh_nam_2022_2023_vu_ngoc_th.pdf

Nội dung text: Tuyển tập đề học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán Khối 9 - Năm 2022-2023 - Vũ Ngọc Thành (Có đáp án)

VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Chuyên đề 1 Căn bậc hai và bt liên quan • Tài li ệu này được tham kh ảo t ừ đề học sinh gi ỏi c ấp t ỉnh l ớp 9 t ừ 40 tỉnh thành trong c ả nước năm h ọc 2022-2023. C ụ th ể gồm: Bà R ịa V ũng Tàu, Bình D ươ ng, Bình Ph ước, Bình Định, B ắc Giang, B ắc K ạn, B ắc Ninh, B ến Tre, Gia Lai, Hà Giang, Hà Nam, Hà N ội, Hà T ĩnh, Hịa Bình, Hải D ươ ng, H ải Phịng, H ậu Giang, Khánh Hịa, Kon Tum, Lai Châu, L ạng s ơn, Nam Định, Ngh ệ An b ảng A, Ngh ệ An b ảng B, Ninh B ình, Ninh Thu ận, Phú Th ọ, Qu ảng Bình, Qu ảng Ninh, Qu ảng Tr ị, Sĩc Tr ăng, S ơn La, Thanh Hĩa, Ti ền Giang, TP H ồ Chí Minh, Tuyên quang, V ĩnh Long, V ĩnh Phúc, Yên Bái, Đắk L ắk, Đồng Tháp. Câu 1.1.1. (hsg 9 Bà R ịịịaaa VVVũng T àu 2022 2023 ) 1 22x − 12 1. Rút gọn biểu thức A = − : − với 0≤x ≠ 1 x+1 xxxx +−− 1 x − 1 x −1 2. So sánh hai s ố M =−3 22 +3 10 + 63 và N =39 + 80 + 3 9 − 80 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 22x − 12 1.1.1. Rút gọn biểu thức A = − : − với 0≤x ≠ 1 x+1 xxxx +−− 1 x − 1 x −1 1 22x − 12 A = − : − x+1 xxxx +−− 1 x − 1 x −1 12()x − 1 1 2 = − : − x+1()xx−−11() x − 1 () xx −+ 11() x−−12 x + 2 x +− 12 = : ()xx+−11() () xx −+ 11() x−2 x + 1 x − 1 = : 2 x−1 x + 1 ()x+1() x − 1 ()() 2 ( x−1) ( x − 1)( x + 1 ) = 2 . ()x+1() x − 1 x −1 x −1 = (với 0≤x ≠ 1 ) x +1 2. So sánh hai số M =−3 22 +3 10 + 63 và N =39 + 80 + 3 9 − 80 M =−3 22 +3 10 + 63 2 3 =()21 −+3 () 1 + 3 =211 −++ 3 =2 −++ 11 3 =2 + 3 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 1
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 N =39 + 80 + 3 9 − 80 3 N 3 =( 39 + 80 +− 3 9 80 ) N3 =+9 80 +− 9 80 + 3 N ⇔N3 −3 N −= 18 0 ⇔−( N3)( N2 −+= 360 N ) ⇔N = 3 N2 ==+=+9 54 524 0 và tìm x sao cho B = . x+3 x + 2 2023 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 8+ 2 15 8 − 2 15 a)a)a) A =++−−−=415415235 + − 2.625 − 2 2 5+ 3 + 5 − 3 = −−=2.() 51 2 . 2 bb))b) Với x > 0 , khi đĩ ta cĩ: 2 x−+52 x + 6 x + 9 x−5 + 2() x + 3 x−5 + 2 x + 3 x−5 + 2() x + 3 B = = == xx++32 xx ++ 32 xx ++ 32 xx ++ 32 2 x+2 x + 1()x +1 x + 1 = = = . x+3 x + 2()x+1() x + 2 x + 2 2022x + 1 2022 B=⇔ =⇔2023 xxx += 2023 2022 +⇔= 4044 2021 2023x + 2 2023 ⇔=x20212 ⇔= x 4084441 (nhận). x +1 2022 Vậy, với x > 0 thì B = và B = tại x = 4084441 . x + 2 2023  x x 2 x − 2 Câu 3. (hsg 9 Hịa Bình 2022 2023 ) Cho bi ểu th ức: P = + : + (v ới x > x−1 x−1 x xxx + 0 và x ≠ 1) 1. Rút gọn biểu thức P, từ đĩ tìm giá trị của x sao cho P = 4 . 2 2.2.2. Tính giá tr ị của bi ểu th ức P khi x = . 2− 3 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1)1)1) Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 2
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x x 2 x − 2 xx(++ 1) x 2( x ++− 1) x 2 P = + : + = : x−1 x−1 x xxx + (x− 1)( x + 1) xx ( + 1) x+2 x 2 xx + = : (x− 1)( x + 1) xx ( + 1) x+2 x xx ( + 1) x = . = (x− 1)( x + 1) 2 xx + x −1 x 2 P = 4 = 4 x− 4 x + 40 = ( x−2) = 0 x = 4 x −1 x = 4 (thỏa mãn điều kiện). Vậy x = 4 thì P = 4 2 2(2+ 3) 2 2)2)2) Khi x = = = 4+ 2 3 = ( 3+ 1 ) . 2− 3 (2− 3)(2 + 3) 2 6+ 4 3 Thay x = ( 3+ 1 ) vào biểu thức P và rút gọn ta được: P = 3 Câu 4. (hsg 9 H ảảải Phịng 2022 2023 ) aa))a) Rút gọn biểu thức aaba−−22 +− ab 22 4 aab 422 − A = − : (với a> b > 0). 22 22 2 a+ ab − a − ab − b 13− 6 + 6 + 6 ++ 6 5 bb))b) Chứng minh rằng b > 0 ta cĩ A =  -  :  22 22  2 a ab- a - ab -  b +  2 2 22 22 (aab− −) −+( aab − ) b2 = . (a− aba22 −)( + ab 22 − ) 4 a4− a 2 b 2 −4aab2 − 2 b 2 a −1 khia > 0 =2 . =−= b4 a a2− b 2 a 1 khia < 0 3− 6 + 6 + 6 ++ 6 b)b)b) Đặt A = 3− 6 + 6 ++ 6 và a =6 + 6 ++ 6 (Với 2023 dấu căn). suy ra a2 −=6 6 + 6 ++ 6 (Với 2022 dấu căn) Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 3
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 3− a 1 Và A = = ()1 3−()a2 − 6 3+ a Ta cĩ a <6 + 6 ++ 6 + 3 (Với 2023 dấu căn) 1 1 a <3 < () 2 6 3 + a 1 1 5 Ta cĩ 2, 4< 6 < a < = () 3 3+a 3 + 2,4 27 1 5 Từ (2) và (3) suy ra <A < . 6 27 Câu 5. (hsg 9 Kon Tum 2022 2023 ) Rút g ọn bi ểu th ức a+3 a a − 1 2 1 ≥ 0 ≠ 1 A= − +− a , v ới a và a . a+3 a − 1 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a3a+ a1 − A= − 2 +− 1a a3+ a1 − aa3 a1a1 ()+ () +() − = −2 +− 1 a a3+ a1 − =( a2 −)( a2 +−=−−=−) aa4a 4 . Câu 6. (hsg 9 Lai Châu 2022 2023 ) Cho bi ểu th ức: 1x− 32 x + 2 P = − − , x≥1, x ≠ 2, x ≠ 3 xxx−−1 −− 122 − xxx 2 − aa))a) Rút g ọn bi ểu th ức P . bb))b) Tính giá tr ị của bi ểu th ức P tại x =3 − 2 2 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1x− 32 x + 2 aa))a) Ta cĩ: P = − − xxx−−1 −− 122 − xxx 2 − x+ x −1()x−3( x − 1 + 2 ) 2x + 2 = − − x−+ x1 x −− 1 2 2 − x x()2 − x x+ x −1()x−3( x − 1 + 2 ) 2x + 2 = − − x−+ x1 x −− 1 2 2 − x x()2 − x Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 4
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2x− x − 2 2 − x =+−−−−()x x1 x 1 2. = x()2 − x x 2 2− 2 + 1 bb))b) Với x=−322 =() 21 −=− 21 P = = 21 + 2− 1 Câu 7. (hsg 9 L ạạạng sơn 2022 2023 ) Cho bi ểu th ức: xxx−−1 x + 3 x − 10 P = − : − , với x>0, x ≠ 9 . x−−33 xx x +−− 123 xx aa))a) Rút g ọn P . bb))b) Tính giá tr ị của P khi x =7 + 4 3 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a) Với x>0, x ≠ 9 , ta cĩ: xxx−−1 x + 3 x − 10 P = − : − x−−33 xx x +−− 123 xx xxx−−1 x + 3 x − 10 = − : − x−3 x + 1 xx()−3 () xx + 1() − 3 xxxx.−−−( 1) ( x + 3)( x −−− 3) () x 10 = : xx()−3() xx + 1() − 3 2 xxx−++1 xx −−+ 9 10 x + 1 ( x+1)( x − 3) ( x + 1 ) =: = . = xx()−3() x +− 13() x xx() − 3 1 x 2 ( x +1) Vậy với x>0, x ≠ 9 thì P = . x bb))b) x =7 + 4 3 (thỏa mãn ĐKXĐ) 2 x =+743 =+ 4433 +=() 2 + 3 =+=+ 2 32 3 . 2 2 2 ( x ++++1) ( 2 31) ( 3 3.2) ( − 3) ( 12632 +−)( 3) 62( +− 32)( 3 ) P === = = = 6 . x 2+ 3 ()2+ 32() − 3 4− 3 1 Vậy P = 6 khi x =7 + 4 3 . Câu 8. (hsg 9 Ninh Thu ậậận 2022 2023 ) 11))1) Tính tổng: A =++1 2 22 + 2 3 ++ 2 2022 + 2 2023 . 1 22))2) Ch ứng minh r ằng s ố: x =3 7 + 5 2 − là nghi ệm c ủa phương tr ình: x3 +3 x − 14 = 0 . 3 7+ 5 2 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 5
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1)1)1) Tính tổng: A =++1 2 22 + 2 3 ++ 2 2022 + 2 2023 . A =++1 2 22 + 2 3 ++ 2 2022 + 2 2023 2A =+++++ 222 2 3 2 4 2 2023 + 2 2024 A=−=+++++2 A A ( 2222 22 3 4 2023 + 2 2024) −+++++( 1222 2 2 3 2022 + 2 2023 ) =22024 − 1 . Vậy A ==22024 − 1 . 1 22))2) Chứng minh rằng số: x =3 7 + 5 2 − là nghiệm của phương trình: x3 +3 x − 14 = 0 3 7+ 5 2 Ta cĩ: 13 1 1 21− x =+−3 752 =+−3 () 12 =+− 12 =+− 12 3 3 1+ 2 2− 1 7+ 5 2 3 ()1+ 2 =+1 2 − 212 += Với x = 2 thì x3+3 x −= 14 2 3 + 3.2 −=+−= 14 8 6 14 0 . 1 Vậy: x =3 7 + 5 2 − là nghiệm của phương trình: x3 +3 x − 14 = 0 . 3 7+ 5 2 Câu 9. (hsg 9 Qu ảảảng Ninh 2022 2023 ) Rút g ọn bi ểu th ức a + 2 5 1 : P = − + , v ới a ≥0, a ≠ 4 a+3 aa +− 6 2 − a LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a−4 5 a + 3 a) P = − − ()aa+−32() () aa +− 32() () aa +− 32() a− a −12()a+3() a − 4 a − 4 = = = ()a+3() a − 2() a + 3() a − 2 a − 2 212+ 24 (2 +−− 3)2 5 842 Câu 10. (hsg 9 Đ ắắắkkk LLLắắắk 2022 2023 ) Rút g ọn bi ểu th ức − − . 54+ 108 216 6 − 3 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 21224+ 232( + 2 ) 2 ( 2+ 3) − 5 2 6 1 8− 42 4 Ta cĩ: = = ; = = ; = 54+ 108 332()+ 2 3 216 6 6 3 6− 3 2 3 Do đĩ, 2 2 12+ 24( 2+ 3) − 5 8 − 4 2 − − =− 1 54+ 108 216 6 − 3 2 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 6
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Câu 11. (((hsg9 Bình D ương 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức xxx2 −+− x1 xx − 1 x + 1 A = + + với x>0, x ≠ 1 xxx− xx − x 1.1.1. Chứng minh rằng : A > 4 6 2.2.2. Với gi á tr ị nào c ủa x th ì bi ểu th ức B = nh ận gi á tr ị nguyên. A LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1.1.1. Với x>0, x ≠ 1 , ta cĩ: xxx2 −+− x1 xx − 1 x + 1 A = + + xxx− xx − x xxx( −+−1) x 1( x − 1)( xx ++ 1 ) x +1 = + + −−+xx()1() x 1 xx() − 1 x ( x−1)( xx + 1) ( xx ++ 1 ) x +1 = + + −x() x −1() x + 1 x x −+( x1)( xx −+ 1) ( xx ++ 1 ) x +1 = + + x() x +1 x x −+−xx1 xx ++ 1 x + 1 = + + x x x x+2 x + 1 1 = =++x 2 x x 1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số khơng âm x, ta được A≥2 + 2 ⇔ A ≥ 4. x 1 Dấu “=” xảy ra khi x= ⇔ x = 1 (khơng thỏa mãn điều kiện) x Vậy A > 4 với x>0, x ≠ 1 (đpcm) 6 6x 6 x 2.2.2. Ta cĩ: B = = = A 2 x+2 x + 1 ()x +1 663 3 Do x>0, x ≠ 1 nên B > 0 , mà A> 4 < = B < A 4 2 2 3 x+2 x + 1 Ta cĩ 0 <B < và B∈ℤ nên B =1 suy ra A= 6 = 6410 x− x + = (1) 2 x Đặt t= x , ta được phương trình ẩn t: t2 −4 t + 1 = 0 (2) Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 7
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Giải phương trình (2) ta được t1 =2 + 3 (nhận) ; t1 =2 − 3 (nhận) Với t1 =2 + 3 , ta cĩ x=2 + 3 x = 743 + (nhận) Với t2 =2 − 3 , ta cĩ x=2 − 3 x = 743 − (nhận) Thử lại ta thấy x ∈{7 + 4 3;7 − 4 3 } thỏa mãn điều kiện bài tốn. 6 Vậy x ∈7 + 4 3;7 − 4 3 thì biểu thức B = nhận giá trị nguyên. { } A Câu 12. (((hsg9 Bình Ph ưưướớớc 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức xx−+−3 29 x 39 x − P =+− : 1 − 2−x 3 + xxx +− 6 x − 9 a)a)a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P . b)b)b) Tính giá tr ị của bi ểu th ức P khi x =3 − 3 − 13 − 48 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii x ≥ 0 a)a)a) P xác định ⇔ x ≠ 4 x ≠ 9 x−3 x + 2 x − 9 xx − 3 P = + + : 2−x x + 3 xx +− 6 x − 9 x−3 x + 2 x − 3 x P = + + : 2−xx + 323 x − x + x+ 2 x x + 2 = : = x+3 x + 3 x bbb)b))) Ta cĩ x =−−3 3 13 − 48 =−− 3 3() 231 − =3 −( 31 −=) 1 1+ 2 P = = 3 1 Câu 13. (((hsg9 BBBắắắc Giang 2022 2023 )))Rút g ọn bi ểu th ức    xxx2− + 1   1 x  1 P . x x 2  = −  +++  với x>0; x ≠ . 2x− 1 4x − 1   x 2   4 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 Với x > 0 và x ≠ , ta cĩ: 4 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 8
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x2 x + 1 ( ) 2x− x + 1 x 1 P = −. x x +++ 2 2 x ()2x− 12() x + 1() 2 x − 12() x + 1 2xx+ 2 xx − + 1 x (2x + 1 ) = − . .2()x ++ 1 2 x ()2x+ 12() x − 12() x + 12() x − 1 2x− 1 x 1 =.() 2x + 1 + 2 x ()2x+ 12() x − 1 x 1 x x + 2 = + = . 2 x 2 x KL Câu 14. (((hsg9 BBBắắắccc KKK ạạạn 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức 3xx++ 14 x + 33 x + 2 x P = + − : (x>0, x ≠ 9 ). xx−−23 x + 1 x − 3 xx + Rút g ọn bi ểu th ức P và tính giá tr ị của bi ểu th ức P khi x =+13 62 + 9 + 42. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Với x>0, x ≠ 9 . Ta cĩ 3xx++++ 14( xx 3)( −− 332) ( xx +)( + 1 ) x P = : ()xx+1() − 3 xx() + 1 x−4 x + 3 1 ( x−1)( x − 3 ) P =: = .11()x +=− x xx+−13x +1 xx +− 13 ()() ()() Vậy với x>0, x ≠ 9 thì P= x − 1. Ta cĩ 2 x =+1362 +() 221 +=+ 136322 + 2 2 =+136() 21 +=+ 1962 =() 321. + 2 2 Với x =(3 2 + 1 ) ta cĩ: P= x −=1() 321 + −= 1321132. +−= Câu 15. (((hsg9 BBBắắắc Ninh 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức 1 1 2x+− x 12 xxx +− x 1 P = − : − với x ≥ 0 và x≠1, x ≠ ⋅ 1−xx 1− x 1 + xx 4 7 Rút g ọn bi ểu th ức P và tìm giá tr ị của x để P = ⋅ 3 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 9
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 Với x ≥ 0 và x≠1, x ≠ ta cĩ 4 x−1 + x (211x−+)( xxx) ( 211 −+)( x ) P = : + xx()1− () 11 −+ x() x() 1 +−+ xxx() 1 2x − 1 (21x−) x( 21 x − ) P = : + xx()1− () 1 − xxx() −+ 1 2x − 1 (2x− 1)( xx − ++ 1 xx − ) P = : xx()1−() 1 −−+ xxx() 1 x− x + 1 P = ⋅ x x = 3 x = 9 7x− x + 1 7 P=⇔ =⇔−3 x 10 x +=⇔ 3 0 1 ⇔ 1 ( thỏa mãn ). 3x 3 x = x = 3 9 1  Vậy x∈ 9;  ⋅ 9  Câu 16. (((hsg9 Gia Lai 2022 2023 ))) 111 1 a)a)a) Chứng minh rằng: ++ =+1 (với k > 0 ). 2 2+ 2 + 1kk ( 1) kk ( 1) Từ đĩ hãy tính giá trị biểu thức: 111111 11 1 1 S =++++++++ + + . 1222222 2 3 1 3 4 1 2 2022 2 2023 2 2023 b)b)b) Tìm t ất c ả các c ặp s ố (x ; y ) nguyên th ỏa mãn: x2 − xy ++ x y +=5 0 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 1 1 a)a)a) Ta cĩ + + 12k 2 ( k + 1) 2 kk2(+ 1) 2 + ( k + 1) 22 + k = k2( k + 1) 2 k4322+2 kkk + + + 2 k ++ 1 k 2 = k2( k + 1) 2 k4+22 k 3 + kk 22 +++ 21 k = k2( k + 1) 2 (k2+ k + 1) 2 k2 + k + 1 k( k + 1) + 1 1 = = = =1 + (đpcm). k2( k + 1) 2 k( k + 1) kk(+ 1) kk ( + 1) Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 10
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 * Ta cĩ: 111 1 11 ++ =+1 =+− 1 12kk 2 (+ 1) 2 kk ( + 1) kk + 1 Khi đĩ: 111111 11 1 1 S =++++++++ + + 1222222 2 3 1 3 4 1 2 2022 2 2023 2 2023 1111 1 1 1 =+−++−+++1 1 1 − + 2 3 3 4 2022 2023 2023 1 =2021 + = 2021,5 . 2 b)b)b) Ta cĩ : xxyxy2 − +++=⇔5 0 yx ( −= 1) xx2 ++ 5 (*) Với x =1 khơng thỏa mãn đẳng thức (*) . x2 + x + 5 7 Khi đĩ (*)⇔=y ⇔=++ y x 2 x−1 x − 1 Vì x, y nguyên nên suy ra: (x − 1) là ước nguyên của 7. Suy ra: (x − 1) ∈±{ 1; ± 7 } * x−11 = x= 2 y = 11 . * x−11 = − x= 0 y = − 5 . * x−17 = x= 8 y = 11 . * x−17 = − x= − 6 y = − 5 . Vậy cĩ 4 cặp số nguyên thỏa đề: (2;11), (0;− 5), (8;11), ( − 6; − 5) . Câu 17. (((hsg9 Hà Giang 2022 2023 ))) 1 2 31 a)a)a) Rút gọn biểu thức P = + − . . Với x > 0 rút gọn và tìm giá trị lớn x+1 xx −+ 1 xx + 1 x nhất của biểu thức P. 2023 b)b)b) Cho x =3945 + + 3 945 − . Tính giá tr ị của bi ểu th ức Q=( x3 −3 x − 17 ) LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 2 31 x− x ++12( x +− 13) 1 a)a)a) Ta cĩ: P = + − . = . x+1 xx −+ 1 xx + 1 x ()x+1() x − x + 1 x x+ x 1 1 1 =. = . Vậy P = ()x+1() x − x + 1 x x− x + 1 x− x + 1 1 1 4 1 1 = = ≤ x− =0 ⇔ x = +) Vì P 2 . Dấu "=" xảy ra khi x− x + 1 1 3 3 2 4 x − + 2 4 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 11
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 4 1 Vậy: Max P = khi x = 3 4 3 3 3 3 b)b)b) Từ x=945 + + 945 − x 3 =++ 1839459453 − 945 ++− 945 ( )( ) 2023 2023 x3=183 + xxx 3 − 3 = 18 . Khi đĩ: Q=−−( x3 3 x 17) =−() 1817 = 1 Câu 18. (((hsg9 Hà Nam 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức a+1 aa − 1 aaa2 −+− a 1 P = + + với a>0, a ≠ 1. aaa− aaa − a)a)a) Rút gọn biểu thức P. 8 b)b)b) Tìm đi ều ki ện c ủa a để bi ểu th ức Q = nh ận giá tr ị nguyên. P LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a) Rút gọn biểu thức P. 3 a +1 ( a) −1() 1 − a( −−+ 1 aa ) P = + + aa() a −1 a()1− a a+1 aa + + 1 −−+ 1 aa = + + a a a a+2 a + 1 = a 8 b)b)b) Tìm điểu kiện của a để biểu thức Q = nhận giá trị nguyên. P 1 1 Cĩ P=++≥ a22 a . += 24 (Theo BĐT Cơsi) a a 1 P=⇔4 a = ⇔= a 1 (loại do a ≠ 1) a Vậy P>∀>4 a 0, a ≠ 1. 8 0< < 20 <Q < 2 P 2 Do đĩ để Q∈⇔=⇔=⇔ℤ QP1 8( aa) − 610 += a=−322 a =− 17122 ⇔ ⇔ (thỏa mãn điều kiện) a=+322 a =+ 17122 Vậy a =17 ± 12 2 là các giá trị cần tìm Câu 19. (((hsg9 HHHảảải Dương 2022 2023 ))) Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 12
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 23 xx4+5 3 − 20 x 2 − 27 x + 30 = 1)1)1) Cho x . Tính giá tr ị của bi ểu th ức P = 2 31+ 12 3 x+4 x − 21 2)2)2) Cho a, b , c > 0 thỏa mãn a+++ b c2 abc = 1 . Chứng minh rằng ab(1−−+ )(1 c ) bc (1 −−+ )(1 a ) ca (1 −−− )(1 b ) abc = 1 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 23 23 23 233( 3− 2 ) 1)1)1) Ta cĩ x = = == =−3 3 2 2 3 3+ 2 23 31+ 12 3 ()3 3+ 2 x+233 = xx2+ 4427 + = xx 2 + 4230 − = xx4+5 3 − 20 x 2 − 27 x + 30 P = x2 +4 x − 21 xxx22( +−+423) xxx( 2 +−−+−+ 423) ( xx 2 4237) ( x2+−423 x)( xx 2 +−+ 17) P = P = ()x2 +4 x − 23 + 2 ()x2 +4 x − 23 + 2 2 0⋅( x +− x 1) + 7 7 P = = 0+ 2 2 2)2)2) Do a, b , c > 0 và a+++ b c2 abc = 1 a+2 abc +=−−+=− bc 1 b c bc( 11 b)( − c ) 2 a()()1−−=+ b 1 c a2 2 a abc +=+ abc() a abc =+ a abc Tương tự: b()()1− c 1 − a =+ b abc ; c()()1− a 1 − b =+ c abc Do đĩ: ab(1− )(1 −+ c ) bc (1 −−+ )(1 a ) ca (1 − )(1 −− b ) abc =+++a b c2 abc = 1 2a+ 1 a 1 + a 3 Câu 20. (((hsg9 HHHậậậu Giang 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức A= − − a . 3 a −1 a+ a +1 1 + a a)a)a) Tìm điều kiện của a để biểu thức A cĩ nghĩa và rút gọn biểu thức A . 3 b)b)b) Tìm các giá tr ị của a để A = . 4 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a) Tìm điều kiện của a để biểu thức A cĩ nghĩa và rút gọn biểu thức A . a ≥ 0 a ≥ 0 Điều kiện xác định: ⇔ . a3 −1 ≠ 0 a ≠ 1 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 13
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2a+ 1 a 1 + a 3 Ta cĩ: A= − − a 3 a −1 a+ a +1 1 + a 2a+ 1 a (1+a)( 1 − a + a ) A = − − a a+ a +1 1 + a ()a−1() a + a + 1 2a+ 1 − a() a − 1 A= 1 −+− aaa () ()a−1() a + a + 1 2a+ 1 − a + a A= 1 − 2 a + a () ()a−1() a + a + 1 a+ a + 1 2 A= a −=−1 a 1 () ()a−1() a + a + 1 3 b)b)b) Tìm các giá trị của a để A = . 4 3 7 49 a−1 = a = a = 3 4 4 16 Ta cĩ: a −=⇔1 ⇔ ⇔ 4 3 1 1 a−=−1 a = a = 4 4 16 49 1 So với điều kiện a≥0, a ≠ 1 , ta thấy a = , a = thỏa điều kiện. 16 4 ( 3− 1.10) 3 + 6 3 Câu 21. (((hsg9 Khánh Hịa 2022 2023 )))Rút g ọn bi ểu th ức A = 6+ 25 − 5 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii ( 3− 1.10) 3 + 6 3 Rút gọn biểu thức A = 6+ 25 − 5 3 ( 31.1063−+) 3 ( 3− 1.) 3 ( 3 + 1 ) ( 31.31 −+) ( ) A = = = = 2 2 6+ 25 − 5 ( 5+ 1) − 5 ()5+ 1 − 5 Câu 22. (((hsg9 Ninh B ìììnnhhnh 2022 2023 )))Với a ≥ 0 và a ≠ 1, rút g ọn bi ểu th ức a+ a + 1 1 a P = + + . aa+−2 a − 1 aa + 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a+ a + 1 1 a Với a ≥ 0 và a ≠ 1, rút gọn biểu thức P = + + aa+−2 a − 1 aa + 2 aa++11 aaa ++ 111 P = ++ = ++ aaa+−−21a() a + 2 aaaa +−−+ 212 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 14
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 a+ a + 1 1 1 = + + ()a−1() a + 2 a−1 a + 2 aa++1 a + 2 a − 1 aa ++ 32 = + + = ()aa−+12() () aa −+ 12() () aa −+ 12() () aa −+ 12() ( a+1)( a + 2 ) a +1 = = . ()a−1() a + 2 a −1 Câu 23. (((hsg9 QQuuQu ảảảng Bình 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức 25x 1 x − 1 A = − + : 2 . 21x+4x − 1 21 x − ()2x + 1 a)a)a) Rút gọn biểu thức A. b)b)b) Tính giá tr ị bi ểu th ức A khi x =320 + 14 2 + 3 20 − 14 2 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 a)a)a) Điều kiện: x≥0; x ≠ ; x ≠ 1 . 4 4x−− 25 xx + 2 + 1(2 x + 1) 2 x−1 2 x + 1 2x + 1 A = . = . = (2x+ 1)(2 x − 1) x − 1 2x− 1 x − 1 2x − 1 2x + 1 1 Vậy A = với điều kiện x≥0; x ≠ ; x ≠ 1 . 2x − 1 4 b)b)b) Áp dụng hằng đẳng thức ()()ab+3 =++ a3 b 3 3 abab + , ta cĩ : x3 =+20 14 2 +−+ 20 14 2 33 ( 20 + 14 2)( 20 − 14 2) . x ⇔=+x3 40 33 20 + 14 2 20 − 14 2 . x ( )( ) ⇔x3 −6 x − 40 = 0 ⇔−( x4)( x2 ++ 4 x 10) = 0 ⇔=x4 ( dox 2 ++> 4 x 10 0) 2x + 12415 + Thay x = 4 vào A ta được A = = = 2x − 1 241 − 3 5 Vậy A = khi x =320 + 14 2 + 3 20 − 14 2 . 3 Câu 24. (((hsg9 QQuuQu ảảảng Tr ịịị 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức 1 2 1 2 Ax= 2 + ++−2 x 3:() xx2 −+ 1 với x ≠ 0. x2 x a)a)a) Rút g ọn bi ểu th ức A. Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 15
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 b)b)b) Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa A. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 11 2 2 1 2 1 1 2 a)a)a) Ta cĩ x2 + +23 x +−=+ x2 + 2 x 2 ++=++ 1 x 2 1 xx2 x2 x 2 x 2 2 1 x + + 1 4 2 2 2 2 2 xx++1()()xx++1 xx −+ 1 xx ++ 1 A ==x = = x2 − x + 1 xxx22()−+1 xxx 22() −+ 1 x 2 11 11 2 33 bbb)b))) Viết lại A= ++=1 + +≥ , ∀ x . x2 x x 2 4 4 Dấu bằng xảy ra ⇔x = − 2( tmdk ) 3 Vậy MinA = khi x = − 2 . 4 Câu 25. (((hsg9 Sĩc Trăng 2022 2023 )))Cho hai bi ểu th ức 211x+ x − 2 x +16 A = − : 1 − và B = xx−1 x − 1 xx ++ 1 x a)a)a) Rút g ọn bi ểu th ức A. b)b)b) Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức T= A × B . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a) Rút gọn biểu thức A. ĐKXĐ: x≥0; x ≠ 1 . 211x+ x − 2 A = − : 1 − xx−1 x − 1 xx ++ 1 21x+−+( xx + 1) ( xx + +−− 12) () x A = : ()x−1() x + x + 1 x+ x + 1 21x+−− xx − 1 xx + +−+ 12 x A = : ()x−++1() xx 1() xx ++ 1 x− x x + 3 A = : ()x−1() xx ++ 1() xx ++ 1 xx( −1) ( xx + + 1 ) A = . ()x−1() x + x + 1 x + 3 x A = x + 3 b)b)b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T= A × B . Với x>0; x ≠ 1 ta cĩ: Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 16
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x x +16 T= A × B = . x+ 3 x x+16925 x − + ( x−3)( x + 3) + 25 25 25 T == = =−+=++−x3 x 3 6 xx++33 x + 3 x + 3 x + 3 25 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta cĩ: T≥2() x + 3. −=−= 61064 . x + 3 25 2 Vậy MinT = 4 khi x+=3 ⇔( x + 325) =⇔ xxx +=⇔ 35 =⇔= 24 (thỏa mãn). x + 3 Câu 26. (((hsg9 Sơn La 2022 2023 ))) x+1 122 +− xxxx 2 − a)a)a) Rút gọn biểu thức: A = + + với x>0, x ≠ 1. xxxx++ x2 − x1 − xx 2023 b)b)b) Cho biểu thức: P=( x3 + 12 x − 31 ) . Tính giá tr ị của bi ểu th ức P tại x=316 − 8 5 + 3 16 + 8 5 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a) Với x>0, x ≠ 1 , ta cĩ: x+1 122 +− xxxx 2 − A = + + xxxx++ x2 − x1 − xx x+1 122 +− xx xx − 2 A = + + xxx()++1 xx() −++ 1() xx 11() x −++() xx 1 ()x+1() x −++− 1122() xxxxx +() − 2 = xx()−1() x + x + 1 x−++1122 x − xxxx + − 2 = − + + xx()1() x x 1 xxx+ − 2 x = xx()−1() x + x + 1 x() x−1() x + 2 = xx()−1() x + x + 1 x+2 = x+ x + 1 x + 2 Vậy A = , với x>0, x ≠ 1 x+ x + 1 3 3 x=−++316851685 3 =3()15 − + 3 () 15 + =−++= 15152 b)b)b) Ta cĩ: Thay x = 2 vào biểu thức P , ta được: 2023 P =+−23 12.2 31 = 1 2023 = 1 ( ) Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 17
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Vậy với x=316 − 8 5 + 3 16 + 8 5 thì biểu thức P cĩ giá trị bằng 1. Câu 27. (((hsg9 Thanh Hĩa 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức 2x 1 9 x + 14 P = ⋅+ 1 + với x ≥ 0 . x+3 x + 2 xx ++ 32 Rút g ọn bi ều th ức P và tìm các giá tr ị của x để bi ểu th ức P cĩ giá tr ị là s ố tự nhiên. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2x 1 9 x + 14 Cho biểu thức P = ⋅+ 1 + với x ≥ 0 . x+3 x + 2 xx ++ 32 Rút gọn biều thức P và tìm các giá trị của x để biểu thức P cĩ giá trị là số tự nhiên. Điều kiện x ≥ 0 . Ta cĩ: 2x 1 9 x+ 142x( x + 1 ) 9 x + 14 P =⋅++ 1 = + x+3 x + 2 xx ++ 32 ()x+1() x + 2() x + 2() x + 1 2x+ 11 x + 14( x+2)( 2 x + 7 ) 2 x + 7 = = = ()x+2() x + 1() x + 2() x + 1 x +1 2x + 7 Vậy P = với x ≥ 0 x +1 2( x + 1) + 5 5 5 Ta cĩ P = =2 + , vì x ≥ 0 nên 0< ≤ 5 suy ra 2<P ≤ 7 x+1 x + 1 x +1 5 555  Do P ∈ N nên P ∈{}3;4;5;6;7 ⇔ ∈{} 1;2;3;4;5 ⇔+∈x 1 5; ; ; ;1  . x +1 2 3 4  321  941  ⇔∈x 4;;;;0  ⇔∈ x 16;;; ;0  . 234  4916  9 4 1  Kết hợp với điều kiện ta thấy x ∈ 16; ; ; ;0  là giá trị cần tìm. 4 9 16  9 4 1  Vậy để P cĩ giá trị là số tự nhiên thì x ∈ 16; ; ; ;0  4 9 16  Câu 28. (((hsg9 TiTiTi ềềền Giang 2022 2023 ))) Cho bi ểu th ức: A =−+(31313)( )( 2 + 13)( 4 + 13)( 8 + 13)( 16 + 13)( 32 + 1 ) và B =+6262322 + + −+ 526 . a)a)a) Rút g ọn A và B . b)b)b) Ch ứng t ỏ A+ B chia h ết cho 9 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a) Ta cĩ: A =−+(31313)( )( 2 + 13)( 4 + 13)( 8 + 13)( 16 + 13)( 32 + 1 ) Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 18
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 A =−(3131313132)( 2 +)( 4 +)( 8 +)( 16 + 13)( 32 + 1 ) A =−(31313134)( 4 +)( 8 +)( 16 + 13)( 32 +==− 1) ( 3 32 13)( 32 +=− 1) 3 64 1 B =+6262322 + + −+ 526 2 2 2 B =()3 +++() 2 12 2. 3. 2 + 2. 3.1 + 2. 2.1 −+() 3 2 2 2 B =()321 ++−() 32 + =++−+=++−−= 32132 321321 b)b)b) Ta cĩ: A+= B 364 −+= 1 1 3 64 = 3 2 .3 62 = 9.3 62 ⋮ 9 Vậy A+ B chia hết cho 9 . Câu 29. (((hsg9 Tuyên quang 2022 2023 ))) Rút g ọn bi ểu th ức 2x+ 1 x x − 4 P= − . x − , với x≥0, x ≠ 4. xx+−+1 xx 1 x − 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Với x≥0, x ≠ 4. 2x+ 1 x x − 4 P= − . x − xx+−+1 xx 1 x − 2 21x+x() x +1 xxxx −−+ 24 = − . x − 2 ()xxx+−+1() 1() xxx +−+ 1() 1 2 xx−+1 xxx −+ 341 ( x−2) .( x + 1 ) =. = . =−x 2 ()x+1() x − x + 1 x−2 x + 1 x − 2 Vậy P= x − 2 Với x≥0, x ≠ 4. Câu 30. (((hsg9 VVVĩnh Long 2022 2023 ))) 2023 3 3 3 a)a)a) Cho A=( x +12 x − 31 ) .Tính giá trị của biểu thức A khi x =16 − 85 + 16 + 85 x+2 xx + 3 + 2 x b)b)b) Cho biểu thức : B = −− : 2 − . xx−+−562 xx − 3 x + 1 1 5 Rút gọn biểu thức B và tìm các giá trị của x để ≤ − B 2 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a) Tính giá trị của biểu thức A 3 3 Ta cĩ: x =16 − 85 + 16 + 85 x3 =+32 33 (16 − 8 5)(16 + 8 5).(3 16 −++ 8 5 3 16 8 5 ) 3 ⇔x =32 − 12 x Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 19
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 3 ⇔x +12 x − 31 = 1 2023 A=−+( x312 x 31) = 1 2023 = 1 1 5 b)b)b) Rút gọn biểu thức B và tìm các giá trị của x để ≤ − B 2 ĐK: x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9 x+2 xx + 3 + 2 x B = −− : 2 − xx−+−562 xx − 3 x + 1 x+3 x − 3 x + 2 x − 2 x + 2 ()() ()() x + 2 = + − : x +1 ()xx−−32() () xx −− 32() () xx −− 32() 1x+ 1 x + 1 =. = x−2 x + 2 x − 4 15x − 4 5 ≤−⇔ ≤−⇔28x −≤− 5 x − 5 B 2x +1 2 1 1 1 ⇔25303xx + −≤⇔−≤ x ≤⇔≤ 0 x ≤⇔≤≤ 0 x 2 2 4 Câu 31. (((hsg9 VVVĩnh Phúc 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức x2 y 2 xy 22 P = − − . ()()xy+−1 yxy()() ++ 111 x()() +− x y a)a)a) Rút g ọn bi ểu th ức P . b)b)b) Tìm các s ố nguyên x, y th ỏa mãn P = 2 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a) Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 20
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x2 y 2 xy 22 P = − − ()()xy+−1 yxy()() ++ 111 x()() +− x y x2()()()1+− xy 2 1 −− yxyxy 22 + = ()()()xy+1 + x 1 − y x3+−+− x 2 y 2 y 3 xyxy 22 () + = ()()()xy+1 + x 1 − y ()()()xyxy+ −++ xyx()2 −+− xyy 2 xyxy 22 () + = ()()()xy+1 + x 1 − y ()xyxyx+() −+−++2 xyy 222 xy = ()()()xy+1 + x 1 − y ()()xy+1 − yx()2 + xyxy 2 +− = ()()()xy+1 + x 1 − y ()()()()xy+1 − y 1 + xxxyy +− = ()x+ y ()()1+x1 − y =x + xy − y b)b)b) P= 2 xxyy+ − = 2 ( x− 111)( + y ) = Vì x, y nguyên nên xy−1; + 1 ∈ ℤ xy− 1; + 1 ∈ Ư(2) ={ ± 1; ± 2 } . x−1 = 1 x = 2 + ⇔ y+1 = 1 y = 0 x−=−1 1 x = 0 + ⇔ y+=−1 1 y =− 2 Vậy ( x; y )∈{( 2;0) ;( 0; − 2 )} 2- 3 6-33 Câu 32. (((hsg9 Yên Bái 2022 2023 ))) Rút g ọn bi ểu th ức S = + . 2 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Ta cĩ: 2 2 2-3 6-33()2-3() 6-33 2-36-332-3 6-33 S=+= + =+=+ 2 2 22-3 26-3331− 3-3 31 − 331− () () () 3- 3 = = 1 3() 3− 1 Câu 33. (((hsg9 ĐĐĐồồồng Tháp 2022 2023 ))) 6− 2 5.6( + 2 5 ) 1.1.1. Tính giá tr ị của bi ểu th ức P = 1+ 5 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 21
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 xx−1 xx + 1 x + 4 2.2.2. Cho bi ểu th ức H = − + với x≥0; x ≠ 1 xxxx− + x a)a)a) Rút g ọn bi ểu th ức H . b)b)b) Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức H . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 2 6− 2 5.6() − 2 5 ()5− 1.() 5 + 1 1.1.1. P = = =−+=()51() 51 4 15+ 51 + 2.2.2. a)a)a) Rút gọn biểu thức H . Với x≥0; x ≠ 1 xx−1 xx + 1 x + 4 H = − += xxxx− + x ()xxx−++1() 1() xxx +−+ 1() 1 x+4 xx ++ 1 xx −+ 1424 x + xx ++ = − +=−+= xx()−1 xx() + 1 x x xx x b)b)b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H . x+2 x + 4 4 Với x≥0; x ≠ 1 ta cĩ H= =++ x 2 x x 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương x và ta được: x 4 4 x+≥2 x ⋅ = 4 x x 4 H= x + +≥+=2 4 2 6 x 4 Vậy H=⇔6 x = ⇔= x 4 min x Câu 34. (((hsg9 BBBắắắc Giang 2022 2023 )))Cho hai s ố th ực x, y th ỏa mãn (x+ x2 +1)( yy + 2 += 1) 2 . Tính Qxy=2 ++1 yx 2 + 1 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Từ giả thiết ta được ( xx+2 +1)( yy + 2 += 1) 2 ⇔+xyxy2 ++1 yx 2 ++ 1 x 22 + 1. y += 1 2 (1) x2+−>1 xxxxx 2 −= −≥∀ 0, x và tương tự y2+−>1 yyyyy 2 −= −≥∀ 0, y . 1 xxyy+2 +1 + 2 +=⇔ 12 xxyy 2 +− 1 2 +−= 1 ( )( ) ( )( ) 2 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 22
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 1 ⇔yx2 ++1 xy 2 +− 1 x 22 + 11 y +−=− xy (2) 2 3 Cộng theo vế của (1) và (2) , ta được: xy2++1 yx 2 += 1 . 4 KL Câu 35. (((hsg9 Hà T ĩnh 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức 1 2 5x12x− − C= + − : . 1− x x1 + 1x− x1 − Tìm t ất c ả các giá tr ị nguyên c ủa x để giá tr ị của bi ểu th ức C là s ố nguyên. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 ĐKXĐ: x≥ 0;x ≠ 1;x ≠ 4 2 Ta cĩ C = . Để C∈ Z thì 1− 2 x ∈ U( 2) =−−{ 2; 1;1;2} ⇔∈ x{ 1;0 } 1− 2 x Đối chiếu ĐKXĐ ta cĩ x= 0 . Câu 36. (((hsg9 ĐĐĐồồồng Tháp 2022 2023 )))Ch ứng minh r ằng v ới m ọi s ố tự nhiên n ∈ ℕ thì 111 1 + + ++ =+−n 1 1 213243++ +n ++ 1 n LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ∈ ℕ thì 111 1 + + ++ =+−n 1 1 213243++ +n ++ 1 n Ta cĩ: 111 1 + + ++ = 213243++ +n ++ 1 n =()2 −+ 1() 3 − 2 +() 4 − 3 ++ ()n +− 1 n =n +1 − 1 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 23
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Chuyên đề 2 Hàm số • Tài li ệu này được tham kh ảo t ừ đề học sinh gi ỏi c ấp t ỉnh l ớp 9 t ừ 40 tỉnh thành trong c ả nước năm h ọc 2022-2023. C ụ th ể gồm: Bà R ịa V ũng Tàu, Bình D ươ ng, Bình Ph ước, Bình Định, B ắc Giang, B ắc K ạn, B ắc Ninh, B ến Tre, Gia Lai, Hà Giang, Hà Nam, Hà N ội, Hà T ĩnh, Hịa Bình, Hải D ươ ng, H ải Phịng, H ậu Giang, Khánh Hịa, Kon Tum, Lai Châu, L ạng s ơn, Nam Định, Ngh ệ An b ảng A, Ngh ệ An b ảng B, Ninh B ình, Ninh Thu ận, Phú Th ọ, Qu ảng Bình, Qu ảng Ninh, Qu ảng Tr ị, Sĩc Tr ăng, S ơn La, Thanh Hĩa, Ti ền Giang, TP H ồ Chí Minh, Tuyên quang, V ĩnh Long, V ĩnh Phúc, Yên Bái, Đắk L ắk, Đồng Tháp. Câu 1.1.1. (hsg9 B ắắắccc KKKạạạn 2022 2023) Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ tr ục t ọa đ ộ Oxy , cho đư ờng th ẳng dy:=() m2 + 1 xm − . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục hồnh, trục tung l ần lư ợt t ại hai đi ểm A, B sao cho tam giác OAB cĩ di ện tích b ằng 0,4 cm 2 (O là g ốc t ọa đ ộ, đơn v ị đo trên các tr ục là cm ). LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii m + Tìm được điểm A ,0 , B() 0, − m m2 +1 m + Tính được OA=, OB =−= m m m2 +1 1 1 m m2 + Tính được S= OAOB. = . m = OAB 2 2 ()m2+1 2() m 2 + 1 m2 2 + S=0,4 ⇔ = 0,4 =⇔=⇔=± m2 4 m 2 OAB 2()m2 + 1 5 Vậy m = ± 2 thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Câu 2. (hsg9 B ắắắc Ninh 2022 2023) Gọi A và B là giao đi ểm c ủa đư ờng th ẳng d: y= − x + 2 với parabol ()P: y= x 2 . Tính di ện tích tam giác OAB ( O là g ốc t ọa đ ộ). LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii x =1 Phương trình hồnh độ giao điểm −+=⇔+−=⇔x2 x2 xx 2 2 0 ⋅ x = − 2 Suy ra A()()1;1 , B − 2;4 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A, B lên trục Ox . Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 24
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 ( AH+ BK) HK 15 1 1 1 Cĩ S= ==; S OHAH . === ; S OKBK .4. AHKB 2 2OAH 2 22 OBK Vậy SOAB= S AHBK − S OAH − S OBK = 3. Câu 3. (hsg9 V ĩnh Phúc 2022 2023) Trong m ặt ph ẳng t ọa đ ộ Oxy , cho ba đư ờng th ẳng 2 2 2 (dy1) :=−+ 2 xm 1,( d 2 ) : yxmm =−− và (d3 ) : y= 3 xm − −+ m 2 . Bi ết (d1 ) cắt (d2), ( d 3 ) lần 2 2 lư ợt t ại A( x1; y 1 ) và B( x2; y 2 ) . Tìm m để ()()xx12− +− yy 12 = 320 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 2 Hồnh độ giao điểm của (d1 ) : y= 2 xm − + 1 và (d2 ) : y= xm − − m là nghiệm của phương trình: 2xm−2 +=− 1 xmm 2 − ⇔=−− x m 1 . 2 2 Thay vào phương trình (d1 ) ta được: y=21()() −−− mm +=− 1 m + 1 2 Khi đĩ A(− m −−1;() m + 1 ) 2 Tương tự ta tìm được B( m−1; −() m − 1 ) 2 2 Theo bài ra ta cĩ: ()()xx12− +− yy 12 = 320 2 2 2 2 ()()()−−−++mm1 1 m −−+ 1 m 1 = 320 ⇔4m2 + 16 m 2 = 320 ⇔m2 = 16 ⇔m = ± 4 Vậy m = ± 4 . Câu 4. (hsg9 Bình Ph ưưướớớc 2022 2023) Cho đư ờng th ẳng ():d mx+ ( m − 1) y − 2 m += 10 (v ới m là d m tham s ố). Tìm đi ểm c ố định mà đư ờng th ẳng ( ) luơn đi qua v ới m ọi giá tr ị của . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Gọi A( xA; y A ) là điểm cố định mà đường thẳng (d ) luơn đi qua với mọi giá trị của m, ta cĩ phương trình: mxmymA+−(1)210 A −+=⇔( xy AA +− 2) my =− A 1 cĩ nghiệm ∀m x+−= y2 0 x = 1 ⇔ A A ⇔ A yA−1 = 0 y A = 1 Vậy đường thẳng (d ) luơn đi qua điểm A(1;1 ) với mọi giá trị của m . Câu 5. (hsg9 Hà T ĩnh 2022 2023) Gọi M là hình chi ếu vuơng gĩc c ủa g ốc t ọa đ ộ O trên đư ờng th ẳng y=( m2x +) +− m5 với m là tham s ố. Khi OM đạt giá tr ị lớn nh ất thì giá tr ị của m b ằng bao nhiêu? LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Xét m= − 2 y= − 7 khi đĩ OM= 7 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 25
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Xét m≠ − 2 . Gọi A,B là giao điểm của đường thẳng y=( m2x +) +− m5 với trục Ox,Oy . Tọa độ của 5− m A ;0,B0;m ()− 5 m+ 2 5− m Suy ra OA= ;OB = m5 − m+ 2 1 1 1 OA2⋅ OB 2 m 2 −+−+ 10 m 25 (7 m 15) 2 Ta cĩ = + OM2 = = = +≤50 50 OM222 OA OB OA 222+ OB m ++ 4 m 5 ( m ++ 2) 2 1 15 Vậy OM cĩ giá trị lớn nhất bằng 50 khi đĩ m = − 7 Câu 6. (hsg9 Gia Lai 2022 2023) Cho hàm s ố y=( mm2 −+ 2)2 x + m − 8 cĩ đ ồ th ị là đư ờng th ẳng d . Tìm t ất c ả các giá tr ị của tham s ố m để đư ờng th ẳng d cắt tr ục hồnh và tr ục tung l ần lư ợt t ại A và B sao cho di ện tích tam giác OAB bằng 2 ( v ới O là g ốc t ọa đ ộ ). LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii m2 − m +2 ≠ 0 ∀m ∈ ℝ Vì O, A , B tạo thành tam giác nên ⇔ . 2m − 8 ≠ 0 m ≠ 4 −2m + 8 Đường thẳng d cắt trục hồnh và trục tung lần lượt tại A và B nên A ;0 và B(0;2 m − 8) m2 − m + 2 . 1 1− 2m + 8 2( m − 4) 2 Ta cĩ: S= OAOB = . .28 m −= . ∆OAB 2 2m2 − m + 2 m2 − m + 2 Do giả thiết S∆OAB = 2 nên m2−816 m + = mm 2 −+ 2 (4)m−22 = mm −+⇔ 2 mm 2 − 816 += mm 2 −+⇔ 2 mm2−816 + =− mm 2 + − 2 ⇔m = 2 (TMĐK). Câu 7. (hsg9 Hà Giang 2022 2023) Cho Parabol (P) : y= x 2 và đư ờng th ẳng dy:= 2 x − m . Tìm 3 3 m để đư ờng th ẳng d cắt (P ) tại hai đi ểm phân bi ệt cĩ hồnh đ ộ x1, x 2 th ỏa mãn x1+ x 2 = 5 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Phương trình hồnh độ giao điểm x2=2 xm −⇔ x 2 − 2 xm += 0 (*) +) Điều kiện để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt là phương trình (*) cĩ ∆>'01 ⇔−m > 0 ⇔ m < 1 +) Với điều kiện trên thì theo Vi-Et ta cĩ: xx1+ 2 =2, xx 12 . = m 3 1 +) Theo đề bài xx3+=⇔+ 3 5()() xx − 3 xxxx + =⇔−=⇔= 5865 m m (thỏa mãn) 12 12 1212 2 1 Vậy m = là giá trị cần tìm. 2 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 26
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Câu 8. (hsg9 Sơn La 2022 2023) Trong m ặt ph ẳng t ọa đ ộ Oxy cho đư ờng th ẳng (d ) cĩ phương trình y=2 x − a 2 và parabol (P) cĩ phương trình: y= ax2 ( a > 0) . a)a)a) Tìm a để đường thẳng (d ) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B . Chứng minh rằng khi đĩ A và B nằm bên phải trục tung. 4 1 b)b)b) Gọi xA, x B là hồnh đ ộ của A và B . Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức: T = + xA+ x B xx AB. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a) Ta cĩ hồnh độ giao điểm của đường thẳng (d ) và parabol (P) là nghiệm của phương trình hồnh độ: ax2=2 xa −⇔ 22 ax − 2 xa += 2 0*( ) ∆' = 1 − a3 (d ) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) cĩ hai nghiệm phân biệt ⇔∆>'01 ⇔−a3 > 0 ⇔ a 0 , ta cĩ: 0 0 x > 0 Với 0 0 xA⋅ x B = a > 0 Do đĩ hai điểm A và B cĩ hồnh độ dương nên A và B nằm bên phải trục.tung 2 x+ x = b)b)b) Theo câu a, ta cĩ: A B a xA⋅ x B = a 4 1 1 Khi đĩ: T= + =2 a + . Vì 0<a < 1 nên áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương, ta được: 2 a a a 1 1 T=+≥2 a 22. a = 22 a a 0<a < 1 1 2 Dấu “=” xảy ra khi 1 ⇔a = = () TM 2a = 2 2 a 1 Vậy: minT= 22 ⇔ a = . 2 2x+ 2 y + xy = 3 Câu 9. (hsg9 Sĩc Trăng 2022 2023) Gi ải h ệ phương tr ình: x2+ y 2 = 6 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 27
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2x+ 2 y + xy = 3 ()* x2+ y 2 = 6 2S+ P = 3 4S+ 2 P = 6 2S+ P = 3( 1 ) Đặt S= x + y; P = xy ta cĩ : 2 2 2 S−2 P = 6 S−2 P = 6 S−4 S − 12 = 0() 2 2 S = − 2 Giải (2) ta cĩ S−4 S − 12 = 0 ⇔ S = 6 Với S = − 2 thay vào (1) ta được P = 7 . Suy ra x, y là nghiệm của phương trình: X2 +270 X +=⇔() X + 1602 += (vơ lý) Nên hệ phương trình (*) vơ nghiệm. Với S = 6 thay vào (1) ta được P = − 9 . Suy ra x, y là nghiệm của phương trình: X = −3 2 + 3 X2 −6 X − 9 = 0 ⇔ (thỏa) X =3 2 + 3 x = −3 2 + 3 x =3 2 + 3 Vậy hệ phương trình (*) cĩ nghiệm: hoặc . y =3 2 + 3 y = −3 2 + 3 Câu 10. (hsg9 Ti ềềền Giang 2022 2023) Trong m ặt ph ẳng to ạ độ Oxy cho Parabol (P ) : y= x 2 và đường thẳng ():d y= 2 x + 8 a)a)a) Bằng phép tính, hãy tìm to ạ độ giao đi ểm A, B của (P ) và (d ) . b)b)b) Tìm to ạ độ tất c ả các đi ểm n ằm trên (P ) sao cho đi ểm đĩ cách đ ều hai đi ểm A, B . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a) Phương trình hồnh độ giao điểm của (d ) và (P ) : 2 2 x = 4 xx=28 +⇔ xx − 280 −=⇔−()() xx 4 +=⇔ 20 x = − 2 Với x = 4 thì y =42 = 16 , Với x = − 2thì y =( − 2)2 = 4 Vậy (P ) và (d ) cắt nhau tại điềm A(4;16) và B(− 2;4). b)b)b) Phương trình đường thẳng (AB ) cĩ dạng tổng quát: y= ax + ba( ≠ 0) 4a+ b = 16 a = 2 Vì A(4;16) và B(− 2;4) thuộc đường thẳng (AB ) nên ta cĩ hệ phương trình: ⇔ −+=2a b 4 b = 8 Phương trình đường thẳng (AB ) cĩ dạng y=2 x + 8 Phương trình đường trung trực (d ') của đoạn thẳng AB cĩ dạng: y= ax' + b '( a ≠ 0) −1 Vì (d ') ⊥ AB nên a'.2=− 1 ⇔ a ' = 2 4+ ( − 2) xI = = 1 2 Toạ độ trung điểm I( x ; y ) của đoạn thẳng AB : I I 16+ 4 y = = 10 I 2 −1 − 1 21 Vì I(1;10)('):∈ dyxb = +⇔= ' 10 .1 +⇔= bb ' ' 2 2 2 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 28
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 −1 21 Phương trình đường trung trực (d ') của đoạn thẳng AB : y= x + 2 2 Ta cĩ tất cả các điểm nằm trên (P ) sao cho điểm đĩ cách đều hai điểm A, B là giao điểm của đường trung trực của đoạn AB và (P ) nên phương trình hồnh độ giao điểm của (d ') và (P ) : x = 3 2−1 21 2 xx= +⇔2 xx +−=⇔ 210()() 27 xx + −=⇔ 30 7 2 2 x = − 2 7 −7 2 49 Với x = 3thì y =32 = 9 , Với x = − thì y = = 2 2 4 −7 49 Vậy toạ độ tất cả các điểm nằm trên (P ) sao cho điểm đĩ cách đều hai điểm A, B là: (3;9); ; . 2 4 1 Câu 11. (hsg9 Hà Nam 2022 2023) Cho parabol ()P: y= x 2 và hai đi ểm A(−2;2) , B ( 4;8 ) nằm 2 trên (P). Gọi M là đi ểm thay đ ổi trên (P) và cĩ hồnh đ ộ là m(−2 < m < 4) . Tìm m để tam giác ABM cĩ di ện tích l ớn nh ất. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii m2 Cĩ M m ; 2 Gọi A′(−2;0,) Mm ′( ;0,) B ′ ( 4;0 ) ( AA′+ BB ′) AB ′ S = = 30 ABB′ A ′ 2 ()AA′+ MM ′′′ A M (4+m2 )( 2 + m ) S = = AMM′ A ′ 2 4 ()MM′+ BB ′ M ′′B (16+m2 )( 4 − m ) S = = MBB′ M ′ 2 4 6m2 − 12 m + 72 27 3( m − 1) 2 S=−− S S S =−30 =− ABM ABA′′ B AMM ′′A MBB ′′ M 4 2 2 27 S≤ ∀ m ABM 2 Vậy m = 1 là giá trị cần tìm Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 29
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Câu 12. (hsg9 H ậậậu Giang 2022 2023) Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho hàm s ố y=2 mx + m + 2 (v ới m là tham số thực) cĩ đồ thị là đường thẳng d và hàm số y= − x 2 cĩ đồ thị là parabol (P) . Tìm tất cá các giá tr ị của th am s ố m để đường th ẳng d cắt parabol (P) tại hai đ iểm phân bi ệt cĩ hồnh đ ộ x1, x 2 th ỏa m ãn x1 '0 ⇔m2 − m −> 20 ⇔ . m > 2 −b Sxx= + = =− 2 m 1 2 a Theo định ví Vi-et ta cĩ: . c Pxx= ==+ m 2 1 2 a Để phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt thỏa x1 3 m 3 thoải điều kiện. m > 2 Câu 13. (hsg 9 Kon Tum 2022 2023 ) Cho hàm s ố fx( ) =( m −1) x + 3 m + 2 cĩ đ ồ th ị là đư ờng th ẳng ∆ . Đư ờng th ẳng ∆ cắt tr ục hồnh t ại đi ểm M , c ắt tr ục tung t ại đi ểm N (các đi ểm M, N khơng trùng v ới g ốc t ọa đ ộ O ). Tìm giá tr ị của m để tam giác OMN cân. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii m ≠ 1 Theo đề bài, ∆ khơng song song với các trục tọa độ và khơng đi qua gốc tọa độ nên 2 m ≠ − . 3 3m+ 2 M ;0 ∈ Ox; N() 0;3m + 2 ∈ Oy . 1− m Để tam giác OMN là tam giác cân thì OM = ON Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 30
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 3m+ 2 =3m + 2 1− m 1 ⇔+3m 2 −= 1 0 1− m 3m+ 2 =3m + 2 1− m 1 ⇔+3m 2 −= 1 0 1− m 3m+ 2 = 0 2 m= − (KTM) m= 0(TM) ⇔ 1 ⇔3 ⇔ m= 2(TM) −1 = 0 1− m = 1 1− m Vậy m = 0 hoặc m = 2 là giá trị cần tìm. Câu 14. (hsg 9 Hịa Bình 2022 2023 ) Cho hàm s ố y= −2 x + 4 . C ĩ đ ồ th ị là đư ờng th ẳng (d) . G ọi A và B lần lư ợt là giao đi ểm c ủa (d) với các tr ục t ọa đ ộ Ox, Oy và C(;2 m− m + 4) là đi ểm thu ộc đo ạn th ẳng AB . Tìm giá tr ị của tham s ố m để di ện tích tam giác OBC bằng hai l ần di ện tích tam giác OAC . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii - Giao điểm của (d) với trục Ox là A(2;0) và (d) với trục Oy là B(0;4). Vì C thuộc đoạn AB nên 0 ≤ m ≤ 2 1 - Diện tích tam giác OBC là: S ∆OBC = .4.m= 2 m 2 1 - Diện tích tam giác OAC là: S ∆OAC = .2.(2−m + 4) =− 2 m + 4 2 Vì diện tích tam giác OBC bằng hai lần diện tích tam giác OAC nên ta cĩ: 4 2m = 2.(-2m + 4) Û m = ( thỏa mãn ĐK). 3 4 Vậy m = thì diện tích tam giác OBC bằng hai lần diện tích tam giác OAC 3 Câu 15. (hsg 9 Đ ắắắkkk LLLắắắk 2022 2023 ) 1.1.1. Cho parabol (P ) : y= x 2 và đường thẳng ():dy= (2 m + 1) xm −2 − m . Tìm m để (d ) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A, B nằm ở hai phía trục tung. 2. Cho hàm số y= − 4 x 2 cĩ đồ thị là parabol (P ) và một điểm Q(0;− 9) . Hăy tìm hai điểm M, N trên (P ) và cĩ tọa độ là những số nguyên sao cho tứ giác OMQN là một tứ giác lồi cĩ diện tích bằng 27 cm 2 (đơn vi trên các tr ục t ọa đ ộ là cm). 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1.1.1. Phương trình hồnh độ giao điểm của (P ) và (d ) : x2−(2 m + 1) xmm + 2 += 0( 1 ) Để (d ) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A, B nằm ở hai phía trục tung thì phương trình phải cĩ hai nghiệm trái dấu ⇔m( m + 1) < 0 ⇔−1 <m < 0. Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 31
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2.2.2. (P ) cĩ đỉnh là gĩc toạ độ O và cĩ bề lơm quay xuống dưới , vì tứ giác OMQN là một tứ giác lồi nên hai điểm M vả N phải nằm hai phía của trục tung. Giải sử điểm M nằm bên trái trục tung vả điểm N nằm bên phải trục tung. Khi đĩ diện tích OMQN bằng tổng diện tích hai tam giác MQO và NQO , suy ra 1 1 27 ⋅⋅−9()x +⋅ 9 x = ⇔ xx − = 31() 2M 2 N 2 NM Từ đĩ suy ra được: − ⇔' 0mm − (2 −>⇔ 3) 0( m − 1) +>∀∈ 2 0, m ℝ +) Theo Vi_et ta cĩ: x12+= x2; mxx 12 =− 2 m 3 2 2 +) Theo bài ra ta cĩ: yy12+<⇔+9( xx 12) − 2 xx 12 <⇔ 942239 m −( m −<) 1 3 1 3 ⇔4m2 − 4 m −<⇔−≤≤ 30 m . Vậy − ≤m ≤ 2 2 2 2 Câu 17. (hsg 9 Bà R ịịịaaa VVVũng T àu 2022 2023 ) Trên m ặt ph ẳng to ạ độ Oxy, cho đi ểm A thu ộc 2 parabol (P) y= − x cĩ tung đ ộ yA = − 4 . Tìm to ạ độ các đi ểm B thu ộc (P) sao cho tam giác OAB vuơng t ại B. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 32
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Điểm A thuộc (P) nên cĩ toạ độ A(– 2; – 4) hoặc A(2; –4) B∈ () P Bbbb (;−2 ); ≠± 2, b ≠ 0 Khi A(– 2; – 4), do tam giác OAB vuơng tại B ta cĩ: OAOBAB2= 2 + 2 ⇔−+=⇔− b 3 3 b 20 ( b 1)( bb2 +−= 2)0 b=1( N ) ⇔ B(1;− 1) b= − 2( L ) Khi A( 2; – 4), do tam giác OAB vuơng tại B ta cĩ: OAOBAB2= 2 + 2 ⇔−−=⇔+ b 3 3 b 20 ( b 1)( bb2 −−= 2)0 b= − 1( N ) ⇔ B(− 1; − 1) b= 2( L ) Vậy cĩ hai điểm B(1; –1) và B(–1; –1). Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 33
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Chuyên đề 3 Phương trình • Tài li ệu này được tham kh ảo t ừ đề học sinh gi ỏi c ấp t ỉnh l ớp 9 t ừ 40 tỉnh thành trong c ả nước năm h ọc 2022-2023. C ụ th ể gồm: Bà R ịa V ũng Tàu, Bình D ươ ng, Bình Ph ước, Bình Định, B ắc Giang, B ắc K ạn, B ắc Ninh, B ến Tre, Gia Lai, Hà Giang, Hà Nam, Hà N ội, Hà T ĩnh, Hịa Bình, Hải D ươ ng, H ải Phịng, H ậu Giang, Khánh Hịa, Kon Tum, Lai Châu, L ạng s ơn, Nam Định, Ngh ệ An b ảng A, Ngh ệ An b ảng B, Ninh B ình, Ninh Thu ận, Phú Th ọ, Qu ảng Bình, Qu ảng Ninh, Qu ảng Tr ị, Sĩc Tr ăng, S ơn La, Thanh Hĩa, Ti ền Giang, TP H ồ Chí Minh, Tuyên quang, V ĩnh Long, V ĩnh Phúc, Yên Bái, Đắk L ắk, Đồng Tháp. x2 48 x 4 Câu 1.1.1. (hsg 9 Bà R ịịịaaa VVVũng T àu 2022 2023 ) Gi ải phương tr ình + =10 − 3x2 3 x LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii x2 48 x 4 + =10 − (ĐK: x ≠ 0 ) 3x2 3 x x4 +144 x 4 ⇔ −10 −= 0 3x2 3 x x4 +144 10 x 40 ⇔ −+= 0 3x2 3 x x4−10 x 3 + 120 x + 144 ⇔ = 0 3x2 x4−10 x 3 + 120 x + 144 = 0 120 144 ⇔−x2 10 x + + = 0 x x2 144 12 ⇔+ x2 −10 x −= 0 x2 x 12 2 12 ⇔− x −10 x − += 24 0 x x 12 Đặt t= x − . x Phương trình trở thành t2 −10 t + 24 = 0 . Giải phương trình này ta được t1=4; t 2 = 6 . 12 Với t = 4 ta được x − = 4 giải phương trình này ta được x= −2; x = 6 . x 1 2 12 Với t = 6 ta được x − = 6 giải phương trình này ta được x=+3 21; x =− 3 21( tm ) . x 3 4 Vậy phương trình đã cho cĩ 4 nghiệm là xxx123=−2; = 6; =+ 3 21; x 4 =− 3 21( tm ) . Câu 2. (hsg 9 H ảảải Phịng 2022 2023 ) Cho phương tr ình x2−()4 m + 1 xm + 4 2 −= 10 (v ới m là tham s ố ). Tìm m để phương tr ình cĩ hai nghi ệm x1, x 2 tho ả mãn đi ều ki ện x1 <0 và x1< x 2 . Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 34
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Giả sử x1, x 2 là các nghiệm của phương trình đã cho. x1 0 4m2 − 1 0 2 1 m − 4 1 1 − − 4 1 1 ⇔− ⇔−0 () 2m − 3 − 4.1.( m − 2 m ) > 0 ⇔4mm − 1294 +− mm + 8 >⇔− 0 4 m >−⇔< 9 m . 4 9 Vậy với m < thì phương trình đã cho cĩ hai nghiệm phân biệt x; x . 4 1 2 9 bb))b) Với m < thì phương trình đã cho cĩ hai nghiệm phân biệt x; x . 4 1 2 x1+ x 2 =2 m − 3 Khi đĩ theo hệ thức Vi-et, ta cĩ: 2 . xx1. 2 = m − 2 m Theo bài ra ta cĩ: 2m2 − 8 m = 2 2 P 2 2 (ĐK: x1+ x 2 +1 ≠ 0 ). x1+ x 2 + 1 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 35
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 28mm2− 28 mm 2 − P = = x2+ x 2 + 1 2 1 2 ()x1+ x 2 −2 xx 12 + 1 2m2 − 8 m = ()232m−−2 () m2 − 2 m + 1 2m2 − 8 m = 4m2− 12 m +− 92 mm 2 + 4 + 1 2m2 − 8 m = 2m2 − 8 m + 10 10 =1 − 2m2 − 8 m + 10 10 10 =−1 ≥−=− 1 4 2()m − 22 + 2 2 Vậy MinP = − 4 khi m−2 = 0 ⇔ m = 2 (thỏa mãn điều kiện). Câu 4. (hsg 9 Đ ắắắkkk LLLắắắk 2022 2023 ) Gi ải phương tr ình x4+2 xx 3 + 2 + 440 x += . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Nhận thấy x = 0 khơng thỏa mãn phương trình đã cho. Chia hai vế của phương trình cho x2 , ta được 2 4 4 phương trình x+21 x +++2 = 01() x x 2 Đặt t= x +,| t | ≥ 2 2 , phương trình (1) trở thành t2 +2 t − 3 = 02( ) x Phương trình (2) cĩ 2 nghiệm là 1 và -3 Phương trình đã cho tương đương với 2 x = − 1 x+ =−⇔3 x2 + 320 x += ⇔ x x = − 2 Câu 5. (hsg 9 Bình ĐĐĐịịịnh 2022 2023 ) Gi ải phương tr ình 331( xx2− +=−) xx 4 + 2 + 1 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 331( xx2− +=−) xx 4 + 2 + 1 (1) Bình phương 2 vế của (1) , ta được 3x432− 18 x + 33 x − 183 x +=++ xx 42 1 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 36
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 ⇔−x49 x 3 + 16 x 2 −+= 9 x 1 0 ⇔−−xx438 x 3 + 8 x 2 + 8 x 2 −−+= 8 xx 10 ⇔−()x1() x3 − 8 x 2 +−= 810 x 2 ⇔−()x1() x2 −+= 710 x x = 1 7− 3 5 ⇔x = 2 7+ 3 5 x = 2 Thử lại, ta thấy x = 1 thỏa mãn phương trình, vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là x = 1. Câu 6. (hsg 9 Hà N ộộội 2022 2023 ) Gi ải phương tr ình sau: xx2+26 ++ x 2 = 22 x +−+ x 3 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Giải phương trình sau: xx2+26 ++ x 2 = 22 x +−+ x 3 . ĐKXĐ: x ≥ − 1. Khi đĩ: xx2+26 ++ x 2 = 22 x +−+ x 3 ⇔xx2 + 263 +−++−= xx 2 2222 x +− x2 +23 x − 22 x − ⇔ ++−=()()x 2 x 1 x2 +2 x + 6 + 3 2x + 2 + 2 (x − 1)(x + 3) 2(x − 1) ⇔ ++−=()()x 2x 1 x2 +2x + 6 + 3 2x + 2 + 2 x =1 ⇔ x + 3 2 +x +2 = (*) x2 +2 x + 6 + 3 2x + 2 + 2 Ta thấy ở phương trình (∗), do điều kiện x ≥ − 1 nên VT>1 ≥ VP . Do đĩ phương trình cĩ nghiệm duy nhất x =1. Câu 7. (hsg 9 Qu ảảảng Ninh 2022 2023 ) Gi ải phương tr ình: 35x++ x −= 1431 x + LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii ĐKXĐ: x ≥ 1 2 Phương trình đã cho tương đương: ( 312x+−) + x −= 10 2 Ta cĩ: ( 3x− 2) ≥ 0; x −≥ 10 với x ≥ 1 Theo yêu cầu bài tốn thì dấu “ =” phải xảy ra, tức là: 2 ( 3x + 12 −) = 0 ⇔x = 1 x −1 = 0 Kiểm tra ĐKXĐ và kết luận phương trình cĩ nghiệm duy nhất x = 1 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 37
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x−2 2 x + 2 2 x 2 − 4 Câu 8. (hsg 9 B ếếến Tre 2022 2023 ) Gi ải phương tr ình: 9 + − 10 = 0 . x+1 x − 1 x 2 − 1 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii ĐK: x ≠ ±1 x−2 2 x + 2 2 x 2 − 4 9 + − 10 = 0 x+1 x − 1 x 2 − 1 x−22 xx −+ 22 x + 2 2 ⇔ 9 − 10 + = 0 x+1 xx +− 11 x − 1 x − 2 x + 2 Đặt = a ; = b . Ta cĩ phương trình: x +1 x −1 9–10a2 abb+ 2 = 0 ⇔ ()()9–9a2 ab – ab – b 2 = 0 ⇔ 9a()() a –– b b a –b = 0 ⇔ ()()a– b 9a –b = 0 a −b = 0 ⇔ 9a −b = 0 +) Nếu a− b = 0 thì: x−2 x + 2 − = 0 x+1 x − 1 (x− 2)( x −−+ 1) ( x 2)( x += 1) 0 ⇔x2 −32 x +− x 2 − 320 x −= ⇔ −6x = 0 ⇔x = 0 (thỏa mãn). +) Nếu 9a− b = 0 thì: x−2 x + 2 9.− = 0 x+1 x − 1 9(x− 2)( x −−+ 1) ( x 2)( x += 1) 0 ⇔9x2 − 27 x +−−−= 18 xx 2 3 20 ⇔8x2 − 30 x −= 25 0 15+ 5 17 15− 5 17 ⇔ x = (thỏa mãn) ; x = (thỏa mãn) 1 8 1 8 15± 5 17 Vậy phương trình đã cho cĩ 3 nghiệm là: x = ; x = 0 . 1,2 8 3 Câu 9. (hsg 9 Kon Tum 2022 2023 ) Gi ải phương tr ình (21x+)( x ++=+ 41) x 3 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 38
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 (21x+)( x ++=+ 41) x 3 (1) . Điều kiện xác định x ≥ − 4 . Khi đĩ, phương trình (1) tương đương (21xx+)( ++= 41) ( x ++ 41)( x +− 41 ) ⇔21x+= x + 41 − ⇔2(x+ 4) − x +−= 460 ⇔(2x++ 43)( x +−= 420) ⇔ x +4 = 2 ⇔ x = 0 . Vậy phương trình (1) cĩ tập hợp nghiệm là S = {0}. Câu 10. (hsg 9 Lai Châu 2022 2023 ) Gi ải phương tr ình: xx2 −33 +− x −− 27 − x LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Giải phương trình: xx2 −33 +− x −− 27 − x . ĐK 2≤x ≤ 7 . Khi đĩ xx2 −33 +− x −− 27 − x x−3 x − 3 x() x −−3 + = 0 1+−x 2 27 +− x 1 1 ⇔−−()x3 x + = 0 . (Vì 1+−x 227 +− x 1 1 1 x> 20 0 ) 1+−x 2 1 +− x 227 +− x x−3 = 0 x = 3 . Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất x = 3. Câu 11. (hsg 9 Ninh Thu ận 2022 2023 ) Gi ải ph ương tr ình: 2xx2−+= 525( xx 2 −− 20)() x + 1 . LLLờiLời giải Giải phương trình: 2xx2−+= 525( xx 2 −− 20)() x + 1 (((1(111)))). x ≥ 5 ĐKXĐ: ()xx2 −−20()()()() x +≥⇔− 10 xxx 5 + 4 +≥⇔ 10 . −4 ≤x ≤− 1 ()()()()12525⇔xx2 −+= xxx − 5 + 1 + 4 ⇔2( xx2 −−++= 45345) () x( xxx2 −− 45)() + 4 ((22))(2) Đặt: a= x2 −4 x − 5 ; b= x + 4 ; ab ≥ 0 , ta cĩ: (2) ⇔ 2a + 3 b = 5 ab (để phương trình cĩ nghiệm thì 2a+ 3 b ≥ 0 ) 4a2+ 12 ab + 9 b 2 = 25 ab Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 39
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 ⇔4a2 − 13 ab + 9 b 2 = 0 ⇔4a2 − 4 ab − 9 ab + 9 b 2 = 0 ⇔−(ab)(4 a − 9 b ) = 0 a= b ⇔ . 4a= 9 b 5± 61 Với abxx= 2−45 −=+⇔ x 4 xx 2 − 590 −=⇔= x (thỏa mãn). 2 Với 49abxx= 4( 2 −−= 459) ( x +⇔ 4) 4 xx2 − 25560 −=⇔( 47 xx +)( −= 80) −7 x = ⇔ (thỏa mãn). 4 x = 8 −7  Vậy phương trình cĩ tập nghiệm là S = ;8  . 4  Câu 12. (hsg 9 Hịa Bình 2022 2023 ) Gi ải phương tr ình xxx3 +=+( 3) x + 2 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii ĐKXĐ: x ≥ -2 (1) Û xxx3 +=+( 2) x ++ 2 x + 2 Đặt x + 2 = a ( a ≥ 0) ta cĩ phương trình: x3+ xa = 3 + a Û (x− a )( x2 +++= ax a 2 1) 0 a 2 3 a 2 Vì x2+++= ax a 2 1 x + + +> 1 0 với mọi x Þ x = a 2 4 Với x = a ta cĩ x + 2 = x (*) Þ x2 – x – 2 = 0 Þ x = -1 hoặc x = 2 Thử lại ta được x = 2 là nghiệm của phương trình đã cho. Câu 13. (((hsg9 Hà Nam 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình x2−3 x 3 − 3 x 2 +−= 420 x . LLLờLờờờii gigigiảgi ảảảiiii Điều kiện x3−3 x 2 + 4 x −≥ 20 Cĩ xxx3−342 2 +−=−( x 1)( xx 2 −+ 22 ) 2 nên xxx3−3 2 + 420 −≥⇔≥ x 1 vì xxx2 −22 +=( − 110) +>∀ x ()()121⇔x −+−+−( xx2 223) () xxx − 1( 2 −+= 220) x−1 x − 1 ⇔2. − 3. += 10 xx2−+22 xx 2 −+ 22 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 40
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 t = 1 x −1 2 Đặt t=, t ≥ 0 ta được phương trình 2t− 3 t + 10 = ⇔ 1 x2 −2 x + 2 t = 2 x−1 x − 1 t =⇔1 =⇔ 1 = 1 ⇔x2 −3 x += 3 0 (vơ nghiệm) xx2−+22 xx 2 −+ 22 1x− 11 x − 11 t =⇔ =⇔ = 2xx2−+ 222 xx 2 −+ 224 ⇔x2 −660 x +=⇔=± x 33 (thỏa mãn điều kiện) Vậy pt cĩ 2 nghiệm x =3 ± 3 Câu 14. (((hsg9 Ninh B ìììnnhhnh 2022 2023 )))Cho ph ương tr ình (m+1) x3 +( 31 m −) xxm 2 −− 410 += (v ới m là tham s ố). Tìm m để phương tr ình đã cho cĩ 3 nghi ệm phân bi ệt. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Cho phương trình (m+1) x3 +( 31 m −) xxm 2 −− 410 += (với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho cĩ 3 nghiệm phân biệt. (m+1) x3 +( 31 m −) xxm 2 −− 410 += (1) ⇔+(mxx1) 2( −+ 14) mx( 2 −−−= 1) ( x 10) 2 ⇔−( x1) ( m + 1) x + 4 mx( +−= 110) x−1 = 0 x = 1 ⇔ 2 ⇔ 2 ()()()mxmx+1 + 4 +−= 110 mxmxm + 1 + 4 +−= 410(2) Phương trình đã cho cĩ 3 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) cĩ hai nghiệm phân biệt khác 1 m +1 ≠ 0 2 ⇔∆= ′ ()()()2m −+ m 1410 m −> 2 ()m+1 .1 + 4 m .1 + 4 m −≠ 1 0 m ≠ − 1 1 m 0 ⇔ 3 \ 9m ≠ 0 m≠ −1, m ≠ 0 Câu 15. (((hsg9 TP H ồồồ Chí Minh 2022 2023 )))Cho phương tr ình x3+ mx 2 −+− x m m 2 = 0 (*) v ới tham số m. a)a)a) Chứng minh rằng phương trình (*) luơn cĩ một nghiệm x=1 − m với mọi giá trị của tham số m . b)b)b) Tìm t ất c ả các giá tr ị của tham s ố m để phương tr ình (*) cĩ ba nghi ệm phân bi ệt x1, x 2 , x 3 sao 2 2 2 cho x1+ x 2 + x 3 = 3 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 41
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 a)a)a) Chứng minh rằng phương trình (*) luơn cĩ một nghiệm x=1 − m với mọi giá trị của tham số m. (((1(111,0,0 điđiểểểểm)mm))m) 3 2 2 Thay x=1 − m vào phương trình (*) ()()()1−mm + 11 − m −−+−= mmm 0 ⇔−+133mmmm23 ++( 12 − mm + 2) −++− 1 mmm 2 = 0 ⇔−133mmmmmm +23 ++− 2 23 +−++− 1 mmm 2 = 0 ⇔0 = 0 (luơn đúng) Vậy phương trình (*) luơn cĩ một nghiệm x=1 − m với mọi giá trị của tham số m. b)b)b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (*) cĩ ba nghiệm phân biệt x1, x 2 , x 3 sao cho 2 2 2 x1+ x 2 + x 3 = 3 . (((3(333,0,0 điđiểểểểm)mm))m) Phương trình (*) luơn cĩ nghiệm x1 =1 − m (câu a) 3 2 2 Ta thực hiện phép chia đa thức ( x+ mx −+− x m m ) cho đa thức ( x−1 + m ) 1 m − 1 m− m 2 1− m 1 1−m + m = 1 1−m − 1 =− m −m(1 − m) +− mm 2 = 0 Phương trình (*) trở thành: ( x−+1 mx)( 2 +− xm ) = 0 x−1 + m = 0 x=1 − m ⇔ ⇔ 2 x2 + x − m = 0 x+ x − m = 0() 2 1 Phương trình (2) cĩ hai nghiệm phân biệt x, x khi: ∆ > 0 ⇔1 + 4m > 0 ⇔m > − 2 3 ()2 4 2 Phương trình (2) cĩ nghiệm là x=1 − m khi: ()()1−m +− 1 m −= m 0 ⇔−12mm +2 +−− 1 mm = 0 ⇔m2 −4 m += 2 0 ⇔m =2 ± 2 Điều kiện để phương trình (*) cĩ ba nghiệm phân biệt là phương trình (2) cĩ hai nghiệm phân biệt x2, x 3 khác nghiệm x1 =1 − m 1 Suy ra: m > − và m ≠2 ± 2 4 Khi đĩ x1 =1 − m ; x2+ x 3 = − 1 ; x2 x 3 = − m 2 2 2 2 2 2 2 Từ điều kiện: x1+ x 2 + x 3 = 3 ⇔++x1() xx 23 −2 xx 23 = 3 ⇔−()()()1m +− 12 −− m = 3 2 2 ⇔−12m + m ++ 12 m = 3 ⇔m = 1 ⇔m = ± 1 So với điều kiện phương trình (*) cĩ ba nghiệm phân biệt x1, x 2 , x 3 ta chỉ nhận m = 1 2 2 2 Kết luận: Để phương trình (*) cĩ ba nghiệm phân biệt x1, x 2 , x 3 sao cho x1+ x 2 + x 3 = 3 thì m = 1 Câu 16. (((hsg9 BBBắắắc Giang 2022 2023 )))Tìm t ất c ả các giá tr ị của tham s ố m để phương tr ình x2 x m x x x2 x −2 + += 2 0 cĩ hai nghi ệm phân bi ệt 1; 2 th ỏa mãn 1= 2 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 42
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Ta cĩ ∆′ =−1 − m . Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆>′ 01 ⇔−−m > 0 ⇔ m > ab−≥1; bc −≥ 1; ac −≥ 2 2 2 2 ()()()ab− +− bc +− ca ≥ 6∆ '()()()1 +∆ ' 2 +∆ '0 3 ≥ Suy ra trong 3 số ∆',()()()1 ∆ ', 2 ∆ ' 3 cĩ ít nhất một số khơng âm, khi đĩ phương trình tương ứng sẽ cĩ nghiệm (đpcm). Câu 18. (((hsg9 VVVĩnh Long 2022 2023 )))Cho phương tr ình: x2 −2 mx + 2 m −= 1 0. ( m là tham s ố). 2x1 x 2 + 3 Tìm m để phương tr ình cĩ hai nghi ệm x1, x 2 th ỏa T = 2 2 đạt giá tr ị nh ỏ nh ất. xx12+ +2(1 + xx 12 ) LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Ta cĩ ∆=' (m − 1)2 ≥ 0, ∀ m nên phương trình cĩ hai nghiệm với mọi m. x+ x = 2 m Theo định lí Viet, ta cĩ 1 2 , x1 x 2 =2 m − 1 23xx+ 2341 xx + m + suy ra T =12 = 12 = xx2+++ 2 2(1 xx )2 4 m 2 + 2 12 12 ()x1+ x 2 + 2 1411412m+ mm +++2 12(1) m + 2 (1) m + 2 − 1 T += += = = ≥ 0 T ≥ 24m2+ 22 2(2 m 2 + 1) 2(2 mm 22 ++ 1)2 1 2 1 Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất là khi m = − 1 2 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 43
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 3 Câu 19. (((hsg9 TiTiTi ềềền Giang 2022 2023 )))Cho phương tr ình mx2 −(2 m − 1) x + m −= 1 0 , v ới m là 4 tham số thực. 1.1.1. Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1; x 2 . 2.2.2. Tìm h ệ th ức liên h ệ gi ữa x1; x 2 khơng ph ụ thu ộc vào tham s ố m . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1.1.1. Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1; x 2 . 3 3 Ta cĩ: mx2 −(2 m − 1) x + m −= 1 0 cĩ amb=; =−() 21; m − c = m − 1 4 4 2 3 2 2 2 ∆=− ()214m − − mm −= 144134 mm −+− mmm +=+> 10 (luơn đúng ∀m ∈ ℝ ) 4 a ≠ 0 Để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt: ⇔m ≠ 0 ∆ > 0 2.2.2. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x 2 khơng phụ thuộc vào tham số m : 2m − 1 x1+ x 2 = S = m Với m ≠ 0 phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1; x 2 , theo Viet: 3 m −1 x. x= P = 4 1 2 m 3 m −1 2m − 1 1 4 S= ⇔ m = (1); P=4 ⇔ m = (2) m2 − S m3− 4 P 1 4 Từ (1) và (2) ta được: = ⇔−=4S 4 P 5 . 2−S 3 − 4 P Vậy hệ thức liên hệ giữa x1; x 2 khơng phụ thuộc vào tham số m là : 4(x1+ x 2 ) − 4 xx 12 . = 5 . Câu 20. (((hsg9 HHHậậậu Giang 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 3xx2−+3 32 x 2 −= x 3 + 2 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Pt ⇔3x2 −+ 23 3 x 2 −=+ 2 xx 3 Đặt 3 3x2 − 2 = t , phương trình cĩ dạng: t33+=+⇔− tx x( xtx)( 22 +++= xtt 1) 0 x= t (1) ⇔ 2 2 x+ xt + t +=1 0() 2 Xét (2) cĩ: ∆=tt2 −4( 2 + 1) =− 3 t 2 −<∀ 40, t do đĩ pt (2) vơ nghiệm Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 44
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x =1 + 3 ()132⇔3 x2 −=⇔− xxx 3 320 2 +=⇔ x =− 13 . x = 1 KL: nghiệm của pt là S ={1 − 3;1 + 3;1 } . 4x + 9 Câu 21. (((hsg9 Bình D ương 2022 2023 ))) Gi ải phương tr ình: 7x2 + 7 x = với x > 0 28 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 49x + 1 1 ĐĐĐặĐặặặtt =+t t ≥− 28 2 2 4x + 9 1 ⇔ =++t2 t 28 4 749x + 1 ⇔7tt2 ++= 7 ⇔ 7 ttx2 +=+ 7 (1) 4 4 2 4x + 9 1 Theo đđềềềề bbbàbàààii 7x2 + 7 x = suy ra 7x2 + 7 x = t + (2) 28 2 Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được: 7( xtxt−)( ++) 7( xttx −=−⇔−) ( xt)( 7 xt ++= 7 8) 0 (3) 1 Vì x>0, t ≥ − nên 7x+ 7 t + 8 > 0 (4) 2 1 1 Từ (3) và (4) suy ra xt−=0 ⇔ xt = suy ra 77xxx2+ =+ ⇔ 76 xx 2 + −= 0 2 2 −6 − 50 x = ⇔ 14 −6 + 50 x = 14 −6 − 50 Ta thấy x = khơng thỏa mãn điều kiện. 14 −6 + 50 x = thỏa mãn điều kiện. 14 −6 + 50 Thử lại ta thấy x = thỏa mãn phương trình đã cho. 14 −6 + 50  Vậy phương trình đã cho cĩ tập nghiệm: S =  . 14  Câu 22. (((hsg9 HHHảảải Dương 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình xxx3+ 2 −+=1 3 x + 1 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 45
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 1 Điều kiện: x ≥ − 3 xxx32+−+=131 x +⇔+−++− xxxx 32 2(1)310 x += ()()x+12 − 3 x + 1 ⇔+−+x3 x 2 2 x = 0 x+1 + 3 x + 1 x2 − x ⇔−++()x2 x() x 2 = 0 x+1 + 3 x + 1 2 1 ⇔−++()x x x 2 = 0 (*) x+1 + 3 x + 1 1 1 Với x ≥ − thì x +2 + > 0 3 (x+ 1) + 3 x + 1 3 x = 0 nên (*) ⇔x − x =0 ⇔ (t/m) x =1 Vậy phương trình cĩ tập nghiệm S = {0;1 } Câu 23. (((hsg9 NNgghhNgh ệệệ An b ảảảng A 2022 2023 )))Gi ải phưong tr ình (13x+ 1) 2 x −= 1 (7 x − 1) 8 x +− 1 4 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 Điều kiện x ≥ 2 a=8 x + 1 14x−= 2 (8 x ++ 1) 3(2 xab −=+ 1)2 3 2 Đặt (a> 0, b ≥ 0) 2 2 b=2 x − 1 26x+= 2 (2 x −+ 1) 3(8 xba +=+ 1) 3 Khi đĩ phương trình trên trở thành (ab2 +−+32 )a( bab2 38() 2 ) =⇔− ab 3 =⇔8 a −= b 2 Với ab− = 2 81 xx+− 212 −=⇔ 81 xx += 212 −+⇔+= 81(212) x x −+ 2 3x − 1 ≥ 1 ⇔3x −= 122 x −⇔ 1 (3x− 1)2 = 4(2 x − 1) Câu 24. (((hsg9 NNgghhNgh ệệệ An b ảảảng B 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 3x+= 1 8x ++ 1 2x − 1. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 Điều kiện x ≥ . Phương trình đã cho tương đương với: 6x+= 2 2 8x ++ 1 2x − 1. 2 ( )  a= 8x + 1 2 2 Đặt  ()a> 0, b ≥ 0 ⇒6x += 2( 8x1 +−) ( 2x1 −=−) a b  b= 2x− 1 Phương trình trên trở thành: a2− b 2 = 2a( + b ) ⇔+(a ba)( −−=⇔−−= b 2) 0 a b 2 0,doa +> b 0 2 Với ab2−=⇒ 8x1 +− 2x12 −=⇔ 8x1 += 2x12 −+⇔+= 8x1( 2x12 −+ ) Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 46
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 3x 1 0  − ≥ ⇔3x −= 1 2 2x −⇔ 1   2 (3x− 1 ) =4(2x − 1 )  1   x= 1 x ≥  5 ⇔ 3 ⇔  5 . Vậy phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm x= 1, x = .   2 x = 9 9x− 14x + 5 = 0  9 Câu 25. (((hsg9 QQuuQu ảảảng Bình 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình: xx2 −−=4 2 x − 11( − x ) . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Điều kiện: x ≥1 (*). Ta cĩ: xx2 −−=4 2 x − 11( − x ) ⇔+x2 2 xx −+−− 1 x 12( xx + −−= 1)30 2 ⇔+( xx −12) −( xx + −−= 130) ⇔+()xx −+11() xx + −−= 130 1≤x ≤ 3 ⇔+xx −=⇔13 x −=−⇔ 13 x x−=1 9 − 6 x + x 2 1≤x ≤ 3 1≤x ≤ 3 1≤x ≤ 3 ⇔ ⇔ ⇔⇔= x = 2 x 2 x2 −7 x + 10 = 0 ()()x−2 x − 5 = 0 x = 5 Vậy phương trình cĩ nghiệm x = 2. Câu 26. (((hsg9 VVVĩnh Long 2022 2023 )))Gi ải ph ương tr ình x2 −3 x ++ 2 x −= 10 LLLờiLời giải a)a)a) Giải phương trình x2 −3 x ++ 2 x −= 10 2 Trường hợp 1: x ≥ 1: ta cĩ phương trình x−3 x ++ 2 x −= 10 ⇔x2 −210 x +=⇔= x 1 (nhận) 2 Trường hợp 2: x < 1 ta cĩ phương trình x−3 x +−+= 2 x 10 2 x =1 ⇔x −4 x += 3 0 ⇔ (loại) x = 3 Vậy tập nghiệm của phương trình: S = {1} Câu 27. (((hsg9 Bình Ph ưưướớớc 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình: 31x+− x ++−= 31 x 0 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii −1 Điều kiện: x ≥ 3 Ta cĩ: 31x+− x ++−= 31 x 0 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 47
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2x − 2 2 ⇔ +−=⇔−101x() x −= 10 313xx+++ 313 xx +++ x= 1 ( N ) ⇔ 31x++ x + 32 = Giải phương trình: 31x++ x + 32 = 4x++ 4 2 (3 x + 1)( x += 3) 4 ⇔(3x + 1)( x +=− 3) 2 x (Đk: x ≤ 0 ) x=5 + 27() L x2 −10 x − 3 = 0 ⇔ x=5 − 27( N ) Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm là x1=1; x 2 = 5 − 2 7 . Câu 28. (((hsg9 BBBắc Kạn 2022 2023 )))Gi ải ph ương tr ình x++−=+31 x 2( x + 31.)( − x ) LLLờiLời giải Điều kiện: −3 ≤x ≤ 1 t 2 − 4 Đặt tx= ++−31,0 xt()()() ≥ x+ 31 − x = 2 t2 −4 t + 2 t = 2 Ta cĩ phương trình t=+2 0 ⇔−() t 21 − =⇔ 0 2 2 t = 0 x = − 3 Với t=⇔2()() x + 31 − x =⇔ 0 (thỏa mãn). x = 1 Với t=⇔0( x + 31)( − x) =−⇔ 2 PTVN . Vậy tập nghiệm của phương trình là T ={ − 3;1} . Câu 29. (((hsg9 Nam Đ ịịịnnhhnh 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình ()xxx+13( ++−= 134) x 3 − 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Giải phương trình ()xxx+13( ++−= 134) x 3 − 2 x +1 ≥ 0 Điều kiện xác định: ⇔x ≥ 0 x3 ≥ 0 Khi đĩ phương trình đã cho tương đương với 3333xxx2 +−−++()() x 1 x += 14 xx − 2 ⇔34x2 − xxxx +++()() 11 x +−+=() x 10 ⇔xxx()34 − +++ 1()() x 1() x +−= 110 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 48
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 ( x+1) x ⇔x()341 x −++ x = 0 x +1 + 1 x +1 ⇔x 341 x −++ x = 0 x +1 + 1 x = 0 ⇔ x +1 341x− x ++ = 0 x +1 + 1 Ta thấy: x+1 x +++ 2 x 1 341xx− ++ =− 34 xx + x++11 x ++ 11 2 2 x+ 2 + x + 14 =−+3 x − 3 x +1 + 1 3 2 2 642x+ − x + 1 =3 x − + 3 6()x + 1 + 1 2 2 2 ( x+−11) + 5 x + 2 =−+3 x > 0 3 6()x + 1 + 1 Với x = 0 thoả mãn điều kiện Vậy tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là x = 0 . Câu 30. (((hsg9 Phú Th ọọọ 2022 2023 ))) Gi ải phương tr ình: ()x+15 xx2 +−= 2 35 xx 2 +− 4 5. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 3 ĐKXĐ: x ≤ − 1 hoặc x ≥ ()* 5 Ta cĩ: ()x+15 xx22 +−= 235 xx +−⇔+ 45() x 15 xx 22 +−= 235 xx +−+− 2322 x ()1 2 t = 2 Đặt t=5 xx +− 2 3, () t ≥ 0 , khi đĩ phương trình (1) trở thành: t2 −( x +1) t + 2 x −= 20 ⇔ t= x − 1 x = 1 2 + Với t= 2 5 x+ 232 x − = ⇔ 7 () t/m*() x = − 5 x ≥1 x≥ x ≥ −1 + 5 2 1 1 x = +) Với tx= − 1 5 xx+ 23 − = x − 1 ⇔ ⇔ ⇔ (VN) 2 2 2 4440xx+−= xx +−= 10 −1 − 5 x = 2 7 Vậy phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm x=1, x = − . 1 2 5 Câu 31. (((hsg9 Thanh Hĩa 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 4xxx3+ 13 2 − 14 =− 3 15 x + 9 . Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 49
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Giải phương trình: 4xxx3+ 13 2 − 14 =− 3 15 x + 9 3 ĐKXĐ: x ≥ − . 5 Pt đã cho 4xxx3+ 13 2 − 14 −+ 3 15 x += 9 0 3 2 2 ⇔+4xxxx 13 −−++ 12() 23 1590 x +=⇔( 4 xxx − 3)()() +− 4 23 x +− 1590 x += (2x+ 3)2 −( 15 x + 9 ) ⇔−+−()434x2 x() x = 0 ()2x+ 3 + 15 x + 9 4x2 + 12 x +− 9 15 x − 9 ⇔−+−()434x2 x() x = 0 ()2x+ 3 + 15 x + 9 4x2 − 3 x = 0 (1) 1 ⇔−()434x2 x x +− =⇔ 0 1 2x+ 3 + 15 x + 9 x +4 − = 0() 2 2x+ 3 + 15 x + 9 x = 0 −Pt() 1 ⇔ 3 (đều thoả mãn ĐKXĐ) x = 4 1 Xét Pt (2): x +4 − = 0 2x+ 3 + 15 x + 9 3 17 9 1 5 Vì x≥ − x +4 ≥ và 2x++ 3 15 x +≥ 9 ≤ 5 5 52x+ 3 + 15 x + 9 9 1 128 Suy ra x +−4 ≥> 0 nên pt (2) vơ nghiệm. 2x+ 3 + 15 x + 9 45 3  Vậy phương trình đã cho cĩ tập nghiệm là S = 0;  . 4  Câu 32. (((hsg9 Tuyên quang 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 2( x2+ 2) = 5 x 3 +1. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii * Điều kiện x ≥ -1 PT⇔5 ( x + 1)( x2 −+= x 1) 2( x 2 + 2) * Đặt x+=1 axx ;2 −+= 1 b ( a, b ≥ 0 ) =>a2 + b 2 = x 2 + 2. thay vào ta cĩ PT 5ab= 2( ab2 +⇔− 2 ) (2 abba )(2 −= )0 * TH1: b= 2 a 5+ 37 x1 = ( TM ) 2 2 2 2 21x+= xx −+=> 144 x += xx −+⇔ 1 xx − 530 −=⇔ 5− 37 x= ( TM ) 2 2 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 50
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 *TH2: a= 2 b 2x2−+= x 1 x +=> 1444 x 2 − x +=+⇔ x 14530 x 2 − x += PTVN 5+ 37 5 − 37 *Vậy phương trình ban đầu cĩ hai nghiệm : x =;x = 12 2 2 1 1 925x2 − Câu 33. (((hsg9 Yên Bái 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 8 + + 1 = . 3x− 53 x + 5 x LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii −5 3 1 1 925x2 − 6 x 925 x 2 − + Ta cĩ: 8 + += 1 ⇔ 8.1 += () * 3535xx− + xx 9252 − x 9x2− 25 9 x 2 − 25 1 x + Đặt t= >⇔=0 t 2 ⇔= x xtx29 2 − 25 + Khi đĩ, phương trình 6 ()*8.1⇔ +=⇔−−=⇔−ttt32 480 ttt 322 43480 + −=⇔−() ttt 4() 2 −+ 3120 =⇔= t 4 t 2 2 x= − 1,( thm . ) 29x − 25 2 + Với t=⇔=44 ⇔ 916250 x − x −=⇔ 25 x x= ,( loai ) 19 + Vậy: Phương trình đã cho cĩ tập nghiệm là S ={ − 1} . Câu 34. (((hsg9 BBBắắắc Giang 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 42(xxx−) +−=2 19( xx 2 −+ 3222) x − . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2x − 2 ≥ 0 Điều kiện xác định: ⇔x ≥ 1. Với điều kiện trên: x+ x 2 −1 ≥ 0 Phương trình tương đương với ()x−24 xx +−−−2 191220() x x −= x = 2( 1 ) ⇔ 2 4xx+ −= 19122() x − x − () 2 Phương trình (2) ⇔2()()()x −+ 12 xx − 11 +++=−() x 191() xx − 1 2 ⇔2()x −++=− 1 x 191() xx − 1 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 51
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 ⇔2( x −++= 1 x 191) () xx − − 13() ⇔3xx − 13 () −−+ 1222 ( xx −−+= 1 10) 3x − 5 ⇔−−+31352x() x = 0 2x− 1 + x + 1 1 ⇔−()3531x x −+ = 0 . 2x− 1 + x + 1 1 5 Do x≥ 131 x − + > 0 nên phương trình tương đương với 3x− 5 = 0 ⇔ x = (thỏa 2x− 1 + x + 1 3 mãn). 5  Vậy phương trình cĩ tập nghiệm là S = 2;  . 3  Câu 35. (((hsg9 BBBắắắc Ninh 2022 2023 ))) Gi ải phương tr ình 34x++ 143 xx −= 23 xx2 ++ 4 5. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 34x++ 143 xx −= 23 xx2 ++ 4 5.( 1 ) 2 Điều kiện x ≥ ⋅ 3 ()1⇔ 34125x +−++() x xx 43232 −−+=()() x 0.2 2 A=34 x ++ 1( 2 x +> 5) 0 Vì x ≥ nên ⋅ 3 B=43 x −+ 2() 3 x +> 2 0 2 2 94()()x+ 1 − 2 x + 5 x 16()() 3 x− 2 − 3 x + 2 ()2 ⇔ + = 0 A B 2 −4x2 + 16 x − 16 x(−9 x + 36 x − 36 ) ⇔ + = 0 A B 2 4 9 x ⇔−−()x 2 + = 0 A B 2 4 9 x Vì A>0, B > 0, x ≥ nên + > 0. 3 A B Do đĩ phương trình trên cĩ nghiệm duy nhất x = 2. Câu 36. (((hsg9 Ninh B ìììnnhhnh 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 2xx2+−= 32212() x − xx 2 +− 3. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii GiGiGiảGi ảảảii phương trtrìnhììnnhhình 2xx2+−= 32212() x − xx 2 +− 3. x ≥1 2 Điều kiện xác định 2x+ x − 3 ≥ 0 ⇔ 3 x ≤ − 2 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 52
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2xx2+−= 32212() x − xx 2 +− 3 ⇔−()()()21xx +=− 2212 x xx2 +− 3 ⇔()212x −( xx2 +−−−= 3 x 20) 2x − 1 = 0 ⇔ 2x2 + x − 3 − x − 20 = 1 x = 1 ⇔ 2 ; x = loại vì khơng thỏa mãn điều kiện. 2 2x2 + x − 3 = x + 2 2x2 + x − 3 = x + 2 x ≥ − 2 ⇔ 2 2 2x+ x − 3 =() x + 2 x ≥ − 2 ⇔ x2 −3 x − 7 = 0 3+ 37 x= ( TM ) ⇔ 2 3− 37 x= ( TM ) 2 3+ 37 3 − 37 Vậy phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm x=, x = . 2 2 Câu 37. (((hsg9 TiTiTi ềềền Giang 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 1++x 1 −=+ x 11 − x 2 . LLLờiLời giải 1+≥x 0 x ≥− 1 Điều kiện: 10−≥x ⇔ x ≤ 1 ⇔−≤≤ 11 x 1−x2 ≥ 0 −1 ≤x ≤ 1 a=1 + x Đặt (a; b ≥ 0 ) b=1 − x Phương trình trở thành : a=1( n ) ab+=+1 abaabb ⇔− +−=⇔ 1 0 ( a − 1)(1 − b ) =⇔ 0 b=1( n ) Với a = 1thì 1+x =⇔+ 11 x =⇔ 1 x = 0 tương tự b =1thì 1−x =⇔− 11 x =⇔ 1 x = 0 Thử lại x = 0 thoả mãn phương trình. Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình. Câu 38. (((hsg9 VVVĩnh Phúc 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình (2xx2 −+ 2155)( 38 x −−+= x 15) ( x − 5 ) . Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 53
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 8 ĐKXĐ: x ≥ 3 (2xx2 −+ 2155)( 38 x −−+= x 15) ( x − 5 ) ⇔−()()xx521138 −( xx −−+−−= 15) () x 50 ⇔−()()x5211() x −() 38 x −−+−= x 150 x −5 = 0() 1 ⇔ ()211x−() 38 x −−+−= x 1502() +) (1) ⇔x = 5() Tm +) (2) ⇔−( 2x 1153)( x −− 85 x +−= 1) 250 2 ⇔−()2115383x xx −−−−() 45 xx ++++− 1()() 7 211 x −= 250 −−−938()()xx()() xx −− 38 ⇔−()2x 11 + +−−=4()()x 3 x 80 538345x−+() x − xx +++ 1() 7 −9() 2x − 11 2x − 11 ⇔−−()()x3 x 8 + +=4 0 538345x−+() x − xx +++ 1() 7 ⇔−()()x3 x −= 8 0 x= 3 ( Tm ) ⇔ x= 8 ( Tm ) 8 −9( 2x − 11 ) 2x − 11 Vì với x ≥ thì + +4 ≠ 0 3 538345x−+() x − xx +++ 1() 7 Vậy, x∈{3;5;8 }. 6x− 4 Câu 39. (((hsg9 Khánh Hịa 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 2x+− 4 22 −= x x2 + 4 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 6x− 4 Giải phương trình 2x+− 4 22 −= x x2 + 4 Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2 6x− 4 Ta cĩ: 2x+− 4 22 −= x x2 + 4 2( 3x− 2 ) 23x(− 2 ) ⇔ = 2x+ 4 + 22 − x x2 + 4 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 54
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2 x = ⇔ 3 2x422x++ −= x2 + 4 (*) Ta cĩ: (*)⇔422x2x ( + )( −−−+= ) x2 2x8 0 ⇔422x2x( + )( −+− ) ( 2xx4 )( += ) 0 ⇔−2x422x( ( ++− ) ( 2xx4 ).( += ) ) 0 2− x = 0 ⇔ 422x(++ ) ( 2xx4 − ).( += ) 0 ( ) + Với 2− x = 0 ⇔x = 2 (thỏa ĐK) + Với −2 ≤ x ≤ 2 thì VT của ( ) luơn dương nên ( ) vơ nghiệm. 2  Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 2;  . 3  Câu 40. (((hsg9 ĐĐĐồồồng Tháp 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình x2 −2 x = 22 x − 1 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Giải phương trình x2 −2 x = 22 x − 1 1 x ≥ Điều kiện: 2 x≥ 2 x≥ 2 x2 − 2x = 2 2x − 1 2 x− () 2x1 −+ 22x11 −+= 0 2 x2 −( 2x11 −+) = 0 (x− 2x11x −−)( + 2x11 −+=) 0 2x− 1 = x − 1 2x− 1 =− x − 1 Với 2x1− =− x1 − x2 + 20 = (vơ nghiệm) Với 2x− 1 = x − 1 x2 − 4x + 2 = 0 x=+ 2 2(nhận);x =− 2 2(loại) Vậy nghiệm của phương trình là x= 2 + 2 Câu 41. (((hsg9 Hà T ĩnh 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 3x2 ++ 33 3x = 2x + 7 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii ĐKXĐ: x≥ 0 . Ta cĩ 3x2 + 33 −()() x5 += x2 +− 3x . Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 55
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x2−10x +8x 2 − 5 x + 4 ⇔ = 3x2 + 33 + x + 5 x +2 + 3 x 2 1 ⇔ ()()x −−1x 4 = = 0 3x2 + 33 + x + 5 x+2 + 3 x x =1 Xét ()()x−1 x − 4 =⇔ 0 x = 4 2 1 Xét − = 0 3x2 + 33 + x + 5 x+2 + 3 x Với x =1 là nghiệm. Với x ≠ 1 ta cĩ 3( x − 11 ) =⇔1 3x2 ++ 336 x =− 3 x 33 kết hợp với 3x2 ++ 33 3 x = 2x + 7 được 3x2 + 33 + 6 x x− 3x − 40 = 0 Vậy tập nghiệm phương trình S = {1;4;64 } . Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 56
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Chuyên đề 4 Hệ phương trình • Tài li ệu này được tham kh ảo t ừ đề học sinh gi ỏi c ấp t ỉnh l ớp 9 t ừ 40 tỉnh thành trong c ả nước năm h ọc 2022-2023. C ụ th ể gồm: Bà R ịa V ũng Tàu, Bình D ươ ng, Bình Ph ước, Bình Định, B ắc Giang, B ắc K ạn, B ắc Ninh, B ến Tre, Gia Lai, Hà Giang, Hà Nam, Hà N ội, Hà T ĩnh, Hịa Bình, Hải D ươ ng, H ải Phịng, H ậu Giang, Khánh Hịa, Kon Tum, Lai Châu, L ạng s ơn, Nam Định, Ngh ệ An b ảng A, Ngh ệ An b ảng B, Ninh B ình, Ninh Thu ận, Phú Th ọ, Qu ảng Bình, Qu ảng Ninh, Qu ảng Tr ị, Sĩc Tr ăng, S ơn La, Thanh Hĩa, Ti ền Giang, TP H ồ Chí Minh, Tuyên quang, V ĩnh Long, V ĩnh Phúc, Yên Bái, Đắk L ắk, Đồng Tháp. 3x+() m − 1 y = 12 Câu 1.1.1. (((hsg9 QQuuQu ảảảng Bình 2022 2023 )))Cho h ệ phương tr ình: (v ới m là tham ()m−1 x + 12 y = 24 số). Tìm t ất c ả các giá tr ị của m để hệ phương tr ình trên cĩ nghi ệm duy nh ất ()x; y th ỏa đi ều ki ện x+ y > 1. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 3x+()() m − 1 y = 12 1 3x+() m − 1 y = 12 Ta cĩ: ⇔ 24−()m − 1 x ()m−1 x + 12 y = 24 y = ()2 12 Thay (2) vào (1) ta được: 2 36−−()m 1 x = 16824 − m ⇔−()()()m7 m + 5 x = 24 m − 168 3 Hệ cĩ nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) cĩ nghiệm duy nhất m ≠ − 5 ⇔ m ≠ 7 . 24168m − 24()m − 7 24 Khi đĩ: x = = = ()()mm−+75()() mm −+ 75 m + 5 Thay vào (2) ta được 24 24()m− 1 2() m − 1 12 ()m−1 . +=⇔=− 12 yy 24 12 24 ⇔=− y 2 ⇔= y m+5 m + 5 mm ++ 55 24 12 36−m − 5 m − 31 Do đĩ: x+ y > 1 ⇔ + >⇔1 > 0 ⇔ <⇔−<<+0m 31 0 m 5 ⇔−5 <m < 31 m+5 m + 5 m + 5 m + 5 Kết hợp với điều kiện ta cĩ −5 <m < 31 và m ≠ 7 . Vậy −5 <m < 31 và m ≠ 7 thỏa mãn yêu cầu của bài tốn. x2+ y 2 = x + 3 Câu 2. (((hsg9 QQuuQu ảảảng Tr ịịị 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình . 3xy+ y2 = y − 3 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Cộng theo vế 2 PT của hệ: x2+2 y 2 + 3 xyxy =+⇔+()()() xyx + 2 y =+ xy Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 57
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x= − y ⇔()()xyx + +2 y −=⇔ 1 0 x=1 − 2 y −3 3 y= x = Với x= − y , ta được 2yy2 +−=⇔ 30 23 yy + −=⇔ 10 ()() 2 2 y=1 x = − 1 −3 11 y= x = Với x=1 − 2 y , ta được 5yy2 − 230 −=⇔ 53 yy + −=⇔ 10 ()() 5 5 y=1 x = − 1 33− 113 − Vậy hệ phương trình cĩ 3 nghiệm ( x; y ) là ; ,()− 1;1, ; 22 55 x3 −3 x = 4 − y Câu 3. (((hsg9 Bình D ương 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình: y3 −3 y = 6 − 2 z 3 z−3 z = 8 − 3 x LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 3 3 ()()()x+1 x − 2 =− y − 2 xxy−=−34 xx −−=− 322 y 2 yyzyy3−=−362 ⇔ 3 −−=−⇔ 3242 zyy ()()() + 1 −=− 222 z − zz3−=−383 x zz 3 −−=− 3263 x 2 ()()()z+1 z −=− 2 3 x − 2 Nhân theo vế 3 phương trình trên ta cĩ: 2 2 2 ( xyzzyx+1) ( + 1) ( + 1) ( − 2226222)( −)( −=−−) ( yzx)( −)( − ) 2 2 2 ⇔−zyx2 − 2 − 2 x + 1 y + 1 z ++= 160 ()()()()()() 2 2 2 ⇔−()()()()()()x2220 y −−= z dox + 1 y + 1 z ++> 160 với mọi x, y, z. x −2 = 0 x = 2 ⇔ y −2 = 0 y = 2 z −2 = 0 z = 2 Thử lại ta thấy ( x; y ; z ) = ( 2;2;2 ) thỏa mãn hệ phương trình. Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm: ( x; y ; z ) = ( 2;2;2 ) 2x2+ 3 xy − 2 y 2 − 5( 2 x −= y ) 0 (1) Câu 4. (((hsg9 BBBắắắc Ninh 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình ⋅ x2−2 xy − 3 y 2 += 150 (2) LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii y= 2 x Phương trình (1)⇔()() 2xyx − + 2 y −=⇔ 5 0 x=5 − 2 y x =1 +) Với y= 2 x thay vào (2) ta được −15x2 +=⇔ 15 0 ⋅ x = − 1 Với x=1 y = 2 , với x= − 1 y = − 2 . Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 58
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 y = 2 +) Với x=5 − 2 y thay vào (2) ta được 5y2 − 30 y +=⇔ 40 0 ⋅ y = 4 Với y= 2 x = 1 , với y= 4 x = − 3 . Vậy nghiệm ( x; y ) của hệ là (1;2) ,(− 3;4) ,( − 1; − 2) . 1 3 + = 2 x−2 y + 1 Câu 5. (((hsg9(hsg9 Hà Giang 20222022 202320232023))))Giải hệ phương trình 2x+ 13 y + 9 + = 12 x−2 y + 1 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 3 1 3 + = 2 + = 2 x−2 y + 1 x−2 y + 1 ĐK: x≠2, y ≠ − 1 . Khi đĩ ⇔ 2x+ 13 y + 9 2()x−+ 253() y ++ 16 + = 12 + = 12 x−2 y + 1 x−2 y + 1 1 3 1 + = 2 = 1 x−2 y + 1 x − 2 x−2 = 1 x = 3 ⇔ ⇔ ⇔⇔ (Thỏa mãn) 561 1 y+ 132 = y = + = 7 = x−2 y + 1 y +1 3 Vậy hệ cĩ nghiệm duy nhất: ( x, y ) = ( 3;2 ) x2− y 2 +4 x − 6 y −= 50 Câu 6. (((hsg9 Hà Nam 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình 2 23x++ 2 yxx + 2 += 26. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 3 x ≥ − Điều kiện 2 y ≥ 0 2 2 x+2 = y + 3 ()()()1⇔x + 2 = y + 3 ⇔ +)2x +=−−⇔ y 3( x + 5) + y = 0 vơ nghiệm x+2 =− y − 3 3 vì ()x+5 +>∀≥− y 0 x , y ≥ 0. 2 +)2x +=+⇔ y 3 yx =− 1 thay vào (2) ta được 23x++ 2() x −+ 12 xx2 += 26 ⇔( 233x +−+) ( 2222 x −−+) xx2 +−= 210 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 59
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2x+− 39 2 x −− 22 ⇔ + +−+=()()x32 x 7 0 2x++ 33 2 x −+ 22 2 2 ⇔−()x3 + ++= 270 x +)x = 3 y = 2 2x++ 33 2 x −+ 22 2 2 ⇔=xdo3, + ++>∀≥ 2 xx 7 0 1 2x++ 33 2 x −+ 22 Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất (x; y ) = ( 3;2 ) xy+2 x − y = 3 Câu 7. (((hsg9 HHHảảải Dương 2022 2023 ))) Gi ải h ệ phương tr ình 1 2 + = 2 2 1 x−+22 x y ++ 47 y LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii ( x−1)( y + 2) = 1 Hệ phương trình ⇔ 1 2 + = 2 2 1 ()x−+11() y + 23 + uv =1 Đặt u=− x1, v = y + 2 . Hệ đã cho trở thành 1 2 + = 1 u2+1 v 2 + 3 uv=1 uv = 1 ⇔ ⇔ uvuv22+++=++3 22 32 uv 22 5 uvu 222 += 2 uv=1 u = v = 1 ⇔ ⇔ u=±1 u ==− v 1 x=2 x = 0 Từ đĩ suy ra nghiệm của hệ phương trình là ; y=−1 y =− 3 x=2 x = 0 Vậy nghiệm của hệ phương trình là ; y=−1 y =− 3 x4+2 xyxy 3 + 22 = 7 x Câu 8. (((hsg9 NNgghhNgh ệệệ An b ảảảng A 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình x( y− x + 1) = 3 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 ( x2 + xy) =7 x + 9 (1) Hệ phương trình đã cho tương đương với xy= x2 − x + 3 (2) 2 Thay (2) vào (1) ta cĩ (2x3 −+ x 379) = x + ⇔4x4 − 4 x 3 + 13 x 2 − 13 x = 0 3 2 x = 0 ⇔4xx ( −+ 1) 13 xx ( −=⇔− 1) 0 xx ( 1)() 4 x +=⇔ 13 0 x =1 Thay vào (2) ta thấy Khi x= 0 0 y = 3 (khơng thỏa mãn) Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 60
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Khi x= 1 y = 3 Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x ; y )= (1;3) . xy2 2 + 2xy+ 1 = 7x + 9 Câu 9. (((hsg9 NNgghhNgh ệệệ An b ảảảng B 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình   xy( − x) = 2 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii  2 (xy1+ ) = 7x+ 9 ( 1 ) Hệ phương trình đã cho tương đương với   2 xyx= + 2 () 2 2 Thay (2) vào (1) ta cĩ: (x2+ 3) = 7x9 +⇔ x 4 + 6x 2 − 7x = 0 ⇔xx( 3 + 6x −= 7) 0 x= 0 ⇔xx1x() −()2 ++=⇔ x 7 0  x= 1 Thay vào (2) ta thấy: Khi x= 0 ⇒0y = 3 (khơng thỏa mãn). Khi x= 1 ⇒ y = 3 Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x;y)=( 1;3.) 6x2 − 3 xy +=− x 1 y Câu 10. (((hsg9 Sơn La 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình: . x2+ y 2 = 1 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 6x2 − 3 xy +=− x 1 y a)a)a) Giải hệ phương trình: . x2+ y 2 = 1 Ta cĩ: 63x2− xyx +=−⇔ 1 y 632 x 2 − xy − xyx ++−= 310. ⇔3(2x x-y) -(2x-y)+(3x-1)=0 ⇔ (2 x-y+1) (3x-1)=0. 3x − 1 = 0 ⇔ . 2x− y + 1 = 0 1 8 2 2 * Với: 310x−= ⇔ x = . Thay x vào phương trình x2+ y 2 = 1, ta cĩ: y2 = y = ± . 3 9 3 * Với: 2xy−+=⇔ 10 yx = 21 + Thế y vào phương trình x2+ y 2 = 1, ta cĩ: x = 0 2 5x+ 4 x =⇔ 0 xx (5 +=⇔ 4)0 4 x = − 5 +)x = 0 y = 1. 4 3 +)x = − y = − . 5 5 122 122 43 Vậy hệ phương trình cĩ 4 nghiệm: ; ; ;− ;(0;1); − ; − . 3333 55 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 61
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x−+1 y −= 1 2 Câu 11. (((hsg9 VVVĩnh Long 2022 2023 )))Gi ải hệ ph ương tr ình: 1 1 + = 1 x y LLLờiLời giải x−+1 y −= 1 2 (1) Giải hệ phương trình: 1 1 + = 1 (2) x y ĐK: x≥1; y ≥ 1 (2) ⇔x + y = xy (3) Hai vế của (1) đều dương ta bình phương hai vế ta cĩ: xy+−+22114()() xy − −=⇔+−+ xy 22 xyxy −++=() 14 x+ y = 4 Thay (3) vào ta cĩ: x+ y = 4 kết hợp với (3) cĩ hệ: xy = 4 Áp dụng hệ thức Vi Ét ta cĩ x; y là hai nghiệm của pt: X2 −4 X + 4 = 0 x=2; y = 2 Vậy tập nghiệm của hệ phương trình S = (2;2 ) { } 2 2 2xy x+ y + = 1 Câu 12. (((hsg9 Bình Ph ưưướớớc 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình: x+ y . xy+ = x2 − y LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Điều kiện: x+ y > 0. Biến đổi phương trình (1): 2xy2 2 xy xy2++ 2 =⇔+1() xy − 2 xy + −= 10 xy+ xy + 2P Đặt x+ y = S, xy = P (với S2 ≥ 4 P ), ta cĩ phương trình: S2 + −2 P −= 1 0 ⇔S3 +2 P − 2 SP −= S 0 S S =1 ⇔SS(2 −− 1) 2 PS ( −= 1) 0 ⇔−(S 1)( S2 +− S 2 P ) =⇔ 0 S2 + S −2 P = 0 2 y = 0 +Với x+ y = 1 thay vào (2) ta được: 11=−()y −⇔ y y2 − 30 y =⇔ ( x; y )∈{( 1;0) ;( − 2;3 )} y = 3 2 + Với SSP2 +−20 =⇔+() xy ++− xyxy 20 = ⇔x2 + y 2 ++= xy 0 (Loại, vì x+ y > 0 ). Vậy hệ phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm (x; y ) là (1;0) ;(− 2;3 ) Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 62
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 1 1 7 x+ + y − = x y 2 Câu 13. (((hsg9(hsg9 BBBắcBắc Kạn 20222022 202320232023))))Giải hệ phương trình . 1 1 25 x2+ + y 2 + = x2 y 2 4 LLLờiLời giải Điều kiện: x, y ≠ 0 1 1 7 x+ + y − = x y 2 . 2 2 Hệ pt tương đương với 1 1 25 x+ +− y = x y 4 7 u+ v = 1 1 2 Đặt ux=+≥2, vy =− ta cĩ hệ phương trình . x y 25 u2+ v 2 = 4 7 7 v= − u u+ v = 7 2 2 v= − u 3 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔==u2, v 2 2 25 2 7 25 2 2 u+ v = u+ − u = 2u− 7 u + 60 = 4 2 4 1 x + = 2 x =1 x x2 −+=210 x x = 1 ⇔ ⇔ ⇔∨ 1 . 1 3 2y2 − 3 y − 20 = y = 2 y = − y − = 2 y 2 1 Vậy hệ phương trình cĩ các nghiệm là ()1,2 , 1,− . 2 x( y+1) + y = 3 Câu 14. (((hsg9 Nam Đ ịịịnnhhnh 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình 2 2 52−()xy ++− 2 xy = 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii x( y+1) + y = 3 Giải hệ phương trình 2 2 52−()xy ++− 2 xy = 2 5 5− 2()x + y ≥ 0 x+ y ≤ Điều kiện: ⇔ 2 2 2 2−x y ≥ 0 2 2 x y ≤ 2 1 Kết hợp với phương trình trong hệ ta được điều kiện ≤xy ≤ 2 2 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 63
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Từ phương trình xy( ++=⇔13) y xyxy ++=⇔+=− 3 xy 3 xy thế vào phương trình 52−()xy ++− 2 xy2 2 = 2 ta được 523−() −xy +− 2 xy2 2 = 2 ⇔−+562xy +− 2 x2 y 2 = 2 ⇔212xy −+− x2 y 2 = 2 ⇔212xy −+− x2 y 2 = 2 ⇔−422xy −− 122 − x2 y 2 = 0 ⇔2122112xy −− xy −++− x22 y − 22 − x 22 y ++ 1 x 22 y − 210 xy += 2 2 ⇔()211xy −−+( 2 − x2 y 2 −+−= 1) () xy 102 2 ( 2xy − 11 −) ≥ 0 1 2 Với ≤xy ≤ 2 thì ( 2−x2 y 2 − 1) ≥ 0 2 ()xy −12 ≥ 0 2 2 Do đĩ phương trình ( 211xy−−+) ( 2 − x2 y 2 −+ 1) () xy −= 102 2 2xy − 11 − = 0 ( ) 2xy − 1 = 1 2 ⇔ ( 2 −x22 y −=⇔ 102) − x 22 y =⇔= 1 xy 1 2 xy =1 ()xy −1 = 0 Với xy = 1 kết hợp với x+ y =3 − xy ta được x+ y = 2 x=2 − y x=2 − y ⇔ ⇔ 2 ⇔==x y 1 xy = 1 ()2−y y = 1 ()y −1 = 0 Với x= y = 1 thoả mãn điều kiện. Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất là ( x; y ) = ( 1;1 ) 3 xxy()+++= xy2 y( 2 y + 1 ) Câu 15. (((hsg9 Phú Th ọọọ 2022 2023 ))) Gi ải h ệ phương tr ình: . 2x+ 3.3 y += 5 yx2 +− 6 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 3 Điều kiện: x≥−; y ≥ 0; xy +≥ 0. 2 Xét phương trình thứ nhất: xxy()+++= xy2 y( 2 y 3 + 1 ) ⇔++xxy2 xy +=2 y 2 + 2 y Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 64
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 ⇔−+−+xyxyy2 2 2 ( xy +−2 y ) = 0 ⇔−()()()xyxyyxy ++ −+() xy +−2 y = 0 ⇔−()()xyxy ++2() xy +− 20 y = () * +) Xét xy++2 y =⇔== 0 xy 0 khơng thỏa mãn hệ phương trình. x+ y − 2 y +) Xét x+ y +2 y > 0 , ta cĩ: ()()()*⇔−++xyx 2 y = 0 x+ y + 2 y x= y 1 ⇔−++()xy x2 y = 0 ⇔ 1 x+ y + 2 y x+2 y + = 0 x+ y + 2 y 1 Do x+ y ≥0; y > 0 nên x+2 y + > 0. x+ y + 2 y Với x= y , thay vào phương trình thứ hai của hệ được: 23.x+3 x += 5 xx2 +− 6 3 Nhận xét 2x+ 3.3 x + 5 ≥ 0, ∀x ≥ − nên xx2 + −60 ≥ ( xx− 2)( + 30) ≥ x ≥ 2. 2 Do đĩ: 23.x+3 x += 5 xx2 +− 6 ⇔2xx + 3.3 +− 53. 3 x ++ 53. 3 x +−=+− 56 xx2 12 ⇔+3xx52333( +−+) ( 3 x +−=+− 52) xx2 12 3 239x+− x +− 58 2 ⇔+x 5. + 3.2 =+−x x 12 2x + 3 + 3 ()3x+5 + 2. 3 x ++ 54 3 2( x − 3 ) x −3 ⇔+x 5. + 3.2 =−+()()x 3 x 4 2x + 3 + 3 ()3x+5 + 2 3 x ++ 54 23 x + 5 3 ⇔−x 3 + −+=x 4 0 () 2 () 2x + 3 + 3 3 3 ()x+5 + 2 x ++ 54 23 x + 5 3 ⇔x −3 = 0 hoặc +2 −+=()x 4 0 2x + 3 + 3 ()3x+5 + 2 3 x ++ 54 +) TH1: x−30 = ⇔ x = 3 y = 3 23 x + 5 3 +) TH2: +2 −+=()x 4 0 2x + 3 + 3 ()3x+5 + 2 3 x ++ 54 Vì x≥ 223 xxxx+= ++−≥ 52 + 523 3 xx+ ≥ 3 + 523 xx+ > 3 + 5 23 x + 5 ++>3 + < 3 3 233x x 5 2 . Lại cĩ: 2 < <1, ∀≥x 2. 2x + 3 + 3 ()3x+5 + 2 3 x ++ 54 4 23 x + 5 3 Suy ra: +2 <<+∀≥3x 4, x 2. Do đĩ TH2 vơ nghiệm. 2x + 3 + 3 ()3x+5 + 2 3 x ++ 54 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 65
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Vậy hpt đã cho cĩ nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 3;3) . x3+3 xy 2 + 49 = 0 Câu 16. (((hsg9 Thanh Hĩa 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình . x2−8 xy + y 2 = 8 y − 17 x LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii x3+3 xy 2 + 49 = 0 Giải hệ phương trình . x2−8 xy + y 2 = 8 y − 17 x Nhân hai vế của phương trình (2) với 3, rồi cộng với phương trình (1) vế theo vế ta được pt: x322++3 x 3 xy − 24 xy ++= 3 y 2 49 24 y − 51 x ⇔++++xxx33 2 313 yx 2 ( +− 124) yx( ++ 148) ( x += 10) 2 2 2 2 ⇔+( xxyy1) ( ++− 1) 3 24 +=⇔+ 48 0( xx 1) ( ++− 1) 3( y 4) = 0 x +1 = 0 ⇔ (x+ 1)2 + 3( y − 4) 2 = 0 x=−1 x =− 1 TH1: 3 2 ⇔ x+3 xy =− 49 y = 4; y =− 4 (x+ 1)2 + 3( y − 4) 2 = 0 x = − 1 TH2: ⇔ x3+3 xy 2 = − 49 y = 4 Vậy hệ đã cho cĩ hai nghiệm ( x, y )∈−{( 1;4) ,( −− 1; 4 )} x2+2 y 2 = x + 4 (1) Câu 17. (((hsg9 Tuyên quang 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình 3xy= y − 4 (2) LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Cộng vế với vế hai phương trình ta được x22+23 y + xyxy =+⇔+ x 2 2 xyy +++−−= 22 xyy xy 0 2 ⇔+()()()()()xy + yxy +−+=⇔+ xy0 xyxy +−= 210 x = − 1 2 2 TH1: xy+ =0 ⇔ x =− y Thay vào (2) ta được −3x =−−⇔ x 43 xx −−=⇔ 40 4 Suy ra hai x = 3 4− 4 nghiệm:: ()−1;1 ; ; 3 3 TH2: xy+210 −=⇔ x =− 12 y thay vào (2) được. y =1 2 3(1− 2yyy ). =−⇔ 4 6 y − 2 y −=⇔ 4 0 −2 y = 3 −2 7 VVVớVớớớii y=1 x = − 1 ;;; VớVVV ớớớii y= x = 3 3 4− 4 7− 2 Tĩm lại hệ cĩ 3 nghiệm: ()−1;1 ; ; ; ; 3 3 3 3 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 66
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2 2 2xy x+ y + = 1 Câu 18. (((hsg9 Ninh B ìììnnhhnh 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình x+ y 2x+ 3 y − xyx += 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 2 2xy x+ y + = 1 GiGiGiảGi ảảảiiii hệhhh ệệệ phương trtrìnhììnnhhình x+ y . 2x+ 3 y − xyx += 2 Điều kiện xác định x+ y > 0 2xy2 2 xy xy2++ 2 =⇔+−1() xy 2 xy + = 1 xy+ xy + 2 1 x+ y − 1 ⇔+−−()x y121 xy − = 0 ⇔+−()()xy1 xy ++− 12. xy = 0 x+ y x+ y x+ y −1 = 0 x+ y −1 = 0 ⇔2xy ⇔ ⇔=−y1 x x++− y 1 = 0 x2+ y 2 ++ x y = 0 ( VN ) x+ y x =1 Thay y=1 − x vào phương trình cịn lại ta cĩ x2 + x −2 = 0 ⇔ x = − 2 Với x=1 y = 0 thỏa mãn điều kiện Với x= − 2 y = 3 thỏa mãn điều kiện Vậy hệ phương trình đã cho cĩ nghiệm ( xy;) =( 1;0,) ( xy ;) =( − 2;3.) Câu 19. (((hsg9 VVVĩnh Phúc 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình x3+7 y =+() xy2 + xy 2 ++ 7 x 4 ()x, y ∈ℝ 3xy2+ 2 + 848 y += x LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 x3+7 y =+()() xy + xy 2 ++ 741 x 2 2 3xy+ + 8482 y += x () Cộng từng vế của (1) và (2) ta được: x3+2 x 2 + 15 y = 15 xxy + 2 + 2 xy ⇔−(xyx)( −3)( x += 5) 0 x= y ⇔ x = 3 x = − 5 +) Thay x= y vào (2) ta được: 3xxx2++ 2 848 += x ⇔ 4 x 2 += 40 (PT vơ nghiệm) y = − 1 +) Thay x = 3 vào (2) ta được: 27+++=yy2 8440 ⇔ yy 2 ++=⇔+ 870()() yy 1 +=⇔ 70 y = − 7 +) Thay x = 5 vào (2) ta được: Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 67
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 75+++=⇔++=⇔+yy2 8440 yy 2 8390() y 42 += 230 (PT vơ nghiệm) Vậy, ( x; y )∈{( 3; − 1) ;( 3; − 7 )} . ()12−y x +−+= 3 y 80 Câu 20. (((hsg9 HHHậậậu Giang 2022 2023 )))Gi ải hệ phương tr ình . yy()− x +3 +−= x 1 0 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Điều kiện: x ≥ − 3 . Đặt a= x +3( a ≥ 0 ) khi đĩ: x= a 2 − 3. Hệ phương trình đã cho trở thành: a− y + 8 ()12.−y a −+= y 80 a−− y2 ay += 8 0 = ay ()1 ⇔ ⇔ 2 2 2 2 yy()− a + a −−=3 1 0 a+ y − ay −=4 0 2 ()()a− y + ay −=4 0 2 2 a− y + 8 Thay (1) vào (2) , ta được: ()a−+ y −=4 0 2 ⇔2()()ay −2 +−= ay 0 ay− =0 ay = ⇔1 ⇔ 1 ay−=− ay =− 2 2 y = 2 a = 2 Với a= y , phương trình ()1⇔y2 = 4 ⇔ . y = − 2 a= − 2() l a= y = 2 y = 2 Vậy với ⇔ . x +3 = 2 x =1 1 Với a= y − , phương trình: 2 1 1− 61 1 + 61 y− − y + 8 y= a = − () l 2 1 2 4 4 ()1⇔ =− y y ⇔−−=⇔ 4 y 2 y 15 0 . 2 2 1+ 61 611 − y= a = () n 4 4 1 61 a= y − y = 2 2 Vậy với ⇔ . 61− 1 25− 61 x +3 = x = 2 2 65 y = y = 2 2 So với điều kiện x > − 3, hpt cĩ nghiệm và . x =1 25− 61 x = 2 . 2 2 2xy x+ y + = 1 Câu 21. (((hsg9 Hà T ĩnh 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình x+ y 2 2xy++ 1() x −−= x 12 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 68
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii ĐKXĐ: x+≠ y 0;2x ++> y 1 0;x2 −−> x 1 0 * ( ) 2xy Từ phương trình x2+ y 2 + = 1 . x+ y x2( xy++) yxy 2 ( ++) 2 xy− x − y = 0 ⇔ x2( xy+−+) x 22 yxyyx( +−+) 22+ 2 xyyxy +−− 2 = 0 ⇔ xxy2( +−+1) yxy 2 ( +− 1) ++( xyxy)( +− 1 ) = 0 ⇔ ( x+−y1)( x2 + y 2 + x + y ) = 0 Xét x+ y −1 = 0 , thay vào phương trình 2xy++ 1 x2 −−= x 12 được x+2 x2 −−= x 1 2 ( ) ( ) 2 Với điều kiện x2 − x −1 ≥ 0 , ta cĩ ()x+2( x2 −− x 1) = 4 . 2 ⇔ ()x+2( x4−2x 3 − x 2 + 2140 x +) − = ⇔ ( x+2)( x4−2x 3 − x 2 + 214 x +) − = 0 ⇔ x5− 5 x 3 + 5 x − 2 = 0 ⇔ ( x−2)( x4+ 2x 3 −−+= x 2 2 x 1 ) 0 2 ⇔ ()x−2( x2 + x − 1) = 0 Với x−20 = ⇔ x = 2 y = − 1 (TMĐK). −−15 35 + −+ 15 Với xx2 +−=10 ⇔ x = y= ; x = xx2 − − 10 10) theo ĐKXĐ thay vào ĐKXĐ * ( ) −1 − 53 + 5  Hệ phương trình cĩ tập nghiệm ()()x;y∈ 2;1, − ;  . 2 2  Câu 22. (hsg 9 Bà R ịa Vũng T àu 2022 2023 ) Gi ải hệ phương tr ình sau x−1 y + = 2 y x −1 (x> 1, y > 0). x+ y = 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii x−1 y + = 2 () 1 y x −1 (x> 1, y > 0). x+ y = 2 () 2 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 69
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x −1 Đặt t=, t > 0 y 1 ()1 t + = 2 t ⇔t2 −210 t +=⇔= t 1 x −1 =1 x− y = 1 () 3 y 1+ 2 x = 2 Từ (2) và (3) ta cĩ −1 + 2 y = 2 1+ 2 − 1 + 2 Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất là ; 2 2 x3+ y 3 =3 x + 3 y Câu 23. (hsg 9 Hịa Bình 2022 2023 ) Gi ải h ệ phương tr ình x2+2 y 2 = 6 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii x= − y (1) Þ (x+ y )( x2 −+−= xy y 2 3) 0 Þ x2− xy + y 2 = 3 Với x = -y thay vào (2) ta cĩ: 3y 2 = 6 Û y = ± 2 x2− xy + y 2 = 3 Với x2− xy + y 2 = 3ta cĩ hệ x2+2 y 2 = 6 Þ x2 −2 xy = 0 Þ x = 0 hoặc x = 2y Với x = 0 thay vào (2) ta cĩ: y 2 = 3 Û y = ± 3 Với x = 2y thay vào (2) ta cĩ: y 2 = 1 Û y = ± 1 Vậy ()x, y ∈−−{ ( 2; 2),( 2; 2),(0; 3),(0; − 3),(2;1),( −− 2; 1) } 1 2x 1+ = 3 x+ y Câu 24. (hsg 9 HHảảảảii Phịng 20222022 20232023 ) Giải hệ phương trình . 1 2y 1− = 1 x+ y LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 2x 1+ = 3 x+ y Giải hệ phương trình ()I 1 2y 1− = 1 x+ y ĐKXĐ: x≥0, y ≥ 0, xy +≠ 0. Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 70
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Với x = 0 , y = 0 khơng thoả mãn hệ phương trình (I ) x>0, y > 0 Do đĩ: 1 1 3 3 1 21x + = 31 + = 2= + (1) xy+ xy + 2 x 2 xy 2 ⇔ 1 1 2 3 1 1 1− = = − (2) 2y 1− = 1 x+ y x+ y 2 y x+ y 2x 2 y 3 1 Do x+ y >0 nên từ (2) suy ra − ≠ 0 . 2x 2 y Nhân vế với vế của (1) và (2) ta cĩ: 4 9 1 = − x2+890 xyy − 2 =⇔−()() xyxy + 90 = xy+ 4 x 4 y x= y ⇔ x= − 9 y Vì x>0, y > 0 nên x= − 9 y (khơng thoả mãn). 3 1 2 Với x= y ta cĩ 2= + ⇔= 2 ⇔=x 11. y = 2x 2 x x Ta thấy ( x; y ) = ( 1;1 ) thoả mãn hệ phương trình (I) . Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 1;1) . x2+3 y 2 − 4 xy +−= 44 x y 0 Câu 25. (hsg 9 L ạạạng sơn 2022 2023 ) Gi ải h ệ phương tr ình: . x++2 3 y −= 24 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 2 x+34440 y − xy +−= x y ( 1 ) Xét hệ phương trình: . x++2324 y −= () 2 2 ĐKXĐ: x≥ −2; y ≥ . 3 Từ (1), ta cĩ: x2+34440 y 2 − xyxy +−=⇔+ x2 44448 y 2 +− xyxyy +−−+−=2 440 y ⇔−+()()()()xy222 −− y 20 2 =⇔−++− xyyxyy 22 222 −+−+= 20 x= y ⇔−()()x yx −3 y +=⇔ 4 0 . x=3 y − 4 Với x= y thay vào (2), ta cĩ: y++2 3 y −= 24 ⇔++−+yy2322()() yy + 23216 −=⇔()() yy + 23282 −=− yy() ≤ 4 y= 2 ( TM ) 3yyy2 −+−=− 2 6 46432 yyyy + 42 ⇔− 2 36 +=⇔ 680 . y= 34 () KTM y= 2 x = 2 . Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 71
VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Với x=3 y − 4 thay vào (2), ta cĩ: 3423242324324y−++ y −=⇔ y −=⇔ yyx −=⇔= 2 = 3.24 −⇔ x = 2 (thỏa mãn). Vậy hệ phương trình cĩ tập nghiệm là S = {(2;2 )} . 2 2 x+ xy +=2 y + y Câu 26. (hsg 9 Qu ảng Ninh 2022 -2023 ) Gi ải h ệ phương tr ình Câu 26. (hsg 9 Qu ảảng Ninh 2022 2023 ) 2 ()x+2() xy −+ 1 =− 3 y LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 2 x+ xy +=2 y + y (1) 2 ()x+2() xy −+ 1 =− 3 y (2) aa))a) (1) ⇔x2 +=2 y 2 +− y xy , thay vào (2) được ( y2 +− yxyxy)( −+=−1) 3 y (*) Xét y = 0 , thay (1) thấy khơng thỏa mãn. 2 x− y = 2 Xét y≠0, ()()()()* ⇔+− yxxy 1 −+=−⇔− 13 xy =⇔ 4 x− y = − 2 x = 0 Nếu x− y = 2. Thay vào (2) được 3x2 + 3 x = 0 ⇔ x = − 1 Suy ra y = − 2; y = -3 x = − 1 Nếu x− y = − 2.Thay vào (2) được −x2 +3 x + 4 = 0 ⇔ x = 4 Suy ra y =1; y = 6 Vậy hệ phương trình cĩ 4 nghiệm : (0; -2); (-1; -3); (-1; 1); (4; 6). 2 x+ xy + y −4 y += 1 0 Câu 27. (hsg 9 Lai Châu 2022 2023 ) Gi ải h ệ phương tr ình: 2 2 2 2 ()x++1 y() x ++ y 280 xy −= LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 x+ xy + y −4 y += 1 0 x+=−1 yxy( + − 4 ) ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2 ()x++1 y() x ++ y 280 xy −= ()x++1 y() x ++ y 280 xy −= x+=−1 yxy( + − 4 ) x+=−1 yxy( + − 4 ) ⇔ ⇔ 2+−+2 222 ++ −= yxy2 +−42 ++ xy 2 −= 8 0 yxy()4 yxy() 280 xy ()() x+=−1 yxy( + − 4 ) x+=−1 yxy() + − 4 ⇔ ⇔ yxy2 +2 −8 xy ++++ 16 xy 2 −= 80 2 2 ()()() y() x+ y −2 = 0 x+=−1 yxy( + − 4 ) x = − 1 TH1: ⇔ y2 = 0 y = 0 Địa chỉ truy cập click vào đây  Trang 72