Phương pháp giải môn Hình học Lớp 9 - Chương 3: Góc với đường tròn - Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải môn Hình học Lớp 9 - Chương 3: Góc với đường tròn - Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung (Có đáp án)

1. Bài 4. GĨC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa 1 ▪ Cho đường trịn (O) cĩ Ax là tiếp tuyến tại điểm A và dây cung AB. Khi đĩ, B· Ax được gọi là gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. 2. Định lí 1 ▪ Số đo của gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. ▪ Trong một đường trịn, gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và gĩc tạo nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tính số đo gĩc, chứng minh các gĩc bằng nhau, các đẳng thức hoặc tam giác đồng dạng ▪ Dùng hệ quả của gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và Hệ quả của gĩc nội tiếp. Ví dụ 1. Cho đường trịn (O;R) và dây cung BC = 3R . Hai tiếp tuyến của đường trịn (O) tại B,C cắt nhau tại A . Tính A· BC,B· AC . Lời giải Gọi H là trung điểm BC , khi đĩ OH  BC (đường kính đi qua trung điểm của dây cung). 3 Xét tam giác OHB , ta cĩ cosC· BO C· BO 30 . 2 Do tam giác BOC cân tại O nên B· CO 30 Suy ra ·ABC 90 30 60 và B· AC 90 30 60 . Ví dụ 2. Cho hai đường trịn (O) và (O ) cắt nhau tại A và B . Tiếp tuyến tại A của (O ) cắt đường trịn (O) tại điểm thứ hai là P . Tia BP cắt đường trịn (O ) tại Q . Chứng minh AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường trịn (O) . Lời giải Px là tiếp tuyến tại (P) của (O) ·APx ·ABP . ·ABP là gĩc ngồi tại đỉnh B của tam giác ABQ . 1 ·ABP ·AQB B· AQ sđ»AQ . 2 1 P· AQ sđ»AQ P· AQ ·ABP 2
2. ·APx P· AQ Px P AQ . Ví dụ 3. Cho hai đường trịn (O) và (O ) cắt nhau tại A và B . Tiếp tuyến tại A của (O ) cắt đường trịn (O) tại điểm thứ hai là C và đối với đường trịn (O) cắt đường trịn (O ) tại D . Chứng minh C· BA D· BA. Lời giải Xét tam giác ABC và tam giác DBA cĩ B· AC ·ADB , ·ACB B· AD VABC ∽ VDBA (g.g) C· BA D· BA . Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuơng gĩc, một tia là tiếp tuyến của đường trịn ▪ Sử dụng hệ quả của gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và Hệ quả của gĩc nội tiếp. Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) , tia phân giác của gĩc A cắt BC ở D và cắt đường trịn ở M . a) Chứng minh OM vuơng gĩc với BC . b) Phân giác của gĩc ngồi tại đỉnh A của tam giác ABC cắt (O) ở N . Chứng minh ba điểm M ,O, N thẳng hàng. c) Gọi K là giao điểm của AN và BC , I là trung điểm của KD . Chứng minh IA là tiếp tuyến của đường trịn (O) . Lời giải a) AM là phân giác gĩc BAC nên M là điểm chính giữa cung BC . Do đĩ OM  BC . b) AN là phân giác của x·AC x·AN N· AC(1) . AM là phân giác của B· CA C· AM M· AB(2) . Từ (1) , (2) suy ra N· AM N· AC C· AM 90 . Suy ra MN là đường kính, do đĩ M ,O, N thẳng hàng. c) ·ANO N· AO do tam giác ANO cân tại O . I·AD ·ADI do tam giác AID cân tại I . 1 Mà ·ANO ·ADI sd¼AM . Suy ra I·AD N· AO . 2
3. Mà N· AO O· AD 90 I·AO I·AD O· AD 90 IA là tiếp tuyến của (O) . C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB . Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M . Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường trịn. Gọi H là hình chiếu của C trên AB . Chứng minh a) Tia CA là tia phân giác của gĩc M· CH . b) Tam giác MAC và tam giác MCB đồng dạng. Lời giải 1 a) M· CA C· BA sd»AC . 2 ·ACH C· BA (cùng phụ C· AB ). M· CA ·ACH . Do đĩ, tia CA là tia phân giác của gĩc M· CH Theo câu trên ta cĩ tam giác MAC và tam giác MCB đồng dạng theo trường hợp gĩc-gĩc Bài 2. Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB , dây AC và tiếp tuyến Bx nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đưởng trịn. Tia phân giác của gĩc C· AB cắt dây BC tại F , cắt nửa đường trịn tại H , cắt Bx tại D . a) Chứng minh FB DB và HF HD . b) Gọi M là giao điểm của AC và Bx . Chứng minh AC.AM AH.AD . Lời giải a) ·AHB 90 BH  CF D· BH B· AH C· AH F· BH BH là phân giác của gĩc DBF . Tam giác DBF cĩ BH là phân giác vừa là đường cao. VBDF cân tại B BD BF . BH là đường trung tuyến của VBDF HD HF . AC  AM AB2 b) AC  AM AH  AD . 2 AH  AD AB Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) , tia phân giác của gĩc A cắt đường trịn ở M . Tiếp tuyến kẻ từ M với đường trịn cắt các tia AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng minh
4. a) BC song song với DE . b) Các cặp VAMB , VMCE và VAMC , VMDB đồng dạng. c) Nếu AC CE thì MA2 MD.ME . Lời giải a) B· CM B· AM M· AC C· ME BC PDE . b) Xét VAMB và VMEC ta cĩ M· AB E· MC VAMB ~VMEC (g.g). · · AMB MEC c) Xét VAMC và VMDB ta cĩ M· AC D· MB VAMC ~VMDB (g.g). · · AMC MDB MA MB VAMB ~VMEC ME CE MD MB VAMC ~VMDB MA AC MA MD MA2 MD  ME . ME MA Bài 4. Cho đường trịn (O) tiếp xúc với cạch Ax , By của gĩc x· Ay lần lượt tại B và C . Đường thẳng kẻ qua C song song với Ax cắt đường trịn (O) tại D , AD cắt đường trịn (O) ở M , CN cắt AB ở N . Chứng minh a) VANC ~VMNA . b) AN BN . Lời giải a) ·ACN C· DM M· AN VANC ~VMNA (g.g).
5. AN NC VANC ~VMNA MN AN AN 2 MN  NC . (1) Ta cĩ VBCN ~VMBN (g.g) BN NC BN 2 MN  NC . (2) MN BN Từ (1) và (2) , ta cĩ AN 2 BN 2 AN BN . D. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 5. Cho đường trịn (O; R) và dây cung MN R . Hai tiếp tuyến của đường trịn (O) tại M , N cắt nhau tại P . Tính P· MN, P· NM . Lời giải Gọi H là trung điểm MN , khi đĩ OH  MN (đường kính đi qua trung điểm của dây cung). Tam giác OMN đều nên O· MN 60 và O· NM 60 Suy ra P· MN 90 60 30 và P· NM 90 60 30 . Bài 6. Cho nửa đường trịn tâm (O) , đường kính AB . Lấy điểm P khác A và B trên nửa đường trịn. Gọi T là giao điểm của AB và tiếp tuyến tại P của nửa đường trịn. Chứng minh ·APO B· PT . Lời giải Tam giác AOP cân tại O nên ·APO P· AB . P· AB B· PT (gĩc nội tiếp và gĩc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung). Vậy ·APO B· PT . Bài 7. Cho đường trịn (O) và điểm M nằm bên ngồi đường trịn đĩ. Qua M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB . Chứng minh MT 2 MA.MB . Lời giải Tam giác MBT và tam giác MTA đồng dạng theo trường hợp g-g. MT MB MT 2 MA MB . MA MT
6. Bài 8. Cho nửa đường trịn đường kính AB và một điểm C trên nửa đường trịn. Gọi D là một điểm trên đường kính AB , qua D kẻ đường thẳng vuơng gĩc với AB cắt BC ở F , cắt AC ở E . Tiếp tuyến của nửa đường trịn tại C cắt EF tại I . Chứng minh a) I là trung điểm của EF . b) Đường thẳng OC là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp tam giác ECF . Lời giải a) I·CF B· AC I·FC VICF cân tại C . IC IF.(1) . Ta lại cĩ I·CE I·CF 90 I·CF I·FC I·CE I·EC I·EC I·FC 90 VICE cân tại I IC IE.(2) Từ (1) va (2) ta cĩ IE IF . b) Đường trịn (I) đường kính EF ngoại tiếp tam giác CEF . Ta cĩ I·CE O· CA I·EC O· CA 90 . I·CO 90 OC  IC tại C . Vậy đường thẳng OC là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp tam giác ECF . HẾT