Phương pháp giải môn Hình học Lớp 9 - Chương 3: Góc với đường tròn - Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải môn Hình học Lớp 9 - Chương 3: Góc với đường tròn - Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây (Có đáp án)

1. Bài 2. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Lý thuyết bổ trợ ▪ Trong một đường trịn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. ▪ Trong một đường trịn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. ▪ Trong một đường trịn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy. ▪ Trong một đường trịn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuơng gĩc với dây căng cung ấy và ngược lại. Định lí 1: Với hai cung nhỏ trong một đường trịn hay trong hai đường trịn bằng nhau ▪ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. ▪ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. Định lí 2: Với hai cung nhỏ trong một đường trịn hay trong hai đường trịn bằng nhau ▪ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn. ▪ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: So sánh hai cung ▪ Sử dụng định nghĩa gĩc ở tâm, kết hợp với sự liên hệ giữa cung và dây. Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường trịn (O) . Cho biết B· AC 50 . So sánh các cung nhỏ AB , AC và BC . Lời giải Vì ABC cân tại A và B· AC 50 nên 180 B· AC 180 50 C· AB ·ABC 65 . 2 2 Ta thấy C· AB ·ABC B· AC nên sdB»C sd»AC sd»AB . Vậy B»C »AC »AB . Ví dụ 2. Chứng minh hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau. Lời giải. Đặt B»D và »AC là hai cung bị chắn bởi hai dây song song AB,CD . Vì OAB cân tại O và OH là đường cao của OAB nên H· OB H· OA (1) Vì OCD cân tại O và OK là đường cao của OCD nên K· OD K· OC (2)
2. Ta thấy B· OD H· OB K· OD H· OA K· OC ·AOC (3) Từ (1), (2) và (3), suy ra sđ B»D = sđ »AC . Vậy B»D = »AC (đpcm). Ví dụ 3. a) Chứng minh đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. b) Chứng minh đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuơng gĩc với dây căng cung ấy và ngược lại Lời giải a) Ta cĩ C»B C»A CB CA C· BA C· AB (do CBA cân tại C ). Mà OBC OAC (c-c-c) O· CB O· CA. Do đĩ MBC MAC (g-c-g) MB MA (đpcm). b) Chiều thuận: Vì CBA cân tại C và CM là trung tuyến (cmt) nên CM  AB . Chiều ngược: Vì CM  AB và OAB cân tại O nên B· OM ·AOM B· OC ·AOC sđB»C sđ»AC BC AC . Ví dụ 4. Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD AC . Vẽ đường trịn (O) ngoại tiếp tam giác BCD . Từ O lần lượt hạ các đường vuơng gĩc OH , OK với BC và BD(H BC, K BD) . a) Chứng minh OH OK ; b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC . Lời giải a) Xét ABC , cĩ BC AB AC (bđt tam giác) (1) Mà BD AB AD (2) Từ (1), (2) suy ra BC BD Vậy OH OK b) Vì BC BD (cmt) nên B»C B»D (liên hệ giữa cung và dây căng cung). C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
3. Bài 1. Trên dây cung AB của một đường trịn (O) , lấy hai điểm C và D chia dây này thành ba đoạn bằng nhau AC CD DB . Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E, F . Chứng minh a) »AE F»B; b) »AE E»F . Lời giải a) Vì OAB cân tại O nên O· AB O· BA . Xét OAC và OBD , ta cĩ ▪ OA OB (giả thiết); ▪ O· AC ·ABD (chứng minh trên); ▪ AC BD (giả thiết). OAC OBD (cạnh – gĩc – cạnh). ·AOC B· OD (hai gĩc tương ứng) hay ·AOE F· OB . Vậy »AE F»B (đpcm). b) Vì OAC OBD nên OC OD . Do đĩ OCD cân tại O . O· CD 90 hay E· CD 90 (do O· CD và E· CD kề bù). Xét CDE , ta cĩ E· CD C· ED ED CD ED AC . Xét AOC và EOD , ta cĩ ▪ OA OE ; ▪ OC OD ; ▪ AC ED ; ·AOC E· OD »AE E»F . Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường trịn (O) . Cho biết B· AC 75 . So sánh các cung nhỏ AB , AC và BC . Lời giải Vì ABC cân tại A và B· AC 75 nên 180 B· AC 180 75 C· AB ·ABC 52,5 . 2 2 Ta thấy C· AB ·ABC B· AC nên sđB»C sđ»AC sđ»AB . Vậy B»C »AC »AB .
4. Bài 3. Cho hai đường tron bằng nhau (O) và (O ) cắt nhau tại hai điểm A và B . Kẻ các đường kính AOC , AO D . Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường trịn (O ) . a) So sánh các cung nhỏ BC và BD. b) Chứng minh B là điểm chính giữa của cung EBD ( B»E B»D ). Lời giải a) Xét ABC và ABD , ta cĩ ▪ ·ABC ·ABD 90 ; ▪ AB : cạnh chung; ▪ AC AD (giả thiết). ABC ABD (cạnh huyền – cạnh gĩc vuơng). BC BD (hai cạnh tương ứng); B»C B»D . b) Vì AED cĩ ·AED 90 nên AED vuơng tại E . 1 Mà BC BD BE CD 2 B»E B»D B là điểm chính giữa của cung E¼BD . Bài 4. Cho đường trịn (O) đường kính AB . Vẽ hai dây AM và BN song song với nhau sao cho số đo cung nhỏ B»N 90 . Vẽ dây MD song song với AB . Dây DN cắt AB tại E . Chứng minh a) B¼M »AD ; b) DN  AB ; c) DE EN . Lời giải a) Ta cĩ MD P AB M»B »AD . b) AM PBN B¼M »AN . »AD »AN AD AN . AO là trung trực DN AO  DN . Vì DN  AB E và AE là trung trực DN DE EN (đpcm).
5. Bài 5. Cho đường trịn (O) đường kính AB . Trên cùng nửa đường trịn lấy hai điểm C, D . Kẻ CH vuơng gĩc với AB tại H , CH cắt (O) tại điểm thứ hai E . Kẻ AK vuơng gĩc với CD tại K , AK cắt (O) tại điểm thứ hai F . Chứng minh a) Hai cung nhỏ C»F, D»B bằng nhau. b) Hai cung nhỏ B»F, D»E bằng nhau. c) DE BF Lời giải. a) BF PCD B»C D»F B»C C»D D»F C»D B»D C»F b) AB là đường trung trực của CE BC BE B»C B»E D»F B»E . B»E E»F D»F E»F B»F D»E B»F D»E BF DE . D. BÀI TẬP VỀ NHÀ bài 6. Cho tam giác MNP cân tại M nội tiếp trong đường trịn (O) . Cho biết N· MP 30 . So sánh các cung nhỏ MN , MP và NP . Lời giải Vì MNP cân tại M và N· MP 30 nên 180 N· MP 180 30 N· PM M· NP 75 . 2 2 Ta thấy N· PM M· NP N· MP nên sdM¼N sdM»P sdN»P . Vậy M¼N M»P N»P . Bài 7. Cho đường trịn (O) đường kính AB , kẻ hai dây CD và EF cùng song song với AB . Chứng minh a) Hai cặp cung nhỏ AC , BD và AE , BF bằng nhau; b) Hai cung nhỏ CE và DF bằng nhau. Lời giải
6. a) Vì OAB cân tại O và OH là đường cao của OAB nên H· OB H· OA (1) Vì OCD cân tại O và OK là đường cao của OCD nên K· OD K· OC (2) Ta thấy B· OD H· OB K· OD H· OA K· OC ·AOC (3) Từ (1), (2) và (3), suy ra sđ B»D = sđ »AC hay B»D = »AC . Mặc khác B· OF K· OB K· OF K· OA K· OE ·AOE (4) Từ (1), (2) và (4), suy ra sđ B»F = sđ »AE hay B»F = »AE . b) Ta cĩ sđ »AE = sđ »AC + sđC»E . sđC»E sđ»AE sđ»AC sđB»F sđB»D sđD»F . Vậy C»E D»F . Bài 8. Cho đường trịn (O) , kẻ dây AB bất kì. M là điểm chính giữa cung AB , OM cắt dây AB tại I . Chứng minh a) I là trung điểm của dây AB ; b) OM vuơng gĩc AB . Lời giải a) Ta cĩ B¼M ¼AM B· OM ·AOM hay B· OI ·AOI . Do đĩ OBI OAI (c-g-c) IB IA. Vậy I là trung điểm của dây AB (đpcm). b) Vì OAB cân tại O và OI là trung tuyến của OAB (cmt) nên OI  AB . Vậy OM  AB (đpcm). HẾT