Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài: Ôn tập chương II (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài: Ôn tập chương II (Có đáp án)

1. ƠN TẬP CHƯƠNG II A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM ▪ Xem lại kiến thức trọng tâm từ bài 1 đến bài 8. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. TRẮC NGHIỆM Câu 1: [TS10 Cần Thơ, 2018-2019] Cho hai đường trịn (I;2 cm) và (J;3 cm) tiếp xúc ngồi nhau (như hình bên dưới). Độ dài đoạn nối IJ bằng A. 1 cm.B. 5 cm. C. 10 cm. D. 13 cm. Lời giải Độ dài đoạn nối tâm IJ bằng 2 3 5 cm. Câu 2: [TS10 Phú Yên, 2018-2019] Cho đường trịn tâm O đường kính 10 cm. Gọi H là trung điểm của dây AB (hình bên). Tính độ dài đoạn OH , biết AB 6 cm. A. OH 4 cm. B. OH 8 cm. C. OH 16 cm. D. OH 64 cm. Lời giải Do (O) cĩ đường kính 10 cm nên OA 5 cm. Xét (O) ta cĩ H là trung điểm của dây cung AB OH  AB tại H (quan hệ đường kính và dây cung). Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác OAH vuơng tại H cĩ OH 2 OA2 AH 2 52 32 16 OH 4 cm. Câu 3: [TS10 Yên Bái, 2018-2019] Cho đường trịng (O ; 2 cm), hai điểm A , B thuộc đường trịn và sđ »AB 60 . Độ dài d của dây cung AB là bao nhiêu? A. d 2 cm. B. d 4 cm. C. d 5cm. D. d 3cm. Lời giải Số đo cung »AB bằng số đo gĩc ở tâm chắn cung đĩ. Vậy ·AOB 60 . Mặt khác VAOB cân tại O. Suy ra VAOB đều AB 2 cm. Câu 4: [TS10 Phú Thọ, 2018-2019] Cho đường trịn tâm I , bán kính R 5 cm và dây cung AB 6 cm. Tính khoảng cách d từ I tới đường thẳng AB . A. d 4 cm. B. d 34 cm.
2. C. d 2 cm. D. d 1 cm. Lời giải Gọi H là trung điểm AB IH  AB và HA 3 cm. Xét tam giác vuơng IHA cĩ d IH IA2 HA2 4 (cm). Câu 5: [TS10 Yên Bái, 2018-2019] Cho đường trịn (O,5 cm) và dây cung AB 8 cm . Tính khoảng cách d từ tâm O đến dây cung AB . A. d 3 cm . B. d 6 cm . C. d 4 cm . D. d 5 cm . Lời giải AB Gọi H là trung điểm của AB AH HB 4 cm. 2 Xét tam giác AHB vuơng tại H nên OH OA2 AH 2 3 cm . Câu 6: [TS10 Yên Bái, 2018-2019] Cho đường trịn (O;15cm) , dây AB 24 cm . Một tiếp tuyến của đường trịn song song với AB cắt các tia OA , OB theo thứ tự ở E , F . Tính độ dài EF . A. EF 40 cm . B. EF 38 cm . C. EF 36 cm . D. EF 42 cm . Lời giải Dễ thấy rằng VOAB ∽ VOEF VOEF cân tại O . Gọi tiếp điểm I , gọi M là trung điểm của AB . Ta cĩ OM  AB OI  EF. Trong tam giác vuơng OMB cĩ OM OB2 MB2 152 122 9 cm. Vì MB PIF nên theo định lí Ta-lét ta cĩ OM AB AB OI EF 40 cm. OI EF OM Câu 7: [TS10 Cần Thơ, 2018-2019] Trong một đường trịn, xét các khẳng định sau: (I): Đường kính là dây cung lớn nhất. (II): Dây nhỏ hơn thì gần tâm hơn. (III): Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. (IV): Tiếp tuyến vuơng gĩc với bán kính tại tiếp điểm. Số khẳng định đúng là
3. A. 1. B. 2 . C. 4 .D. 3 . Lời giải Khẳng định (I), (III), (IV) đúng. Khẳng định (II) sai vì dây lớn hơn thì gần tâm hơn. Vậy cĩ 3 khẳng định đúng. Câu 8: [TS10 Hưng Yên, 2018-2019] Cĩ hai đường trịn (O;4 cm) và đường trịn (I;2 cm), biết OI 6 cm. Số tiếp tuyến chung của hai đường trịn đĩ là A. 4 .B. 3 . C. 2 . D. 1. Lời giải Ta cĩ OI 6 cm 4 2 R r. Suy ra (O;4 cm) tiếp xúc ngồi với (I;2 cm). Nên hai đường trịn này cĩ 3 đường tiếp tuyến chung. Câu 9: [TS10 Yên Bái, 2018-2019] Cho hai đường trịn (O ; 4 cm) và (O ;3 cm) cĩ OO 5 cm. Hai đường trịn trên cắt nhau tại A và B . Tính độ dài AB . A. AB 3,2 cm.B. AB 4,8cm. C. AB 2,4 cm. D. AB 3,6 cm. Lời giải Áp dụng định lý Pytago đảo cho VOAO ta cĩ OO 2 OA2 O A2 52 42 32 . Suy ra VOAO vuơng tại A . Gọi H là giao của AB và OO . Dựa vào hai tam giác đồng dạng VOAO và VOBO dễ dàng chứng minh AH là đường cao của VOAO . 1 1 1 12 Ta cĩ AH 2,4 cm. AH 2 42 32 5 Do đĩ AB 2AH 2.2,4 4,8cm. Câu 10: [TS10 Hưng Yên, 2018-2019] Từ một miếng tơn cĩ hình dạng là nửa hình trịn bán kính 1m , người ta cắt ra một hình chữ nhật (phần tơ đậm như hình vẽ). Phần hình chữ nhật cĩ diện tích lớn nhật cĩ thể cắt được là A. 1,6m2 . B. 0,5m2 .C. 1m2 . D. 2m2 .
4. Lời giải Gọi kích thước của miếng tơn cần cắt như hình vẽ Áp dụng định lý Pi-ta-go ta cĩ 2 2 2 2 b 2 4 b 4 b a 1 a a . 2 4 2 Khi đĩ diện tích miếng tơn hình chữ nhật là b 4 b2 S ab . 2 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số ta cĩ 2 2 2 b 4 b b2 4 b2 2b 4 b2 b 4 b2 2. 2 b 4 b2 2 S 1. 2 2 Dấu bằng xảy ra b 4 b2 b 2. Câu 11: [TS10 Yên Bái, 2018-2019] Cho tam giác ABC , biết Bµ 60, AB 6 cm, BC 4 cm. Tính độ dài cạnh AC . A. AC 2 7 cm. B. AC 52 cm. C. AC 4 5 cm. D. AC 2 3 cm. Lời giải Kẻ CH  AB(H AB) . Xét tam giác BHC ta cĩ CH BC sin 60 2 3; BH BC cos60 2. Từ đĩ AH AB BH 4 AC CH 2 AH 2 2 7. Câu 12: [TS10 Yên Bái, 2018-2019] Cho nửa đường trịn tâm O cĩ đường kính AB 4 cm . Vẽ các tiếp tuyến Ax , By ( Ax , By và nửa đường trịn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường trịn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax , By theo thứ tự ở D , C . Tính diện tích của hình thang ABCD , biết chu vi của nĩ bằng 14 cm . A. S 20 cm2 .B. S 10 cm2 . C. S 12 cm2 . D. S 16 cm2 .
5. Lời giải Xét VOMD và VOAD cĩ OM OA OD chung VOMD VOAD. · ·  OMD OAD 90 Xét VOMC và VOBC cĩ OM OB OC chung VOBC VOMC. · ·  OMC OBC 90 1 Từ VOMD VOAD M· OD ·AOD ·AOM và MD AD. 2 1 Từ VOMC VOBC M· OC B· OC B· OM và MC BC. 2 Chu vi hình thang ABCD là AB BC CD DA 14 4 BC MC MD AD 14 BC AD 5 cm. AD BC Diện tích hình thang S  AB 10 cm2. ABCD 2 Câu 13: [TS10 Yên Bái, 2018-2019] Cho tam giác ABC cĩ AB 20 cm, BC 12 cm, CA 16 cm. Tính chu vi của đường trịn nội tiếp tam giác đã cho A. 16 cm. B. 20 cm. C. 13 cm.D. 8 cm. Lời giải Vì AB2 BC 2 AC 2 VABC vuơng tại C . Từ đĩ dựa vào hình vuơng CHIK với I là tâm đường trịn nội tiếp. Ta cĩ CA CB AB r CH 4. 2 Vậy chu vi đường trịn nội tiếp 2 4 8 . Câu 14: [TS10 Phú Yên, 2018-2019] Cho đường trịn (O,6 cm) và đường trịn (O ,5 cm) cĩ đoạn nối tâm OO 8 cm. Biết đường trịn (O) và (O ) cắt OO lần lượt tại N , M (hình bên). Tính độ dài MN . A. MN 4 cm.B. MN 3 cm.
6. C. MN 2 cm. D. MN 1 cm. Lời giải OM MN ON OM MN 6 . O N MN O M O N MN 5 . Suy ra OM MN O N MN 11 OO MN 11 MN 3cm. Câu 15: [TS10 Yên Bái, 2018-2019] Cho hình vuơng ABCD cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD . Tính độ dài dây cung chung CF của đường trịn đường kính BE và đường trịn đường kính CD . 2a 5 2a 3 a 5 A. CF a .B. CF . C. CF . D. CF . 5 3 5 Lời giải Gọi CF cắt BE tại H . Tam giác BCE vuơng tại C nên ta cĩ 1 1 1 . CH 2 CE 2 CB2 a 5a 2a 5 Ta cĩ CE ; BC a CH CF 2CH . 2 5 5 BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.A 3.A 4.A 5.A 6.A 7.D 8.B 9. B 10. C 11.A 12.B 13.D 14.B 15. B II. TỰ LUẬN Bài 1. Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB . Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường trịn vẽ các tiếp tuyến Ax , By . Lấy điểm M thuộc nửa đường trịn ( M khác A , B ). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax , By lần lượt tại C , D . a) Chứng minh CD AC BD . b) Tính số đo gĩc C· OD . c) Chứng minh AC  BD R2 . d) Vẽ đường trịn tâm I , đường kính CD . Chứng minh AB là tiếp tuyến của (I) . Lời giải a) Ta cĩ tiếp tuyến AC và MC cắt nhau tại C ; tiếp tuyến BD và MD cắt nhau tại D (1)
7. CM CA và DM DB CD CM MD AC BD . b) Từ (1) OC là tia phân giác của ·AOM và OD là tia phân giác của M· OB . Ta cĩ ·AOM M· OB ·AOM M· OB 180 90 2 2 C· OM M· OD 90 C· OD 90 . c) VCOD vuơng tại O cĩ đường cao MO MC  MD MO2 R2 AC  BD R2 (do MC AC và MD BD ). d) Ta cĩ OI là đường trung tuyến trong tam giác vuơng COD vuơng tại O . Nên đường trịn đường kính CD ngoại tiếp VOCD . Lại cĩ OI là đường trung bình của hình thang ABDC OI P AC PBD . Mà AC  AB nên AB  OI AB là tiếp tuyến của đường trịn (I) . Bài 2. Cho đường trịn (O) và điểm A nằm ngồi đường trịn (O) . Từ A kẻ các tiếp tuyến AB , AC với (O) ( B , C là các tiếp điểm). a) Chứng minh A , B , O , C cùng thuộc một đường trịn. b) Chứng minh OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC . c) Biết OA 10 cm, OB 6 cm. Tính độ dài đoạn BC . d) Đường trịn (O) cắt đoạn OA tại I . Chứng minh I là tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC . Lời giải a) VBOA vuơng tại B VBOA nội tiếp trong đường trịn đường kính OA . VCOA vuơng tại C VCOA nội tiếp trong đường trịn đường kính OA . Vậy A , B , O , C cùng thuộc đường trịn đường kính OA . Ta cĩ VBOA VCOA (cạnh huyền - cạnh gĩc vuơng) AB AC và OB OC (hai cạnh tương ứng)
8. A nằm trên đường trung trực của đoạn BC và O nằm trên đường trung trực của đoạn BC OA là đường trung trực của đoạn BC . c) Gọi H là giao điểm của OA và BC BH  OA . OB2 VBOA vuơng tại B cĩ đường cao BH OB2 OAOH OH 3,6 cm. OA VOHB vuơng tại H HB OB2 OH 2 4,8 cm. OH  BC H là trung điểm của BC BC 2HB 9,6 cm. d) Ta cĩ B· AI C· AI (do VBOA VCOA ) AI là tia phân giác của B· AC (1). B· AI I·BO 90  Mặt khác I·BH B· IH 90 ·ABI I·BH BI là tia phân giác của ·ABC .(2) I·BO B· IH (do BOI cân tại O) V Từ (1), (2) I là tâm đường trịn nội tiếp VABC . Bài 3. Cho hai đường trịn (O; R) và (O ; R ) tiếp xúc ngồi tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngồi BC (B (O),C (O )) với hai đường trịn. Tiếp tuyến chung tại A của (O) và (O ) cắt BC tại M . a) Chứng minh MA MB MC và B· AC 90 . b) Tính số đo của O· MO . c) Chứng minh OO tiếp xúc với đường trịn đường kính BC . d) Biết R 9 cm, R 4 cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC . Lời giải a) Ta cĩ tiếp tuyến MA và MB cắt nhau tại M ; tiếp tuyến MA và MC cắt nhau tại M MA MB và MA MC MA MB MC . Khi đĩ ta cĩ VMAB cân tại M và VMAC cân tại M M· BA M· AB và M· AC M· CA. VABC cĩ B· AC M· BA M· CA 180 2 M· AB M· AC 180 B· AC 90 . b) Ta cĩ MO là tia phân giác của B· MA và MO là tia phân giác của C· MA
9. B· MA C· MA B· MA C· MA 180 O· MO O· MA O· MA 90 . 2 2 2 2 c) Ta cĩ MA MB MC M là tâm đường trịn đường kính BC và A cũng thuộc đường trịn (M ) . Mà MA  OO nên OO tiếp xúc với đường trịn đường kính BC . d) VMOO vuơng tại M cĩ đường cao MA MA2 AO  AO 36 MA 6 cm MB MC 6 cm BC MA MB 12 cm. Bài 4. Cho đường trịn tâm O , đường kính AB 2R . Điểm C nằm trên đường trịn (C khác A , B ). Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của C lên AB . Vẽ đường trịn tâm I đường kính HA và đường trịn tâm K đường kính HB . CA cắt (I) tại M (khác A ), CB cắt (K) tại N (khác B ). a) Tứ giác CMHN là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của (I) và (K) . c) Chứng minh AB tiếp xúc với đường trịn đường kính MN . R d) Biết HA . Tính diện tích tứ giác IMNK theo R . 2 Lời giải 1 a) VABC cĩ đường trung tuyến CO AB VABC vuơng tại C . 2 1 VAMH cĩ đường trung tuyến MI AH VAMH vuơng tại M . 2 1 VNHB cĩ đường trung tuyến NK HB VNHB vuơng 2 tại N . Vậy CMHN là hình chữ nhật. b) Gọi P là giao điểm của CH và MN PM PH PN (tính chất hình chữ nhật). Từ đĩ suy ra VPMI VPHI (cạnh - cạnh - cạnh) và VPHK VPNK (cạnh - cạnh - cạnh) P· MH P· HI 90 và P· NK P· HK 90 . Do đĩ MN là đường tiếp tuyến của đường trịn (I) và (K) . Hay MN là tiếp tuyến chung của (I) và (K) . c) CMHN là hình chữ nhật nên M· HN 90 . Khi đĩ tâm đường trịn đường kính MN là P .
10. Ta cĩ đường trịn này ngoại tiếp VMHN và PH  AB . Do đĩ AB tiếp xúc với đường trịn đường kính MN . R R 3R R 3R d) Ta cĩ HA HB 2R HI và HK . 2 2 2 4 4 Ta cĩ PI là tia phân giác của M· PH và PK là tia phân giác của N· PH M· PI H· PI và H· PK N· PK . Khi đĩ ta cĩ M· PH H· PN 180 I·PK I·PH H· PK 90 . 2 2 R 3 VPIK vuơng tại P cĩ PH là đường cao PH IH  HK PM PN 4 R 3 MN 2PM . 2 1 1 R 3 R 3R R2 3 SIMNK MN(MI NK)  . 2 2 2 4 4 4 Bài 5. Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AB 2R . Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường trịn, kẻ tiếp tuyến Ax . Điểm C nằm trên nửa đường trịn sao cho AC R . a) Tính số đo các gĩc của tam giác ABC . b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt Ax tại D . Chứng minh OD song song với BC . c) Tia BC cắt Ax tại E . Chứng minh DE DA . d) Kẻ CH  AB với H thuộc AB , BD cắt CH tại I . Chứng minh I là trung điểm của CH . Lời giải AB a) VABC cĩ trung tuyến CO VABC vuơng tại C ·ACB 90 . 2 Lại cĩ AC R do đĩ VOAC là tam giác đều C· AO 60 ·ABC 30 . b) Do D là giao điểm của hai đường tiếp tuyến Ax và CD nên OD  AC . Mà BC  AC nên OD PBC . c) OD PBE E· CD C· DO (so le trong). OD PBE C· ED O· DA (đồng vị). Mà C· DO O· DA (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
11. Nên E· CD C· ED VECD cân tại D DE DC . Mà DA DC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên DE DA . IH BI d) Áp dụng định lí Thales vào VBAD cĩ IH P AD . AD BD IC BI Áp dụng định lí Thales vào VBED cĩ IC PED . ED BD IH IC Do đĩ . AD ED Mà DA DE (chứng minh ở câu c). Nên IH IC hay I là trung điểm của CH . Bài 6. Cho đường trịn (O; R) đường kính AB . Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến d và d với (O) . Đường thẳng thay đổi qua O cắt d tại M và cắt d tại P . Từ O vẽ một tia vuơng gĩc với MP cắt d tại N . a) Chứng minh OM OP và tam giác MNP cân. b) Gọi I là hình chiếu vuơng gĩc của O lên MN . Chứng minh OI R và MN là tiếp tuyến của đường trịn (O) . c) Chứng minh MN AM BN . d) Chứng minh AM  BN khơng đổi khi đường thẳng quay quanh O . Lời giải a) Xét các tam giác vuơng VOAM và VOBP cĩ M· OA B· OP (đối đỉnh). OA OB (bán kính). Do đĩ VOAM VOBP (cạnh gĩc vuơng - gĩc nhọn kề) OM OP (2 cạnh tương ứng) VMNO VPNO (cạnh huyền - cạnh gĩc vuơng) N· MO N· PO (2 gĩc tương ứng) VMNP cân tại N . b) Ta cĩ ·AMO O· PB (do VOAM VOBP ) và I·MO O· PB (chứng minh trên). Do đĩ O· MA O· MI . Xét hai tam giác vuơng VOIM và VOAM cĩ
12. O· MI O· MA (chứng minh trên). OM là cạnh huyền chung. Do đĩ VOMI VOMA (cạnh huyền - gĩc nhọn) OI OA R . Mà OI  MN tại I nên MN là tiếp tuyến của đường trịn (O) . c) Ta cĩ MI MA (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và IN BN (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau). Do đĩ MN MI IN AM BN . d) Ta cĩ AM  BN MI  IN OI 2 R2 (khơng đổi). Bài 7. Cho nửa đường trịn (O) , đường kính AB và điểm C là một điểm nằm trên (O) (C khác A , B ). Tia phân giác của ·ABC cắt AC tại K và cắt (O) tại I ( I khác B ). Gọi D là giao điểm của AI và BC . a) Chứng minh tam giác ABD cân. b) Chứng minh DK vuơng gĩc với AB . c) Gọi E là điểm đối xứng của K qua I . Tứ giác AEDK là hình gì? Vì sao? d) Chứng minh EA là tiếp tuyến của (O) . Lời giải 1 a) VABI cĩ trung tuyến OI AB VAIB 2 vuơng tại I . Khi đĩ ta cĩ BI vừa là đường cao vừa là đường phân giác trong tam giác ABD VABD cân tại B . b) Chứng minh tương tự ta suy ra AC  BD . Mà BI và AC cắt nhau tại K nên K là trực tâm của VABD DK  AB . c) VABD cân tại B cĩ BI là đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến nên IA ID . Tứ giác AEDK cĩ hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và hai đường chéo này vuơng gĩc với nhau nên tứ giác AEDK là hình thoi. d) AEDK là hình thoi EA PDK . Mà DK  AB nên EA  AB EA là tiếp tuyến của (O) .
13. Bài 8. Cho hai đường trịn (O; R) và (O ; R ) tiếp xúc ngồi tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngồi BC (B (O),C (O )) với hai đường trịn. Tiếp tuyến chung ngồi tại A của (O) và (O ) cắt BC tại D . a) Chứng minh VODO là tam giác vuơng. b) Gọi E là giao điểm của OD và AB , gọi F là giao điểm của O D và AC . Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao? c) Chứng minh BC tiếp xúc với đường trịn đường kính OO . d) Chứng minh BC 2 R  R . Lời giải a) Ta cĩ OD là tia phân giác của B· DA (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và O D là tia phân giác của ·ADC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau). 1 1 1 O· DO O· DA ·ADO B· DA ·ADC B· DA 90 . 2 2 2 Do đĩ VODO vuơng tại D . b) Ta cĩ OD  AB tại E và O D  AC tại F (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau). Do đĩ AEDF là hình chữ nhật. c) Gọi K là trung điểm của OO , ta cĩ KD là đường trung bình của hình thang OO CB KD  OB . Mà OB  BC nên 1 KD  BC tại D và KD (R R ) nên 2 D (K) . Vậy BC tiếp xúc với đường trịn đường kính OO . d) VDOO vuơng tại D cĩ đường cao AD AD AO  AO R  R . Vậy BC 2AD 2 R  R . HẾT