Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn (Có đáp án)

1. Bài 7. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Ba vị trí tương đối của hai đường tròn ▪ Hai đường tròn có hai điểm chung gọi là hai đường tròn cắt nhau. ▪ Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung đó gọi là tiếp điểm. ▪ Hai đường tròn không có điểm chung được gọi là hai đường tròn không giao nhau. 2. Tính chất đường nối tâm ▪ Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây cung ấy. ▪ Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Chứng minh song song, vuông góc. ▪ Vận dụng tính chất của đường nối tâm; các dấu hiệu chứng minh song song; định lí Py-ta- go; tính chất hình hình thang; tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau Ví dụ 1. Cho hai đường tròn (O; R) và (O ;r) tiếp xúc nhau tại A ( A nằm giữa O và O ). Một đường thẳng đi qua A cắt (O; R) tại B và cắt (O ;r) tại C . Chứng minh OB PO C . Lời giải Theo tính chất đường nối tâm thì O , A , O thẳng hàng. O· BA O· AB O· AC O· CA . OB PO C . Ví dụ 2. Cho hai đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại hai điểm A và B . Kẻ các đường kính AOC , AO D . Chứng minh: a) AB  BC . b) C , B , D thẳng hàng. c) OO PCD . Lời giải
2. a) Ta có VABC nội tiếp đường tròn đường kính AC ·ABC 90 AB  BC . b) Ta có VABD nội tiếp đường tròn đường kính AD ·ABD 90 AB  BD . Do đó C· BD ·ABC ·ABD 90 90 180 . B , C , D thẳng hàng. OO  AB c) Ta có OO PCD. CD  AB Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau ▪ Vận dụng tính chất của đường nối tâm; các dấu hiệu chứng minh song song; định lí Py-ta- go; tính chất hình hình thang; tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau Ví dụ 3. Cho hai đường tròn (O;10 cm) và (O ;8 cm) cắt nhau tại hai điểm A, B . Biết AB 12 cm, tính đoạn nối tâm OO . Lời giải Trường hợp 1: O và O nằm khác phía đối với AB . Gọi I OO  AB . Theo tính chất đường nối tâm AB OO là đường trung trực của AB IA IB 6 cm. 2 Khi đó ta có OI OA2 IA2 102 62 8 cm. O I O A2 IA2 82 62 2 7 cm. OO OI O I 8 2 7 cm. Trường hợp 2: O và O nằm cùng về một phía đối với AB . OO OI O I 8 2 7 cm. Ví dụ 4. Cho hai đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại A và B . Gọi I là trung điểm của OO . Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AI , cắt đường tròn (O) và (O ) tại C và D (C, D A ). Chứng minh AC AD . Lời giải Kẻ OH  AC , O K  AD .
3. Khi đó tứ giác OHKO là hình thang vuông có I là trung điểm của OO và IA POH PO K . AH AK . Mà H, K lần lượt là trung điểm của AC và AD (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung). Do đó AC AD . C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho hai đường tròn (O ) và (O ) tiếp xúc với nhau tại điểm A sao cho O nằm giữa O và A . Gọi M là một điểm bất kì nằm trên (O) ( M A), AM cắt (O ) tại B . Chứng minh rằng O B POM . Lời giải Ta có VOMA cân tại O . Do đó O· MA O· AM (1) Lại có VO BA cân tại O . Do đó O· BA O· MA (2) Từ (1) và (2) suy ra O· MA O· BA. Mà O· MA và O· BA đồng vị nên OM PO B . Bài 2. Cho hai đường tròn (O; R ) và ( I;r ) cắt nhau tại M và N , trong đó I thuộc đường tròn (O) và R r . Kẻ đường kính IOK của đường tròn (O) . a) Chứng minh KM , KN là các tiếp tuyến của (I) . b) Đường vuông góc với MI tại I cắt KN tại J . Chứng minh JI JK . c) Đường vuông góc với KM tại K cắt IN tại P . Chứng minh ba điểm O , J , P thẳng hàng. Lời giải a) VIMK nội tiếp đường tròn tâm O đường kính IK . I·MK 90 KM  IM . KM là tiếp tuyến của ( I ). Tương tự: KN là tiếp tuyến của ( I ). b) Ta có K· MI 90 KM  IM . Mà JJ  IM . Do đó IJ PKM J· IK I·KM . Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có I·KM J· KI J· IK J· KI VIJK cân tại J JI JK .
4. c) Ta có P· KO I·KM 90 P· KO J· KI 90 (1) . Ta lại có P· IK N· KI 90 (2) . Từ (1) và ( 2 ) suy ra P· IK P· KI . VPIK cân tại P PI PK . Do đó suy ra ba điểm O , P , J cùng thuộc đường trung trực của IK nên O , J , P thẳng hàng. Bài 3. Cho hai đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại hai điểm A và B . Gọi I là trung điểm của OO , gọi C là điểm đối xứng với A qua I . Chứng minh: a) BC  AB . b) AOCO là hình bình hành. c) OO BC là hình thang cân. Lời giải a) Gọi H OO  AB . Theo tính chất đường nối tâm OO là đường trung trực của AB . Do đó OO  AB và H là trung điểm của AB . IH là đường trung bình của VABC . IH PBC mà IH  AB BC  AB . b) Tứ giác AOCO có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên AOCO là hình bình hành. c) Ta có OA O C do AOCO là hình bình hành. Mà OA OB OB O C . Tứ giác OO BC có OO PBC và OB O C nên OO BC là hình thang cân. D. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 4. Cho hai đường tròn (O) và (O ) tiếp xúc nhau tại A ( A nằm giữa O và O ). Một đường thẳng đi qua A cắt (O) tại B , cắt (O ) tại C . Vẽ tiếp tuyến Bx tại B của (O) , vẽ tiếp tuyến Cy tại C của (O ) . Chứng minh Bx PCy . Lời giải Theo tính chất đường nối tâm thì O , A , O thẳng hàng.
5. O· BA O· AB O· AC O· CA . OB PO C . Ta lại có ▪ OB  Bx ( Bx là tiếp tuyến của đường tròn (O)); ▪ O 'C  Cy (Cy là tiếp tuyến của đường tròn (O’)). nên ta suy ra Bx PCy . Bài 5. Cho hai đường tròn ( O;15 cm) và (O ;13 cm) cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho O và O nằm khác phía đối với AB . Biết AB 24 cm. Tính độ dài OO . Lời giải Gọi I OO  AB . Theo tính chất đường nối tâm AB OO là đường trung trực của AB IA IB 12 cm. 2 Khi đó ta có OI OA2 IA2 152 122 9 cm. O I O A2 IA2 132 122 5 cm. OO OI O I 9 6 14 cm. HẾT