Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài 1: Sự xác định của đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài 1: Sự xác định của đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn (Có đáp án)

1. Chương 2 ĐƯỜNG TRềN Bài 1. SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRềN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRềN A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Khỏi niệm ▪ Đường trũn tõm O bỏn kớnh R (R > 0) là hỡnh gồm cỏc điểm cỏch điểm O một khoảng bằng R. 2. Vị trớ tương đối giữa điểm và đường trũn ▪ Điểm M nằm trong đường trũn (O;R) khi OM R . 3. Cỏch xỏc định đường trũn Một đường trũn được xỏc định khi ▪ Biết tõm và bỏn kớnh đường trũn. ▪ Biết một đoạn thẳng là đường kớnh của đường trũn. ▪ Qua ba điểm khụng thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường trũn. ▪ Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc là đường trũn đi qua ba đỉnh của tam giỏc. Khi đú tam giỏc được gọi là tam giỏc nội tiếp đường trũn. ▪ Tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giỏc. ▪ Tõm của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc vuụng là trung điểm của cạnh huyền. ▪ Nến tam giỏc cú một cạnh là đường kớnh của đường trũn ngoại tiếp thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng. 4. Tõm đối xứng ▪ Đường trũn là hỡnh cú tõm đối xứng. Tõm đối xứng của đường trũn là tầm đối xứng của hỡnh trũn đú. 5. Trục đối xứng ▪ Đường trũn là hỡnh cú trục đối xứng. Bất kỡ đường kớnh nào cũng là trục đối xứng của đường trũn. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Xỏc định tõm và bỏn kớnh của đường trũn đi qua nhiều điểm ▪ Dựa vào định nghĩa đường trũn: Nếu một điểm cỏch đều cỏc điểm cũn lại thỡ điểm đú chớnh là tõm của đường trũn. Vớ dụ 1. Cho hỡnh vuụng ABCD cú cạnh bằng 4 cm. Chứng minh rằng bốn điểm A , B , C , D cựng thuộc một đường trũn. Tớnh bỏn kớnh của đường trũn đú. Lời giải Gọi O = AC ầBD ị OA = OB = OC = OD , suy ra A , B , C , D ẻ (O;OA) với OA = 2 2 cm.
2. Vớ dụ 2. Cho tam giỏc đều ABC cú cạnh bằng 6 cm. Xỏc định tõm và bỏn kớnh của đường trũn ngoại tiếp VABC . Lời giải Gọi O là giao điểm của cỏc đường trung trực của VABC . Suy ra O là tõm đường trũn ngoại tiếp VABC . AH 3 OA = = = 2 3 cm . cos30° cos30° Dạng 2: Xỏc định vị trớ của điểm và đường trũn Muốn xỏc định vị trớ của điểm M và đường trũn (O), ta làm như sau ▪ Bước 1: Xỏc định khoảng cỏch từ M đến tõm O của đường trũn. ▪ Bước 2: Dựa vào kết quả so sỏnh của OM và bỏn kớnh R của đường trũn mà kết luận. Vớ dụ 4. Trờn mặt phẳng tọa độO xy , hóy xỏc định vị trớ tương đối của điểmM (1;1) , N (2;0) , P(2;3) đối với (O;2) . Lời giải OM = 2 2 nờn P nằm ngoài đường trũn (O;2) . Vớ dụ 5. Cho hỡnh vuụng ABCD , O là giao điểm của hai đường chộo, OA = 2 2 cm. Vẽ đường trũn (A ; 4 cm). Xỏc định vị trớ tương đối của cỏc điểm A , B , C , D với đường trũn (O;4 cm). Lời giải AB = AD = 4 cm, suy ra B , D ẻ (A;4 cm) . Ta cú A = 2 2 4 nờn C nằm ngoài đường trũn (A;4 cm) . Dạng 3: Dựng đường trũn thỏa món yờu cầu cho trước ▪ Xem phần kiến thức trọng tõm.
3. Vớ dụ 6. Cho gúc xAy nhọn và hai điểm B , C thuộc tia Ay . Dựng đường trũn tõm O đi qua hai điểm B , C sao cho O nằm trờn tia Ax . Lời giải Cỏch dựng: Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng BC cắt Ay tại O . Dựng đường trũn (O;OB) . Chứng minh: Vỡ O thuộc trung trực của đoạn thẳng BC nờn OB = OC . Vậy O là tõm đường trũn đi qua hai điểm B , C . Vớ dụ 7. Một tấm bỡa hỡnh trũn khụng cũn dấu vết của tõm. Hóy xỏc định lại tõm và bỏn kớnh của hỡnh trũn đú. Lời giải Lấy ba điểm A , B , C bất kỡ thuộc viền hỡnh trũn. Dựng cỏc đường trung trực của đoạn AB và BC , chỳng cắt nhau tại O . Vậy O chớnh là tõm của hỡnh trũn và OA là bỏn kớnh của hỡnh trũn. C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB = 12 cm, BC = 5 cm. Tỡm tõm và bỏn kớnh của đường trũn đi qua 4 điểm A , B , C , D . Lời giải Gọi I = AC ầBD ị IA = IB = IC = ID suy ra A , B , C , D ẻ (I ;IA) . Tớnh được AC = 13 cm ị IA = 6,5 cm. Bài 2. Cho VABC vuụng tại A , AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tỡm tõm và bỏn kớnh của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC . Lời giải Gọi M là trung điểm của BC , suy ra M là tõm đường trũn ngoại tiếp VABC . BC Vậy MA = MB = MC = = 5 cm. 2
4. Bài 3. Cho nửa đường trũn (O) cú đường kớnh AB . M là điểm nằm bờn ngoài đường trũn sao cho MA , MB cắt nửa đường trũn lần lượt tại N , P . a) Chứng minh BN ^ MA , AP ^ MB ; b) Gọi K là giao điểm của BN và AP . Chứng minh MK ^ AB . Lời giải a) VANB cú đường trung tuyến NO ứng với cạnh AB và bằng nửa cạnh AB , suy ra VANB vuụng tại N ị BN ^ MA . Làm tương tự, ta cú AP ^ MB . b) Từ cõu trờn, ta cú K là trực tõm tam giỏc MAB ị MK ^ AB . Bài 4. Cho VMNP cõn tại N , nội tiếp đường trũn (O) . Đường cao NH cắt đường trũn tại K . a) Chứng minh NK là đường kớnh của (O) ; b) Tớnh số đo NãPK ; c) Biết MP = 24 cm, NP = 20 cm. Tớnh NH và bỏn kớnh của đường trũn (O) . Lời giải a) VMNP cõn tại N , suy ra NH là đường cao đồng thời là đường trung trực của MP , mà O thuộc đường trung trực của MP ị NK là đường kớnh của đường trũn (O) . b) VNPK nội tiếp đường trũn đường kớnh NK ị PãNK = 90° . MP c) Ta cú HP = = 12 cm. 2 Áp dụng định lớ Py-ta-go vào VNHP vuụng tại H ị NH = 16 cm. Áp dụng hệ thức lượng vào VNPK vuụng tại P , PH ^ NK ta tớnh được NK = 25 cm. Vậy bỏn kớnh của (O) là 25:2= 12,5 cm. Bài 5. Cho VABC cõn tại A , cú BC = 36 cm, đường cao AH = 12 cm. Tớnh bỏn kớnh của đường trũn ngoại tiếp VABC . Lời giải
5. Gọi K = AH ầ(O) . Vỡ VABC cõn tại A nờn AH vừa là đường cao vừa là đường trung trực của BC , mà O thuộc trung trực của BC nờn AK là đường kớnh của (O) . Vỡ VACK nội tiếp (O) cú AK là đường kớnh nờn VACK vuụng tại C . Theo Py-ta-go ta tớnh được CH = 18 cm. Áp dụng hệ thức lượng vào tam giỏc vuụng ACK ta cú HK = 27 cm, suy ra AK = 39 cm nờn R = 19,5 cm. Bài 6. Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB = a , BC = b . Chứng minh rằng bốn điểm A , B , C , D cựng thuộc một đường trũn. Xỏc định tõm và tớnh bỏn kớnh của đường trũn đú. Lời giải Gọi O là giao điểm của hai đường chộo AC và BD . Theo tớnh chất hai đường chộo của hỡnh chữ nhật, ta cú ổ 1 1 ử OA = OB = OC = OD ỗ= AC = BDữ. ốỗ 2 2 ữứ ổ 1 ử Vậy bốn điểm A , B , C , D cựng thuộc ỗO; AC ữ. ốỗ 2 ứữ Áp dụng định lớ Py-ta-go vào tam giỏc vuụng ABC , ta cú AC 2 = AB 2 + BC 2 = a2 + b2. 1 1 Do đú R = AC = a2 + b2 . 2 2 Bài 7. Cho tam giỏc ABC , cỏc đường cao BD và CE . Trờn cạnh AC lấy điểm M . Kẻ tia Cx vuụng gúc với tia BM tại F . Chứng minh rằng năm điểm B , C , D , E , F cựng thuộc một đường trũn. Lời giải Gọi O là trung điểm của BC . Ta cú BD là đường cao nờn BD ^ AC , hay tam giỏc BDC vuụng tại D . Trong tam giỏc vuụng BDC cú DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nờn 1 OD = OB = OC = BC . (1) 2 1 Tương tự, ta cú OE = OB = OC = BC . (2) 2 1 và OF = OB = OC = BC . (3) 2
6. Từ (1) , (2) và (3) suy ra OB = OC = OD = OE = OF . Do đú năm điểm B , C , D , E , F cựng 1 thuộc đường trũn (O;R) với R = BC . 2 Bài 8. Chứng minh rằng bốn trung điểm của bốn cạnh hỡnh thoi cựng thuộc một đường trũn. Lời giải Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của bốn cạnh AB , BC , CD và DA của hỡnh thoi ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Ta cú AC ^ BD . Theo tớnh chất đường trung tuyến ứng với 1 cạnh huyền của tam giỏc vuụng, ta được OM = AB ; 2 1 1 1 ON = BC ; OP = CD ; OQ = AD . 2 2 2 Mặt khỏc AB = BC = CD = DA nờn OM = ON = OP = OQ . Do đú bốn điểm M , N , P , Q cựng nằm trờn một đường trũn. Bài 9. Tớnh bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC đều, cạnh 3 cm. Lời giải Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp VABC . M là trung điểm của BC . Vỡ tam giỏc ABC đều nờn O cũng là trực tõm, trọng tõm của VABC . Áp dụng định lớ Py-ta-go vào tam giỏc vuụng AMC cú 2 2 2 2 2 ổBC ử 2 ổ3ử 3 3 AM = AC - MC = AC - ỗ ữ = 3 - ỗ ữ = ốỗ 2 ứữ ốỗ2ứữ 2 Bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC 2 2 3 3 R = OA = AM = ì = 3 cm. 3 3 2 Nhận xột: Ta cú cỏch giải khỏc như sau. Trong tam giỏc vuụng ABM cú AM AM 3 3 sinÃBM = Û sin 60° = ị AM = 3ìsin 60° = . AB 3 2 2 Do đú R = AM = 3 cm 3 Bài 10. Trong hệ trục tọa độ Oxy cho cỏc điểm M (- 1;- 2) , N (1;2) và P(- 5;0) . Tớnh bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MNP . Lời giải Áp dụng cụng thức tớnh khoảng cỏch giữa hai điểm A(xA ;yA ), B (xB ;yB ) ta cú
7. 2 2 AB = (xB - xA ) + (yB - yA ) . ta tớnh được MN = 2 5 , MP = 2 5 , NP = 2 10 . Do đú MN 2 + MP 2 = 20+ 20= NP 2 ị VMNP vuụng tại M (định lớ Py-ta-go đảo). 1 Suy ra bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp VMNP là R = NP = 10 (do trong tam giỏc vuụng đường 2 trung tuyến ứng với cạnh huyền thỡ bằng nửa cạnh huyền). Bài 11. Cho tam giỏc MNP cú MN = MP = a và NãMP = 120° . Gọi O là tõm và r là bỏn kớnh d của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MNP . Tớnh tỉ số với d = NP . r Lời giải Vẽ MH ^ NP thỡ NãMH = HãMP = 60° (vỡ VNMP cõn tại M ). Trờn tia MH lấy điểm O sao cho MO = MN = MP = a . Xột tam giỏc MNO cú MN = MO = a ; NãMO = 60° nờn tam giỏc MNO đều, suy ra ON = OM = a . Tương tự, ta cú tam giỏc OMP đều và OM = OP = a . Do đú O là tõm đường trũn ngoại tiếp VNMP và bỏn kớnh của đường trũn này bằng a (r = a ). Ta cú 2 2 ổaử 2a 3 d a 3 d = NP = 2NH = 2 a - ỗ ữ = = a 3 ị = = 3. ốỗ2ứữ 2 r a Bài 12. Cho đường trũn (O;R) và hai điểm M , N sao cho M nằm trong và N nằm ngoài (O;R) . Hóy so sỏnh OãMN và OãNM . Lời giải Ta cú M nằm trong (O;R) nờn OM R . Trong tam giỏc OMN , cú OM R ) nờn OãMN > OãNM (trong một tam giỏc, gúc đối diện với cạnh lớn hơn thỡ lớn hơn). D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
8. Bài 13. Cho tam giỏc ABC , đường cao BH . Lấy một điểm M trờn cạnh AB (M ạ A , M ạ B ). Qua B kẻ tia Bx vuụng gúc với tia CM tại K . So sỏnh BC và HK . Lời giải Gọi O là trung điểm của BC . Vỡ tam giỏc BKC vuụng tại K , tam giỏc BHC vuụng tại H , nờn bốn điểm B , K , H , C cựng thuộc đường trũn tõm O đường kớnh BC . Do đú HK < BC . Bài 14. Cho tam giỏc MNP vuụng tại M , NP = 2a . Trờn cạnh MN lấy điểm A (A ạ M , A ạ N ). Qua trung điểm I của NP vẽ tia Ix vuụng gúc với IA . Tia Ix cắt đường thẳng MP tại B . Xỏc định vị trớ của điểm A để độ dài đoạn AB nhỏ nhất. Lời giải Tam giỏc vuụng MNP cú đường trung tuyến MI ứng với cạnh huyền NP nờn 1 1 MI = NI = IP = NP = ì2a = a. 2 2 Ta cú ÃMB = 90° , Ã IB = 90° do dú bốn điểm A , M , B , I cựng thuộc đường trũn đường kớnh AB . Suy ra AB ³ MI hay AB ³ a . Vỡ vậy minAB = a Û MI là đường kớnh Û Mã AI = 90° Û AI PMP Û A là trung điểm của MN (vỡ I là trung điểm của NP ). Vậy khi A là trung điểm của MN thỡ minAB = a . Bài 15. Bốn đỉnh của một hỡnh chữ nhật kớch thước 5´ 12 cựng nằm trờn một đường trũn cú bỏn kớnh bằng bao nhiờu? Lời giải Ta cú 2R = 122 + 52 = 13 nờn R = 6,5. Bài 16. Cho hỡnh thoi ABCD . Đường trung trực của cạnh BC cắt đường thẳng AC tại M và cắt đường thẳng BD tại N . Chứng minh rằng M và N lần lượt là tõm của đường trũn ngoại tiếp cỏc tam giỏc BCD và ABC . Lời giải
9. Trong hỡnh thoi, mỗi đường chộo là đường trung trực của đường chộo kia. Điểm M là giao điểm hai đường trung trực của tam giỏc BCD nờn M là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BCD . Điểm N là giao điểm hai đường trung trực của tam giỏc ABC nờn N là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC . HẾT