Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (Có đáp án)

1. Chương HỆ THỨC LƯỢNG 1 TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Mở đầu Từ hình vẽ bên, ta có ▪ Cạnh góc vuông: AB, AC . ▪ Cạnh huyền: BC . ▪ Đường cao: AH . ▪ HA là hình chiếu của AB trên cạnh BC . ▪ HC là hình chiếu của AC trên cạnh BC . ▪ Định lý Py-ta-go: BC 2 AB2 AC 2 1. Hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền ▪ Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của nó trên cạnh huyền. BA2 BH  BC hay c2 c 'a ; CA2 CH CB hay b2 b'a . 2. Hệ thức liên quan đến đường cao Trong một tam giác vuông ▪ Bình phương độ dài đường cao bằng tích hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền. AH 2 HB  HC hay h2 b'c ' . ▪ Tích độ dài đường cao với cạnh huyền bằng tích độ dài hai cạnh góc vuông. AH  BC AB  AC hay a h bc . ▪ Nghịch đảo bình phương độ dài đường cao bằng tổng nghịch đảo bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. 1 1 1 1 1 1 hay . AH 2 AB2 AC 2 h2 a2 b2 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng và các yếu tố khác dựa vào hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền ▪ Vận dụng định lý Py-ta-go để tính cạnh thứ ba (nếu cần). ▪ Vận dụng các hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác. Ví dụ 1. Tính các độ dài x , y trong hình bên.
2. a) b) c) Lời giải a) Áp dụng định lí Pytago ta được BC 2 AB2 AC 2 7,52 102 156,25. Do đó BC 12,5 . Áp dụng hệ thức c2 ac ta được AB2 BC  BH 7,52 12,5x x 4,5. Suy ra y BC BH 12,5 4,5 8 . b) Ta có BC 1 3 4 . Áp dụng hệ thức c2 ac ta được AB2 BC  BH x2 41 4 x 2; AC 2 BC CH y2 34 y 2 3. c) Áp dụng hệ thức c2 ac ta được 2 AB2 BC  BH 2 5 (x 6)6 x 6 10 x 4 4 Ví dụ 2. Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng . Tính tỉ số hai hình chiếu của hai 9 cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền. Lời giải Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền, ta có b2 ab ; b2 ab b c2 ac , suy ra . c2 ac c 2 b 4 b 4 16 Nếu thì . c 9 c 9 81 3 Ví dụ 3. Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng , cạnh huyền dài 10cm. Tính độ dài 4 các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
3. Lời giải Áp dụng hệ thức (1) ta có b2 ab ; c2 ac b2 ab b Suy ra . c2 ac c b 3 b 9 b c b c 10 2 Nếu thì suy ra . c 4 c 16 9 16 9 16 25 5 2 2 Do đó b 9 3,6 ; c 16 6,4. 5 5 Dạng 2: Tính độ dài dựa vào hệ thức liên quan đến đường cao ▪ Vận dụng các hệ thức liên quan đến đường cao và định lý Py-ta-go. Ví dụ 4. Tính độ dài x , y trong hình bên. Lời giải Áp dụng định lí Pytago ta được 2 BC 2 AB2 AC 2 32 3 3 36 x 6. Áp dụng hệ thức ah bc ta được 3 3 AH  BC AC  AB 6y 3 3 3 y . 2 Ví dụ 5. Tính diện tích tam giác ABC trong hình bên. Lời giải Áp dụng hệ thức h2 b c ta được AH 2 HB  HC 122 BH 16 BH 9. Do đó BC 9 16 25 . 1 1 Diện tích tam giác ABC là S BC  AH 2512 150 (đvdt). 2 2 Ví dụ 6. Tính độ dài AH trong hình bên. Lời giải Ta có HC 7,5 2,7 4,8 . Áp dụng hệ thức h2 b c ta được
4. AH 2 BH  HC 2,74,8 12,96 AH 3,6 . Ví dụ 7. Tính tích HA HB  HC trong hình bên. Lời giải Ta có AH 2 AC 2 HC 2 342 162 900 AH 30 . Vậy HA HB  HC HA HA2 HA3 303 27000 . Dạng 3: Chứng minh các hệ thức hình học ▪ Vận dụng linh hoạt các hệ thức liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông. ▪ Nếu cần thì có thể vẽ thêm đường phụ (thường là đường cao) sao cho hình vẽ xuất hiện tam giác vuông để vận dụng các hệ thức. Ví dụ 8. Cho hình thang ABCD (AB PCD) có Dˆ 90 và AC  BD . Chứng minh rằng AD là trung bình nhân của hai đáy. Lời giải Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AC và cắt đường thẳng CD tại E (hình bên). Ta có AE PBD (vì cùng vuông góc với AC ). Mặt khác AB PDE nên tứ giác ABDE là hình bình hành. Suy ra DE AB . Áp dụng hệ thức h2 b c ta có AD2 DE  DC suy ra AD2 AB  DC (đpcm). Ví dụ 9. Cho tam giác ABC cân tại A . Vẽ các đường cao BE và CD . Từ B vẽ một đường thẳng song song với CD cắt tia AC tại F . Chứng minh rằng AC 2 AE  AF . Lời giải BF PCD mà CD  AB nên BF  AB (hình bên). Xét VABF vuông tại B có BE là đường cao ứng với cạnh huyền AF nên AB2 AE  AF . Suy ra AC 2 AE  AF (vì AB AC ). Ví dụ 10. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC . Chứng minh rằng DE3 BD CE  BC . Lời giải
5. Áp dụng hệ thức b2 ab vào các tam giác vuông HAB và HAC ta được BH 2 AB  BD ; HC 2 AC CE . Mặt khác AH 2 HB  HC AH 4 HB2  HC 2 AB  BD  AC CE . Nhưng AB  AC BC  AH nên AH 4 BD CE  BC  AH AH 3 BD CE  BC . Dễ thấy tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên AH DE . Do đó DE3 BD CE  BC . Ví dụ 11. Cho tam giác ABC cân tại A , hai đường cao AD và BE . Cho biết BE 2k ; BC 2m ; 1 1 1 AD n . Chứng minh rằng . k 2 m2 n2 Lời giải Tam giác ABC cân tại A nên đường cao AD cũng là đường trung tuyến, do đó DB DC m . Vẽ DH  AC thì DH PBE và DH là đường trung bình của VEBC 1 (hình bên), do đó DH BE k . 2 1 1 1 Áp dụng hệ thức vào VDAC vuông tại D , ta được h2 b2 c2 1 1 1 1 1 1 . DH 2 DC 2 AD2 k 2 m2 n2 C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB AC) , đường cao AH . Lấy điểm M trên đoạn thẳng HC sao cho HM AH . Qua M vẽ một đường thẳng vuông góc với BC , cắt AC tại D . Chứng 1 1 1 minh rằng . AH 2 AD2 AC 2 Lời giải Vẽ DK  AH (hình bên), tứ giác KDMH là hình chữ nhật nên KD MH , do đó KD AH . Xét VKAD và VBHA có Kˆ Hˆ 90 ; KD AH ; ˆ ˆ ˆ A2 B (cùng phụ với A1 ). Do đó VKAD VHBA (g.c.g) suy ra AD AB . 1 1 1 Áp dụng hệ thức ta được h2 b2 c2
6. 1 1 1 1 1 1 . AH 2 AB2 AC 2 AH 2 AD2 AC 2 Bài 2. Tính x , y trong hình vẽ sau a) b) c) d) Lời giải a) x y 2 52 72 25 49 74 x y 74 . 25 Ta có BA2 BH  BC 52 x  74 x 2,9 . 74 y 74 2,9 5,7 . b) x 4; y 4 3 . c) x 5,5; y 11,4. d) AC 20; x 12; y 25 . Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Vẽ HK  AB (K AB) . Chứng minh rằng AB2 HB a) AB  AK BH  HC ; b) . AC 2 HC Lời giải a) Xét VHAB vuông tại H có AH 2 AB  AK .(1) Xét VABC vuông tại A ta có AH 2 BH  HC .(2) Từ (1) và ( 2 ) suy ra AB  AK HB  HC . b) Tính AB2 ; AC 2 rồi lập tỉ số của chúng và rút gọn ta được điều phải chứng minh.
7. Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A , cạnh BC 5 cm và tỉ số hai hình chiếu của AB , AC trên 9 cạnh huyền bằng . Tính diện tích tam giác ABC . 16 Lời giải Vẽ AH  BC , tính được HB 1,8 cm; HC 3,2 cm. Từ đó tính được AH 2,4 cm. Diện tích VABC là 6cm2 . Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A , AB 15 cm; BC 25 cm. Tính độ dài hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền và tính đường cao tương ứng với cạnh huyền. Lời giải Vận dụng hệ thức c2 ac , tính được BH 9 cm, từ đó suy ra CH 16cm. Vận dụng hệ thức h2 b c , ta tính được AH 12 cm. Bài 6. Hình thang ABCD (AB PCD) có AD 5cm; AC 12cm và CD 13 cm. Biết diện tích hình thang là 45cm2 . 1 a) Tính chiều cao của hình thang. b) Chứng minh rằng AB CD . 2 Lời giải a) Vẽ AH  BC . Xét VADC có AD2 AC 2 CD2 (vì 52 122 132 ) nên VADC là tam giác vuông tại A . Vận dụng 1 1 1 hệ thức , ta tính được AH 2 AD2 AC 2 8 AH 4 cm. 13 (AB CD) AH 1 b) Vận dụng công thức S , ta tính được AB 6,5cm. Do đó AB CD . 2 2 Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Vẽ HD  AB , HE  AC BD AB3 (D AB, E AC) . Chứng minh rằng . CE AC3 Lời giải
8. Trước hết, vận dụng các hệ thức b2 ab ; c2 ac để AB2 AB2 HB tính tỉ số , ta được . AC 2 AC 2 HC AB4 HB2 Từ đó suy ra . AC 4 HC 2 Ta có HB2 AB  BD ; HC 2 AC CE . AB4 AB  BD AB3 BD Do đó . Suy ra . HẾT AC 4 AC CE AC3 CE