›
›
›

Giáo án môn Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Dãy số-Giới hạn

doc 35 trang nhatle22 2900
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo án môn Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Dãy số-Giới hạn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docgiao_an_mon_toan_lop_12_chuyen_de_day_so_gioi_han.doc

Nội dung text: Giáo án môn Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Dãy số-Giới hạn

  1. Chuyên đề DÃY SỐ - GIỚI HẠN PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN (3 tiết) A. KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CƠ BẢN I. Phương pháp quy nạp tốn học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tùy ý (k 1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n p, ta thực hiện như sau + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p; + ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1. II. Dãy số 1. Định nghĩa u : ¥ * ¡ dạng khai triển: (u ) = u , u , , u , n u(n) n 1 2 n 2. Dãy số tăng, dãy số giảm: (un) là dãy số tăng un+1 > un với  n N*. un+1 – un > 0 với  n N* un 1 1 với n N* ( un > 0). un (un) là dãy số giảm un+1 0). un 3. Dãy số bị chặn (un) là dãy số bị chặn trên M R: un M, n N*. (un) là dãy số bị chặn dưới m R: un m, n N*. (un) là dãy số bị chặn m, M R: m un M, n N*. III. Cấp số cộng 1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng un+1 = un + d, n N* (d: cơng sai) 2. Số hạng tổng quát: un vớiu1 n( n 1)d 2 1
  2. u u 3. Tính chất của các số hạng: u k 1 k 1 với k 2 k 2 n(u u ) n2u (n 1)d  4. Tổng n số hạng đầu tiên: S u u u 1 n = 1 n 1 2 n 2 2 IV. Cấp số nhân 1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân un+1 = un.q với n N* (q: cơng bội) n 1 2. Số hạng tổng quát: un u1.q với n 2 2 3. Tính chất các số hạng: uk uk 1.uk 1 với k 2 Sn nu1 ,q 1 4. Tổng n số hạng đầu tiên: n u1(1 q ) Sn ,q 1 1 q B. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Phương pháp quy nạp tốn học 1 1 1 1 2n 1 Bài 1. Chứng minh rằng: ,n N * 2 4 8 2n 2n Giải 1 1 Bước 1: Với n = 1 thì mệnh đề trở thành là mệnh đề đúng 2 2 1 1 1 1 2k 1 Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1 nghĩa là: 2 4 8 2k 2k Ta chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh: 1 1 1 1 2k 1 1 2 4 8 2k 1 2k 1 Thật vậy 1 1 1 1 1 VT 2 4 8 2k 2k 1 2k 1 1 2k 2k 1 2k 1 1 VP 2k 1 Vậy mệnh đề đã cho đúng với mọi n N * 3 2 * Bài 2. Chứng minh rằng: un n 3n 5n chia hết cho 3 , n ¥ Giải Bước 1: Với n 1 , vế trái bằng 9 chi hết cho 3. Mệnh đề đã cho đúng. Bước 2: Giả sử mệnh đề đã cho đúng với n k , tức là: u k 3 3k 2 5k chia hết cho 3. k Ta chứng minh hệ thức đã cho cũng đúng với n k 1: 3 2 Ta cĩ: uk 1 k 1 3 k 1 5 k 1 k 3 3k 2 5k 3 k 2 3k 3 2 uk 3 k 3k 3 2
  3. Vậy uk 1 chi hết cho 3, ta được điều phải chứng minh. Dãy số Bài 3. Xét tính tăng giảm của các dãy số: 1 2n 1 a)u 2 b)u n n n 5n 2 Giải 1 a)u 2 n n 1 1 1 un 1 un 2 2 0,n N * n 1 n n(n 1) Nên là dãy số giảm. 2n 1 b)u n 5n 2 2 un 1 5n 2 2n 3 10n 19n 6 . 2 1,n N * un 2n 1 5n 7 10n 19n 7 Nên là dãy số giảm. Bài 4. Tìm số hạng tổng quát của dãy số: U1 3 * n N U n 1 2U n Giải Ta cĩ: U1=3 U2=2U1=3.2 2 U3=2.U2=3.2 n-1 Dự đốn: Un=3.2 . Sau đĩ khẳng định bằng quy nạp. Cấp số cộng u1 u3 u5 10 Bài 5. Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng, biết: u1 u6 17 Giải u1 u3 u5 10 u1 2d 10 u1 16 Ta cĩ: u1 u6 17 2u1 5d 17 d 3 Bài 6. Một CSC cĩ số hạng thứ 54 và thứ 4 lần lượt là -61 và 64. Tìm số hạng thứ 23. Giải Ta cĩ: un u1 n 1 d u54 u1 53d u4 u1 3d Giải hệ phương trình , ta được:. 143 5 u ,d 1 2 2 33 u u 22d 23 1 2 Cấp số nhân Bài 7. Tìm các số hạng của cấp số nhân (un ) cĩ 5 số hạng, biết: u3 3,u5 27 3
  4. Giải 2 u3 3 u1q 3 1 Ta cĩ: u ,q 3 u 27 4 1 3 5 u1q 27 1 1 Vậy cĩ hai dãy số: ,1,3,9,27 và , 1,3, 9,27 3 3 Bài 8. Tìm 3 số hạng của một cấp số nhân mà tổng số là 19 và tích là 216. Giải a Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân là: ; a ;aq (với q là cơng bội) q Theo giả thiết ta cĩ: a .a.aq 216 (1) q a a aq 19 (2) q 3 2 Từ (1) và (2) ta cĩ a 6 và q hoỈc q 2 3 Vậy 3 số hạng cần tìm là: 4, 6, 9 hay 9, 6, 4. B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Phương pháp quy nạp tốn học 2 2 2 2 Câu 1. Giá trị của tổng Sn 1 2 3 n là: n(n 1)(n 2) n(n 2)(2n 1) A. . B. . 6 6 n(n 1)(2n 1) C. . D. Đáp số khác. 6 1 1 1 Câu 2. Với mọi số nguyên dương n, tổng S là: n 1.2 2.3 n(n 1) 1 n n n 1 A. . B. . C. . D. . n 1 n 1 n 2 n 2 3 Câu 3. Với mọi số nguyên dương n, tổng Sn n 11n chia hết cho: A. 6. B. 4. C. 9. D. 12. n 1 2n 1 Câu 4. Với mọi số nguyên dương n thì Sn 11 12 chia hết cho: A. 3. B. 33. C. 133. D. 13. Câu 5. Với mọi số tự nhiên n 2 , bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. 3n 4n 1. B. 3n 4n 2. C. 3n 3n 4. D. 3n 3n 1. Câu 6. Với mọi số tự nhiên n 1 , bất đẳng thức nào sau đây đúng? 1 1 1 13 1 1 1 13 A. . B. . n 1 n 2 2n 20 n 1 n 2 2n 21 1 1 1 13 1 1 1 13 C. . D. . n 1 n 2 2n 17 n 1 n 2 2n 24 Dãy số Câu 7: Dãy số un xác định bởi cơng thức un = 2n + 1 với mọi n = 0, 1, 2, chính là: A. Dãy số tự nhiên lẻ. 4
  5. B. Dãy 1, 3, 5, 9 13, 17. C. Dãy các số tự nhiên chẵn. D. Dãy gồm các số tự nhiên lẻ và các số tự nhiên chẵn. u1 2 Câu 8: Cho dãy số (un) xác định bởi: n . Ta cĩ u5 bằng: un 1 2 .un ,n 1 A. 10. B. 1024. C. 2048. D. 4096. 1 u1 Câu 9: Cho dãy số (un) xác định bởi: 2 . Khi đĩ u50 bằng: un un 1 2n , n 2 A. 1274,5. B. 2548,5. C. 5096,5. D. 2550,5. u1 1 Câu 10: Cho dãy số (un) xác định bởi: . Khi đĩ u11 bằng: un 2n.un 1 , n 2 A. 210.11!. B. -210.11!. C. 210.1110. D. -210.1110. u1 1 Câu 11: Cho dãy số (un): Ta cĩ u11 bằng: un 1 un n , n 1 A. 36. B. 60. C. 56. D. 44. 1 u 1 2 Câu 12: Cho dãy số u với . Giá trị của u bằng: n 1 4 un , n = 2, 3, 2 un 1 3 4 5 6 A. . B. . C. . D. . 4 5 6 7 2 Câu 13: Cho dãy số (u ) với u ( 1)n 1 cos . Khi đĩ u bằng: n n n 12 1 3 1 3 A. . B. . . C. . D. . 2 2 2 2 1 n Câu 14: Cho dãy số (u ) với u . Khi đĩ u bằng: n n 2n 1 n 1 1 n 2 n 2 n n A. .u B. u . C. .u D. . u n 1 2n n 1 2n n 1 2n 1 n 1 2n u1 1 * Câu 15: Cho dãy số cĩ n N . Khi đĩ số hạng thứ n+3 là: un 2un 1 3un 2 A. un 3 2un 2 3un 1. B. un 3 2un 2 3un . C. un 3 2un 2 3un 1. D. un 3 2un 2 3un 1. n Câu 16: Cho dãy số cĩ cơng thức tổng quát là un 2 thì số hạng thứ n+3 là: 3 n n n A. .u n 3 2 B. un 3 8.2 . C. .u n 3 6.2 D. . un 3 6 Câu 17: Cho tổng Sn 1 2 3 n . Khi đĩ S3 là bao nhiêu? A. 3. B. 6. C. 1. D. 9. n Câu 18: Cho dãy số un 1 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây? A. Dãy tăng. B. Dãy giảm. C. Bị chặn. D. Khơng bị chặn. 1 Câu 19: Dãy số u là dãy số cĩ tính chất: n n 1 5
  6. A. Tăng. B. Giảm. C. Khơng tăng khơng giảm. D. Tất cả đều sai. Câu 20: Trong các dãy số sau, dãy số nào thoả mãn: u0 = 1, u1 = 2, un = 3un - 1 - 2un - 2 , n = 2, 3, ? A. 1, 2, 4, 8, 16, 32, B. 1, 2, 8, 16, 24, 24, 54, n C. Dãy cĩ số hạng tổng quát là un = 2 + 1 với n = 0, 1, 2, n D. Dãy cĩ số hạng tổng quát là un = 2 với n = 0, 1, 2, Câu 21: Xét các câu sau: Dãy 1, 2, 3, 4, là dãy bị chặn (dưới và trên) (1) 1 1 1 Dãy 1, , , là dãy bị chặn dưới nhưng khơng bị chặn trên (2) 3 5 7 Trong hai câu trên: A. Chỉ cĩ (1) đúng. B. Chỉ cĩ (2) đúng. C. Cả hai câu đều đúng. D. Cả hai câu đều sai. n Câu 22: Cho dãy số (un), biết un = 3 . Số hạng un + 1 bằng: A. 3n + 1. B. 3n + 3. C. 3n.3. D. 3(n + 1). n Câu 23: Cho dãy số (un), biết un = 3 . Số hạng u2n bằng A. 2.3n. B. 9n. C. 3n + 3. D. 6n. n Câu 24: Cho dãy số (un), biết un = 3 . Số hạng un - 1 bằng: 3n A. 3n – 1. B. . C. 3n – 3. D. 3n – 1. 3 n Câu 25: Cho dãy số (un), biết un = 3 . Số hạng u2n - 1 bằng: A. 32.3n – 1. B. 3n.3n – 1. C. 32n – 1. D. 32(n - 1). Câu 26: Cho dãy số u sin . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây? n n A. .u sin B. Dãy số bị chặn. n 1 n 1 C. Dãy số tăng. D. Dãy số khơng tăng, khơng giảm. 3n 1 Câu 27: Dãy số u là dãy số bị chặn trên bởi: n 3n 1 1 1 A. . B. . C. 1. D. 0. 2 3 Câu 28: Trong các dãy số (un) sau đây, hãy chọn dãy số giảm? 2 n 1 n n A. un = sin n. B. un = . C. un = n n 1 . D. un = 1 2 1 . n Câu 29: Trong các dãy số (un) sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn ? 2 1 A. un = n 1 . B. un = n + . n n n C. un =2 + 1. D. un = . n 1 Câu 30: Hãy cho biết dãy số (un) nằo dưới đây là dãy số tăng, nếu biết cơng thức số hạng tổng quát un của nĩ là: n 1 2n n 1 n A. . 1 siB.n 1 5 1 . C. . D. . 2 n n 1 n n 1 Câu 31. Đặt S1(n) = 1 + 2 + 3 + + n 2 2 2 2 S2(n) = 1 + 2 + 3 + + n 6
  7. 3 3 3 3 S3(n) = 1 + 2 + 3 + + n Ta cĩ : 3n n 1 n n 1 2n 1 A. .S n B. . S n 1 2 2 3 n2 n 1 2 C. .S n D. Đáp án khác. 3 4 Câu 32: Dãy số nào sau đây là dãy tăng ? 2n 3 1 A. .u B.( 1. )n 1 sin C. u . D. u u ( 1)2n (3n 1) . n n n 3n 2 n n n 1 n 2n 9 Câu 33: Cho dãy số u . Số là số hạng thứ bao nhiêu? n n2 1 41 A. 10. B. 9. C. 8. D. 11. 1 n 8 Câu 34: Cho dãy số u . Số là số hạng thứ bao nhiêu? n 2n 1 15 A. 8. B. 6. C. 5. D. 7. u1 5 Câu 35: Cho dãy số . Số hạng tổng quát của dãy số trên là: un 1 un n n 1 n n 1 n A. .u B. u 5 . n 2 n 2 n n 1 n 1 n 2 C. . u 5 D. . u 5 n 2 n 2 u1 1 Câu 36: Cho dãy số 2n Số hạng tổng quát của dãy số trên là: un 1 un 1 2n A. .u n 1 n B. . uC.n .1 n D. un 1 1 un n . u1 1 Câu 37: Cho dãy số 2 . Số hạng tổng quát của dãy số trên là: un 1 un n n 2n 1 n 1 n 1 n 2n 2 A. .u 1 B. . u 1 n 6 n 6 n 1 n 2n 1 n 1 n 2n 1 C. u 1 . D. u n 6 n 6 u1 2 Câu 38: Cho dãy số 1 . Số hạng tổng quát của dãy số trên là: u 2 n 1 un n 1 n 1 n 1 n A. .u B. . C.u u . D. .u n n n n n n n n 1 Câu 39: Cho tổng S n 12 22 n2 . Khi đĩ cơng thức của S(n) là: n n 1 2n 1 n 1 A. S n . B. .S n 6 2 n n 1 2n 1 n2 2n 1 C. .S n D. . S n 6 6 Câu 40: Tính tổng S(n)= 1-2+3-4+ .+(2n-1)-2n+(2n+1) là: 7
  8. A. S(n)= n+1. B. S n -n. C. S n 2n. D. S n n. 1 1 1 1 Câu 41: Tính tổng S n . Khi đĩ cơng thức của S(n) là: 1.2 2.3 3.4 n n 1 n n 2n 1 A. .S n B. S n . C. .S n D. . S n n 2 n 1 2n 1 2n Câu 42: Tính tổng s(n) 1.4 2.7 n(3n 1) . Khi đĩ cơng thức của S n là: A. .S n nB. 3 . C. S n n 1 2 S n n n 1 2 . D. .S n 4n Câu 43: Tính tổng S n 1.1! 2.2! 2007.2007! . Khi đĩ cơng thức của S n là: A. .2 007! B. . 2008! C. 2008! 1 . D. .2007! 1 Câu 44: Trong dãy số 1, 3, 2, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ 3 bằng số hạng đứng trước nĩ trừ đi số hạng đứng trước số hạng này, tức là un un 1 un 2với n ≥ 3. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số đĩ. Đáp số của bài tốn là: A. 5. B. 4. C. 2. D. 1. u 3 1 Câu 45: Cho dãy số xác định bởi cơng thức truy hồi: 1 Cơng thức tính số hạng u u n ¥ * n 1 2 n tổng quát un của dãy số là: 3 3 3 3 A. .u B. u . C. .u D. . u n 2n n 2n 1 n 2n 1 n 2n 1 u1 1 Câu 46: Cho dãy số xác định bởi cơng thức truy hồi: * Cơng thức tính số hạng un 1 un 2 n ¥ tổng quát un của dãy số là: A. .u n 2n 1B. un 2n 1. C. .u n 2n 2D. . un 2n 3 u1 1 Câu 47: Cho dãy số xác định bởi cơng thức truy hồi: . Hỏi số 33 là số hạng thứ mấy? un 1 un 2 A. .u 15 B. u17 . C. .u 14 D. . u16 Cấp số cộng Câu 48: Viết 3 số xen giữa các số 2 và 22 để được CSC cĩ 5 số hạng? A .7;12;17. B. 6,10,14. C. 8,13,18. D. Tất cả đều sai. Câu 49: Cơng thức nào sau đây đúng với CSC cĩ số hạng đầu u1 ,cơng sai d? A.un= un +d. B.un= u1 +(n+1)d. C.un= u1 -(n+1)d. D.un= u1 +(n-1)d . Câu 50: Cho cấp số cộng 1, 8, 15, 22, 29, .Cơng sai của cấp số cộng này là: A. 7. B. 8 . C. 9. D. 10. 1 1 Câu 51. Cho cấp số cộng cĩ u1= ;d Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của của cấp số này là: 2 2 1 1 1 1 1 1 3 5 1 1 3 A. ;0;1; ;1. B. ;0; ;0; . C. ;1; ;2; . D. ;0; ;1; . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 52: Nếu cấp số cộng (un) ) với cơng sai d cĩ u5 0 và u10 10 thì: A. u1 8 và d = -2. B. u1 8 và d = 2. C. u1 8 và d = 2. D. u1 8 và d = -2. Câu 53. Một cấp số cộng cĩ 9 số hạng. Số hạng chính giữa bằng 15. Tổng các số hạng đĩ bằng: A. 135. B. 405. C. 280. D. đáp số khác. Câu 54: Cho CSC : -2 ; u2 ; 6 ; u4 . Hãy chọn kết quả đúng ? 8
  9. A. u2 = -6 ; u4 = -2. B. u2 = 1 ; u4 = 7. C. u2 = 2 ; u4 = 8. D. u2 = 2 ; u4 = 10. Câu 55: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định: Nếu a,b,c lập thành cấp số cộng (khác khơng) thì : A. nghịch đảo của chúng cũng lập thành một cấp số cộng. B. bình phương của chúng cũng lập thành cấp số cộng. C. c,b,a theo thứ tự đĩ cũng lập thành cấp số cộng. D. Tất cả các khẳng định trên đều sai. Câu 56. Cho dãy số un 7 2n . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây? A. Ba số hạng đầu tiên của dãy là: 5;3;1. B. Số hạng thứ n+1 của dãy là 8-2n. C. Là CSC với d=-2. D. Số hạng thứ 4 của dãy là -1. 1 1 Câu 57. Cho CSC cĩ u ,d . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây? 1 4 4 5 4 5 4 A. . s B. . s C. s . D. .s 5 4 5 5 5 4 5 5 Câu 58. Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? u1 1 u1 2 u1 1 u1 3 A. . B.3 . C. . D. . un 1 un 1 un 1 un n un 1 un 2 un 1 2un 1 Câu 59. Cho cấp số cộng: 6, x - 2, y. Kết quả nào sau đây là đúng? x 2 x 4 x 2 x 4 A. . B. . C. . D. . y 5 y 6 y 6 y 6 Câu 60. Xét các câu sau: (1) Dãy số u1,u2 ,u3 , được gọi là cấp số cộng với cơng sai d ≠ 0, nếu như u n = un - 1 + d với mọi n = 2, 3, (2) Nếu dãy số u1,u2 ,u3 , là cấp số cộng với cơng sai d ≠ 0, nếu như u n = u1 + (n + 1)d với mọi n = 2, 3, Trong hai câu trên: A. chỉ cĩ (1) đúng. B. chỉ cĩ (2) đúng. C. cả hai câu đều đúng. D. cả hai câu đều sai. Câu 61. Xét các câu sau u u (1) Dãy số u ,u ,u , được gọi là cấp số cộng với cơng sai d ≠ 0 thì u k 1 k 1với 1 2 3 k 2 mọi k = 2, 3, (2) Nếu dãy số u1,u2 ,u3 , ,un là cấp số cộng với cơng sai d ≠ 0, nếu như u1 un uk un k với mọi k = 2, 3, , n - 1 Trong hai câu trên: A. chỉ cĩ (1) đúng. B. chỉ cĩ (2) đúng. C. cả hai câu đều đúng. D. cả hai câu đều sai. Câu 62. Nếu cấp số cộng (un ) cĩ số hạng thứ n là un 1 3n thì cơng sai d bằng: A. 6. B. 1. C. -3. D. 5. Câu 63: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. Cho CSC un cĩ d khác khơng khi đĩ: A. .u 2 uB.17 . u3 C.u 1.6 D. u2 u17 u4 u15 u2 u17 u6 u13 u2 u17 u1 u19 . Câu 64. Cho cấp số cộng (un ) cĩ u5 12 và tổng 21 số hạng đầu tiên là S21 50 .4 Khi đĩ u1 bằng: A. 4. B. 20. C. 48. D. Đáp số khác. 9
  10. 2 Câu 65. Cho cấp số cộng (un ) . Biết Sn 2n 3n , khi đĩ u1 và cơng sai d là : A. u1 1;d 4 . B. .u 1 1;d C.3 . D. u. 1 2;d 2 u1 1;d 4 Câu 66. Cho cấp số cộng (un ) . Biết u5 18; 4Sn S2n , khi đĩ u1 và cơng sai d là : A. .u 1 2;d B.3 . C. u1 2;d 2 u1 2;d 4 . D. .u1 3;d 2 Câu 67. Cho CSC cĩ d=-2 và s8 72 , khi đĩ số hạng đầu tiên là bao nhiêu? 1 1 A. u 16 . B. .u 16 C. . u D. . u 1 1 1 16 1 16 Câu 68. Cho CSC cĩ u1 1,d 2, sn 483 . Hỏi số các số hạng của CSC là bao nhiêu? A. n=20. B. n=21. C. n=22. D. n=23. Câu 69. Cho CSC cĩ u1 2,d 2, s 8 2 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. S là tổng của 5 số hạng đầu tiên của CSC. B. S là tổng của 6 số hạng đầu tiên của CSC. C. S là tổng của 7 số hạng đầu tiên của CSC. D. Tất cả đều sai. Câu 70. Ba số 1 x, x2 ,1 x lập thành một CSC khi: A. Khơng cĩ giá trị nào của x. B. x=2 hoặc x= -2. C. x=1 hoặc x=-1. D. x=0. Câu 71. Ba số 1 3a,a2 5,1 a lập thành CSC khi: A. .a 0 B. . a 1 C. . D.a Tất cả2 đều sai. Câu 72. Cho CSC cĩ u4 12,u14 18 . Khi đĩ số hạng đầu tiên và cơng sai là A. .u 1 B.20 ,. d 3C. u1 22,d 3 u1 21,d 3 . D. .u1 21,d 3 Câu 73. Cho CSC cĩ u4 12,u14 18 . Khi đĩ tổng của 16 số hạng đầu tiên CSC là: A. 24. B. -24. C. 26. D. – 26. Câu 74. Cho CSC cĩ u5 15,u20 60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của CSC là: A. 200. B. -200. C. 250. D. -25. Câu 75. Trong các dãy số sau đây dãy số nào là CSC? n n 1 A. .u n 3 B. . unC. 3 un 3n 1. D. Tất cả đều là CSC. Câu 76. Trong các dãy số sau đây dãy số nào là CSC? u1 1 u1 1 2 3 A. . B. . C. .u n n D. . un n 1 un 1 2un 1 un 1 un 1 Câu 77. Cho cấp số cộng (un) cĩ u1 = 123 và u3 - u15 = 84. Số hạng u17 là: A. 242. B. 235. C. 11. D. 4. Câu 78. Nếu cấp số cộng (un) với cơng sai d cĩ u2 = 2 và u50 = 74 thì: A. u1 = 0 và d = 2. B. u1 = -1 và d = 3. C. u1 = 0,5 và d = 1,5. D. u1 = -0,5 và d = 2,5. Câu 79: Cho cấp số cộng -2; x; 6; y. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau? x 6 x 1 x 2 x 2 A. . B. . C. . D. . y 2 y 7 y 8 y 10 Câu 80. Cho cấp số cộng -4; x; -9. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau? A. x = 36. B. x = -6,5. C. x = 6. D. x = -36. Câu 81. Cho cấp số cộng (un). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau ? 10
  11. u u u .u A. 10 20 u u . B. .u uC. . 2u D. . u .u u 10 30 u 2 5 10 19 20 150 10 30 20 2 20 Câu 82. Cho cấp số cộng (un) cĩ: u2 = 2001 và u5 = 1995. Khi đĩ u1001 bằng: A. 4005. B. 4003. C. 3. D. 1. Câu 83. Cho cấp số cộng cĩ tổng 10 số hạng đầu tiên và 100 số hạng đầu tiên là S10 = 100, S100 = 10. Khi đĩ, tổng của 110 số hạng đầu tiên là: A. 90. B. -90. C. 110. D. -110. a1 321 Câu 84. Cho dãy số (an) xác định bởi an an 1 3 n = 2, 3, 4, Tổng 125 số hạng đầu tiên của dãy số (an) là: A. 16875. B. 63375. C. 635625. D. 166875. u1 150 Câu 85. Cho dãy số (un) xác định bởi: . Khi đĩ tổng 100 số hạng đầu tiên un un 1 3 , n 2 của dãy số đĩ bằng: A. 150. B. 300. C. 29850. D. 59700. Câu 86. Cho p = 1, 2, , 10 gọi Sp là tổng 40 số hạng đầu tiên của cấp số cộng mà số hạng đầu là p và cơng sai là 2p - 1. Khi đĩ, S1 + S2 + + S10 bằng: A. 80000. B. 80200. C. 80400. D. 80600. 1 2 3 Câu 67. Biết Cn ,Cn ,Cn lập thành cấp số cộng với n > 3, thế thì n bằng: A. 5. B. 7. C. 9. D. 11. Câu 68. Tìm tất cả các giá trị của x để 1 sinx;sin2 x;1 sin 3x là 3 số hạng liên tiếp của một CSC A. x k ,k Z . B. .x k2 ,k Z 2 6 2 7 C. x k ; x k , k Z . D. x k ; x k2 ; x k2 , k Z . 2 6 3 2 6 6 Câu 69. Nghiệm của phương trình 1 7 13  x 280 là: A. .x 53 B. x 55 . C. .x 57 D. . x 59 Câu 70. Một tam giác vuơng cĩ chu vi bằng 3, các cạnh lập thành một cấp số cộng. Ba cạnh của tam giác đĩ là: 1 3 3 5 1 5 1 7 A. ;1; . B. ;1; . C. ;1; . D. ;1; . 2 2 4 4 3 3 4 4 Câu 71. Bốn nghiệm của phương trình x4 10x2 m 0 là 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Khi đĩ m bằng: A. 16. B. 21. C. 24. D. 9. Câu 72. Biết dãy số 2, 7, 12, , x là một cấp số cộng. Biết 2 7 12 x 245 , khi đĩ: A. x 52 . B. x 45 . C. x 42 . D. .x 47 Cấp số nhân Câu 73. Cho cấp số nhân u1,u2 ,u3 , ,un với cơng bội q (q ≠ 0; q ≠ 1). Đặt: Sn u1 u2 u .n Khi đĩ ta cĩ: n n n 1 n 1 u1 q 1 u1 q 1 u1 q 1 u1 q 1 A. .S B. S . C. .S D. . S n q 1 n q 1 n q 1 n q 1 Câu 74: Trong các số sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A. 1,-3,9,-27,81. B. 1,-3,-6,-9,-12. C. 1,-2,-4,-8,-16. D. 0,3,9,27,81. 11
  12. Câu 75. Cho cấp số nhân un , biết: u1 3,u2 6 . Lựa chọn đáp án đúng? 12 12 18 18 A. u3 . B. .u 3 C. . u3 D. . u3 Câu 76. Cho cấp số nhân un , biết: u1 3,u5 48 . Lựa chọn đáp án đúng? 12 12 16 16 A. u3 . B. .u 3 C. . u3 D. . u3 Câu 77. Cho cấp số nhân un , biết: u1 2,u2 8 . Lựa chọn đáp án đúng? A. q 4 . B. .q 4 C. . q 12D. . q 10 Câu 78. Cho cấp số nhân un , biết: un 81,un 1 9 . Lựa chọn đáp án đúng? 1 1 q B. .q 9 C. . q 9 q A. 9 . D. . 9 Câu 79. Cho cấp số nhân un , biết: u1 9,u2 3 . Lựa chọn đáp án đúng? 1 1 q B. .q 3 C. . q 3 q A. 3 . D. . 3 Câu 80. Cho cấp số nhân un , biết: u1 2,u2 10 . Lựa chọn đáp án đúng? A. q 5. B. .q 8 C. . q 12D. . q 12 Câu 81. Cho cấp số nhân un , biết: u1 2,u2 8 . Lựa chọn đáp án đúng? 512 256 S 256 q 10 A. u5 . B. .u 5 C. . 5 D. . 1 Câu 82. Cho cấp số nhân u cĩ u ,u 32 . Khi đĩ q là: n 1 2 7 1 A. 2 . C. 4 . D. Tất cả đều sai. B. . 2 1 Câu 83. Cho CSN cĩ u ,u 32 . Khi đĩ q là? 1 2 7 1 A. . B. 2 . C. . 4 D. Tất cả đều sai. 2 Câu 84. Cho CSN cĩ u1 1,u6 0,00001 . Khi đĩ q và số hạng tổng quát là: 1 1 1 A. .q ,u B. q. ,u 10n 1 10 n 10n 1 10 n n 1 1 1 1 C. . q ,u D. q ,u . 10 n 10n 1 10 n 10n 1 1 1 Câu 85. Cho CSN cĩ u 1;q . Số là số hạng thứ bao nhiêu? 1 10 10103 A. Số hạng thứ 103. B. Số hạng thứ 104. C. Số hạng thứ 105. D. Đáp án khác. Câu 86. Cho CSN cĩ u1 3;q 2 . Số 192 là số hạng thứ bao nhiêu? A. Số hạng thứ 5. B. Số hạng thứ 6. C. Số hạng thứ 7. D. Đáp án khác. 1 Câu 87. Cho CSN cĩ u ;u 16 . Cơng bội q và số hạng đầu tiên của CSN là: 2 4 5 1 1 1 1 1 1 A. .q ;uB. . C. q ,u q 4,u . D. .q 4,u 2 1 2 2 1 2 1 16 1 16 Câu 88. Cho CSN -2;4;-8 .tổng của n số hạng đầu tiên của CSN này là: 12
  13. 2 1 2 n 2 1 2 n 2 1 2 2n 2 1 2 2n A. . B. . C. . D. . 1 2 1 2 1 2 1 2 Câu 89. Cho cấp số nhân (un) biết u1 = 3 ; u2 = -6. Hãy chọn kết quả đúng ? A. u5 = -24. B. u5 = 48. C. u5 = -48. D. u5 = 24. Câu 90. Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un) với u1 = -3 và cơng bội q = -2 bằng: A. -511. B. -1025. C. 1025. D. 1023. Câu 91. Cho cấp số nhân (un) cĩ: u2 = -2 và u5 = 54. Khi đĩ tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đĩ bằng : 1 31000 31000 1 31000 1 1 31000 A. . B. . C. . D. . 4 2 6 6 Câu 92. Cho dãy 1, 2, 4, 8, 16, 32 , là một cấp số nhân với: A. cơng bội là 3 và phần tử đầu tiên là 1. B. cơng bội là 2 và phần tử đầu tiên là 1. C. cơng bội là 4 và phần tử đầu tiên là 2. D. cơng bội là 2 và phần tử đầu tiên là 2. Câu 93. Cho dãy: 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, Đây là một cấp số nhân với: A. Cơng bội là 3 và phần tử đầu tiên là 729 . B. Cơng bội là 2 và phần tử đầu tiên là 64. 2 1 C. Cơng bội là và phần tử đầu tiên là 729. D. Cơng bội là và phần tử đầu tiên là 729. 3 2 1 1 Câu 94. Nếu một cấp số nhân (u ) cĩ cơng bội q và u thì: n 2 6 4 1 1 A. u 8. B. . u . C. . u 8 . D. .u 1 1 128 1 1 128 1 1 Câu 95. Cho cấp số nhân 16; 8; 4; ; . Khi đĩ là số hạng thứ: 64 64 A. 10. B. 12. C. 11. D. Đáp số khác. 1 Câu 96. Cho cấp số nhân u cĩ u ;u 16 . Cơng bội q và số hạng đầu tiên của cấp số nhân n 2 4 5 là: 1 1 1 q 4,u1 B. A.q ;u1 . A. 16 . 2 2 1 1 1 q ,u1 . q 4,u1 C. 2 2 D. . 16 Câu 97. Trong các dãy số sau, dãy số nào là CSN? 1 u1 u1 2 A B 2 C. un 1 nun . D. .un 1 un 1 3 2 un 1 5un un 1 un 1 Câu 98. Cho dãy số ; b, 2 . Ba số trên lập thành CSN khi b bằng: 2 A. b=-1. B. b=1. C. b=2. D. Đáp án khác. u4 Câu 99. Cho cấp số nhân (un) cĩ u1 = 24 và 16384 . Số hạng u17 là: u11 3 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 67108864 368435456 536870912 2147483648 13
  14. Câu 100. Trong một cấp số nhân gồm các số hạng dương, hiệu số giữa số hạng thứ 5 và thứ 4 là 576 và hiệu số giữa số hạng thứ 2 và số hạng đầu là 9. Tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân này bằng: A. 1061. B. 1023. C. 1024. D. 768. Câu 101. Cho cấp số nhân (un ) với u1 7 , cơng bội q = 2 và tổng các số hạng đầu tiên S7 889 . Khi đĩ số hạng cuối bằng: A. 484. B. 996. C. 242. D. 448. Câu 102. Nếu cấp số nhân (un ) với u4 u2 72 và u5 u3 144 thì: A. .u 1 2;q B.1 2. C. u1 12;q 2 u1 12;q 2. D. .u1 4;q 2 1 1 Câu 103. Cho cấp số nhân u cĩ u 1;q . Số là số hạng thứ bao nhiêu? n 1 10 10103 A. Số hạng thứ 103. B. Số hạng thứ 104. C. Số hạng thứ 105. D. Đáp án khác. Câu 104. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là một cấp số nhân? 1 1 1 2 1 un n 2 un n 1 un n un n A. 3 . B. . 3 C. . D. . 3 3 Câu 105. Cho cấp số nhân un cĩ u1 3;q 2 . Số 192 là số hạng thứ bao nhiêu? A. Số hạng thứ 6. B. Số hạng thứ 5. C. Số hạng thứ 7. D. Đáp án khác. Câu 106. Ba số 2x-1;x; 2x+1 lập thành một cấp số nhân khi: 1 1 x x . A. 3 . B. 3 C. x 3 . D. Khơng cĩ giá trị nào của x. Câu 107. Cho cấp số nhân un cĩ u20 8u17 . Cơng bội của cấp số nhân là: A. q 2 . B. .q 4 C. . q 4 D. . q 2 Câu 108. Ba số x,y,z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với cơng bội q khác 1; đồng thời các số x,2y,3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với cơng sai khác 0. Khi đĩ q bằng: 1 1 1 q q q D. .q 3 A. . 3 B. . 9 C. . 3 u1 u3 3 Câu 109. Cho cấp số nhânu cĩ . Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: n 2 2 u1 u3 5 63 2 63 63 2 63 S10 S10 S10 S10 A. . 32( 2 1) B. . 32 C. . D.32 (.1 2) 32( 2 1) 3n 1 Câu 110. Cho cấp số nhân u cĩ tổng n số hạng đầu tiên là: S . Số hạng thứ 5 của cấp số n n 3n 1 nhân là: 2 1 5 5 u5 5 u5 5 u5 3 u5 5 A. . 3 B. . 3 C. . D. . 3 Câu 111. Trong các dãy số sau, dãy số nào là CSN? 1 u1 u1 2 A. . 2 B. . uC.n 1 nun . D. .un 1 un 1 3 2 un 1 5un un 1 un 14
  15. Câu 112. Trong các dãy số sau, dãy số nào là CSN? 1 1 1 1 A. .u 1B. u . C. .u n D. . u n2 n 3n n 3n 2 n 3 n 3 Câu 113. Cho cấp số nhân: -2; x; -18; y. Kết quả nào sau đây là đúng? x=6 x=-10 x=-6 x=-6 A. . B. . C. . D. . y=-54 y=-26 y=-54 y=54 Câu 114. Trong các dãy số cho bởi các cơng thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân? u1 2 u1 1 A. . 2 B. . un 1 un un 1 3un u1 3 C. . D. . 7, 77, 777, , 777. 7 un 1 un 1 n Câu 115. Dãy u1,u2 ,u3 , được gọi là cấp số nhân với cơng bội q nếu như ta cĩ: A. q là số tuỳ ý và un = un - 1q với mọi n = 2, 3, B. q ≠ 0; q ≠ 1 và un = un - 1q + un - 2q với mọi n = 3, 4, C. q ≠ 0; q ≠ 1 và un = un - 1q với mọi n = 2, 3, 4, D. q là số khác 0 và un = un - 1 + q với mọi n = 2, 3, Câu 116. Nghiệm của phương trình 1 x x2  x2007 0 là: A. .x 1 B. x 1 . C. x 11 . D. .x 1  x 2 15
  16. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ - HÀM SỐ LIÊN TỤC (6 tiết) A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Giới hạn của dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt: 1 1 k lim 0 ; lim 0 (k ¢ ) lim n ; lim n (k ¢ ) n n n k n lim qn (q 1) n lim q 0 ( q 1) ; lim C C 2. Định lí: n n 2. Định lí : 1 a) Nếu lim un thì lim 0 a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì un lim (un + vn) = a + b un lim (un – vn) = a – b b) Nếu lim un = a, lim vn = thì lim = 0 vn lim (un.vn) = a.b c) Nếu lim u = a 0, lim v = 0 u a n n lim n (nếu b 0) un nếu a.vn 0 vn b thì lim = nếu a.v 0 vn n b) Nếu un 0, n và lim un= a d) Nếu lim u = + , lim v = a thì a 0 và lim u a n n n nếu a 0 thì lim(un.vn) = c) Nếu un vn ,n và lim vn = 0 nếu a 0 thì lim un = 0 * Khi tính giới hạn cĩ một trong các dạng vơ d) Nếu lim un = a thì lim un a 0 3. Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn định: , , – , 0. thì phải tìm cách khử 0 u 2 1 S = u1 + u1q + u1q + = q 1 dạng vơ định. 1 q II. Giới hạn của hàm số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt: lim x x0 ; lim c c (c: hằng số) k k nếu k chẵn x x x x lim x ; lim x 0 0 x x nếu k lẻ 2. Định lí: c a) Nếu lim f (x) L và lim g(x) M lim c c ; lim 0 x x x x k 0 0 x x x thì: lim  f (x) g(x) L M 1 1 x x0 lim ; lim x 0 x x 0 x lim  f (x) g(x) L M x x 1 1 0 lim lim lim  f (x).g(x) L.M x 0 x x 0 x x x0 2. Định lí: f (x) L Nếu lim f (x) L 0 và lim g(x) thì: lim (nếu M 0) x x0 x x0 x x0 g(x) M b) Nếu f(x) 0 và lim f (x) L x x0 16
  17. thì L 0 và lim f (x) L nếu L và lim g(x) cùng dấu x x x x 0 lim f (x)g(x) 0 x x nếu L và lim g(x) trái dấu c) Nếu lim f (x) L thì lim f (x) L 0 x x 0 x x0 x x0 3. Giới hạn một bên: 0 nếu lim g(x) x x lim f (x) L f (x) 0 x x lim nếu lim g(x) 0 và L.g(x) 0 0 x x0 g(x) x x0 lim f (x) lim f (x) L nếu lim g(x) 0 và L.g(x) 0 x x0 x x0 x x 0 * Khi tính giới hạn cĩ một trong các dạng vơ định: 0 , , – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vơ 0 định. III. Hàm số liên tục 1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0 lim f (x) f (x0 ) x x0 Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: B1: Tính f(x0). B2: Tính lim f (x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim f (x) , lim f (x) ) x x 0 x x0 x x0 B3: So sánh lim f (x) với f(x0) và rút ra kết luận. x x0 2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đĩ. 3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và lim f (x) f (a), lim f (x) f (b) x a x b 4. Hàm số đa thức liên tục trên R. Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đĩ: Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0. f (x) Hàm số y = liên tục tại x0 nếu g(x0) 0. g(x) 6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c (a; b): f(c) = 0. Nĩi cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 cĩ ít nhất một nghiệm c (a; b). Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f (x) , M = max f (x) . Khi đĩ với mọi T a;b a;b (m; M) luơn tồn tại ít nhất một số c (a; b): f(c) = T. B. KỸ NĂNG CƠ BẢN I. Giới hạn của dãy số Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số: Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n. Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức Dùng định lí kẹp: Nếu un vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây: Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ bằng 0. Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu. 17
  18. Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu. II. Giới hạn của hàm số Một số phương pháp khử dạng vơ định: 0 1. Dạng 0 P(x) a) L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0 x x0 Q(x) Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. P(x) b) L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc x x0 Q(x) Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. P(x) 2. Dạng : L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn. x Q(x) – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. – Nếu P(x), Q(x) cĩ chứa căn thì cĩ thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp. 3. Dạng – : Giới hạn này thường cĩ chứa căn Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu. 4. Dạng 0. : Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. III. Hàm số liên tục 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm f1(x) khi x x0 Cho h/s f (x) Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 ? f2 (x) khi x x0 Phương pháp B1: Tính lim f (x) lim f1(x) L x x0 x x0 B2: Tính f(x0) = f2(x0) B3: Đánh giá hoặc giải pt L= f2(x0). Từ đĩ đưa ra kết luận 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm f1(x) khi x x0 Cho h/s f (x) Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm x0 f2 (x) khi x x0 Phương pháp chung: B1: Tính f(x0) = f1(x0) B : (liên tục phải ) tính: lim f (x) lim f (x) L 2 1 1 x x0 x x0 Đánh giá hoặc GPT L1 = f1(x0) KL về liên tục phải B : (liên tục trái) tính: lim f (x) lim f (x) L 3 2 2 x x0 x x0 Đánh giá hoặc GPT L2 = f1(x0) KL về liên tục trái B4: Đánh giá hoặc GPT L1 = L2 KL liên tục tại x0 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng Phương pháp chung: B1: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng đơn B2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao B3: Kết luận 4. Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh pt cĩ nghiệm 18
  19. Phương pháp chung: Cho pt f(x) = 0. Để chứng minh phương trình cĩ k nghiệm trên đoạn a;b ta thực hiện các bước sau B1: Chọn số a < T1 < T2 < < Tk-1 < b chia đoạn a;b thành k khoảng thỏa mãn: f (x). f (T1) 0 f (Tk 1). f (b) 0 B2: Kết luận về nghiệm của phương trình trêna;b C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Giới hạn của dãy số Bài 1: Tìm các giới hạn sau 3 4 n 1 n 2n 2n 3 n 2n 2 3 4 2 a) lim b) lim 2 c) lim d) lim n 2n n 1 4n3 n 1 4n 1 3 Hướng dẫn giải: 2 3 2 2n3 2n 3 2 3 1 a) lim lim n n 3 1 2 1 4n 4 n3 2 2 1 n4 2n 2 3 4 b) lim lim n n 1 n2 1 1 1 n2 n 1 3 9. 4 3n 1 4n 9.3n 1 4.4n 1 4 c) lim lim lim 4 n 1 n 1 3 4 3 4 3 1 4n 1 2n 2 d) lim n2 2n n lim lim 1 2 2 n 2n n 1 1 n Giới hạn của hàm số Bài 2: Tìm các giới hạn sau 2 x x2 7x 1 x 1 2 a) lim b) lim 2x4 3x 12 c)lim d) lim x 1 x 1 x x 3 x 3 x 3 9 x2 Hướng dẫn giải: 2 x x2 ( x 2)(x 1) a) lim = lim lim( x 2) 3 x 1 x 1 x 1 (x 1) x 1 3 12 b) lim 2x4 3x 12 = lim x2 2 x x x x4 7x 1 c) lim x 3 x 3 Ta cĩ: lim (x 3) 0, lim (7x 1) 20 0; x 3 0 khi x 3 nên I x 3 x 3 19
  20. x 1 2 x 3 1 1 d) lim = lim lim x 3 9 x2 x 3 (3 x)(3 x)( x 1 2) x 3 (x 3)( x 1 2) 24 Bài 3. Tìm các giới hạn sau 3x 2 x 2 2 2x3 5x2 2x 3 a)lim ( x3 x2 x 1) b)lim c) lim d) lim x x 1 x 1 x 2 x 7 3 x 3 4x3 13x2 4x 3 Hướng dẫn giải: 3 2 3 1 1 1 a) lim ( x x x 1) lim x 1 x x x x2 x3 3x 2 b) lim . x 1 x 1 lim (x 1) 0 x 1 3x 2 Ta cĩ: lim (3x 1) 2 0 lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 x 2 2 (x 2) x 7 3 x 7 3 3 c) lim lim lim x 2 x 7 3 x 2 (x 2) x 2 2 x 2 x 2 2 2 2x3 5x2 2x 3 2x2 x 1 11 d) lim lim x 3 4x3 13x2 4x 3 x 3 4x2 x 1 17 Bài 4. Cho hàm số f x x2 3x x2 1 Tìm lim f x . x Hướng dẫn giải: x2 3x x2 1 x2 3x x2 1 f x x2 3x x2 1 x2 3x x2 1 1 2 2 x 3 x 3x x 1 3x 1 x x2 3x x2 1 x2 3x x2 1 3 1 x 1 1 2 x x 1 1 x 3 3 x x 3 lim f x lim lim x x 3 1 x 3 1 2 x 1 1 1 1 2 2 x x x x Bài 5: Tính các giới hạn sau 2 x 3 3 x 2 4 2 x 2 1 3x 3 a) lim ; b) lim ; c) lim . x 3 x 3 x 2 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 Hướng dẫn giải: a) Nhân lượng liên hợp tử số 20
  21. 2x 3 3 2(x 3) 2 1 lim lim lim x 3 x 3 x 3 (x 3) 2x 3 3 x 3 2x 3 3 3 b) Phân tích: x 2 4 x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 2 4 x 2. x 2 x 2 lim lim lim x 2 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 2 x 2 x 2 x 1 c) Thêm vào 3 và -3 trên tử. 2x2 1 3x 3 2x2 1 3 3 3x 3 2x2 1 3 3 3x 3 lim lim lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 2 x 4 3(2 x) 2 x 2 3 lim lim lim lim x 2 (x 2) 2x2 1 3 x 2 (x 2) 3 3x 3 x 2 2x2 1 3 x 2 3 3x 3 8 3 5 6 6 6 Hàm số liên tục x2 x 2 khi x 2 Bài 6: Cho hàm số f (x) x 2 . m khi x 2 a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3 b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ? Hướng dẫn giải: Ta cĩ tập xác định của hàm số là D = R a) Khi m = 3 ta cĩ f(x) liên tục tại mọi x 2. Tại x = 2 ta cĩ: f(2) = 3; lim f (x) lim (x 1) 3 f(x) liên tục tại x = 2. x 2 x 2 Vậy với m = 3 hàm số liên tục trên tập xác định của nĩ. x2 x 2 khi x 2 x 1 khi x 2 b) f (x) x 2 m khi x 2 m khi x 2 Tại x = 2 ta cĩ:f(2) = m , lim f (x) 3 x 2 Hàm số f(x) liên tục tại x = 2 f (2) lim f (x) m 3 x 2 3 3x 2 2 khi x >2 x 2 Bài 7. Cho hàm số: f (x) 1 ax khi x 2 4 Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 2. Hướng dẫn giải: 1 f (2) 2a 4 21
  22. 1 1 lim f (x) lim ax 2a x 2 x 2 4 4 3 3x 2 2 3(x 2) 1 lim f (x) lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 (x 2) 3 (3x 2)2 2 3 (3x 2) 4 4 1 1 Hàm số liên tục tại x = 2 f (2) lim f (x) lim f (x) 2a a 0 x 2 x 2 4 4 x 3 khi x 1 Bài 8. Xét tính liên tục của f (x) x 1 trên tập R 2 khi x 1 Hướng dẫn giải: Tập xác định D = R \ {1} x 3 Với x 1;1 hàm số f (x) xác định nên liên tục. x 1 Xét tại x = 1 D nên hàm số khơng liên tục tại x = 1 Xét tại x = –1 x 3 lim f x lim 1 f 1 2 nên hàm số khơng liên tục tại x = –1 x 2 x 2 x 1 Bài 9. Chứng minh rằng phương trình x5 3x4 5x 2 0 cĩ ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng (–2; 5). Hướng dẫn giải: Xét hàm số f (x) x5 3x4 5x 2 f liên tục trên R. Ta cĩ: f (0) 2, f (1) 1, f (2) 8, f (4) 16 f (0 PT). f ( 1f(x)) =0 0 cĩ ít nhất 1 nghiệm c1 (0;1) f (1). f (2) 0 PT f(x) = 0 cĩ ít nhất 1 nghiệm c2 (1;2) f (2). f (4) 0 PT f(x) = 0 cĩ ít nhất 1 nghiệm c3 (2;4) PT f(x) = 0 cĩ ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5). D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Nhận biết 1 1 1 1 Câu 1. Dãy số (u )với u , chọn M , để thì n phải lấy từ số hạng thứ bao n n 2n 100 2n 100 nhiêu trở đi? A. 51. B. 49. C. 48. D. 50. 1 1 1 1 Câu 2. Dãy số (u )với u , chọn M , để thì n phải lấy từ số hạng n n 2n 1 1000 2n 1 1000 thứ bao nhiêu trở đi? A. 498. B. 499. C. 500. D. 501. Câu 3. Chọn mệnh đề đúng? n 1 4 A. lim 0. B. lim 0. 10n 3 n n n 3 2 3 C. lim lim 0. D. lim 0. 4 3 2 Câu 4. Chọn mệnh đề đúng? 22
  23. A. lim 2017 0. B. lim 2017 2017. C. lim 2017 1. D. lim 2017 2017. 1 Câu 5. Dãy số (un ) với un , thì lim un bằng: n A. 0. B. 1. C. . D. . 1 Câu 6. Dãy số (un ) với un 9 , thì lim un bằng: n2 A. 0. B. 9. C. 3. D. . 1 Câu 7. Cho dãy số (un ) với un 7 , khi đĩ lim un bằng: n2 A. 0. B. 7. C. . D. . 1 1 1 1 Câu 8. CSN: , , , , , cĩ cơng bội là: 2 4 8 2n 1 1 A. q 2. B. q 2. C. q . D. q . 2 2 n 1 1 1 1 1 Câu 9. Cơng bội của CSN: 1, , , , , , là: 3 9 27 3 1 1 A. q 3. B. q 3. C. q . D. q . 3 3 Câu 10. Cơng thức tính tổng của CSN lùi vơ hạn (un ) là: 1 q 1 q u u A. S . B. S . C. S 1 . D. S 1 . u1 u1 1 q 1 q Câu 11. lim n2 cĩ kết quả bằng: A. 0. B. 1. C. . D. . Câu 12. lim 5n cĩ kết quả bằng: A. 0. B. 5. C. . D. . Câu 13: Với k là số nguyên dương. Kết quả của giới hạn lim xk là: x A. + . B. . C. 0. D. x. 1 Câu 14: Kết quả của giới hạn lim (với k nguyên dương) là: x xk A. + . B. . C. 0. D. x. Câu 15: Khẳng định nào sau đây đúng? A. lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) . x xo x xo x xo B. lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x). x xo x xo x xo C. lim f (x) g(x) lim [f (x) g(x)]. x xo x xo D. lim f (x) g(x) lim [f (x) g(x)] . x xo x xo Câu 16: Khẳng định nào sau đây đúng? A. lim 3 f (x) g(x) lim [ 3 f (x) 3 f (x)]. x xo x xo 3 B. lim f (x) g(x) 3 lim f (x) 3 lim g(x). x xo x xo x xo 23
  24. 3 C. lim f (x) g(x) 3 lim [f (x) g(x)]. x xo x xo D. lim 3 f (x) g(x) lim 3 f (x) lim 3 g(x). x xo x xo x xo Câu 17: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào khơng tồn tại? x 1 x 1 x 1 x 1 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . x 1 x 2 x 1 2 x x 1 x 2 x 1 2 x Câu 18: Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số cĩ giới hạn tại điểm x=a thì liên tục tại x =a. B. Hàm số cĩ giới hạn trái tại điểm x=a thì liên tục tại x=a . C. Hàm số cĩ giới hạn phải tại điểm x=a thì liên tục tại x=a . D. Hàm số cĩ giới hạn trái và phải tại điểm x=a thì liên tục tại x=a . Câu 19: Cho một hàm số f(x). Khẳng định nào sau đây đúng? A. Nếu f(a).f(b) thì hàm số liên tục trên (a; b). B. Nếu hàm số liên tục trên (a; b) thì f(a).f(b) < 0. C. Nếu hàm số liên tục trên (a; b) và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 cĩ nghiệm. D. Cả ba khẳng định trên đều sai. Câu 20: Cho một hàm số f(x). Khẳng định nào sau đây đúng? A. Nếu f(x) liên tục trên đoạn a;b thì phương trình f(x) = 0 khơng cĩ nghiệm trên khoảng (a;b). B. Nếu f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 cĩ ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b). C. Nếu phương trình f(x) = 0 cĩ nghiệm trong khoảng (a; b) thì hàm số f(x) phải liên tục trên khoảng (a; b). D. Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn a;b và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 cĩ nghiệm trong khoảng (a; b). Thơng hiểu 3 Câu 21. Giới hạn lim bằng: n 2 3 A. 3. B. . C. 0. D. . 2 n 1 Câu 22.: Giới hạn lim bằng: n 2 A. 1. B. 1. C. 0. D. . 7n2 3 Câu 23. Giới hạn lim bằng: n2 2 3 A. 7. B. . C. 0. D. . 2 2n2 1 Câu 24. Giới hạn lim bằng: n3 3n 3 1 A. . B. 2. C. 0. D. . 3 n 1 Câu 25. Giới hạn lim bằng: n 1 1 A. 0. B. 1. C. 1. D. . 2 1 n2 3n3 Câu 26. Giới hạn lim cĩ kết quả là: 2n3 5n 2 24
  25. 3 1 1 A. . B. . C. 0. D. . 2 2 5 n2 2n Câu 27. Giới hạn lim cĩ kết quả là: n3 1 A. 1. B. 0. C. . D. . 2n 1 4n2 2n 1 10n3 n2 1 Câu 28. Cho A lim ; B lim ; C lim trong các kết quả sau n 3 2n2 3 5n3 2n kết quả nào đúng? A. B = C. B. A = C. C. A = B = C. D. A = B. 2n 13 Câu 29. Giới hạn lim cĩ kết quả là: n 5 2 2 2 A. 0. B. 2. C. . D. . 5 25 3n 2n Câu 30. Giới hạn lim cĩ kết quả là: 4n 5 3 A. 0. B. . C. . D. . 4 4 Câu 31. Giới hạn lim(5x2 7x) cĩ kết quả là: x 3 A. 24. B. 0. C. - . D. 5. x 2 Câu 32. Giới hạn lim cĩ kết quả là: x 1 x 1 1 A. 1. B. 2 . C. . D. . 2 x2 2x 15 Câu 33. Giới hạn lim cĩ kết quả là: x 3 x 3 1 A. . B. 2. C. . D.8. 8 x3 8 Câu 34. Giới hạn lim cĩ kết quả là: x 2 2 x A. -12. B. 12. C. 5. D. 8. 2x 3 Câu 35. Giới hạn lim cĩ kết quả là: x 1 1 x A. 2. B. -2. C. . D. . x4 a4 Câu 36. Giới hạn lim cĩ kết quả là: x a x a A. 2a2. B. 3a4. C. 4a3. D. 5a4. 5x2 4x 3 Câu 37. Giới hạn lim cĩ kết quả là: x 2x2 7x 1 5 A. . B. 1. C. 2. D. - . 2 (x2 1)(x 1) Câu 38. Giới hạn của hàm số f (x) khi x tiến đến - cĩ kết quả là: (2x4 x)(x 1) 1 A. 0. B. + . C. . D. 2. 2 25
  26. (2x2 1)(2x2 x) Câu 39. Giới hạn của hàm số f (x) khi x tiến đến + cĩ kết quả là: (2x4 x)(x 1) 1 A. 4. B. . C. 0. D. . 4 Câu 40. Giới hạn của hàm số nào dưới đây cĩ kết quả bằng 1? x2 3x 2 x2 3x 2 A. lim . B. lim . x 1 x 1 x 2 x 2 x2 3x 2 x2 4x 3 C. lim . D. lim . x 1 1 x x 1 x 1 Câu 41. Giới hạn nào dưới đây cĩ kết quả bằng 3? 3x 3x A. lim B. lim x 1 x 2 x 1 x 2 3x C. Cả ba hàm số trên . D. lim x 1 2 x Câu 42. Khẳng định nào dưới đây đúng? x 1 A. Hàm số f (x) liên tục trên . x2 1 x 1 B. Hàm số f (x) liên tục trên . x 1 x 1 C. Hàm số f (x) liên tục trên . x 1 x 1 D. Hàm số f (x) liên tục trên . x 1 x 2 Câu 43. Cho hàm số f (x) . Khẳng định nào dưới đây đúng? x 4 I.f (x) gián đoạn tại x 2 . II.f (x) liên tục tại x 2 . 1 III.lim f (x) . x 2 2 2 A. Chỉ (I) và (III). B. Chỉ (II). C. Chỉ (I). D. Chỉ (II) và (III). Câu 44. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau? A. Hàm số f (x) 3x 1 liên tục trên tập R. x 1,khi x 0 B. Hàm số f (x) được xác định bởi f (x) liên tục tại x 0 . 0 khi x < 0 1 C. Hàm số f (x) liên tục x 0 . x D. Hàm số f (x) x liên tục trên 0; . Câu 45: Cho hàm số f x x2 2x 3 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số cĩ giới hạn trái và phải tại điểm x = 1 bằng nhau. B. Hàm số cĩ giới hạn trái và phải tại mọi điểm bằng nhau. C. Hàm số cĩ giới hạn tại mọi điểm. D. Cả ba khẳng định trên là sai. 26
  27. 1 Câu 46: Cho hàm số f (x) . Khẳng định nào sau đây là đúng? 2 x A. Hàm số chỉ cĩ giới hạn phải tại điểm x = 2. B. Hàm số cĩ giới hạn trái và giới hạn phải bằng nhau. C. Hàm số cĩ giới hạn tại điểm x = 2. D. Hàm số chỉ cĩ giới hạn trái tại điểm x = 2. Câu 47. Cho các hàm số: (I) y = sinx ; (II) y = cosx ; (III) y = tanx ; (IV) y = cotx. Hàm số nào liên tục trên R? A. (I) và (II). B. (III) và IV). C. (I) và (III). D. (I), (II), (III) và (IV). Câu 48. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? A. Hàm số y = tanx liên tục trên R. 3x 5 B. Hàm số y = x2 1 liên tục trên R. C. Hàm số y = x2 3 liên tục trên R. D. Hàm số y = x3 - 2x2 + 3x + 4 liên tục trên R. Câu 49. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? A. Hàm số y = sinx liên tục trên R. 3x 5 B. Hàm số y = liên tục trên R. x 1 4x C. Hàm số y = liên tục trên R. x2 1 D. Hàm số y = x3 + 2x2 – 5x + 7 liên tục trên R. Câu 50: Kết luận nào sau đây sai? 3x 2 A. Hàm số y gián đoạn tại x = 2. x 2 4x 3 B. Hàm số y gián đoạn tại x = -2 và x = 0. x2 2x 3x 2 C. Hàm số y gián đoạn tại x = -2. x 2 x2 9 D. Hàm số y gián đoạn tại x = 2 và x = -2. x2 4 Vận dụng thấp n2 1 4n Câu 51. Giới hạn lim cĩ kết quả là: 3n 2 4 5 1 A. 0. B. . C. . D. . 3 3 3 9.5n 2n Câu 52. Giới hạn lim cĩ kết quả bằng: 3n 3.5n 5 A. 0. B. 3. C. 5. D. . 3 3 n3 5n 9 Câu 53. Giới hạn lim cĩ kết quả bằng: 3n 2 1 A. 0. B. 1. C. 3. D. . 3 27
  28. 2.5n 9n 1 Câu 54. Giới hạn lim cĩ kết quả bằng: 1 9n A. 0. B. -1. C. 1. D. – 9. 2n 1 3 n 2 Câu 55. Giới hạn lim cĩ kết quả bằng: 4n 5 3 1 3 1 A. 0. B. . C. . D. . 32 2 2 Câu 56. Giới hạn lim( n2 n n) cĩ kết quả bằng: 1 A. 0. B. . C. . D. . 2 Câu 57. Giới hạn lim n2 2n 3 n cĩ kết quả bằng: A. 1. B. 0. C. . D. . Câu 58. Giới hạn lim n n 1 cĩ kết quả bằng: A. Khơng cĩ giới hạn. B. 0. C. -1. D. . Câu 59. Giới hạn lim n2 n 28 n2 4n 5 cĩ kết quả bằng: 5 A. . B. 0. C. . D. . 2 Câu 60. Giới hạn lim 4n2 2n 7 2n 3 cĩ kết quả bằng: 7 5 A. 0. B. . C. . D. . 2 2 1 1 Câu 61. Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn S 1 cĩ kết quả bằng: 2 4 1 2 3 A. 1. B. . C. . D. . 2 3 4 Câu 62. Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn S 4 2 1 cĩ kết quả bằng: 8 1 A. -8. B. . C. 6. D. . 3 8 1 1 1 Câu 63. Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn S 1 cĩ kết quả bằng: 2 22 2n 1 A. 1. B. 2. C. 3. D. . 2 Câu 64. Giới hạn lim( n4 50n 11) cĩ kết quả bằng: A. -1. B. 0. C. . D. . Câu 65. Giới hạn lim(n3 2n 1) cĩ kết quả bằng: A. 1. B. 0. C. . D. . x 1 x2 x 1 Câu 66. Giới hạn lcĩim kết quả bằng: x 0 x A. 0. B. 1. C. . D. 2. 28
  29. 1 3 1 x Câu 67. Giới hạn của hàm số f (x) khi x tiến đến 0 cĩ kết quả bằng: x 1 1 A. 0. B. 1. C. . D. . 3 9 x2 3x 2 Câu 68. Giới hạn của hàm số f (x) khi x tiến đến 2 cĩ kết quả bằng: (x 2)2 A. 0. B. 1. C. 2. D. . Câu 69. Giới hạn lim ( x2 2x x) bằng: x A. 0. B. . C. 1. D. 2. Câu 70. Khi x tiến tới , hàm số f (x) ( x2 2x x) cĩ giới hạn là: A. 0. B. + . C. . D. 1. Câu 71. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào cĩ kết quả là 0? x 1 2x 5 x2 1 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim ( x2 1 x). x 1 x3 1 x 2 x 10 x 1 x2 3x 2 x x3 2x Câu 72. Giới hạn lim cĩ kết quả là: x 3 x3 3x 2 21 21 . C. 0. D. 1. A. 16 B. 20 . 1 x x 1 Câu 73. Giới hạn lim cĩ kết quả là: x 1 x2 x3 A. -1. B. 1. C. 2. D. -2. x2 3x 2 Câu 74. Giới hạn lim cĩ kết quả là: x ( 1) x 1 A. -1. B. . C. 1. D. x4 x2 2 Câu 75. Giới hạn lim cĩ kết quả là: x (x3 1)(3x 1) 3 3 A. 3. B. 3. C. . . 3 D. 3 x2 ax khi x 1 Câu 76. Hàm số f (x) x2 1 liên tục tại x = 1 khi a bằng: khi x < 1 x 1 A. 1. B. 3. C. -1. D. 0. Câu 77: Cho phương trình: x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 (1). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. Phương trình (1) cĩ ít nhất ba nghiệm trên khoảng (-2;5). B. Phương trình (1) cĩ nghiệm trên khoảng (-1;3). 11 C. Phương trình (1) khơng cĩ nghiệm trên khoảng ( ; ) . 2 D. Hàm số f(x) = x5 – 3x4 + 5x – 2 liên tục trên R. x2 9x 10 khi x 1 Câu 78: Hàm số f x x 1 liên tục tại x 1 khi: ax 6 khi x=1 29
  30. A. a = 2. B. a = 3. C. a = 4. D. a = 5. x2 1 , x 0 Câu 79. Cho hàm số: f (x) x , x 0 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. lim f (x) 0. B. lim f (x) 1. C.f (x) 0. D. f(x) liên tục tại x0=0. x 0 x 0 x2 2x Câu 80. Cho hàm số f (x) chưa xác định tại x = 0. Để f(x) liên tục tại x = 0, phải gán cho x f(0) giá trị bằng bao nhiêu? A. -3. B. -2. C. -1. D. 0. Vận dụng cao Câu 81. Giới hạn lim 3 n 2 3 n cĩ kết quả là: A. 1. B. 0. C. . D. . Câu 82. Giới hạn lim 3 8n3 n2 1 2n 2017 cĩ kết quả là: 1 A. 2020. B. 0. C. 2017 . D. . 12 Câu 83. Tổng S sin2 x sin4 x sin6 x (x k ) cĩ kết quả bằng: 2 A. sin2 x. B. cot2 x. C. tan2 x. D. cos2 x. Câu 84. Tổng S 1 cos2 x cos4 x (x k ) cĩ kết quả bằng: 1 1 A. . B. cot2 x. C. tan2 x. D. . sin2 x cos2 x 1 1 1 1 Câu 85. Giới hạn limu biết u cĩ kết quả là: n n 12 1 22 2 32 3 n2 n 1 A. 0. B. 1. C. . D. . 2 2 3 4x 8 Câu 86. Giới hạn lim cĩ kết quả là: x 0 x 4 2 1 A. 3. B. 2. C. 0. . D. 3 Câu 87. Cho hình vuơng ABCD cĩ độ dài là 1. Ta nội tiếp trong hình vuơng này một hình vuơng thứ 2, cĩ đỉnh là trung điểm của các cạnh của nĩ. Và cứ thế ta nội tiếp theo hình vẽ. Tổng chu vi của các hình vuơng đĩ bằng: 1 1 2 1 A. . B. . C. 4(2 2). D. . 2 3 4 2 30
  31. 1 1 1 Câu 88. Giới hạn lim 1 2 1 2 1 2 cĩ kết quả là: 2 3 n 1 2 A. 1. . B. 2 C. 0. D. 3 . n 2n 4n Câu 89: Giới hạn lim cĩ kết quả là: n 1 A. 2 . B. 4 . C. . D. 0 . 1 1 1 1 Câu 90. Giới hạn lim un lim cĩ kết quả là: 1.3 3.5 5.7 (2 n 1)(2 n 1) 1 1 A. 0 . B. . C. 3. D. . 2 3 n 2n 1 n3 n2 1 Câu 91: lim cĩ kết quả là: 4n3 3n 1 1 A. . B. 0 . C. . D. . 2 2 2 1 1 2.3n 7n Câu 92: Giới hạn lim cĩ kết quả là: 5n 2.7n 1 1 A. 2 . B. . C. . D. 0 . 5 2 1 2.3n 6n Câu 93: Giới hạn lim cĩ kết quả là: 2n (3n 1 5) 1 1 A. . B. . C. 1 . D. . 2 3 x2 1 , x 1 Câu 94: Hàm số f (x) x 1 liên tục tại điêm x0 = 1 thì a bằng? a , x 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. -1. ax 3 , x 1 Câu 95: Hàm số f (x) liên tục trên tồn trục số thì a bằng? 2 x x 1 , x 1 A. -2. B. -1. C. 0. D. 1. Câu 96: Cho hàm số f (x) x5 x 1 . Xét phương trình: f(x) = 0 (1) trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? A. (1) cĩ nghiệm trên khoảng (-1; 1). B. (1) cĩ nghiệm trên khoảng (0; 1). C. (1) cĩ nghiệm trên R. D. Vơ nghiệm. Câu 97: Cho phương trình 3x3 2x 2 0 . Xét phương trình: f(x) = 0 (1) trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? A. (1) Vơ nghiệm. B. (1) cĩ nghiệm trên khoảng (1; 2). C. (1) cĩ 4 nghiệm trên R. D. (1) cĩ ít nhất một nghiệm. 31
  32. 2 n 2 2 2 1 5 5 5 Câu 98: Giới hạn lim 2 n cĩ kết quả là: 3 3 3 1 4 4 4 5 4 3 A. 1 . B. . C. . D. . 12 5 20 x2 x 2 2 Câu 99: Giới hạn lim a , thì 4a+1 cĩ kết quả là: x 1 x2 3x 2 A. -2. B. -3. C. 1/4. D. 1 / 8 . x 3 2 khi x 1 x 1 Câu 100: Hàm số f x liên tục tại x = 1 khi m bằng: 1 m2x 3m khi x 1 4 A. m 0 hoặc m 3. B. m 0 hoặc m 3. 3 2 3 C. m . D. m = 2. 2 32
  33. MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT Vận dụng Chủ đề Nhận biết Thơng hiểu Tổng Vận dụng thấp Vận dụng cao PP quy nạp 1 1 2 0,8 Dãy số 1 1 1 3 1,2 Cấp số cộng 1 1 1 3 1,2 Cấp số nhân 1 1 1 3 1,2 Giới hạn dãy số 1 3 1 1 6 2,4 Giới hạn hàm số 1 1 2 1 5 2,0 Hàm số liên tục 1 1 1 3 1,2 6 9 8 2 25 Tổng 2,4 3,6 3,2 0.8 10 ĐỀ BÀI 1 1 1 Câu 1. Với mọi số nguyên dương n, tổng S là: n 1.2 2.3 n(n 1) 1 n n n 1 A. . B. . C. . D. . n 1 n 1 n 2 n 2 Câu 2. Với mọi số tự nhiên n 2 , bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. 3n 4n 1. B. 3n 4n 2. C. 3n 3n 4. D. 3n 3n 1. Câu 3. Dãy số nào dưới đây thỏa mãn u0 1,u1 2,un 3un 1 2un 2 với n 2,3,4 ? A. 1;2;4;8;16;36; B. 1;2;8;16;24;54; n n C. un 2 1 (n 0;1;2; ) D. un 2 (n 0;1;2; ) u1 2 Câu 4. Cho dãy số un xác định bởi n với n 1 . Ta cĩ u5 bằng: un 1 2 .un A. 10. B. 1024. C. 2048. D. 4096. 3n 1 Câu 5. Dãy số u với u là dãy số bị chặn trên bởi: n n 3n 1 1 1 1 A. . B. . C. 1. D. . 2 3 4 Câu 6. Cho cấp số cộng 2 ; x ; 5. Hãy chọn kết quả đúng? 5 7 A. x . B. x 3 . C. x 4 . D. x . 2 2 Câu 7. Cho cấp số cộng (un) cĩ: u2 = 2001 và u5 = 1995. Khi đĩ u1001 bằng: A. 4005. B. 4003. C. 3. D. 1. u1 150 Câu 8. Cho dãy số (un) xác định bởi: . Khi đĩ tổng 100 số hạng đầu tiên của un un 1 3 , n 2 dãy số đĩ bằng: A. 150. B. 300. C. 29850. D. 59700. 33
  34. Câu 9. Nghiệm của phương trình 1 x x2  x2007 0 là: A. .x 1 B. x 1 . C. x 11 . D. .x 1  x 2 Câu 10. Dãy số 1, 2, 4, 8, 16, 32, là một cấp số nhân với: A. cơng bội là 3 và phần tử đầu tiên là 1. B. cơng bội là 2 và phần tử đầu tiên là 1. C. cơng bội là 4 và phần tử đầu tiên là 2. D. cơng bội là 2 và phần tử đầu tiên là 2. Câu 11. Cho cấp số nhân u1,u2 ,u3 , với cơng bội q (q 1) . Đặt Sn u1 u2 u3 un . Khi đĩ ta cĩ: u (qn 1) u (qn 1) A. S 1 . B. S 1 . n q 1 n q 1 u (qn 1 1) u (qn 1) C. S 1 . D. S 1 . n q 1 n q 1 Câu 12: Giới hạn lim(n2 n + 1) bằng: A. 1. B. . C.- 1. D. . 3n3 2n2 n Câu 13: Giới hạn lim bằng: n3 4 3 A. 3. B. . C. 4. D. -3. 4 2 2 Câu 14: Giới hạn lim n n n 2 bằng: 1 1 A. 0. B. 1. C. . D. . 2 2 sin n Câu 15: Giới hạn của dãy số lim bằng giới hạn nào dưới đây? n n 2n 1 n 1 2 A. lim . B. lim 2 . C. lim . D. lim( n n 1) . n 2 1 1 1 Câu 16: Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn sau: 1 là: 2 4 8 A. 1. B. 2. C. 4. D. . 1 2 22 2n Câu 17: Giới hạn lim bằng: 1 3 32 3n 1 2 A. 0. B. 1. C. . D. . 2 3 Câu 18: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 1 1 1 1 A.lim . B. lim 5 . C. lim . D. lim x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x2 3 Câu 19: Cho hàm số f (x) , ta cĩlim f (x) bằng? x3 3 3 x 3 2 3 2 3 2 3 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 9 9 Câu 20: lim ( x2 3x 2 x) bằng: x 7 7 3 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 34
  35. x Câu 21: lim bằng: x 1 x 1 A. . B. . C. 1. D. 0. x 2 3, x 2 Câu 22: Cho hàm số f (x) , để lim f (x) tồn tại thì a bằng bao nhiêu? ax 1, x 2 x 2 A. 2 . B.3 . C. 4. D. 5. Câu 23: Cho các hàm số: (I) y = sinx ;`(II) y = cosx ; (III) y = tanx ; (IV) y = cotx Trong các hàm số sau hàm số nào liên tục trên R? A. (I) và (II). B. (III) và IV) . C. (I) và (III). D. (I), (II), (III) và (IV). x2 2x Câu 24: Cho hàm số f(x) chưa xác định tại x = 0: f (x) . Để f(x) liên tục tại x = 0, phải x gán cho f(0) giá trị bằng bao nhiêu? A. -3. B. -2. C. -1. D. 0. Câu 25: Cho phương trình 3x3 2x 2 0 . Xét phương trình: f(x) = 0 (1) trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? A. (1) Vơ nghiệm. B. (1) cĩ nghiệm trên khoảng (1; 2). C. (1) cĩ 4 nghiệm trên R. D. (1) cĩ ít nhất một nghiệm. NHĨM: THPT KHÁNG NHẬT + THPT XUÂN HUY 35