Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Trường THPT Cao Nguyên

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Trường THPT Cao Nguyên

1. TRƯỜNG THPT TH CAO NGUYÊN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2018 MÔN THI: TOÁN HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10 Ngày thi : 17/6/2018 (Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu 1: (1,5 điểm) 15 20 1 a) Thu gọn biểu thức A 3 2 5 2 x 1 3 b) Cho biểu thức A . Tìm x để A . x 1 x x 2 Câu 2: (1,5 điểm) 2 a) Gọi x1, x 2 là hai nghiệm của phương trình: 3x 5 x 5 0 . Không giải phương trình 1 1 hãy tính giá trị của biểu thức A x1 x 2 x2 x 1 b) Cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y 2 m 1 x 7 m 5 . Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi x1, x 2 lần lượt là hoành độ giao điểm của A và B. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x 2 không phụ thuộc vào m. Câu 3: (2,0 điểm) x y 3 Cho hệ phương trình: 2 2 x y xy 2 m 1 a) Giải hệ phương trình khi m 3 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Câu 4: (4,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB bằng 6cm. Gọi H là điểm nằm giữa A và B sao cho AH = 1cm. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại C và D. Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M. Từ M hạ đường vuông góc MN với đường thẳng AB (N thuộc đường thẳng AB). a) Chứng minh rằng tứ giác MNAC nội tiếp. b) Tính độ dài đoạn thẳng CH và tính tan ABC . c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O). d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC ở E. Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH. Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . ab a 2 bc b 2 ca c 2 4 NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HHảảiii –– GGVV TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) trang 1
2. SƠ LƯỢC BÀI GIẢI Câu 1: (1,5 điểm) 15 20 15 3 2 5 2 a) A 5 5 2 2 3 2 5 2 3 2 5 4 x1 x 1 x 1 x 1 x 1 b) ĐK: x 0, x 1. Ta có: A x 1 x xx x 1 x x 1 x 3x 1 3 Khi đó: A 2 x 2 3 x x 2 x 4 (TMĐK) 2x 2 Câu 2: (1,5 điểm) a) Vì ac 15 0 và 5 0 , nên phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 0 5 x x 1 2 3 Theo Viét, ta có: 5 x x 1 2 3 1 1x1 x 2 1 5 3 2 Khi đó: A x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 1  1 x2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 3 5 3 b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2 2 m 1 x 7 m 5 x2 2 m 1 x 7 m 5 0 * (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B * có hai nghiệm phân biệt 2 m 2 2 * 0 m 1750 m m 560 m m 230 m m 3 x1 x 2 2 m 1 7 x 1 x 2 14 m 14 Theo Viét, ta có: 7 x1 x 2 2 x 1 x 2 24 x1 x 2 7 m 5 2 x 1 x 2 14 m 10 Câu 3: (2,0 điểm) x 1 x y 3 x y 3 x y 3 y 2 a) Khi m 3 , hệ trở thành 2 2 2 x y xy 7 x y xy 7 xy 2 x 2 y 1 Vậy khi m 3 , hệ phương trình có 2 nghiệm x, y là 1; 2 và 2;1 x y 3 x y 3 x y 3 b) 2 2 2 x y xy 2 m 1 x y xy 2 m 1 xy 8 2 m Do đó x; y là hai nghiệm của phương trình t2 3 t 8 2 m 0 * 23 Hệ có nghiệm duy nhất * có nghiệm kép 0 9 4 8 2m 0 m * 8 NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HHảảiii –– GGVV TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) trang 2
3. Câu 4: (4,0 điểm) M F C E I B N A H O D a) Chứng minh rằng tứ giác MNAC nội tiếp. Ta có: ACB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ACM 900 Xét tứ giác MNAC, ta có: ACM 900 cmt , ANM 90 0 MN  AB Vậy tứ giác MNAC nội tiếp. b) Tính CH và tan ABC Xét ABC: ACB 900 cmt , CH  AB gt   CH 2 AH BH 1 6 1 5 CH 5 cm CH 5 5 Xét HBC: BHC 900 CH  AB tan ABC BH 6 1 5 c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Tứ giác MNAC nội tiếp (cmt) ACN AMN (góc nội tiếp cùng chắn cung AN ) Lại có: MN ABCD,//  AB MN CD ADC AMN Mặt khác ADC ABC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC của (O)) và OBC cân tại O (OB = OC (bán kính (O)) OCB ABC Do đó ACN OCB ACN OCA OCB OCA OCN ACB 900 NC  OC Vậy NC là tiếp tuyến của (O) tại C d) Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH. Gọi F là giao điểm của AE với BM; I là giao điểm của EB với CH 1 Do EA, EC là tiếp tuyến của (O) EAC ECA sđ AC 2 Mà EAC EFC 900 ACF : ACF 90 0 , ECA ECF ACF 900 EFC ECF Nên ECF cân tại E EF EC ; lại có EA EC (EA, EC là tiếp tuyến của (O)) EF EA a ; mặt khác AF//, CH AF ABCH  AB NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HHảảiii –– GGVV TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) trang 3
4. IH BI IC BI Xét ABE://// AE HI AF CH b ; BEFEF://C// IAFCH c AE BE EF BE Từ a ,, b c IH IC . Vậy EB đi qua trung điểm của CH (đpcm) Câu 5: (1,0 điểm) 1 1 1 1 Áp dụng XY 0, 0 . Đẳng thức xảy ra XY , ta có: XYXY 4 1 1 1 1 c 1 do abc 1 c 1 ab a 2 ab 1 a 1 a 1 4 c 1 a 1 c 11 a 1 1 1 b 1 Tương tự ; bc b 24 a 1 b 1 ca c 2 4 b 1 c 1 1 1 1 1 1a 1 b 1 c 3 Do đó ab a 2 bc b 2 ca c 2 4 a 1 a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 4 ab 1 a 1 bc 1 b 1 Đẳng thức xảy ra a b c 1 ca 1 c 1 abc 1 NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HHảảiii –– GGVV TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) trang 4