Đề thi tuyển sinh môn Toán vào Lớp 10 - Đề số 9 - Năm học 2019-2020 (Kèm đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh môn Toán vào Lớp 10 - Đề số 9 - Năm học 2019-2020 (Kèm đáp án)

1. MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYấN Năm 2021 MễN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) ( Đề thi gồm 05 cõu, 01 trang) Cõu 1 (2 điểm) 1. Cho phương trỡnh: x2 2(m 1)x 2m2 3m 1 0 , với m là tham số (1). 2 2 Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trỡnh (1). Tớnh A x1 x2 2x1x2 theo m . 1 1 1 2. Cho số thực a 0 thỏa món a a .Chứng minh rằng: a 5 a a a Cõu 2 (2 điểm) 1. Giải phương trỡnh sau: . 2x2 4x 7 x4 4x3 3x2 2x 7 1 1 (1) x y 2. Giải hệ phương trỡnh y x 3 (2) 2y x 1 Cõu 3 (2 điểm) 1. Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: x2 2y x y 2 x 1 2. Cho cỏc số thực a, b, c dương thỏa món a b c 1 . 3 Chứng minh rằng: M a2 abc b2 abc c2 abc 9 abc 5 3 Cõu 4 (2 điểm) 1. Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn tõm O . Đường trũn (O') tiếp xỳc với cỏc cạnh AB,AC tại E,F tiếp xỳc với (O) tại S . Đường phõn giỏc trong gúc ACB cắt EF tại I . a) Tứ giỏc IFCS là tứ giỏc nội tiếp b) I là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC . 2. Cho ABC nhọn nội tiếp (O; R) và ngoại tiếp (I;r) , M , N, P lần lượt là trung điểm của BC; AC; AB . Gọi da ;db ;dc lần lượt là khoảng cỏch từ O đến cỏc cạnh BC; AC; AB . Chứng minh rằng: da db dc R r Cõu 5 (1 điểm) Trong hỡnh vuụng mà độ dài mỗi cạnh là 4 cho trước 33 điểm phõn biệt, trong đú khụng cú ba điểm nào thẳng hàng. Người ta vẽ cỏc đường trũn cú bỏn kớnh đều bằng 2 , cú tõm là cỏc điểm đó cho. Hỏi cú hay khụng ba điểm trong số cỏc điểm núi trờn sao chỳng đều thuộc vào phần chung của ba hỡnh trũn cú cỏc tõm cũng chớnh là ba điểm đú? .Hết
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYấN MÃ Kí HIỆU Năm 2021 MễN THI: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Cõu Đỏp ỏn Điểm 1. (1,0 điểm) a) x2 2(m 1)x 2m2 3m 1 0 , với m là tham số (1). Ta cú ' (m 1)2 2m2 3m 1 m2 m 0,25 Phương trỡnh (1) cú nghiệm ' 0 m2 m 0 0 m 1 0,25 Với 0 m 1 thỡ phương trỡnh cú hai nghiệm x1; x2 x1 x2 2(m 1) 0,25 Theo hệ thức Vi-ột ta cú: 2 x1.x2 2m 3m 1 2 2 2 Mà A x1 x2 2x1x2 x1 x2 2x1x2 2x1x2 0,25 A 4(m 1)2 4(2m2 3m 1) 4m2 8m 4 4m2 12m 4 4m Cõu 1 2. (1,0 điểm) 1 1 1 1 1 0,25 Từ giả thiết a a a a a 2,0 đ a a a a a 1 a 1 a 1 5 1 5 1 5 a a 1 0 a a 0 a a 0 4 4 2 2 0,25 1 5 5 1 0,25 Nhận xột: Vỡ a 0 nờn a 0 loại, suy ra a . 2 2 1 5 1 2 5 1 2 5 1 5 1 5 1 Xột a 5 a 2 5 1 2 5 1 2 0,25 1 1 Từ đú ta cú: a a 5 . Điều phải chứng minh. a a a. (1,0 điểm) Biến đổi phương trỡnh như sau: 2 0,25 4 2x2 4x 7 2x2 4x 7 16 2x2 4x 7 35 1 Cõu 2 Đặt 2x2 4x 7 a (với a 5 ), ta cú: 0,25 2 4a a4 16a2 35 a2 6 2a 1 2 a2 2a 7 a2 2a 5 0 * 2,0 đ Với a 5 thỡ a2 2a 5 0 , nờn từ (*) suy ra a2 2a 7 0 , 0,25 phương trỡnh này cú hai nghiệm là a 1 2 2 . Đối chiếu với điều kiện a 5 chỉ chọn được a 1 2 2 .
3. Khi đú 2x2 4x 7 1 2 2 x2 2x 1 2 2 0 . Phương trỡnh ( ) cú hai nghiệm là 1 2 2 2 . 0,25 Vậy tập nghiệm của PT đó cho là 1 2 2 2 . b. (1,0 điểm) 1 1 (1) x y Giải hệ phương trỡnh y x Điều kiện: x; y 0 3 (2) 2y x 1 1 1 Từ (1) x y ( ) 0 x y 0,25 x y y x 1 x y 0 (x y).(1 ) 0 1 xy xy y x *) Thay y = x vào phương trỡnh (2) ta được x3 2x 1 0 1 5 1 5 Giải phương trỡnh ta được x 1; x ; x 1 2 2 3 2 So sỏnh với điều kiện. 0,25 1 5 1 5 1 5 1 5 Suy ra (x; y) (1;1);( ; );( ; ) 2 2 2 2 1 *) Thay y= - vào phương trỡnh (2) ta được x4 x 2 0 x 0,25 1 1 3 (x2 )2 (x )2 0 Phương trỡnh này vụ nghiệm 2 2 2 Kết luận hệ phương trỡnh đó cho cú 3 nghiệm: 1 5 1 5 1 5 1 5 025 (x; y) (1;1);( ; );( ; ) 2 2 2 2 a. (1,0 điểm) Ta cú x2 2y x y 2 x 1 x2 2 y 1 x 2 y2 1 0 (1). Để phương trỡnh (1) cú nghiệm nguyờn x thỡ theo y phải là số chớnh phương. 0,25 Ta cú y2 2y 1 2y2 2 y2 2y 3 4 y 1 2 4 . chớnh phương nờn 0;1;4 . 2 Cõu 3 + Nếu 4 y 1 0 y 1 , thay vào phương trỡnh (1), ta cú: 0,25 2 x 0 x 4x 0 x x 4 0 . 2,0 đ x 4 + Nếu 1 y 1 2 3 y Z . 2 y 3 + Nếu 0 y 1 4 . y 1 0,25 * Với y 3 , thay vào phương trỡnh (1) ta cú: x2 8x 16 0 x 4 2 0 x 4 .
4. * Với y 1, thay vào phương trỡnh (1) ta cú x2 0 x 0 . Vậy phương trỡnh cú 4 nghiệm nguyờn: x; y 0;1 , 4;1 , 4;3 , 0; 1 . 0,25 b. (1,0 điểm) Ta cú: a 2 abc abc a a bc bc a a a b c bc bc 0,25 a a a b a b c bc a a b a c bc 1 3 1 Theo bất đẳng thức Cụsi ta cú: a 3. .a a 3 2 3 a b a c b c a b a c bc 1 0,25 2 2 3 1 a a b a c bc a 2 3 2 3 1 hay a abc abc a 2 3 Chứng minh tương tự: 2 3 1 2 3 1 b abc abc b ; c abc abc c 2 3 2 3 3 0,25 a b c 1 Mà abc 3 3 3 M a 2 abc abc b2 abc abc c2 abc abc 6 abc 3 1 3 1 3 1 6 2 5 3 a b c 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 0,25 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c . 3 1. (2.0 điểm) a. (1,0 điểm) A M N O I E F O' Cõu 4 C B S x 3,0 đ Kộo dài SE,SF cắt đường trũn (O) tại E,F . 0,25 Ta cú cỏc tam giỏc OMS, O'EF cõn tại O,O' nờn Oã 'ES=Oã MS O'E / /OM OM  AB hay M là điểm chớnh giữa của cung AB . 0,25 Ta cú: C,I,M thẳng hàng. Mà IãCS  Mã CS Mã Sx và IảFS  Eã FS Mã Sx 0,25 nờn IãCS IảFS tứ giỏc IFCS là tứ giỏc nội tiếp 0,25
5. b. (1,0 điểm) Tứ giỏc IFCS là tứ giỏc nội tiếp Eã IS Sã CF . 0,25 Mặt khỏc tứ giỏc nội tiếp nờn ã ã 0 ã ã 0 ACSB ACS ABS 180 EIS ABS 180 0,25 hay tứ giỏc EISB nội tiếp. Vỡ Eã BI Eã SI mà Eã SI IảSB Eã SB à EF Mã SB 180 À 180 À Cà Bà Mã CB . 0,25 2 2 2 2 => IB là phõn giỏc trong của gúc à BC . Hay I là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC 0,25 2. (1,0 điểm) A P N O B M C Ta thấy tứ giỏc ONAP nội tiếp trong đường trũn đường kớnh OA nờn theo định lớ c b a Ptoleme ta cú: AP.ON AN.OP AO.PN d d R. cd bd R.a 0,25 2 b 2 c 2 b c Hoàn toàn tương tự, ta cú: bda adb R.c; adc cda R.b Ta cũng cú: ad OM.BC 2S . a OBC 0,25 Tương tự: bdb 2SOCA; cdc 2SOAB Cộng tất cả cỏc đẳng thức trờn lại, ta cú: 0,25 a b c da db dc R a b c +2 SOAB SOAC SOBC a b c da db dc R a b c + a b c .r 0,25 da db dc R r Chia hỡnh vuụng đó cho thành 16 hỡnh vuụng, mỗi hỡnh vuụng cú cạnh bằng 1; vỡ cú Cõu 5 1,0 đ 33 điểm chứa trong 16 hỡnh vuụng, do đú theo nguyờn tắc Dirichlet cú ớt nhất là một 0,25 hỡnh vuụng chứa khụng ớt hơn ba điểm. Khoảng cỏch giữa hai điểm bất kỳ trong hỡnh vuụng đơn vị đó cho khụng thể vượt 0,25 qua độ dài đường chộo của nú bằng 2 . Gọi O1;O2 ;O3 là ba điểm cựng nằm trong một hỡnh vuụng đơn vị nào đú. Vẽ ba 0,25 đường trũn tõm O1;O2 ;O3 cựng bỏn kớnh là 2 . Chắc chắn cả ba điểm O ;O ;O đều nằm trong cả ba đường trũn này, nghĩa là chỳng 1 2 3 0,25 nằm trong phần chung của ba hỡnh trũn cú tõm tại chớnh cỏc điểm O1;O2 ;O3 . Hết