Đề thi tuyển sinh môn Toán vào Lớp 10 - Đề số 6 - Năm học 2019-2020 (Kèm đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh môn Toán vào Lớp 10 - Đề số 6 - Năm học 2019-2020 (Kèm đáp án)

1. MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN Năm 2021 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 06 câu, 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm). 2x + 2 x x 1 x x + 1 1. Cho biểu thức P = x x x x + x a. Rút gọn P. b. So sánh P với 5. 8 c. Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức chỉ nhận đúng một P giá trị nguyên. 2. Cho phương trình: x 2 m 2 x 8 0 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1;x 2 sao cho biểu thức 2 2 Q x1 1 x2 4 đạt giá trị lớn nhất. Câu 2 (2,0 điểm). 1. Giải phương trình: 7 x x 5 x2 12x 38 x y z 9 1 1 1 2. Giải hệ phương trình: 1 x y z xy yz zx 27 Câu 3 (1,0 điểm). Cho a, b là các số dương. 1 1 4 4 Chứng minh rằng: . a b 3a b a 3b Câu 4 (1,0 điểm). Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 3y2 4x 19 Câu 5 (3,0 điểm). Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K. a. Chứng minh bốn điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn. b. Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi. c. Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME. Câu 6 (1,0 điểm). Tổng số bi đỏ và bi xanh trong 4 hộp là 48 viên. Biết số bi đỏ và bi xanh trong hộp thứ nhất bằng nhau. Số bi đỏ trong hộp thứ hai gấp 2 lần số bi xanh trong hộp thứ hai. Số bi đỏ trong hộp thứ ba gấp 3 lần số bi xanh trong hộp thứ ba. Số bi đỏ trong hộp thứ tư gấp 6 lần số bi xanh trong hộp thứ tư. Trong 4 hộp này có một hộp chứa 2 viên bi xanh, có một hộp chứa 3 viên bi xanh, có một hộp chứa 4 viên bi xanh, có một hộp chứa 5 viên bi xanh. Tìm số bi đỏ và bi xanh của mỗi hộp. Hết
2. MÃ KÍ HIỆU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN Năm 2021 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Chú ý: + Học sinh làm đúng bằng cách nào cũng cho điểm tối đa. + Bài làm sai từ đâu phần tiếp theo có liên quan không chấm. + Hình vẽ sai hoặc không khớp lời chứng minh thì không chấm. Câu Đáp án Điểm 1. (1,5 điểm) a. (0,5 điểm) ĐKXĐ: x 0,x 1 2x + 2 ( x - 1)(x + x 1) ( x + 1)(x - x 1) P = - 0,25 x x( x 1) x( x 1) 2x + 2 x + x 1 x - x 1 2x + 2 x +2 0,25 x x x x b. (0.5 điểm) Xét hiệu 2 0,25 2x + 2 x + 2 2x - 3 x + 2 1 P 5 5 =2 x + 3 x x x P 5 2.2 3 1 0 P 5 0,25 8 8 8 c. (0.5 điểm) Vì P 5 nên 0< < 1 khi P = 8. 0,25 P 5 P 8 Vậy với mọi giá trị của x làm P có nghĩa thì chỉ nhận đúng một 1 P 0,25 (2,0 điểm) giá trị nguyên 2. (0,5 điểm). Phương trình x 2 m 2 x 8 0 Viết được m 2 2 32 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 0,25 x1 x2 2 m Theo hệ thức Vi-ét ta có x1x2 8 8 Khi đó có x2 x1 2 64 2 16 Viết được Q x1 1 2 4 68 4 x1 2 68 4.8 36 x1 x1 Dấu “=” xảy ra khi x1 2 Với x 2 thì m = 4, với x 2 thì m = 0 1 1 0,25 Vậy Q có giá trị lớn nhất là 36 khi m 0 hoặc m 4 1.(1,0 điểm): Phương trình: 7 x x 5 x2 12x 38 ĐKXĐ: 5 x 7
3. Câu Đáp án Điểm Ta có: 7 x x 5 x2 12x 38 0,25 2 x2 12x 38 2 7 x x 5 0 2 x2 12x 36 7 x 2 7 x 1 x 5 2 x 5 1 0 2 2 0,25 x 6 2 7 x 1 x 5 1 0 x 6 0 7 x 1 0 0,25 2 x 5 1 0 (2,0 điểm) x 6 (thỏa mãn ĐK) 0,25 Vậy phương trình có nghiệm là x = 6 2.(1,0 điểm). ĐK x; y; z 0 Từ x y z 9 0,25 Ta có x2 y2 z2 2 xy yz zx 81 x2 y2 z2 2.27 81 x2 y2 z2 27 0,25 x2 y2 z2 xy yz zx 2 x2 y2 z2 2 xy yz zx 0,25 x y 2 y z 2 z x 2 0 x y z x y z 9 1 1 1 Khi đó ta có : 1 x y z 3 ( thỏa mãn ĐK) x y z 0,25 xy yz zx 27 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y, z) = (3,3,3) 1 1 4 Với a và b là hai số dương ta có bất đẳng thức . (*) a b a b 0,25 Dấu “=” xảy ra khi a = b Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có 4 4 1 1 1 4 1 1 1 (1) 3 3a b 2a+ a b 2a a b 2a 4a 4b 2a 4a 4b 0,25 (1,0 điểm) 2a a b Dấu “=” xảy ra khi a b 4a 4b Chứng minh tương tự ta có : 4 4 1 1 1 4 1 1 1 (2) 0,25 a 3b 2b+ a b 2b a b 2b 4a 4b 2b 4a 4b
4. Câu Đáp án Điểm 2b a b Dấu “=” xảy ra khi a b 4a 4b Cộng theo vế 2 BĐT (1) và (2) ta được : 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 3a b a 3b 2a 4a 4b 2b 4a 4b a b 0,25 Dấu “=” xảy ra khi a = b. Viết được 2x2 3y2 4x 19 2 x2 2x 1 3 7 y2 2 2 x 1 3 7 y2 0,25 3 7 y2 2 4 Suy ra 7 y2 là số nguyên chẵn. Vậy y là số nguyên lẻ. (1,0 điểm) 2 0,25 Mà 2 x 1 0 7 y2 0 y2 1 Thay y2 1 vào phương trình tìm được x 2; x 4 0,25 Phương trình có các nghiệm nguyên x; y là: 0,25 2;1 ; 2; 1 ; 4;1 ; 4; 1 Hình vẽ M Q H O D P A d B K I C N E a. (1,0 điểm) Chứng minh được O· IA 900 ; O, I, A nằm trên đường tròn đường kính OA 0,25 Chứng minh được O· MA 900 ; 5 0,25 O, M, A nằm trên đường tròn đường kính OA (3,0 điểm) O· NA 900; 0,25 O, N, A nằm trên đường tròn đường kính OA Khẳng định bốn điểm O, M, N, I cùng nằm trên đường tròn đường 0,25 kính OA b. (1,0 điểm) Chứng minh được OA  MN 0,25 Chứng minh được AB.AC AN2 Chứng minh được AH.AO AN2 0,25 Chứng minh được AI.AK AH.AO
5. Câu Đáp án Điểm Suy ra AI.AK AB.AC AB.AC 0,25 AK AI Do A, B, C cố định nên I cố định suy ra AK cố định. Mà A cố định 0,25 nên K cố định. c. (1,0 điểm) Chỉ ra được P· MQ 900 Chỉ ra được M· EH D· MQ (cùng phụ D· MP ) E· MH M· QD (cùng phụ M· PO ) 0,25 Chứng minh được đồngMH Edạng với QDM ME MH 0,25 Chi ra được MQ DQ Chỉ ra được P· MH M· QH (cùng phụ H· MQ ) 0,25 Chứng minh được đồngPMH dạng với MQH MP MH MH Chi ra được MQ HQ 2DQ MP 1 ME 0,25 Suy ra được  MQ 2 MQ Suy ra ME 2.MP P là trung điểm của ME Gọi số viên bi xanh trong các hộp thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư lần lượt là a, b, c, d với a, b, c, d N* Theo đề bài ta có: a, b, c, d đôi một khác nhau và nhận các giá trị trong tập hợp 2; 3; 4; 5 0,25 Khi đó a b c d 14 Và a a b 2b c 3c d 6d 48 2a 3b 4c 7d 48 2 a b c d b 2c 5d 48 6 0,25 b 2c 5d 48 14.2 20 (1,0 điểm) Vì b 2c 3 2.2 7 nên 5d 13 Mà d 2 nênd 2; b 2c 10 b chẵn b = 4 0,25 Khi đó c 3 và x 5 Vậy: Hộp thứ nhất có 5 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 4 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. 0,25 Hộp thứ ba có 3 viên bi xanh và 9 viên bi đỏ. Hộp thứ tư có 2 viên bi xanh và 12 viên bi đỏ. Hết