Đề thi tuyển sinh lớp 10 vào trường THPT chuyên môn Toán học (Chuyên Tin) - Năm học 2021-2022 - Sở GD&ĐT Quảng Nam (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh lớp 10 vào trường THPT chuyên môn Toán học (Chuyên Tin) - Năm học 2021-2022 - Sở GD&ĐT Quảng Nam (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM HỌC 2021-2022 Môn thi: TOÁN (Chuyên Tin) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Khóa thi ngày: 03-05/6/2021 Câu 1. (1,5 điểm) 1 1 4 Cho biểu thức P (với x 0, x 4 ) . x 2 x 2 x 4 Rút gọn biểu thức P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho P = 1. Câu 2. (1,0 điểm) Cho phương trình x4 7x3 (m 2)x2 2021x m 0 (*) , với m là tham số nguyên. Chứng minh rằng x 1 không phải là nghiệm của phương trình (*) và phương trình này có không quá một nghiệm nguyên. Câu 3. (1,0 điểm) Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d) : y 2x m (m là tham số). Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A x1; y1 , B x2 ; y2 thỏa mãn x1x2 y1 y2 6. Câu 4. (2,0 điểm) a) Giải phương trình x 2 2x 1. 2 2 x y 3 b) Giải hệ phương trình . 2 xy 3y 1 Câu 5. (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC cắt nhau tại O. Gọi I1 là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO và I2 là đường tròn ngoại tiếp tam giác ACO. Kẻ các đường kính OP của I1 và OQ của I2 . a) Chứng minh tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh hai tam giác OEF và OQP đồng dạng. c) Cạnh AC cắt đường tròn I1 tại D (D khác A). Tiếp tuyến của I1 tại P và tiếp tuyến của I2 tại Q cắt nhau tại T. Chứng minh ba điểm O, D, T thẳng hàng. Câu 6. (1,0 điểm) 1 1 1 Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c  Tìm giá trị nhỏ nhất của a b c biểu thức P ab bc ca. HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM HỌC 2021-2022 HDC CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN TIN (Bản hướng dẫn này gồm 04 trang) * Lưu ý: Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. Câu Nội Dung Điểm 1 1 4 Cho biểu thức P (với x 0, x 4 ) . x 2 x 2 x 4 1,5 Rút gọn biểu thức P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho P = 1. 1 1 2 x Tính được 0,25 x 2 x 2 x 4 2 x 4 Suy ra P x 4 0,25 Câu 1 2 x 2 0,25 x 2 x 2 2 Kết quả: P x 2 0,25 2 P 1 1 x 0, x 4 x 2 0,25 x 4 x 16. 0,25 Cho phương trình x4 7x3 (m 2)x2 2021x m 0 (*) , với m là tham số nguyên. Chứng minh rằng x 1 không phải là nghiệm của phương trình (*) 1,0 và phương trình này có không quá một nghiệm nguyên. Đặt f (x) x4 7x3 (2 m)x2 2021x m Tính f (1) 2m 2025 0,25 Vì m là số nguyên nên f (1) 2m 2025 0 Vậy x 1 không phải là nghiệm của phương trình (*). 0,25 Câu 2 Giả sử x0 là nghiệm nguyên của phương trình (*), ta có f (x0 ) 0 Khi đó f (x0 ) f (1) 2m 2025 chia hết cho x0 1, suy ra ( x0 1) là số 0,25 lẻ, suy ra x là số chẵn. 0 Giả sử PT (*) có 2 nghiệm nguyên phân biệt x1, x2 Suy ra: x , x là các số chẵn và f (x ) f (x ) 0. 1 2 1 2
3. Ta có f (x1) f (x2 ) 0 0,25 3 2 2 2 2 2 (x1 x1 x2 x1x2 x2 ) 7(x1 x1x2 x2 ) (m 2)(x1 x2 ) 2021 0 x1 x2 Do vế trái là số lẻ nên mâu thuẩn. Vậy bài toán được chứng minh. Cho parabol (P) : y x 2 và đường thẳng (d) : y 2x m (m là tham số). Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt 1,0 A x1; y1 , B x2 ; y2 thỏa mãn x1x2 y1 y2 6. Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là x2 2x m Hay x2 2x m 0 (1) 0,25 Tính được ' 1 m và suy ra được ' 0 m 1 0,25 Câu 3 Theo hệ thức Viet x1x2 m Ta có: x1x2 y1 y2 6 x x (x x )2 6 1 2 1 2 0,25 m2 m 6 0 m 3 m 2 So điều kiện, suy ra m=3. 0,25 a) Giải phương trình x 2 2x 1. 1,0 2x 1 0 x 2 2x 1 2 x 2 (2x 1) 0,25 1 x 2 Câu 4 2 4x 3x 1 0 (*) 0,25 ( 2,0 ) 1 Giải PT (*) ta được x 1 hoặc x 4 0,25 1 So điều kiện, kết luận x . 4 0,25 ( HS có thể bình phương rồi thử lại). 2 2 x y 3 (1) b) Giải hệ phương trình . 2 1,0 xy 3y 1 (2) 3y2 1 Nhận thấy y 0 không phải là nghiệm của (2) nên rút x y 0,25 2 2 3y 1 2 Thay vào phương trình (1) được: y 3 y
4. 4 2 2 2 1 0,25 Đưa về phương trình: 8y 9y 1 0 y 1, y 8 Với y2 1 x 2 , suy ra hai nghiệm ( 2; 1),(2;1) . 0,25 1 5 5 1 5 1 Với y2 x , suy ra hai nghiệm ( ; ),( ; ) . 0,25 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( Không lí luận y 0 thì trừ 0,25 và chấm tiếp) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC cắt nhau tại O. Gọi I1 là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO và I2 là đường tròn ngoại tiếp tam giác ACO. Kẻ các đường kính OP của I1 và OQ của I2 Câu 5 a) Chứng minh tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn. 3.5 b) Chứng minh hai tam giác OEF và OQP đồng dạng. c) Cạnh AC cắt đường tròn I1 tại D (D khác A). Tiếp tuyến của I1 tại P và tiếp tuyến của I2 tại Q cắt nhau tại T. Chứng minh ba điểm O, D, T thẳng hàng. 5a a. Chứng minh tứ giác AEOF nội tiếp trong đường tròn. 1,0 Hình vẽ phục vụ câu a. 0,25 Nêu được OE  AB, OF  AC (mỗi ý cho 0,25) 0,5 Suy ra tứ giác AEOF nội tiếp. 0,25
5. 5b b. Chứng minh OFE đồng dạng với OPQ . 1,5 Hình vẽ 0,25 0 0 0 Ta có O· AP O· AQ 90 90 180 . Suy ra 3 điểm P, A, Q thẳng hàng. 0,25 Xét hai tam giác OFE và OPQ có: Góc Oµ chung (1) · · · 0,25 OFE OAE ABO 0,25 · · · QPO APO ABO 0,25 Suy ra O· FE Q· PO (2) Từ (1) và (2) suy ra hai tam giác OFE và OPQ đồng dạng. 0,25 Cạnh AC cắt đường tròn I1 tại D (D khác A). Tiếp tuyến của I1 tại P và 1,0 tiếp tuyến của I2 tại Q cắt nhau tại T. Chứng minh O, D, T thẳng hàng. · · 0 · 0 · 0,25 5c Lập luận: DOQ DOF 90 FDO 90 ABO (1) · · TOQ TPQ (Tứ giác TPOQ nội tiếp) 0,25 · 0 · 0 · PAB 90 APO 90 ABO (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra T· OQ D· OQ và kết luận O, D, T thẳng hàng. 0,25 1 1 1 Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c . Câu 6 a b c 1,0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ab bc ca . Cách 1: 1 1 1 abc( )2 1 1 1 Có P ab bc ca abc( ) a b c a b c a b c 0,25 1 1 1 1 1 1 abc( 2 2 2 ) 2(a b c) abc( 2 2 2 ) a b c a b c 2 a b c a b c 0,25 1 1 1 abc( ) ab bc ca 2 1 2 3 . a b c 0,25 Dấu bằng xảy ra khi a b c 1. Vậy Min P=3. 0,25 Cách 2: 1 1 1 Biến đổi giả thiếta b c a2bc b2ac c2ab ab bc ca P 0,25 a b c CM được BĐT x y z 2 3 xy yz zx 0,25 Áp dụng: x ab, y bc, z ca thu được P2 3P P 3 P 0 0,25 Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1. Vậy Min P=3. 0,25