Đề thi thử Trung học phổ thông quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 1 - Sở giáo dục và đào tạo Khánh Hòa

Nội dung text: Đề thi thử Trung học phổ thông quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 1 - Sở giáo dục và đào tạo Khánh Hòa

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHÁNH HÒA KÌ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2017 TRUNG TÂM GDTX& HN CAM LÂM LẦN Môn thi: TOÁN (Thời gian làm bài: 90 phút) Họ, tên thí sinh: Mã đề thi Số báo danh: Câu 1. Hàm số y = x2 - 7x + 12 đồng biến trên æ3 ö A. ¡ B. C. ç , D.+ ¥ ÷ (- ¥ ,3) (4,+ ¥ ) èç2 ø÷ Câu 2. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như hình vẽ x - ¥ 0 1 + ¥ y¢ + || - 0 + 2 + ¥ y - ¥ - 1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1 . B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng - 1 . D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 . 2x- 1 Câu 3. Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x- 1 A. B.y = C.1 D. y = 2 x = 2 x = 1 x2 + 3 Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên đoạn [2,4] . x- 1 19 A. min y = 6. B. min y = - 2. C. min y = - 1 D. min y = . [2,4] [2,4] [2,4] [2,4] 3 Câu 5. Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số y = f (x) . Khẳng định nào sau đây đúng? y A. Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị 3 2 B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 1 x C. Hàm số có giá trị lớn nhất là 2 . -3 -2 -1 1 2 3 -1 D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 . -2 -3 Câu 6. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ex (x2 - 3x- 5) là A. 2 B. C. D. 0 1 3
2. Câu 7. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau. Tìm khẳng định sai x 0 1 y 0 2 y 1 A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0,1) . B. Hàm số đạt một cực đại tại x = 1 . C. Phương trình f (x)= m có đúng 2 nghiệm thực khi m < 2 D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 0 . Câu 8. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau. Hỏi đồ thị hàm số đó có mấy tiệm cận x 2 y – – 2 y 2 A. 1 B. C. D. 2 3 4 m- sin x æ pö Câu 9. Tìm m để hàm số y = nghịch biến trên khoảng ç0, ÷ cos2 x èç 6÷ø 5 A. m ³ 1 B. m £ 0 C. m £ D. m £ 2 4 Câu 10. Đồ thị hàm số nào sau đây có đúng hai tiệm cận ngang? x2 - x 4- x2 x - 2 x + 2 A. y = B. y = C. D. y = y = x + 2 x + 1 x + 1 x - 2 Câu 11. Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không cần nắp, có thể tích là 500 m3 . Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê công nhân xây hồ là 3 500000 đồng trên 1m2 . Hãy xác định kích thước của hồ sao cho chi phí thuê công nhân thấp nhất. Chi phí đó là A. 74 triệu đồngB. 75 triệu đồngC. 76 triệu đồngD. 77 triệu đồng 1+ 2x + 2- x Câu 12. Cho 4x + 4- x = 14 . Khi đó biểu thức K = có giá trị bằng. 5- 2x - 2- x 1 1 51 A. B.- hoặc 5C. D. 5 3 2 10 Câu 13. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
3. - 4 - 5 6 7 A. B.( 2 - 1) > ( 2 - 1) (2 2 - 2) > (2 2 - 2) 3 3 3 4 C. D.(3 - 3 3) 0 . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau a ln a a 1 a 1 a A. B.ln C.= D. ln = ln a- ln ln = ln a + ln ln = ln b- ln a b ln b b b b b b 2x Câu 19. Để giải bất phương trình ln > 0 (*), một học sinh lập luận qua ba bước như sau: x- 1 2x éx 0 Û ê (1) x- 1 ëêx > 1 2x 2x Bước 2. Ta có ln > 0 Û > 1 (2) x- 1 x- 1 Bước 3.(2)Û 2x > x- 1Û x > - 1 (3) é- 1 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (- 1;0)È(1;+ ¥ ) . Hỏi lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Lập luận hoàn toàn đúngB. Sai từ bước 1 C. Sai từ bước 2 D. Sai ở bước 3 Câu 20. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 4x - 2m.2x + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
4. ém 2 m 2 ëêm ³ 2 Câu 21. Hệ phương trình sau có mấy nghiệm (x; y) ? ì 2 ï y2 - x2 x + 2017 ï 2016 = íï y2 + 2017 ï îï 3log3 (x + 2y + 6) = 2log2 (x + y + 2) + 1 A. 1 B. C. D. 2 0 3 1 2x + 3 Câu 22. Biết tích phân dx = a ln 2+ b . Thì giá trị của a là: ò - 0 2 x A. 7 B. C. D. 3 - 7 2 1 Câu 23. Nguyên hàm của hàm số là (2x- 1)2 2 - 4 - 1 - 1 A. B.ln (C.2x D.- 1 ) + C + C + C + C (2x- 1)3 4x- 2 2x- 1 10 6 Câu 24. Cho f (x) liên tục trên [0,10] thỏa mãn ò f (x)dx = 7, ò f (x)dx = 3 . Khi đó, giá trị của 0 2 2 10 P = ò f (x)dx + ò f (x)dx là 0 6 A. 1 B. 3 C. 4 D. 2 Câu 25. Cho hàm số f (x)= x(x- 1)(x- 2) . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục Ox và hai đường thẳng x = 0 , x = 2 là 1 2 2 A. B.ò f (x)dx- ò f (x)dx ò f (x)dx 0 1 0 2 1 C. D.ò f (x)dx ò f (x)dx 0 0 æ3 2 4ö Câu 26. ç x + ÷dx = òèç xø÷ 5 3 A. B. 3 x5 + 4ln x + C 3 x5 + 4ln x + C 3 5 3 5 3 C. x 3 + 4ln x + C D. 3 x5 + 4ln x + C 5 5 b Câu 27. Tập hợp các giá trị của b sao cho ò(2x- 4)dx = 5 là 0 A. B.{5 ;C.- 1D.} {5} {4} {4;- 1}
5. p 6 1 Câu 28. Cho òsinn x cos xdx = . Khi đó n bằng 0 64 A. 3 B. C. D. 5 4 6 Câu 29. Cho số phức z = 2+ i . Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là A. 1 và 2B. 2 và C.i và 2 i D. 2 và 1 Câu 30. Cho số phức z = 5- 4i . Số phức đối của z có điểm biểu diễn là A. (- 4;5) B. C. (5; -D.4 ) (5;4) (- 5;4) Câu 31. Cho số phức z = a + bi . Số phức z2 có phần ảo là A. B.2a C.bi D. a2 - b2 a2b2 2ab Câu 32. Phương trình z3 = 8 có bao nhiêu nghiệm phức A. 1 B. C. D. 0 3 2 Câu 33. Cho số phức z thỏa mãn z - 3+ 4i = 2 và w = 2z + 1-i . Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I , bán kính R A. B.I( -C.7 ;D.9) , R = 16 I(7;- 9), R = 16 I(- 7;9), R = 4 I(7;- 9), R = 4 z + i Câu 34. Cho số phức z = x + yi (x, y Î ¡ ) . Tập hợp các điểm biểu diễn của zsao cho là một số z - i thực âm là A. Các điểm trên trục hoành với - 1< x < 1 . B. Các điểm trên trục tung với - 1< y < 1 . C. Các điểm trên trục tung với - 1£ y < 1 . éy £ - 1 D. Các điểm trên trục tung với ê . ëêy ³ 1 Câu 35. Tìm mệnh đề đúng về khối bát diện đều A. Có tất cả các mặt là tứ giác đềuB. Có 12 cạnh C. Thuộc loại {3; 5}D. Có 8 đỉnh Câu 36. Hình chóp tam giác đều S.ABC cóAB = a , góc giữa SA và đáy bằng 300 . Thể tích khối chóp là a3 3 a3 2 a3 3 a3 3 A. B. C. D. 12 12 36 72 Câu 37. Thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng 2a là 2a3 2 a3 2 a3 3 A. B. C. D. 2a3 2 3 12 6 Câu 38. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC cóAB = a , góc giữa SA và đáy bằng 600 . Thể tích của khối chóp là a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. B. C. D. 12 36 4 6 Câu 39. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng 2a là
6. a3 3 a3 3 A. 4a3 B. C. 2a3 3 D. 4 12 Câu 40. Cho hìnhchóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD . Tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ và khối chóp S.ABCD là 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 8 16 Câu 41. Cho hình chóp S.ABC , SA ^ (ABC) . Tam giác ABC vuông tại A, SA = BC = 2a . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp a 2 A. B. C. D. a 2a a 2 2 Câu 42. Hình nón có góc ở đỉnh bằng 600 , độ dài đường sinh bằng a . Khi đó, diện tích xung quanh của hình nón là pa2 a2 2 a2 pa2 a2 pa2 A. B. C. D. + + 2 4 2 4 4 4 Câu 43. Cho hai điểm P(7;0;- 3),Q(- 1;2;5) . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng PQ là A. (6;2;2) B. C. (3;1;1) D. (- 8;2;8) (- 4;1;4) r r r r Câu 44. Cho hai véc tơ a(1;0;- 3),b(- 1;- 2;0) .Tích có hướng của hai véc tơ a và b là một véc tơ có tọa độ A. (- 6;3;- 2) B. (- 1;0;0) C. (6;- 3;2) D. (- 2;6;- 3) Câu 45. Cho mặt phẳng (P): 2x- 4y + 7 = 0 . Chọn khẳng định đúng ur A. Mặt phẳng (P) có duy nhất một véc tơ pháp tuyến, véc tơ đó là n1(2;- 4;0) . uur B. Mặt phẳng (P) có vô số véc tơ pháp tuyến, trong đó có một véc tơ là n2 (2;- 4;7) . ur C. Mặt phẳng (P) có vô số véc tơ pháp tuyến và n1(2;- 4;0) là 1 véc tơ pháp tuyến của (P) D. uur Mặt phẳng (P) có duy nhất một véc tơ pháp tuyến, véc tơ đó là n2 (2;- 4;7) . Câu 46. Khoảng cách từ M (1;2;- 2) đến măt phẳng (Oxy) bằng A. 1 B. C. D. 2 - 2 3 Câu 47. Cho điểm A(1;- 2;- 3) và mặt phẳng (P): x + 2y - 3z - 4 = 0 . Phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) là x- 1 y + 2 z + 3 x + 1 y - 2 z - 3 A. B. = = = = 1 2 - 3 1 2 - 3 x- 1 y - 2 z + 3 x- 1 y + 2 z + 3 C. D. = = = = 1 - 2 - 3 1 - 2 - 3 Câu 48. Cho mặt cầu (S):x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 6z - 11= 0 . Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu là
7. A. I (1;- 2;3) , R = 25 B. , I (1;- 2;3) R = 5 C. I (- 1;2;- 3) , R = 5 D. , I (- 1;2;- 3) R = 25 Câu 49. Cho ba điểm A(a;0;0) , B(0;b;0) , C(0;0;c) trong đó a,b,c là các số dương thay đổi thỏa mãn 1 1 1 + + = 2017 .Mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là a b c æ 1 1 1 ö A. ç ; ; ÷ B. (2017;2017;2017) èç2017 2017 2017ø÷ C. (0;0;0) D. (1;1;1) Câu 50. Cho mặt cầu (S): (x- 1)2 + (y - 1)2 + (z+ 2) = 4 và điểm A(1;1;- 1) . Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tổng diện tích của ba hình tròn tương ứng là A. p B. C. D. 1 0p 4p 11p BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D A B A D A C C C C B C D B D A B C D C B A C C A 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 D A A D D D C D B B C A A C C D A B A C B A B A D
8. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Hàm số y = x2 - 7x + 12 đồng biến trên æ3 ö A. ¡ B. C. ç , D.+ ¥ ÷ (- ¥ ,3) (4,+ ¥ ) èç2 ø÷ Hướng dẫn giải Chọn D éx £ 3 Điều kiện x2 - 7x + 12 ³ 0 Û ê . Hàm số có tập xác định D = (- ¥ ,3]È[4,+ ¥ ) . ëêx ³ 4 2x- 7 7 Ta có y¢= , y¢= 0 Û x = Ï D . 2 x2 - 7x + 12 2 Bảng biến thiên x - ¥ 3 4 + ¥ y¢ - + + ¥ + ¥ y 0 0 Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên (4,+ ¥ ) . Câu 2. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như hình vẽ x - ¥ 0 1 + ¥ y¢ + || - 0 + 2 + ¥ y - ¥ - 1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1 . B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng - 1 . D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 . Hướng dẫn giải Chọn A Hàm số có giá trị cực tiểu bằng - 1 , loại B Vì lim y = - ¥ và lim y = + ¥ nên hàm số không có GTNN, GTLN trên ¡ , loại C. x® - ¥ x® + ¥ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 , loại D. 2x- 1 Câu 3. Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x- 1
9. A. B.y = C.1 D. y = 2 x = 2 x = 1 Hướng dẫn giải Chọn B lim y = lim y = 2 y 2 là tiệm cận ngang. x® - ¥ x® + ¥ x2 + 3 Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên đoạn [2,4] . x- 1 19 A. min y = 6. B. min y = - 2. C. min y = - 1 D. min y = . [2,4] [2,4] [2,4] [2,4] 3 Hướng dẫn giải Chọn A x2 - 2x- 3 éx = - 1Ï [2,4] Ta có y¢= , y¢= 0 Û x2 - 2x- 3 = 0 Û ê . 2 ê (x- 1) ëêx = 3Î [2,4] 19 Mà y(2)= 7, y(3)= 6, y(4)= 3 Vậy min y = 6 . [2,4] Câu 5. Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số y = f (x) . Khẳng định nào sau đây đúng? y A. Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị 3 2 B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 1 x C. Hàm số có giá trị lớn nhất là 2 . -3 -2 -1 1 2 3 -1 D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 . -2 -3 Hướng dẫn giải Chọn D Đồ thị chỉ có 2 cực trị, loại A. Hàm số có yCD = y(0)= 2 , loại B. Hàm số có lim y = + ¥ nên không tồn tại GTLN trên ¡ , loại C. x® + ¥ Câu 6. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ex (x2 - 3x- 5) là A. 2 B. C. D. 0 1 3 Hướng dẫn giải Chọn A é 1- 33 êx = ê 1 Ta có y¢= ex (x2 - x- 8) , y¢= 0 Û x2 - x- 8 = 0 Û ê 2 ê 1+ 33 êx = ëê 2 2 Bảng biến thiên
10. x x1 x2 y 0 0 yCÐ y y 0 CT Đồ thị hàm số có 2 cực trị. Câu 7. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau. Tìm khẳng định sai x 0 1 y 0 2 y 1 A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0,1) . B. Hàm số đạt một cực đại tại x = 1 . C. Phương trình f (x)= m có đúng 2 nghiệm thực khi m < 2 D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 0 . Hướng dẫn giải Chọn C Nếu - 1< m < 2 thì phương trình f (x)= m có 3 nghiệm thực phân biệt. Câu 8. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau. Hỏi đồ thị hàm số đó có mấy tiệm cận x 2 y – – 2 y 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có
11. lim y = 2 Þ y = 2 là tiệm cận ngang. x® - ¥ lim y = - 2 Þ y = - 2 là tiệm cận ngang. x® + ¥ lả tiệm cận đứng. lim y = - ¥ , lim y = + ¥ Þ x = 2 x® 2- x® 2+ m- sin x æ pö Câu 9. Tìm m để hàm số y = nghịch biến trên khoảng ç0, ÷ cos2 x èç 6÷ø 5 A. m ³ 1 B. m £ 0 C. m £ D. m £ 2 4 Hướng dẫn giải Chọn C m- sin x sin x- m æ pö æ 1ö Ta có y = = . Đặt t = sin x , vì x Î ç0, ÷ nên .t Î ç0, ÷ cos2 x sin2 x- 1 èç 6ø÷ èç 2÷ø æ pö t - m Vì hàm số y = sin x đồng biến trên ç0, ÷ nên bài toán trở thành: Tìm m để hàm số y = èç 6÷ø t 2 - 1 æ 1ö nghịch biến trên ç0, ÷ . èç 2ø÷ - t 2 + 2mt - 1 ¢ Ta có y = 2 (t 2 - 1) æ 1ö æ 1ö Hàm số đã cho nghịch biến trên ç0, ÷Û y¢£ 0, " t Î ç0, ÷ èç 2÷ø èç 2÷ø æ 2 ö 2 æ 1ö 2 æ 1ö÷ Û - t + 2mt - 1£ 0, " t Î ç0, ÷ çdo (t - 1) > 0, " t Î ç0, ÷÷ èç 2ø÷ èç èç 2÷øø÷ t 2 + 1 æ 1ö Û m £ , " t Î ç0, ÷ 2t èç 2ø÷ t 2 + 1 æ 1ö t 2 - 1 Xét hàm số f (t)= trên ç0, ÷ , ta có f ¢(t)= 2t èç 2ø÷ 2t 2 Bảng biến thiên 1 x 0 2 y¢ - + ¥ y 5 4 5 Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra m £ . 4 Câu 10. Đồ thị hàm số nào sau đây có đúng hai tiệm cận ngang?
12. x2 - x 4- x2 x - 2 x + 2 A. y = B. y = C. D. y = y = x + 2 x + 1 x + 1 x - 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 1 x 1- x2 - x x2 - x lim = lim = lim x = 1 nên hàm số này chỉ x® - ¥ x + 2 x® + ¥ x + 2 x® + ¥ x + 2 có 1 tiệm cận ngang, loại A. 4- x2 Hàm số y = có tập xác định là D = [- 2,2]\ {- 1} nên khog6 có x + 1 tiệm cận ngang. x - 2 - x- 2 lim = lim = - 1Þ y = - 1 là tiệm cận ngang, x® - ¥ x + 1 x® - ¥ x + 1 x - 2 x- 2 lim = lim = 1Þ y = 1 là tiệm cận ngang, chọn C. x® + ¥ x + 1 x® + ¥ x + 1 x + 2 Hàm số y = có tập xác định D = [- 2,+ ¥ )\ {2} nên hàm số này x - 2 chỉ có tối đa 1 tiệm cận ngang, loại D. Câu 11. Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không cần nắp, có thể tích là 500 m3 . Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê công nhân xây hồ là 3 500000 đồng trên 1m2 . Hãy xác định kích thước của hồ sao cho chi phí thuê công nhân thấp nhất. Chi phí đó là A. 74 triệu đồngB. 75 triệu đồngC. 76 triệu đồngD. 77 triệu đồng Hướng dẫn giải Chọn B Gọi x, y (x, y > 0) lần lượt là chiều rộng và chiều cao của hồ. Theo đề bài, ta có Chiều dài của hồ bằng 2x . Thể tích của hồ 500 250 V = 2x2 y = Þ y = 3 3x2 Diện tích cần xây,
13. S = SABCD + 2SAA¢B¢B + 2SAA¢D¢D = 2x2 + 2(2x).y + 2xy = 2x2 + 6xy 500 = 2x2 + x 500 Xét hàm số f (x)= 2x2 + trên (0,+ ¥ ) . x 500 4x3 - 500 Ta có f ¢(x)= 4x- = , f ¢(x)= 0 Û 4x3 - 500 = 0 Û x = 5 x2 x2 Bảng biến thiên x 0 5 + ¥ f ¢(x) - 0 + + ¥ + ¥ f (x) 150 Khi đó, chi phí là 150.500000 = 75000000 . 1+ 2x + 2- x Câu 12. Cho 4x + 4- x = 14 . Khi đó biểu thức K = có giá trị bằng. 5- 2x - 2- x 1 1 51 A. B.- hoặc 5C. D. 5 3 2 10 Hướng dẫn giải Chọn C 2 Ta có 4x + 4- x = 14 Û (2x + 2- x ) = 16 Û 2x + 2- x = 4 . x - x 1+ 2x + 2- x 1+ (2 + 2 ) Biểu thức K = = = 5 . 5- 2x - 2- x 5- (2x + 2- x ) Câu 13. Mệnh đề nào sau đây là đúng? - 4 - 5 6 7 A. B.( 2 - 1) > ( 2 - 1) (2 2 - 2) > (2 2 - 2) 3 3 3 4 C. D.(3 - 3 3) 1 nên (5- 3) < (5- 3) Û 3< 4 (luôn đúng) x2 (1- 2x) Câu 14. Hàm số y = log có tập xác định là x + 1 æ ö æ ö é ù ç 1÷ ç 1÷ 1 A. ç- 1, ÷ B. ç- 1, ÷\ {0} C. ê- 1, ú D. ¡ \ {- 1} èç 2ø èç 2ø ëê 2ûú
14. Hướng dẫn giải Chọn B x2 (1- 2x) æ 1ö Điều kiện > 0 Û x Î ç- 1, ÷\ {0} . x + 1 èç 2ø÷ Câu 15. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên các khoảng xác định? 3 - A. B.y = C.x -D.4 y = x 4 y = x4 y = 3 x Hướng dẫn giải Chọn D Hàm số y = x- 4 có tập xác định là ¡ \ {0} và có y¢= - 4x- 5 nên không đồng biến trên các khoảng xác định (đồng biến trên (- ¥ ,0) và nghịch biến trên (0,+ ¥ ) ), loại A. 3 7 - 3 - Hàm số y = x 4 có tập xác định là (0,+ ¥ ) và có y¢= - x 4 0 nên hàm số đồng biến trên các khoảng 33 x2 xác định, chọn D. Câu 16. Một người X vay 500 triệu theo phương thức trả góp, nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất người X trả 5000000 và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,6% trên tháng thì sau bao lâu người đó trả hết số tiền trên? A. 153 B. C. D. 15 0 151 154 Hướng dẫn giải Chọn A Sau khi trả tiền vào tháng thứ nhất, số tiền người ấy còn nợ 500(1+ 0,6%)- 5 . Sau khi trả tiền vào tháng thứ hai, số tiền người ấy còn nợ 2 é ù (500(1+ 0,6%)- 5)(1+ 0,6%)- 5 = 500(1+ 0,6%) - 5ë(1+ 0,6%)+ 1û Sau khi trả tiền vào tháng thứ ba, số tiền người ấy còn nợ 2 é ù {500(1+ 0,6%) - 5ë(1+ 0,6%)+ 1û}(1+ 0,6%)- 5 = = 500(1+ 0,6%)3 - 5é(1+ 0,6%)2 + (1+ 0,6%)+ 1ù ëê ûú Sau khi trả tiền vào tháng thứ n , số tiền người ấy còn nợ
15. 500(1+ 0,6)n - 5é(1+ 0,6%)n- 1 + (1+ 0,6%)n- 2 + + 1ù= ëê ûú n n 1- (1+ 0,6%) = 500(1+ 0,6%) - 5. 1- (1+ 0,6%) n n 5 5(1+ 0,6%) = 500(1+ 0,6%) + - 0,6% 0,6% n 2500 2500 = 500(1+ 0,6%) + - (1+ 0,6%) 3 3 2500 1000 n = - (1+ 0,6%) 3 3 Người ấy trả hết nợ sau 2500 1000 n n 5 5 - (1+ 0,6%) = 0 Û (1+ 0,6%) = Û n = log » 153 tháng 3 3 3 1+ 0,6% 2 ( ) ( ) Câu 17. Bất phương trình. log 1 3x- 2 0 ï x 6- 5x ï 5 îï x > 1 Câu 18. Cho a,b > 0 . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau a ln a a 1 a 1 a A. B.ln C.= D. ln = ln a- ln ln = ln a + ln ln = ln b- ln a b ln b b b b b b Hướng dẫn giải Chọn C a æ 1ö 1 Ta có ln = lnça. ÷= ln a + ln b èç bø÷ b 2x Câu 19. Để giải bất phương trình ln > 0 (*), một học sinh lập luận qua ba bước như sau: x- 1 2x éx 0 Û ê (1) x- 1 ëêx > 1 2x 2x Bước 2. Ta có ln > 0 Û > 1 (2) x- 1 x- 1 Bước 3.(2)Û 2x > x- 1Û x > - 1 (3) é- 1 1
16. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (- 1;0)È(1;+ ¥ ) . Hỏi lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Lập luận hoàn toàn đúngB. Sai từ bước 1 C. Sai từ bước 2 D. Sai ở bước 3 Hướng dẫn giải Chọn D Sai ở bước 3 vì nhân hai vế bất phương trình cho biểu thức (x- 1 )chưa xác định âm dương rõ ràng. Câu 20. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 4x - 2m.2x + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt. ém 2 m 2 ëêm ³ 2 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t = 2x , t > 0 . Phương trình trở thành t 2 - 2mt + m + 2 = 0 (*) . Với mỗi t > 0 ta chỉ thu được một x nên yêu cầu bài toán thảo mãn khi chỉ khi phương trình (*) ïì ém 2 ï D > 0 ï m - m- 2 > 0 ï ë ï ï ï có hai nghiệm phân biệt dương Û íï S > 0 Û íï 2m > 0 Û íï m > 0 Û m > 2 . ï ï ï îï P > 0 îï m + 2 > 0 ï m > - 2 ï îï Câu 21. Hệ phương trình sau có mấy nghiệm (x; y) ? ì 2 ï y2 - x2 x + 2017 ï 2016 = íï y2 + 2017 ï îï 3log3 (x + 2y + 6) = 2log2 (x + y + 2) + 1 A. 1 B. C. D. 2 0 3 Hướng dẫn giải Chọn B ì 2 ï y2 - x2 x + 2017 ï 2016 = (1) Ta có íï y2 + 2017 ï ï 3log (x + 2y + 6) = 2log (x + y + 2) + 1 2 îï 3 2 ( ) ïì x + 2y + 6 > 0 Điều kiện íï îï x + y + 2 > 0
17. 2 2 2 x + 2017 (1)Û log 2016 y - x = log 2016 2016 y2 + 2017 2 2 2 2 Û y - x = log2016 (x + 2017)- log2016 (y + 2017) 2 2 2 2 Û y + log2016 (y + 2017)= x + log2016 (x + 2017)(3) 2 2 Xét hàm số f (t)= t + log2016 (t + 2017) trên [0,+ ¥ ) . Ta có 2t f ¢(t)= 2t + ³ 0, " t Î [0,+ ¥ ) (t 2 + 2017)ln 2016 Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên [0,+ ¥ ) . éy = x Do đó (3)Û y2 = x2 Û ê ëêy = - x Với y = x thay vào phương trình (2) ta được 3log3 (3x + 6)= 2log2 (2x + 2)+ 1 Û 3é1+ log x + 2 ù= 2 é1+ log x + 1 ù+ 1 ë 3 ( )û ë 2 ( )û Û 3log3 (x + 2)= 2log2 (x + 1) t t ïì ïì 3 ïì t = 3log x + 2 ï 3 ï x + 2 = 3 (4) ï 3 ( ) ï x + 2 = 3 ï ( ) Đặt í Þ íï Û íï . ï t = 2log (x + 1) ï t ï t îï 2 ï 2 ï x + 1= 2 (5) îï x + 1= 2 îï ( ) t t t t æ ö æ ö 3 2 ÷ 1 Lấy (5) thay vào (4) , ta được 2 + 1= 3 Û ç ÷ + ç ÷ = 1Þ phương trình có nghiệm ( ) ( ) ç 3 ÷ ç 3 ÷ èç 3 ø÷ èç 3ø÷ duy nhất t = 6 . Suy ra phương trình có nghiệm x = 7 . Suy ra nghiệm của hệ phương trình là (7;7) Với y = - x thay vào phương trình (2) ta được 3log3 (y + 6)= 3 Û log3 (y + 6)= 1Þ y = - 3, x = 3 Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (3;- 3), (7;7) . 1 2x + 3 Câu 22. Biết tích phân dx = a ln 2+ b . Thì giá trị của a là: ò - 0 2 x A. 7 B. C. D. 3 - 7 2 Hướng dẫn giải Chọn A 1 2x + 3 1æ 7 ö 1 Ta có dx = ç- 2+ ÷dx = (- 2x- 7ln 2- x ) = (- 2)- (- 7ln 2)= 7ln 2- 2 ò0 2- x ò0 èç 2- xø÷ 0 Suy ra a = 7 . 1 Câu 23. Nguyên hàm của hàm số là (2x- 1)2
18. 2 - 4 - 1 - 1 A. B.ln (C.2x D.- 1 ) + C + C + C + C (2x- 1)3 4x- 2 2x- 1 Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1 1 Ta có dx = - + C = - + C . ò 2 (2x- 1) 2 2x- 1 4x- 2 10 6 Câu 24. Cho f (x) liên tục trên [0,10] thỏa mãn ò f (x)dx = 7, ò f (x)dx = 3 . Khi đó, giá trị của 0 2 2 10 P = ò f (x)dx + ò f (x)dx là 0 6 A. 1 B. 3 C. 4 D. 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 10 2 6 10 f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx ò0 ò0 ò2 ò6 2 10 10 6 Þ f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx- f (x)dx = 7- 3 = 4 ò0 ò6 ò0 ò2 Câu 25. Cho hàm số f (x)= x(x- 1)(x- 2) . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục Ox và hai đường thẳng x = 0 , x = 2 là 1 2 2 A. B.ò f (x)dx- ò f (x)dx ò f (x)dx 0 1 0 2 1 C. D.ò f (x)dx ò f (x)dx 0 0 Hướng dẫn giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số f (x) với trục hoành là éx = 0 ê x x- 1 x- 2 = 0 Û êx = 1 ( )( ) ê ê ëx = 2 Bảng xét dấu f (x) x 0 1 2 f (x) + 0 - 2 1 2 1 2 Diện tích cần tìm S = f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = f (x)dx- f (x)dx ò0 ò0 ò1 ò0 ò1
19. æ3 2 4ö Câu 26. ç x + ÷dx = òèç xø÷ 5 3 A. B. 3 x5 + 4ln x + C 3 x5 + 4ln x + C 3 5 3 5 3 C. x 3 + 4ln x + C D. 3 x5 + 4ln x + C 5 5 Hướng dẫn giải Chọn D 3 5 æ3 2 4ö 3 x ç x + ÷dx = + 4ln x + C . òèç xø÷ 5 b Câu 27. Tập hợp các giá trị của b sao cho ò(2x- 4)dx = 5 là 0 A. B.{5 ;C.- 1D.} {5} {4} {4;- 1} Hướng dẫn giải Chọn A b b Ta có (2x- 4)dx = (x2 - 4x) = b2 - 4b . ò0 0 éb = - 1 Theo đề bài, ta có b2 - 4b = 5 Û ê . ëêb = 5 p 6 1 Câu 28. Cho òsinn x cos xdx = . Khi đó n bằng 0 64 A. 3 B. C. D. 5 4 6 Hướng dẫn giải Chọn A é ùn+1 æp÷ö p êsinç ÷ú n+1 p p n+1 ê ç ÷ú æ ö 6 n 6 n sin x ë è6øû 1 1 Ta có sin x cos xdx = sin x d(sin x)= 6 = = ç ÷ ò0 ò0 n + 1 n + 1 n + 1èç2ø÷ 0 1 æ1ön+1 1 æ1ön n + 1 Mà ç ÷ = Û ç ÷ = Þ phương trình có nghiệm duy nhất n = 3 (dựa vào tính n + 1èç2ø÷ 64 èç2÷ø 32 æ1öx x + 1 đơn điệu của hai hàm số y = ç ÷ và y = ) èç2ø÷ 64 Câu 29. Cho số phức z = 2+ i . Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là A. 1 và 2B. 2 và C.i và 2 i D. 2 và 1 Hướng dẫn giải Chọn D Câu 30. Cho số phức z = 5- 4i . Số phức đối của z có điểm biểu diễn là
20. A. (- 4;5) B. C. (5; -D.4 ) (5;4) (- 5;4) Hướng dẫn giải Chọn D Số phức đối của z là - z = - 5+ 4i . Điểm biểu diễn của - z là M (- 5;4) . Câu 31. Cho số phức z = a + bi . Số phức z2 có phần ảo là A. B.2a C.bi D. a2 - b2 a2b2 2ab Hướng dẫn giải Chọn D Ta có z2 = (a + bi)2 = a2 - b2 + 2abi . Phần ảo của z2 là 2ab . Câu 32. Phương trình z3 = 8 có bao nhiêu nghiệm phức A. 1 B. C. D. 0 3 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có éz = - 2 éz = - 2 z3 + 8 = 0 Û (z + 2) z2 - 2z + 4 = 0 Û ê Û ê ( ) ê 2 ê 2 ëz - 2z + 4 = 0 ëê(z - 1) = - 3 éz = - 2 éz = - 2 ê ê ê ê Û êz - 1= i 3 Û êz = 1+ i 3 ê ê ëêz - 1= - i 3 ëêz = 1- i 3 Vậy phương trình có 3 nghiệm phức. Câu 33. Cho số phức z thỏa mãn z - 3+ 4i = 2 và w = 2z + 1-i . Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I , bán kính R A. B.I( -C.7 ;D.9) , R = 16 I(7;- 9), R = 16 I(- 7;9), R = 4 I(7;- 9), R = 4 Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử z = x + yi (x, y Î ¡ ) . Từ giả thuyết z - 3+ 4i = 2 Û x + yi- 3+ 4i = 2 Û (x- 3)2 + (y + 4)2 = 4 (*) Từ w = 2z + 1- i = 2(x + yi)+ 1- i = (2x + 1)+ (2y - 1)i . ïì a- 1 ï x = ïì 2x + 1= a ï 2 Giả sử w = a + bi (a,b Î ¡ ) . Ta có a + bi = (2x + 1)+ (2y - 1)i Û íï Û íï ï 2y - 1= b ï b + 1 îï ï y = îï 2 2 2 æa- 1 ö æb + 1 ö 2 2 Thay x, y vào phương trình (*) , ta có ç - 3÷ + ç + 4÷ = 4 Û (a- 7) + (b + 9) = 16 èç 2 ø÷ èç 2 ÷ø Suy ra w chạy trên đường tròn tâm I (7;- 9) , bán kính R = 4 .
21. z + i Câu 34. Cho số phức z = x + yi (x, y Î ¡ ) . Tập hợp các điểm biểu diễn của zsao cho là một số z - i thực âm là A. Các điểm trên trục hoành với - 1< x < 1 . B. Các điểm trên trục tung với - 1< y < 1 . C. Các điểm trên trục tung với - 1£ y < 1 . éy £ - 1 D. Các điểm trên trục tung với ê . ëêy ³ 1 Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử z = x + yi (x, y Î ¡ ) . Ta có 2 2 z + i x + yi + i éx + (y + 1)iùéx- (y - 1)iù x + (y - 1)+ éx(y + 1)- x(y - 1)ùi = = ë ûë û= ë û z - i x + yi- i x2 + (y - 1)2 x2 + (y - 1)2 x2 + (y2 - 1)+ 2xi = x2 + (y - 1)2 ì 2x = 0 z + i ï ïì x = 0 Số phức là số thực âm khi chỉ khi í Û íï z - i ï x2 + y2 - 1 < 0 ï - 1< y < 1 îï ( ) îï Câu 35. Tìm mệnh đề đúng về khối bát diện đều A. Có tất cả các mặt là tứ giác đềuB. Có 12 cạnh C. Thuộc loại {3; 5}D. Có 8 đỉnh Hướng dẫn giải Chọn B Xin được trích tư liệu từ trang: B%81u
22. Câu 36. Hình chóp tam giác đều S.ABC cóAB = a , góc giữa SA và đáy bằng 300 . Thể tích khối chóp là a3 3 a3 2 a3 3 a3 3 A. B. C. D. 12 12 36 72 Hướng dẫn giải Chọn C
23. Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SO ^ (ABC) . Ta có OA là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC) nên (S·A,(ABC))= S·AO = 300 . Tam giác ABC đều, cạnh a nên a2 3 a 3 S = và AM = . DABC 4 2 Xét tam giác vuông SAO , ta có SO SO 3SO tan S·AO = = = 2 AO AM 2AM 3 2AM tan S·AO a Þ SO = = 3 3 Thể tích S.ABC là 1 a a2 3 a3 3 V = . . = 3 3 4 36 Câu 37. Thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng 2a là 2a3 2 a3 2 a3 3 A. B. C. D. 2a3 2 3 12 6 Hướng dẫn giải Chọn A
24. Giả sử khối tứ diện đều là ABCD như hình bên. Tam giác đều ABC cạnh a có 2 SDABC = a 3 2 2 2a 3 AO = AM = 3 3 2 2a 3 = 3 Tam giác SAO vuông tại O có 4a2 2a 6 SO = SA2 - AO2 = 4a2 - = 3 3 Thể tích cần tìm 1 2a 6 2a3 2 V = . .a2 3 = 3 3 3 Câu 38. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC cóAB = a , góc giữa SA và đáy bằng 600 . Thể tích của khối chóp là a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. B. C. D. 12 36 4 6 Hướng dẫn giải Chọn A
25. Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SO ^ (ABC) . Ta có OA là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC) nên (S·A,(ABC))= S·AO = 60°. Tam giác ABC đều, cạnh a nên a2 3 a 3 S = và AM = . DABC 4 2 Xét tam giác vuông SAO , ta có SO SO 3SO tan S·AO = = = 2 AO AM 2AM 3 2AM tan S·AO Þ SO = = a 3 Thể tích S.ABC là 1 a2 3 a3 3 V = .a. = 3 4 12 Câu 39. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng 2a là a3 3 a3 3 A. 4a3 B. C. 2a3 3 D. 4 12 Hướng dẫn giải Chọn C
26. Giả sử khối lăng trụ đều là ABC.A¢B¢C¢ như hình bên. Tam giác ABC đều cạnh 2a có diện tích bằng (2a)2 3 S = = a2 3 4 Thể tích khối lăng trụ V = AA¢.S = 2a.a2 3 = 2a3 3 Câu 40. Cho hìnhchóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD . Tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ và khối chóp S.ABCD là 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 8 16 Hướng dẫn giải Chọn C Vì ABCD là hình bình hành nên SABC = SACD Do đó VS.ABCD = 2VS.ABC = 2VS.ACD Ta có V V + V S.MNPQ = S.MNP S.MPQ VS.ABCD VS.ABCD V V = S.MNP + S.MPQ VS.ABCD VS.ABCD V V = S.MNP + S.MPQ 2VS.ABC 2VS.ACD 1 SM SN SP = . . . + 2 SA SB SC 1 SM SP SQ + . . 2 SA SC SD 1 1 1 = + = 16 16 8
27. Câu 41. Cho hình chóp S.ABC , SA ^ (ABC) . Tam giác ABC vuông tại A, SA = BC = 2a . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp a 2 A. B. C. D. a 2a a 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi M là trung điểm BC . Gọi D là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (ABC) . Khi đó, D là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (1) Gọi N là trung điểm SA , dựng đường thẳng đi qua N song song với AM và cắt D tại I . Khi đó, NI là đường trung trực của đoạn SA (2) Từ (1) và (2) , suy ra IA = IB = IC = ID hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC , bán kính mặt cầu ngoại tiếp là IA = NA2 + AM 2 SA2 BC 2 = + 4 4 = a2 + a2 = a 2 Câu 42. Hình nón có góc ở đỉnh bằng 600 , độ dài đường sinh bằng a . Khi đó, diện tích xung quanh của hình nón là pa2 a2 2 a2 pa2 a2 pa2 A. B. C. D. + + 2 4 2 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A
28. Giả sử thiết diện của mặt phẳng đi qua trục của hình nón với hình nón là tam giác ABC , theo giả thuyết bài toán, ta có ABC là tam giác đều cạnh a . Do đó hình nón có Độ dài đường sinh l AC a . AC a Bán kính đáy R . 2 2 Diện tích xung quanh cần tìm a a2 S Rl . .a xq 2 2 Câu 43. Cho hai điểm P(7;0;- 3),Q(- 1;2;5) . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng PQ là A. (6;2;2) B. C. (3;1;1) D. (- 8;2;8) (- 4;1;4) Hướng dẫn giải Chọn B r r r r Câu 44. Cho hai véc tơ a(1;0;- 3),b(- 1;- 2;0) .Tích có hướng của hai véc tơ a và b là một véc tơ có tọa độ A. (- 6;3;- 2) B. (- 1;0;0) C. (6;- 3;2) D. (- 2;6;- 3) Hướng dẫn giải Chọn A r r a Ùb = (- 6;3;- 2). Câu 45. Cho mặt phẳng (P): 2x- 4y + 7 = 0 . Chọn khẳng định đúng ur A. Mặt phẳng (P) có duy nhất một véc tơ pháp tuyến, véc tơ đó là n1(2;- 4;0) . uur B. Mặt phẳng (P) có vô số véc tơ pháp tuyến, trong đó có một véc tơ là n2 (2;- 4;7) . ur C. Mặt phẳng (P) có vô số véc tơ pháp tuyến và n1(2;- 4;0) là 1 véc tơ pháp tuyến của (P) uur D. Mặt phẳng (P) có duy nhất một véc tơ pháp tuyến, véc tơ đó là n2 (2;- 4;7) . Hướng dẫn giải Chọn C r Mặt phẳng (P) có vô số vectơ pháp tuyến, một trong số đó là n = (2;- 4;0) . Câu 46. Khoảng cách từ M (1;2;- 2) đến măt phẳng (Oxy) bằng A. 1 B. C. D. 2 - 2 3 Hướng dẫn giải Chọn B
29. - 2 Mặt phẳng (Oxy): z = 0 . Do đó d (M ,(Oxy))= = 2 . 02 + 02 + 1 Câu 47. Cho điểm A(1;- 2;- 3) và mặt phẳng (P): x + 2y - 3z - 4 = 0 . Phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) là x- 1 y + 2 z + 3 x + 1 y - 2 z - 3 A. B. = = = = 1 2 - 3 1 2 - 3 x- 1 y - 2 z + 3 x- 1 y + 2 z + 3 C. D. = = = = 1 - 2 - 3 1 - 2 - 3 Hướng dẫn giải Chọn A r Mặt phẳng (P): x + 2y - 3z - 4 = 0 có vectơ pháp tuyến là n = (1;2;- 3) . r Đường thẳng cần tìm đi qua điểm A(1;- 2;- 3) và nhận vectơ chỉ phương là n = (1;2;- 3) . x- 1 y + 2 z + 3 Phương trình đường thẳng là = = . 1 2 - 3 Câu 48. Cho mặt cầu (S):x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 6z - 11= 0 . Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu là A. I (1;- 2;3) , R = 25 B. , I (1;- 2;3) R = 5 C. I (- 1;2;- 3) , R = 5 D. , I (- 1;2;- 3) R = 25 Hướng dẫn giải Chọn B Từ phương trình mặt cầu ta suy ra a = 1, b = - 2, c = 3, R = (12 )+ (- 2)2 + 32 - (- 11)= 5 . Vậy mặt cầu có tâm là I (1;- 2;3) , bán kính R = 5 . Câu 49. Cho ba điểm A(a;0;0) , B(0;b;0) , C(0;0;c) trong đó a,b,c là các số dương thay đổi thỏa mãn 1 1 1 + + = 2017 .Mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là a b c æ 1 1 1 ö A. ç ; ; ÷ B. (2017;2017;2017) èç2017 2017 2017ø÷ C. (0;0;0) D. (1;1;1) Hướng dẫn giải Chọn A x y z Phương trình mặt phẳng (ABC): + + = 1 a b c 1 1 1 1 1 1 2017 2017 2017 æ 1 1 1 ö Vì + + = 2017 Û + + = 1 nên điểm M ç ; ; ÷Î (ABC) . a b c a b c èç2017 2017 2017ø÷ æ 1 1 1 ö Vậy mặt phẳng (ABC) luôn đi qua điểm M ç ; ; ÷ . èç2017 2017 2017ø÷
30. Câu 50. Cho mặt cầu (S): (x- 1)2 + (y - 1)2 + (z + 2)2 = 4 và điểm A(1;1;- 1) . Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tổng diện tích của ba hình tròn tương ứng là A. p B. C. D. 1 0p 4p 11p Hướng dẫn giải Chọn D Mặt cầu (S) có tâm I (1;1;- 2) và bán kính R = 2 . Giả sử các mặt phẳng (Axy) , (Axz) , (Ayz) đôi một vuông góc nhau và cùng đi qua điểm A như hình vẽ. Gọi d1 , d2 , d3 lần lượt là khoảng cách từ tâm I đến các mặt phẳng (Axz) , (Azy) và 2 2 2 2 (Axy). Khi đó, d1 + d2 + d3 = IA = 1 . Bán kính đường tròn giao tuyến của (Axz) 2 2 với mặt cầu (S) là R1 = R - d1 . Bán kính đường tròn giao tuyến của (Ayz) 2 2 với mặt cầu (S) là R2 = R - d2 . Bán kính đường tròn giao tuyến của (Axz) 2 2 với mặt cầu (S) là R3 = R - d3 . Tổng diện tích ba hình tròn là 2 2 2 2 2 2 pR1 + pR2 + pR3 = p(R1 + R2 + R3 ) = p é3R2 - d 2 + d 2 + d 2 ù ëê ( 1 2 3 )ûú é 2 ù = p ëê3.2 - 1ûú= 11p