›
›
›

Đề thi thử Trung học phổ thông quốc gia môn Toán Khối 12 - Đề số 1

doc 29 trang nhatle22 6180
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề thi thử Trung học phổ thông quốc gia môn Toán Khối 12 - Đề số 1", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_thi_thu_trung_hoc_pho_thong_quoc_gia_mon_toan_khoi_12_de.doc

Nội dung text: Đề thi thử Trung học phổ thông quốc gia môn Toán Khối 12 - Đề số 1

  1. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2017 Môn: Toán ĐỀ SỐ 07 Thời gián làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Họ tên thí sinh: Số báo danh: . Câu 1. Hàm số y x3 3x2 3x 2017 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0 . B. 1. C. 2. D. 3. Câu 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ¡ ? 1 A. y x3 2x2 3x 1. B. .y x3 2x2 5x sin x 5 3 2x 3 x2 2x 2 C. .y D. . y x 1 x 1 Câu 3. Đồ thị hàm số y x3 3x2 2cắtx đồ thị hàm số y x2 3x tại2 hai điểm phân biệt , A . B Khi đó độ dài đoạn thẳng AB là bao nhiêu ? A. .A B 3 B. . AC.B . 2 2 D. . AB 2 AB 1 x Câu 4. Tìm tập tất cả các giá trị thực của a để y 1 3a 4a2 là một hàm số mũ? 1 3 3 1 A. . ;1  1; B. . 1;  ;0  0; 4 4 4 4 1 3 1 3 3 C. . 1;  0; D. . ;  ; 4 4 4 4 4 x Câu 5. Cho hàm số y 2 có đồ thị Hình 1 . Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây? y y 1 1 O x O x Hình 1 Hình 2 x x x x A. y 2 . B. y 2 . C. y 2 . D. y 2 . 2 Câu 6. Gọi Mvà lầnm lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3x trên6x 1 đoạn 6;7 . Khi đó, M m bằng bao nhiêu? A. 6564. B. 6561. C. 6558. D. 6562. 1 x 1 Câu 7. Hàm số y 2 có tập xác định là 1 5 log2 x 2 2 A. D  1;3 . B. D 3;5 . C. D  1;5 \ 3 . D. .D  1;5 BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 1/29 - Mã đề thi 007
  2. Câu 8. Cho hai số phức z1 3 4i và z2 3 4i . Khẳng định nào sau đây sai? A. z1 z2 . B. z1 z2 . C. z1 z2 . D. z1 z2. Câu 9. Cho số phức z a bi; a ¡ ; b ¡ . Khẳng định nào sau đây sai? A. z là số thuần ảo a 0. B. là số thựcz b 0. a 0 C. z là số thuần ảo . D. z là số thuần ảo z là số thuần ảo. b 0 2 e x3 1 Câu 10. Tính tích phân I dx . 1 x e6 7 e6 8 e6 5 e6 4 A. .I B. . C.I . D. . I I 3 3 3 3 3 3 3 3 Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z 1 0 .Gọi A là tọa độ giao điểm của mặt phẳng P với trục Oy. Tọa độ điểm A là A. A 0;1;0 . B. A 0; 1;0 . C. A 0;0; 1 . D. A 1;0;0 . Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Ox , ychoz hai điểm M 1; – 2 ,; 1 N 0;1 .; 3Phương trình đường thẳng qua hai điểm M , N là x y 1 z 3 x 1 y 2 z 1 A. . B. . 1 3 2 1 3 2 x 1 y 3 z 2 x y 1 z 3 C. . D. . 1 2 1 1 2 1 x 1 mt Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : y t , t ¡ , z 1 2t x 1 t d : y 2 2t , t ¡ . Giá trị của tham số mđể hai đường thẳng vàd dcắt nhau là z 3 t A. m 1. B. m 1. C. m 0. D. m 2. Câu 14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3và đường phân giác góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy . 1 1 A. 0 . B. . C. . D. . 1 4 2 Câu 15. Cho khối lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ . Mặt phẳng (ABD¢) chia khối lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ thành 2 khối đa diện nào? A. Hai khối tứ diện. B. Hai khối lăng trụ tam giác. C. Một khối lăng trụ tam giác và một khối chóp. D. Hai khối chóp tứ giác. BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 2/29 - Mã đề thi 007
  3. 500p Câu 16. Cho một khối cầu có thể tích bằng . Tính diện tích S của mặt cầu đó. 3 A. S 75 . B. S 25 . C. S 50 . D. .S 100 Câu 17. Cho hàm số y x4 m 1 x 3 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x 0. A. .m 1 B. . m 1 C. Không tồn tại . D. Với mọim . m x2 9 Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y có đường tiệm cận m 1 x4 2 ngang. A. .m 1 B. . m 1 C. . m D.1 . m 1 x2 5 Câu 19. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn 0;2 . x 3 5 1 A. . min y B. . C. . min y D. . min y 2 min y 10 x 0;2 3 x 0;2 3 x 0;2 x 0;2 Câu 20.Số tiền mà Tài để dành hàng ngày là (xđơn vị nghìn đồng, vớix ¥ )* biết x là nghiệm của phương trình: log x 2 log x 4 2 0 . Tổng số tiền mà Tài để dành được sau1 tuần ( ngày) là 3 3 7 A. .7 B. . 14 C. . 21 D. . 24 x2 x 1 Câu 21. Số nghiệm của phương trình log x2 3x 2là 3 2x2 2x 3 A. 1nghiệm. B. nghiệm.2 C. nghiệm.3 D. nghiệm.4 1 2 Câu 22. Tuổi của Bắc và Nam là nghiệm khác nhau của phương trình 1 . Tổng 5 log2 x 1 log2 x số tuổi Bắc và Nam bằng A. .5 B. . 12 C. . 16 D. . 21 Câu 23. Phương trình 4x 1 2.6x m.9x 0có hai nghiệm thực phân biệt nếu 1 1 A. m 0 . B. m . C. 0 m . D. m 0 4 4 Câu 24. Một vật chuyển động theo quy luật s t3 6 ,t 2với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 3 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ? A. 12 (m/s). B. 16 (m/s). C. 5 (m/s). D. 9 (m/s). Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn z i z 2 3i . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ là A. Đường thẳng có phương trình x 2y 3 0. B. Đường thẳng có phương trình x 2y 1 0. C. Đường thẳng có phương trình x 2y 3 0. D. Đường thẳng có phương trình x 2y 2 0. BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 3/29 - Mã đề thi 007
  4. Câu 26. Trên tập số phức, tính môđun tổng bình phương hai nghiệm của phương trình z2 2z 3 0. A. 2 3. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 27. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và hàm số F x có đạo hàm thỏa mãn F x f x với 5 mọi x ¡ . Tính tích phân I f 3x dx . 1 1 1 1 1 A. .F 15 B.F . 3C. . D. . F 15 F 3 F 5 F 1 3F 15 3F 3 3 3 3 3 6 Câu 28. Cho hàm số f x biết f x 0 x ¡ và f x dx 0 . Bảng giá trị nào dưới đây là bảng 2 giá trị của một hàm số f x thỏa các yêu cầu trên? A. . B. . C. . D. . Câu 29. Giá trị trung bình của hàm số f x liên tục trên đoạn a;b được cho bởi công thức 1 b GTTB f x dx . Hãy tính giá trị trung bình của hàm số f x x2 ln x trên đoạn b a a 1;5 . A. .1 0,059 B. . 13,32C.1 . D. 2.0,118 26,641 Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , với giá trị nào của m thì phương trình x2 y2 z2 2mx 2 m 1 y 4z 5m 0 là phương trình mặt cầu? m 1 m 1 5 5 A. 5 . B. 1 m . C. 5 . D. 1 m . m 2 m 2 2 2 Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P : x 2y 3z 4 0 , Q :3x 2y 5z 4 0. Giao tuyến của P và Q có phương trình tham số là: x 2 2t x 2 2t x 2 2t x 2 2t A. y 1 7t. B. y 1 7t. C. y 1 7t . D. y 1 7t . z 4t z 4t z 4t z 4t Câu 32. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M 2;0;1 và đường thẳng dcó phương x 1 y z 2 trình . Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d bằng: 1 2 1 12 A. 12. B. 3. C. 2. D. . 6 Câu 33. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢ có độ dài tất cả các cạnh bằng a , cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy hình hộp một góc 60 . Tính thể tích lớn nhất của khối hộp đó. a3 3 a3 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. .V a3 3 max 4 max 2 max 2 max BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 4/29 - Mã đề thi 007
  5. Câu 34. Cho một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2 avà một hình cầu có đường kính bằng chiều cao của hình nón. Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của khối nón và khối V cầu tương ứng. Tính tỉ số 1 . V2 V V 2 V 1 V 1 A. . 1 1 B. . 1 C. . D. 1. 1 V2 V2 3 V2 2 V2 3 Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số y x4 2mx2 2m m 4có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. A. .m 0 B. . m 3 3C. . D. .m 3 3 m 3 Câu 36. Cho ba số thực a , b , c và xét hàm số y x3 ax2 bx c có đồ thị C . Biết rằng hàm số đạt giá trị cực đại bằng 4 tại x 1 , và đồ thị C đi qua điểm A 1;6 . Tìm giá trị của hàm số tại x 3 . A. .y 3 44 B. . y 3 36C. .y 3 22D. . y 3 12 2 2 Câu 37. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình m.3x 3x 2 34 x 36 3x m có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 38. Cho số phức z thỏa mãn z2 1 4 z . Tính tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . A. 6 5. B. 5. C. .4 5 D. 2 5. Câu 39. Một chất điểm dao động tuần hoàn trên trục O x có vận tốc tức thời cho bởi công thức v t cost sin t (t 0 , t là thời gian) và có tọa độ ban đầu là x0 2 . Tìm tọa độ của chất điểm tại thời điểm gia tốc của nó bằng 0 lần đầu tiên? A. . 1 B. . 0,414 C. . 1 D. . 2,414 Câu 40. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng 1 :3x y z 2 0 , 2 : x 4y 5 0 đồng thời song song với mặt phẳng 3 : 2x 21y z 7 0 . Phương trình của mặt phẳng P là? A. 2x 21y z 23 0. B. 2x 21y z 23 0. C. 2x 21y z 25 0. D. 2x 21y z 23 0. Câu 41. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có AB = 5a , AC 12a , BC 13a . Biết góc giữa mặt phẳng A BC và mặt đáy của lăng trụ bằng 45 . Tính thể tích V của khối lăng trụ. 900a3 3600a3 600a3 1800a3 A. V . B. V . C. V . D. .V 13 13 13 13 Câu 42. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB 3, BC 5 . Hình chiếu vuông góc của B trên ABC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Biết góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABB A bằng 60. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp B .ABC . 73 3 73 3 73 6 73 3 A. . B. . C. D . 48 24 48 24 BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 5/29 - Mã đề thi 007
  6. Câu 43. Chox , y , z là những số thực thỏa mãn: x2 y2 z2 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x3 y3 z3 3xyz . A. .2 B. 2 .3 C. 2 .2 D. . 2 2 Câu 44. Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. Biết f b 0 , hỏi đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm? y a b O c x A. 1. B. 2. C. D.3 . 4. Câu 45. Biết chu kỳ bán hủy của chất phóng xạ plutôni Pu 2là39 2436 năm0 (tức là một lượng Pu 239 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức S Aert , trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r 0 ), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t . Hỏi 10 gam Pu239 sau khoảng bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam? Biết r được làm tròn đến hàng phần triệu. A. 8(năm).2335 B. (năm).8 4232 C. (năm). D.85 2 (năm).35 82235 2z z 1 i Câu 46. Gọi M là điểm biểu diễn số phức w , trong đó z là số phức thỏa mãn z2 i   1 i z i 2 i z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox,ON 2 , trong đó   Ox,OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (I). B. Góc phần tư thứ (II). C. Góc phần tư thứ (III). D. Góc phần tư thứ (IV). 1 Câu 47. Cho số thực m 0 sao cho diện tích S giới hạn bởi đường thẳng d : y x và parabol m5 2 1 m 1 P : y x2 x có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất của S . m5 2 m5 2 1 1 5 5 A. .S B. . C. . S D. . S S max 10 5 9 max 2 5 9 max 2 5 3 max 6 3 3 x 2 y 1 z 1 Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : và hai điểm A 3;2;1 , 1 2 2 B 2;0;4 . Gọi là đường thẳng qua A , vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B tới là c nhỏ nhất. Gọi u a;b;c là véctơ chỉ phương của với a, b, c Z , a 0 và là phân số a tối giản. Giá trị của P a2 b2 c2 bằng A. 11. B. 6. C. 3. D. 5. BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 6/29 - Mã đề thi 007
  7. Câu 49. Cho tứ diện ABCD có AB CD 11(m) , BC AD 21(m) , BD AC 20(m) . Tính thể tích của khối tứ diện ABCD . A. 360 (m3 ) B. 720 (m3 ) C. 770 (m3 ) D. 340 (m3 ) Câu 50. Một bồn nước gồm một nửa hình cầu, một hình trụ và một hình nón (như hình vẽ dưới đây). Gọi C là tâm của nửa hình cầu và D là tâm hình tròn đáy của hình nón. Cho biết AC 2,5 (m) và BF 7,5 (m), góc E· FD 45 . Hỏi bồn nước đó chứa được tối đa bao nhiêu lít nước ? biết rằng 1dm3 =1 lít (kết quả cuối cùng làm tròn đến một chữ số thập phân). A. 229074,5 (lít). B. 176714,6 (lít). C. 196349,5 (lít). D. 209439,5 (lít). E 45 F D 7,5 B C 2,5 A HẾT BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 7/29 - Mã đề thi 007
  8. BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A B D B C C C A C A B A C C B D B C A C B B C A A 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B B A B A A C C B B A A D C A D A D C D B A D A C HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Hàm số y x3 3x2 3x 2017 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0 . B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn A. 2 Tập xác định D ¡ . Ta có y 3x2 6x 3 3 x 1 0 với mọi x ¡ . (Dấu '' '' chỉ xảy ra tại x 1 ) Do đó hàm số đồng biến trên tập xác định nên không có điểm cực trị nào. Câu 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ¡ ? 1 A. y x3 2x2 3x 1. B. .y x3 2x2 5x sin x 5 3 2x 3 x2 2x 2 C. .y D. . y x 1 x 1 Lời giải Chọn B. 1 Ta có: y x3 2x2 5x sin x 5 . 3 2 2 x y x2 4x 5 cos x x 2 1 cos x x 2 2sin2 0,x ¡ , 2 x 2 2 0 Và không tồn tại x để x . Do đó, hàm số đồng biến trên ¡ . 2sin2 0 2 Câu 3. Đồ thị hàm số y x3 3x2 2cắtx đồ thị hàm số y x2 3x tại2 hai điểm phân biệt , A . B Khi đó độ dài đoạn thẳng AB là bao nhiêu ? A. .A B 3 B. . AC.B . 2 2 D. . AB 2 AB 1 Lời giải Chọn D. Phương trình hoành độ giao điểm 3 2 2 3 2 x 1 x 3x 2x x 3x 2 x 1 x 1 x 2  Khi đó tọa độ các giao điểm là: A 1;0 , B 2;0 , suy ra AB 1;0 . Vậy AB 1 . x Câu 4. Tìm tập tất cả các giá trị thực của a để y 1 3a 4a2 là một hàm số mũ? 1 3 3 1 A. . ;1  1; B. . 1;  ;0  0; 4 4 4 4 BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 8/29 - Mã đề thi 007
  9. 1 3 1 3 3 C. . 1;  0; D. . ;  ; 4 4 4 4 4 Lời giải Chọn B. 1 2 1 a 1 3a 4a 0 4 Hàm số đã cho là hàm số mũ khi . 1 3a 4a2 1 3 a 0;a 4 x Câu 5. Cho hàm số y 2 có đồ thị Hình 1 . Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây? y y 1 1 O x O x Hình 1 Hình 2 x x x x A. y 2 . B. y 2 . C. y 2 . D. y 2 . Lời giải Chọn C Để ý khi x 0 thì y 1 . Do đó loại phương án B, D Đồ thị hình 2 nhận trục tung làm trục đối xứng nên đó là đồ thị của hàm số chẵn(Đáp án C) 2 Câu 6. Gọi Mvà lầnm lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3x trên6x 1 đoạn 6;7 . Khi đó, M m bằng bao nhiêu? A. 6564. B. 6561. C. 6558. D. 6562. Lời giải Chọn C. 2 Ta có: y (2x 6).3x 6x 1 0,x 6;7 . Hàm số đồng biến trên 6;7 . Do đó M y 7 6561 ; m y 6 3 . Vậy M m 6561 3 6558 . 1 x 1 Câu 7. Hàm số y 2 có tập xác định là 1 5 log2 x 2 2 A. D  1;3 . B. D 3;5 . C. D  1;5 \ 3 . D. .D  1;5 BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 9/29 - Mã đề thi 007
  10. Lời giải Chọn C. x 1 0 x 1 x 1 1 5 Hàm số xác định khi x 0 x 5 x 5 D  1;5 \ 3 2 2 1 5 x 3 1 5 x 1 log2 x 0 2 2 2 2 Câu 8. Cho hai số phức z1 3 và4i z2 3 . 4Khẳngi định nào sau đây sai? A. z1 z2 . B. z1 z2 . C. z1 z2 . D. z1 z2. Lời giải Chọn A. 2 2 2 2 Ta có: z1 z1 3 4 5 và z2 z2 3 4 5 nên A sai. Nhận xét: z1 và z2 là hai số phức liên hợp của nhau nên z1 z2 . Câu 9. Cho số phức z a bi; a ¡ ; b ¡ . Khẳng định nào sau đây sai? A. z là số thuần ảo a 0. B. là số thựcz b 0. a 0 C. z là số thuần ảo . D. z là số thuần ảo z là số thuần ảo. b 0 Lời giải Chọn C. z là số thuần ảo a 0. Lưu ý: Số 0 vừa là số thực, vừa là số thuần ảo. 2 e x3 1 Câu 10. Tính tích phân I d .x 1 x e6 7 e6 8 e6 5 e6 4 A. .I B. . C.I . D. . I I 3 3 3 3 3 3 3 3 Lời giải Chọn A. 2 2 2 e e 3 e 3 6 x 1 2 1 x e 7 I dx x dx ln x x x 3 3 3 1 1 1 Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z 1 0 .Gọi A là tọa độ giao điểm của mặt phẳng P với trục Oy. Tọa độ điểm A là A. A 0;1;0 . B. A 0; 1;0 . C. A 0;0; 1 . D. A 1;0;0 . Lời giải Chọn B. Vì A Oy nên A 0;a;0 Vì A P nên 0 a 0 1 0 a 1. Vậy điểm A có tọa độ là A 0; 1;0 . BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 10/29 - Mã đề thi 007
  11. Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Ox , ychoz hai điểm M 1; – 2 ,; 1 N 0;1 .; 3Phương trình đường thẳng qua hai điểm M , N là x y 1 z 3 x 1 y 2 z 1 A. . B. . 1 3 2 1 3 2 x 1 y 3 z 2 x y 1 z 3 C. . D. . 1 2 1 1 2 1 Lời giải Chọn A.  Đường thẳng MN qua N 0;1;3 và có véctơ chỉ phương MN 1;3;2 x y 1 z 3 Có phương trình chính tắc là 1 3 2 x 1 mt Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : y t , t ¡ , z 1 2t x 1 t d : y 2 2t , t ¡ . Giá trị của tham số mđể hai đường thẳng vàd dcắt nhau là z 3 t A. m 1. B. m 1. C. m 0. D. m 2. Lời giải Chọn C. 1 mt 1 t 1 Xét hệ phương trình: t 2 2t 2 1 2t 3 t 3 Để đường thẳng d và d cắt nhau thì hệ phương trình trên phải có nghiệm duy nhất. Từ phương trình 2 và 3 suy ra t 2 , t 0 m 0 Câu 14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3và đường phân giác góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy . 1 1 A. 0 . B. . C. . D. . 1 4 2 Lời giải Chọn C. Đường phần giác của góc phần từ thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy có phương trình y x . x 1 3 Phương trình hoành độ giao điểm x x x 0 x 1 0 1 1 0 1 x 4 x2 x 4 x2 1 1 1 S x3 x dx x3 x dx x3 x dx 4 2 4 2 4 4 2 1 1 0 1 0 Câu 15. Cho khối lập phương ABCD.A B C D . Mặt phẳng ABD chia khối lập phương ABCD.A B C D thành 2 khối đa diện nào? BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 11/29 - Mã đề thi 007
  12. A. Hai khối tứ diện. B. Hai khối lăng trụ tam giác. C. Một khối lăng trụ tam giác và một khối chóp. D. Hai khối chóp tứ giác. Lời giải Chọn B. Mặt phẳng ABD  ABC D chia khối lập phương ABCD.A B C D thành 2 khối lăng trụ tam giác là A D A.B C B và AD D.BC C 500p Câu 16. Cho một khối cầu có thể tích bằng . Tính diện tích S của mặt cầu đó. 3 A. S 75 . B. S 25 . C. S 50 . D. .S 100 Lời giải Chọn D. Gọi R là bán kính mặt cầu. 4 500 Ta có thể tích khối cầu là V R3 R3 125 R 5 . 3 3 Từ đó suy ra diện tích của mặt cầu là S 4 R2 4 .52 100 . Câu 17. Cho hàm số y x4 m 1 x 3 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x 0. A. .m 1 B. . m 1 C. Không tồn tại . D. Với mọim . m Lời giải Chọn B. Ta có: y 4x3 m 1 . Hàm số đại cực tiểu tại x 0 y 0 0 m 1 0 m 1. Với m 1 ta có: y 4x3 0 x 0 . Xét dấu y : 0 Ta thấy y đổi dấu từ âm sang dương qua x 0 nên x 0 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m 1 thỏa mãn. Lưu ý: Rất nhiều em xử lý bài toán này bằng điều kiện của y dẫn đến sai lầm. BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 12/29 - Mã đề thi 007
  13. x2 9 Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y có đường tiệm cận m 1 x4 2 ngang. A. .m 1 B. . m 1 C. . m D.1 . m 1 Lời giải Chọn C. x2 9 Đồ thị hàm số y có đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi ít nhất một trong m 1 x4 2 các giới hạn lim y , lim y tồn tại hữu hạn. x x Ta có: + với m 1 ta nhận thấy lim y , lim y suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận x x ngang. 2 2 + Với m 1 , khi đó hàm số có TXĐ D 4 ; 4 , khi đó lim y, lim y không x x m 1 m 1 tồn tại suy ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang. + Với m 1 , khi đó hàm số có TXĐ D ¡ 2 9 9 x 1 2 1 x 2 1 Lại có: lim lim x suy ra đồ thị hàm số có một đường x 2 x 2 m 1 x2 m 1 m 1 x4 x4 tiệm cận ngang. Vậy m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. x2 5 Câu 19. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn 0;2 . x 3 5 1 A. . min y B. . C. . min y D. . min y 2 min y 10 x 0;2 3 x 0;2 3 x 0;2 x 0;2 Lời giải Chọn A. x2 5 Hàm số y xác định và liên tục trên 0;2 x 3 x2 5 4 y y x 3 x 3 x 3 4 x 1 0; 2 Vậy y 1 2 và y 0 . x 3 x 5 0; 2 5 1 5 Ta có y 0 , y 2 . Vậy min y 3 5 x 0;2 3 Câu 20. Số tiền mà Tài để dành hàng ngày là (đơnx vị nghìn đồng, với x ¥) biết* làx nghiệm của phương trình: log x 2 log x 4 2 0 . Tổng số tiền mà Tài để dành được sau 1 tuần ( 3 3 7 ngày) là A. .7 B. . 14 C. . 21 D. . 24 BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 13/29 - Mã đề thi 007
  14. Lời giải Chọn C. x 2 Điều kiện: x 4 * x ¥ log x 2 log x 4 2 0 log x 2 2 log x 4 2 0 x 2 2 x 4 2 1 3 3 3 3 x 3 2 (l) x2 6x 8 1 x 3 2 (l) x2 6x 8 1 x 3 (n) Vậy số tiền Tài tiết kiệm được là :3.7 21 (nghìn đồng) x2 x 1 Câu 21. Số nghiệm của phương trình log x2 3x 2là 3 2x2 2x 3 A. 1nghiệm. B. nghiệm.2 C. nghiệm.3 D. nghiệm.4 Lời giải Chọn B. x2 x 1 0 x2 x 1 Nhận xét: do x ¡ 0,x ¡ . Vậy tập xác định D ¡ . 2 2 2x 2x 3 0 2x 2x 3 x2 x 1 Xét phương trình: log x2 3x 2 3 2x2 2x 3 2 2 2 2 log3 x x 1 log3 2x 2x 3 2x 2x 3 x x 1 2 2 2 2 log3 x x 1 x x 1 log3 2x 2x 3 2x 2x 3 f x2 x 1 f 2x2 2x 3 1 Đặt f t log t t , t 0 . Suy ra f t 1 0,t 0 . 3 t ln 3 Do đó f x2 x 1 f 2x2 2x 3 x2 x 1 2x2 2x 3 2 x 1 x 3x 2 0 x 2 1 2 Câu 22. Tuổi của Bắc và Nam là nghiệm khác nhau của phương trình . Tổng1 5 log2 x 1 log2 x số tuổi Bắc và Nam bằng A. .5 B. . 12 C. . 16 D. . 21 Lời giải Chọn B. x 0 x 0 Điều kiện: log x 5 2 1 x 32; x log2 x 1 2 BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 14/29 - Mã đề thi 007
  15. 1 2 1 11 log x 5 4log x log 2 x 5 log x 1 log x 2 2 2 2 2 . 2 log2 x 3 x 8 log2 x 5log2 x 6 0 . log2 x 2 x 4 Vậy tổng số tuổi của Bắc và Nam là 8 4 12 . Câu 23. Phương trình 4x 1 2.6x m.9x 0có hai nghiệm thực phân biệt nếu 1 1 A. m 0 . B. m . C. 0 m . D. m 0 4 4 Lời giải Chọn C. 2x x x 1 x x 2 2 Ta có: 4 2.6 m.9 0 4. 2. m 0 . 3 3 x 2 2 Đặt t , t 0 . Phương trình thành 4t 2t m 0 * . Phương trình đã cho có 2 3 nghiệm phân biệt khi phương trình * có 2 nghiệm phân biệt dương, nghĩa là: 1 4m 0 1 1 m 1 S 0 4 0 m 2 4 m 0 m P 0 4 Đây là dạng toán: .a2 f x . ab f x  .b2 f x 0 PP Chia hai vế cho b2. f x f x a và đặt t 0. (chia cho cơ số nhỏ nhất hoặc cơ số lớn nhất) b Câu 24. Một vật chuyển động theo quy luật s t3 6 ,t 2với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 3 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ? A. 12 (m/s). B. 16 (m/s). C. 5 (m/s). D. 9 (m/s). Lời giải Chọn A. +) Ta có: v s 3t 2 12t f t với t 0;3 . Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f t , t 0;3 Ta có: f t 6t 12 . f t 0 t 2 0;3 Khi đó :f 0 0 ; f 2 12 ; f 3 9 max f t f 2 12 0;3 vmax 12m / s BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 15/29 - Mã đề thi 007
  16. Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn z i z 2 3i . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ là A. Đường thẳng có phương trình x 2y 3 0. B. Đường thẳng có phương trình x 2y 1 0. C. Đường thẳng có phương trình x 2y 3 0. D. Đường thẳng có phương trình x 2y 2 0. Lời giải Chọn A. Gọi z x yi ; x; y ¡ được biểu diễn bởi điểm M x; y trên mặt phẳng tọa độ. Ta có: z i x y 1 i; z 2 3i x 2 y 3 i z i z 2 3i x2 y 1 2 x 2 2 y 3 2 x 2y 3 0.Suy ra tập hợp điểm M x; y là đường thẳng d :x 2y 3 0 Do z x yi x; y ¡ được biểu diễn bởi điểm M x; y trên mặt phẳng tọa độ đối xứng với điểm M x; y qua trục Ox nên điểm M x; y nằm trên đường thẳng d đối xứng với d qua Ox M d : x 2y 3 0. Câu 26. Trên tập số phức, tính môđun tổng bình phương hai nghiệm của phương trình z2 2z 3 0. A. 2 3. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn B. 2 z1 1 2i 2 2 2 2 Ta có z 2z 3 0 . Vậy z1 z2 2 z1 z2 2. z2 1 2i Câu 27. Cho hàm số f x liên tục trên ¡và hàm số F x có đạo hàm thỏa mãn F x f xvới 5 mọi x ¡ . Tính tích phân I f 3x dx . 1 1 1 1 1 A. .F 15 B.F . 3C. . D. . F 15 F 3 F 5 F 1 3F 15 3F 3 3 3 3 3 Lời giải Chọn B. Đặt u 3x du 3dx . Đổi cận x 1 u 3, x 5 u 15 . Ta được 5 1 15 1 15 1 1 I f 3x dx f u du F x F 15 F 3 . 1 3 3 3 3 3 3 6 Câu 28. Cho hàm số f x biết f x 0 x ¡ và f x dx 0 . Bảng giá trị nào dưới đây là bảng 2 giá trị của một hàm số f x thỏa các yêu cầu trên? A. . B. . C. . D. . BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 16/29 - Mã đề thi 007
  17. Lời giải Chọn A. 6 Vì f x dx 0 nên giá trị của f x phải thay đổi từ âm sang dương (hoặc từ dương sang 2 âm) trên đoạn 0;6 , mặt khác f x 0 x ¡ nên f (x) là hàm số nghịch biến. Do đó chỉ có bảng giá trị ở đáp án A thỏa mãn. Câu 29. Giá trị trung bình của hàm số f x liên tục trên đoạn a;b được cho bởi công thức 1 b GTTB f x dx . Hãy tính giá trị trung bình của hàm số f x x2 ln x trên đoạn b a a 1;5 . A. .1 0,059 B. . 13,32C.1 . D. 2.0,118 26,641 Lời giải Chọn B. 1 5 Ta có GTTB x2 ln xdx 13,321 5 1 1 Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxy ,z với giá trị nào của m thì phương trình x2 y2 z2 2mx 2 m 1 y 4z 5m 0 là phương trình mặt cầu? m 1 m 1 5 5 A. 5 . B. 1 m . C. 5 . D. 1 m . m 2 m 2 2 2 Lời giải Chọn A. Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi m 1 2 2 2 2 m m 1 2 5m 0 2m 7m 5 0 5 . m 2 Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P : x 2y 3z 4 0 , Q :3x 2y 5z 4 0. Giao tuyến của P và Q có phương trình tham số là: x 2 2t x 2 2t x 2 2t x 2 2t A. y 1 7t. B. y 1 7t. C. y 1 7t . D. y 1 7t . z 4t z 4t z 4t z 4t Lời giải Chọn A. Gọi P  Q là giao tuyến của P và Q .Mọi điểm trên đều có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình: x 2y 3z 4 0 ( ) 3x 2y 5z 4 0 Cho xthay 0 vào tìm( )được y 8, z 4 A(0; 8; 4) BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 17/29 - Mã đề thi 007
  18. Cho zthay 0 vào tìm( )được x 2, y 1 B(2; 1;0 )  AB 2;7;4 là một véctơ chỉ phương của x 2 2t Như vậy, phương trình tham số của là y 1 7t t ¡ . z 4t Câu 32. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M 2;0;1 và đường thẳng dcó phương x 1 y z 2 trình . Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d bằng: 1 2 1 12 A. 12. B. 3. C. 2. D. . 6 Lời giải Chọn C. [Phương pháp tự luận] Gọi H là hình chiếu của M trên đường thẳng d thì H d H 1 t;2t;2 t .  Ta có: MH t 1;2t;t 1 và u 1;2;1 là một véctơ của d .   Vì MH  d MH  u MH.u 0 t 1 4t t 1 0 t 0 nên H 1;0;2 . Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d bằng độ dài đoạn MH .  Ta có MH MH 1 2 02 12 2 . [Phương pháp trắc nghiệm]  M M ,u 0 Áp dụng công thức tính khoảng cách từ M tới d là: h , với M 0 d . u Câu 33. Cho hình hộp ABCD.A B C D có độ dài tất cả các cạnh bằng a , cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy hình hộp một góc 60 . Tính thể tích lớn nhất của khối hộp đó. a3 3 a3 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. .V a3 3 max 4 max 2 max 2 max Lời giải Chọn C. Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng ABCD thì A H là đường cao của khối hộp. Do góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 nên ·A AH 60 . Ta có BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 18/29 - Mã đề thi 007
  19. a 3 A H AA .sin 60 . 2 Thể tích khối hộp ABCD.A B C D là V A H.SABCD A H.2S ABD a3 3 a3 3 A H.AB.AD.sin B· AD sin B· AD 2 2 a3 3 Vậy V = khi B· AD 90 . max 2 Câu 34. Cho một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh và2a một hình cầu có đường kính bằng chiều cao của hình nón. Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của khối nón và khối V cầu tương ứng. Tính tỉ số 1 . V2 V V 2 V 1 V 1 A. . 1 1 B. . 1 C. . D. 1. 1 V2 V2 3 V2 2 V2 3 Lời giải Chọn B. 1 a3 3 + Hình nón có bán kính đáy là a , chiều cao a 3 . Suy ra V a2a 3 . 1 3 3 3 a 3 4 a 3 a3 3 + Hình cầu có bán kính R . Suy ra V . 2 2 3 2 2 V 2 Từ đó suy ra 1 . V2 3 Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của msao cho đồ thị hàm số y x4 2mx2 2m mcó4 ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. A. .m 0 B. . m 3 3C. . D. .m 3 3 m 3 Lời giải Chọn B. x 0 3 TXĐ: D ¡ . y ' 4x 4mx, y ' 0 2 . x m * Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 m .0 Khi đó tọa độ các điểm cực trị là: A 0;m4 2m , B m;m4 m2 2m , C m;m4 m2 2m . BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 19/29 - Mã đề thi 007
  20. Nhận xét: ABC luôn cân tại A . Do đó để ABC đều thì AB BC AB2 BC 2 m m4 4m m m3 3 0 m 3 3 (vì m 0 ) Lưu ý: Ta có thể áp dụng công thức tính nhanh đã được chứng minh tổng quát sau: ab 0 4 2 Đồ thị hàm số y ax bx c có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều b3 . 3 0 8a Câu 36. Cho ba số thực a , b , c và xét hàm số y x3 ax2 bx c có đồ thị C . Biết rằng hàm số đạt giá trị cực đại bằng 4 tại x 1 , và đồ thị C đi qua điểm A 1;6 . Tìm giá trị của hàm số tại x 3 . A. .y 3 44 B. . y 3 36C. .y 3 22D. . y 3 12 Lời giải Chọn A. +) A 1;6 C a b c 5 (1) y 3x2 2ax b +) Ta có: y 6x 2a Hàm số có cực đại bằng 4 tại x 1 B 1;4 là điểm cực đại của đồ thị C . y 1 4 a b c 5 2 Đk: y 1 0 2a b 3 3 . y 1 0 6 2a 0 4 3 a 2 3 3 2 7 Từ (1), (2), (3) b 0 C : y x x . (thỏa điều kiện 4 ) 2 2 7 c 2 Vậy giá trị của hàm số tại x 3 là y 3 44 . 3 2 Chú ý: Hàm số bậc ba y ax bx cx d với a 0 đạt cực đại tại điểm x0 khi và chỉ khi y x0 0 . y x0 0 2 2 Câu 37. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình m.3x 3x 2 34 x 36 3x m có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn A. BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 20/29 - Mã đề thi 007
  21. x2 3x 2 3 u 6 3x Đặt u.v 3 . Khi đó phương trình trở thành 4 x2 3 v mu v uv m m u 1 v u 1 0 u 1 m v 0 x2 3 x 2 u 1 3 1 2 v m 4 x 3 m m 0 x 1 x2 3x 2 0 x 2 4 x2 log m 3 2 x 4 log3 m 1 Để phương trình có ba nghiệm thì pt 1 có nghiệm bằng 0 . Tức là : 4 log3 m 0 m 81 . Câu 38. Cho số phức z thỏa mãn z2 1 4 z . Tính tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . A. 6 5. B. 5. C. .4 5 D. 2 5. Lời giải Chọn D. 2 z2 1 4 z z2 1 16 z 2 z2 1 z 2 1 16 z 2 z.z 2 z2 z 2 1 16 z 2 0 z.z 2 z z 2 16 z 2 1 0 z 4 18 z 2 1 z z 2 0 9 4 5 z 2 9 4 5 2 5 z 2 5. z đạt được khi z 2 5 i ; z đạt được khi z 2 5 i. min max Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z là 2 5 . Câu 39. Một chất điểm dao động tuần hoàn trên trục O x có vận tốc tức thời cho bởi công thức v t cost sin t (t 0 , t là thời gian) và có tọa độ ban đầu là x0 2 . Tìm tọa độ của chất điểm tại thời điểm gia tốc của nó bằng 0 lần đầu tiên? A. . 1 B. . 0,414 C. . 1 D. . 2,414 Lời giải Chọn C. Gia tốc của chất điểm a t v t sin t cost a t 0 sin t cost 0 tan t 1 t k , k ¢ . Vì t 0 , và tính thời điểm 4 3 đầu tiên gia tốc bằng không nên k 1 do đó t . 4 Tọa độ của chất điểm khi gia tốc của nó bằng 0 lần đầu tiên là: 3 3 4 3 3 4 x v t dt x x 0 x x 0 v t dt 1 0 4 4 0 BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 21/29 - Mã đề thi 007
  22. Câu 40. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng 1 :3x y z 2 0 , 2 : x 4y 5 0 đồng thời song song với mặt phẳng 3 : 2x 21y z 7 0 . Phương trình của mặt phẳng P là? A. 2x 21y z 23 0. B. 2x 21y z 23 0. C. 2x 21y z 25 0. D. 2x 21y z 23 0. Lời giải Chọn A. P song song 3 P : 2x 21y z m 0 m 7 . Chọn M 5;0; 13 , N 1;1;0 thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng 1 và 2 Suy ra M , N P . M P 2.5 21.0 13 m 0 m 23. N P 2.1 21.1 0 m 0 m 23. Vậy P : 2x 21y z 23 0 . Câu 41. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có AB = 5a , AC 12a , BC 13a . Biết góc giữa mặt phẳng A BC và mặt đáy của lăng trụ bằng 45 . Tính thể tích V của khối lăng trụ. 900a3 3600a3 600a3 1800a3 A. V . B. V . C. V . D. .V 13 13 13 13 Lời giải Chọn D. Thể tích của khối lăng trụ là VABC.A B C AA .S ABC +) Tính S ABC Vì AB2 AC 2 5a 2 12a 2 13a 2 BC 2 nên tam giác ABC vuông tại A . Suy ra 1 1 S AB.AC 5a.12a 30a2 (đvđt). ABC 2 2 +) Tính chiều cao AA của lăng trụ Dễ thấy A' BC  ABC BC Trong ABC : Kẻ AI  BC, I BC BC  A AI BC  A I s. Do đó · A BC , ABC ·A IA 45 . BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 22/29 - Mã đề thi 007
  23. 2S 60a A AI vuông cân tại A A A AI ABC . BC 13 60a 1800a3 Vậy V AA .S .30a2 (đvtt). ABC.A B C ABC 13 13 Câu 42. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB 3, BC 5 . Hình chiếu vuông góc của B trên ABC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Biết góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABB A bằng 60. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp B .ABC . 73 3 73 3 73 6 73 3 A. . B. . C. D . 48 24 48 24 Lời giải Chọn A. + Vì ABC vuông tại A, AB 3, BC 5 nên AC 4 . + Gọi H, K, P lần lượt là trung điểm của BC , AB , AB . H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và B H  ABC . + Ta có AB  KH, AB  B H AB  B HK AB  B K · ABB A , ABC B· KH 60 . + Xét B KH vuông tại H : B H KH.tan B· KH 2 3. 73 Suy ra: B A AH 2 B H 2 . 2 Gọi I là giao điểm của B H với mặt phẳng trung trực của AB . Khi đó dễ thấy hai tam giác B I B P B A.B P 73 3 vuông B PI và B HA đồng dạng. Do đó, ta có: IB . B A B H B H 48 73 3 R IB . 48 Câu 43. Chox , y , z là những số thực thỏa mãn: x2 y2 z2 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x3 y3 z3 3xyz . A. .2 B. 2 .3 C. 2 .2 D. . 2 2 Lời giải Chọn D. Để giải được bài toán này, ta cần nắm vững những đẳng thức suy luận quen thuộc như: BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 23/29 - Mã đề thi 007
  24. 2 2 2 2 2 x y z x y z x2 y2 z2 2 xy yz zx x y z xy yz zx 2 3 3 3 2 2 2 x y z 3xyz x y z x y z xy yz zx Áp dụng 2 đẳng thức trên và kết hợp với điều kiện x2 y2 z2 2 , biểu thức được viết lại là: P x3 y3 z3 3xyz x y z x2 y2 z2 xy yz zx 2 x y z x2 y2 z2 x y z 2 2 x y z x2 y2 z2 x y z 2 2 2 Đặt t x y z 6 t 6 hay t 6; 6 . Bunhiacopxki Do: 1.x 1.y 1.z 12 12 12 x2 y2 z2 x y z 3.2 6 . 1 2 1 3 Biểu thức được viết lại là: P t 3 t t 3t , t 6; 6 . 2 2 1 Xét hàm số f t t3 3t . Hàm số này xác định và liên tục trên đoạn. 6; 6 2 3 3 Ta có f t t 2 3 . Vậy f t 0 t 2 3 0 t 2 6; 6 . 2 2 Tính: f 6 0; f 6 0; f 2 2 2; f 2 2 2 . t x y z 2 x 2 max f t max P 2 2 khi hoặc các hoán vị. 2 2 2 6; 6 x y z 2 y z 0 Câu 44. Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. Biết f b 0 , hỏi đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm? y a b O c x A. 1. B. 2. C. D.3 . 4. Lời giải Chọn C Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên: x a b c y 0 0 0 f c f a y f b BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 24/29 - Mã đề thi 007
  25. Vì f b 0 , từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại 3 điểm. Câu 45. Biết chu kỳ bán hủy của chất phóng xạ plutôni Pu 2là39 2436 năm0 (tức là một lượng Pu 239 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức S Aert , trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r 0 ), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t . Hỏi 10 gam Pu239 sau khoảng bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam? Biết r được làm tròn đến hàng phần triệu. A. 8(năm).2335 B. (năm).8 4232 C. (năm). D.85 2 (năm).35 82235 Lời giải Chọn D. -Pu239 có chu kỳ bán hủy là 24360 năm, do đó ta có: ln 5 ln10 5 10.er.24360 r 0,000028 . 24360 ln5 ln10 t -Vậy sự phân hủy của Pu239 được tính theo công thức S A.e 24360 . ln5 ln10 t ln10 ln10 -Theo đề: 1 10.e 24360 t 82235(năm). ln 5 ln10 0,000028 24360 2z z 1 i Câu 46. Gọi M là điểm biểu diễn số phức w , trong đó z là số phức thỏa mãn z2 i 1 i z i 2 i z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox,ON 2 , trong đó Ox,OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (I). B. Góc phần tư thứ (II). C. Góc phần tư thứ (III). D. Góc phần tư thứ (IV). Lời giải Chọn B. y N M1 O x M Ta có: 1 i z i 2 i z z 3i 7 19 7 19 w i M ; là điểm biểu diễn số phức w 82 82 82 82 2 2 7 19 410 OM 82 82 82 BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 25/29 - Mã đề thi 007
  26. MM1 19 sin · OM 410 Trên hình vẽ: Hạ MM1  Ox .Trong MOM1 ,đặt M1OM , OM 7 cos 1 OM 410 7 cos cos k2 cos 410 Ox,OM k2 19 sin sin k2 sin 410 2.7.19 sin 2 2sin cos 0 410 2 2 19 312 cos 2 1 2sin 1 2 0 410 410 Ox,ON 2 Vậy N nằm trong góc phần tư thứ (II). 1 Câu 47. Cho số thực m 0 sao cho diện tích S giới hạn bởi đường thẳng d : y x và parabol m5 2 1 m 1 P : y x2 x có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất của S . m5 2 m5 2 1 1 5 5 A. .S B. . C. . S D. . S S max 10 5 9 max 2 5 9 max 2 5 3 max 6 3 3 Lời giải Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm 1 1 2 m 1 1 2 x 0 5 x 5 x 5 x 5 x mx 0 m 2 m 2 m 2 m 2 x m 0 0 0 3 2 1 2 1 2 1 x mx Do đó S 5 x mx dx 5 x mx dx 5 m 2 m 2 m 2 3 2 m m m m3 m3 m3 1 (Bất đẳng thức Cauchy: 6 m5 2 2 m5 m5 m5 3 3 2.5 5 32 m15 10 5 9 a b c 33 abc với các số thực không âm a , b , c ) 1 S khi m 5 3 max 10 5 9 x 2 y 1 z 1 Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : và hai điểm A 3;2;1 , 1 2 2 B 2;0;4 . Gọi là đường thẳng qua A , vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B tới là c nhỏ nhất. Gọi u a;b;c là véctơ chỉ phương của với a, b, c Z , a 0 và là phân số a tối giản. Giá trị của P a2 b2 c2 bằng A. 11. B. 6. C. 3. D. 5. BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 26/29 - Mã đề thi 007
  27. Lời giải Chọn D. Cách 1: B d H' H A P +Dựng hình: Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d P là mặt phẳng duy nhất. Khi đó,  P Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của lênB P Khi đó, ta chứng minh đường thẳng đi qua Avà thỏaH mãn yêu cầu bài toán. +Chứng minh: Ta có: BH  P BH  d B; BH . Xét đi qua A và nằm trong P . Khi đó, gọi H ' là hình chiếu vuông góc của B trên . Trong tam giác vuông BHH ta luôn có: BH BH . Vậy d B; BH . Từ đó suy ra đường thẳng duy nhất thỏa yêu cầu bài toán là đường thẳng đi qua Avà .H +Tính:  d có véctơ chỉ phương ud 1; 2;2 . Ta có, mặt phẳng P qua A và vuông góc với d P :1. x 3 2. y 2 2. z 1 0 x 2y 2z 1 0 Đường thẳng BH qua Bvà song song với d x 2 t BH : y 2t H 2 t; 2t;4 2t thay vào P z 4 2t  Ta được: 2 t 4t 2 4 2t 1 0 t 1 H 1;2;2 AH 2;0;1 Vậy: P a2 b2 c2 5 Cách 2:  Véctơ chỉ phương của d là u1 1; 2;2 Gọi u a;b;c 0 là véctơ chỉ phương của   Vì  d nên u.u1 0 a 2b 2c 0 u 2b 2c; b; c   AB 1; 2;3 , u; AB 3b 2c;5c 6b;4c 3b BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 27/29 - Mã đề thi 007
  28.  2 2 u; AB 54b 72bc 45c d B; u 5b2 8bc 5c2 54 TH : c 0 d B; 1 5 54t 2 72t 45 b TH2 : c 0 d B; 2 t 5t 8t 5 c 54t 2 72t 45 f t ;t ¡ 5t 2 8t 5 72t 2 90t f t 2 5t 2 8t 5 t 0 f t 0 5 t 4 b Lập bảng biến thiên ta thấy f t đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9 khi t 0 0 b 0 c Do đó d B; 3 min Hợp hai trường hợp ta thấy d B; nhỏ nhất khi b 0 a 2c c Do giả thiết a, b, c Z , a 0 và là phân số tối giản nên chọn a a 2;b 0;c 1 u 2;0; 1 .Giá trị của P a2 b2 c2 5 Câu 49. Cho tứ diện ABCD có AB CD 11(m) , BC AD 21(m) , BD AC 20(m) . Tính thể tích của khối tứ diện ABCD . A. 360 (m3 ) B. 720 (m3 ) C. 770 (m3 ) D. 340 (m3 ) Lời giải Chọn A. + Dựng tam giác MNP sao cho C, B, D lần lượt là trung điểm các cạnh MN, MP, NP. + Do BD là đường trung bình của tam giác MNP nên MN 2BD 40 . Tương tự, ta có MP 2CD 22 , NP 2BC 42 . + Dễ thấy tam giác AMN vuông tại A (vì trung tuyến bằng một nửa cạnh tương ứng) nên AM  AN . Tương tự, ta cóAP  AN và AM  AP . 1 + Dễ dàng thấy S S S . BCD MBC 4 MNP 1 Từ đó suy ra V V . ABCD 4 AMNP 1 + Mặt khác, do AM, AN, AP đôi một vuông góc nên V AM.AN.AP . Ta có: AMNP 6 BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 28/29 - Mã đề thi 007
  29. AM 2 AN 2 MN 2 AM 2 AN 2 402 AM 2 160 AM 4 10 (m) 2 2 2 2 2 2 2 AN AP NP AN AP 42 AN 1440 AN 12 10 (m) AP2 AM 2 PM 2 AP2 AM 2 222 AP2 324 AP 18 (m) 1 1 V .4 10.12 10.18 1440 (m3 ) V V 360 (m3 ) . AMNP 6 ABCD 4 AMNP  Lưu ý: Thể tích của khối tứ diện có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau tương ứng a,b,c là 2 V (a2 b2 c2 )(a2 b2 c2 )( a2 b2 c2 ) 12 Câu 50. Một bồn nước gồm một nửa hình cầu, một hình trụ và một hình nón (như hình vẽ dưới đây). Gọi C là tâm của nửa hình cầu và D là tâm hình tròn đáy của hình nón. Cho biết AC 2,5 (m) và BF 7,5 (m), góc E· FD 45 . Hỏi bồn nước đó chứa được tối đa bao nhiêu lít nước ? biết rằng 1dm3 =1 lít (kết quả cuối cùng làm tròn đến một chữ số thập phân). A. 229074,5 (lít). B. 176714,6 (lít). C. 196349,5 (lít). D. 209439,5 (lít). E 45 F D 7,5 B C 2,5 A Lời giải Chọn C. Gọi V là thể tích của bồn nước thì ta có V V1 V2 V3 . Trong đó: 2 3 125 + V là thể tích của nửa khối cầu có bán kính 2,5(m) V . 2,5 (m3 ) . 1 1 3 12 + V2 là thể tích của khối trụ có bán kính đáy 2,5(m) và chiều cao 7,5(m) 2 375 V . 2,5 .7,5 (m3 ) . 2 8 + V3 là thể tích của khối nón có bán kính đáy 2,5(m) và chiều cao 2,5(m )( EFD vuông cân) 1 2 125 V . 2,5 .2,5 (m3 ) . 3 3 24 125 375 125 125 Từ đó suy ra V V V V (m3 ) 196349,5 (lít). 1 2 3 12 8 24 2 BQT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM biên soạn Trang 29/29 - Mã đề thi 007