Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015

Nội dung text: Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015

1. UBND HUYỆN GIA VIỄN ĐỀ THI KHẢO SÁT PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Mụn: Toỏn Năm học: 2014- 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt ( khụng kể thời gian giao đề) x2 2x 2x2 1 2 Cõu 1. (5 điểm) Cho biểu thức: A 2 2 3 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x a) Tỡm x để giỏ trị của A được xỏc định. Rỳt gọn biểu thức A. b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A nhận giỏ trị nguyờn. Cõu 2. (4 điểm) Giải các phương trình sau: a) x(x 2)(x2 2x 2) 1 = 0 b) y 2 4 x 2y 2 x 1 2 0 x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 c) x 2 x 8 x 4 x 6 Cõu 3. (3 điểm) 1) Tỡm số tự nhiờn n để số p là số nguyờn tố biết: p = n3 - n2 + n - 1 2) Tỡm a,b sao cho f x ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g x x2 x 2 ab 3) Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0.Tính: P 4a 2 b 2 Cõu 4. (6,5 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD, trờn tia đối của tia CD lấy điểm M bất kỡ (CM 0. Chứng minh rằng: 2 2 y x y x 2) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy(x 2)(y 6) 12x2 24x 3y2 18y 2045 Hết
2. UBND HUYỆN GIA VIỄN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 PHềNG GD&ĐT GIA VIỄN Năm học 2014 - 2015 Mụn thi : TOÁN Thời gian: 150 phỳt khụng kể thời gian giao đề (Hướng dẫn này gồm 05 cõu, 05 trang) CHÚ í : - Nếu HS làm cỏch khỏc mà đỳng thỡ vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đú - Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo biểu điểm của ý đú Cõu Đỏp ỏn Biểu điểm x2 2x 2x2 1 2 Cho biểu thức: A 2 2 3 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x a) (3,5 điểm) * ĐKXĐ: 1,0 điểm 2x2 8 0 2 3 0,25 điểm Giỏ trị của A được xỏc định 8 4x 2x x 0 x 0 2x2 8 x2 4 2 2 x 2 0,5 điểm 4(2 x) x (2 x) 0 (2 x)(4 x ) 0 x 0 x 0 x 0 - ĐKXĐ : x 2; x 0 0,25 điểm (Nếu HS chỉ nờu ĐKXĐ: cho 0,25 điểm) * Rỳt gọn : 3,0 điểm x2 2x 2x2 1 2 Ta cú A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x 1 x2 2x 2x2 x2 x 2 (5 điểm) 2 2 2 0,75 điểm 2(x 4) 4(2 x) x (2 x) x (x 2 2x)(2 x) 4x 2 x 2 x 2x 2 . 2(x 2 4)(2 x) x 2 0,75 điểm 2x 2 x 3 4x 2x 2 4x 2 x(x 1) 2(x 1) . 0,75 điểm 2(x 2 4)(2 x) x 2 x(x2 4) (x 1)(x 2) x 1 . 2(x2 4)(2 x) x2 2x 0,75 điểm b) (1,0 điểm) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A nhận giỏ trị nguyờn. x 1 * Z x +1  2x 2x + 2  2x Mà 2x  2x 2x 0,5 điểm 2  2x 1  x x = 1 hoặc x = -1 0,25 điểm * Ta thấy x = 1 hoặc x = -1 (TMĐKXĐ) x 1 Vậy A= Z x = 1 hoặc x = -1 2x 0,25 điểm 2 Giải các phương trình sau:
3. (4 điểm) a) (1,5 điểm) x(x 2)(x2 2x 2) 1= 0 (x2 + 2x) (x2 + 2x + 2) + 1 = 0 0,5 điểm (x2 + 2x)2 + 2(x2 + 2x) + 1 = 0 (x2 + 2x + 1)2 = 0 0,5 điểm 0,25 điểm (x+1)4 = 0 x + 1 = 0 x = -1 0,25 điểm Vậy PT đó cho cú 1 nghiệm duy nhất x = -1 b) (1,5 điểm) y 2 4 x 2y 2 x 1 2 0 y2 2y 1 (2x )2 2.2x 1 0 0,5 điểm 2 x 2 0,25 điểm (y 1) (2 1) 0 0,25 điểm y + 1 = 0 hoặc 2x 1 = 0 y = -1 hoặc x = 0 0,25 điểm Vậy PT đó cho cú 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (0; -1) 0,25 điểm c) (1,0 điểm) x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 (1) x 2 x 8 x 4 x 6 - ĐKXĐ: x ≠ -2; x ≠ -4; x ≠ -6; x ≠ -8 0,25 điểm (x 2)2 2 (x 8)2 8 (x 4)2 4 (x 6)2 6 - PT (1) x 2 x 8 x 4 x 6 2 8 4 6 x 2 x 8 x 4 x 6 x 2 x 8 x 4 x 6 2 4 6 8 0,25 điểm x 2 x 4 x 6 x 8 2x 8 4x 8 6x 48 8x 48 (x 2)(x 4) (x 6)(x 8) 2x 2x 0,25 điểm (x 2)(x 4) (x 6)(x 8) x = 0 hoặc (x 2)(x 4) = (x 6)(x 8) 0,25 điểm x = 0 hoặc x2 + 6x + 8 = x2 + 14x + 48 x = 0 hoặc 8x = - 40 x = - 5 (thỏa món ĐKXĐ) Vậy PT đó cho cú 2 nghiệm : x1 = 0; x2 = - 5 1) (1,0 điểm) Tỡm số tự nhiờn n để số p là số nguyờn tố biết: p = n3 - n2 + n - 1 - HS biến đổi được : p = (n2 + 1)(n - 1) 0,25 điểm - Nếu n = 0; 1 khụng thỏa món đề bài - Nếu n = 2 thỏa món đề bài vỡ p = (22 + 1)(2 - 1) = 5 0,25 điểm - Nếu n > 3 khụng thỏa món đề bài vỡ khi đú p cú từ 3 ước trở lờn là 1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1 0,25 điểm - Vậy n = 2 thỡ p = n3 - n2 + n - 1 là số nguyờn tố 0,25 điểm 2) (1,0 điểm) Tỡm a,b sao cho f x ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g x x2 x 2 3 * g x x2 x 2 = (x -1)(x - 2) 0,25 điểm (3 điểm) 3 2 * f x ax bx 10x 4  g x f x ax3 bx2 10x 4 = (x – 1)(x - 2).Q(x) (1) (mọi x R) 0,25 điểm - Thay x1 = 1, x2 = 2 vào (1) ta cú:
4. a + b + 6 = 0 và 8a + 4b + 16 = 0 0,25 điểm a = 2 và b = -8 3 2 0,25 điểm Vậy f x ax bx 10x 4  g x a = 2 và b = -8 3) (1,0 điểm) ab Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0.Tính: P 4a 2 b 2 - HS biến đổi được : 4a2 + b2 = 5ab (4a - b)(a -b) = 0 b = 4a hoặc b = a 0,25 điểm - Mà 2a b 0 4a > 2b > b nờn a = b 0,25 điểm a 2 1 - Ta cú : P = 4a 2 a 2 3 0,25 điểm 1 - Vậy 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0 thỡ P 0,25 điểm 3 - Hỡnh vẽ 0,25 điểm A B K H P N D C M a) (2,25 điểm) Chứng minh: DH vuụng gúc với BM - HS CM : CD = BC, PC = CM, DCB = BCM = 900 0,75 điểm 0,75 điểm - CM: DPC = BMC (cgc) - Chứng minh được BHP = 900 0,75 điểm 4 PC PH KP (6,5 điểm) b) (2,0 điểm) Tớnh Q = BC DH MK - HS CM : MP  BD 0,5 điểm 1 .DM .PC PC S - 2 PDM ; BC 1 S 0,5 điểm .DM .BC BDM 2 1 1 .DB.KP .DB.KP PH S PH S Tương tự : 2 PBM 2 PBD DH 1 S DH 1 S .DB.MK BDM .DB.MK BDM 2 2 0,5 điểm S S S Q = PDM PBM PBD 1 S BDM 0,5 điểm c) (2,0 điểm) Chứng minh: MP . MK + DK . BD = DM2 - CM: MCP  MKD (g.g) 0,5 điểm
5. MP . MK = MC . MD (1) 0,25 điểm - CM: DBC  DKM (g.g) 0,5 điểm DK . BD = DC. DM (2) 0,25 điểm - Từ (1) và (2) MP . MK + DK . BD = DM .(MC + DC) 0,25 điểm MP . MK + DK . BD = DM2 0,25 điểm 1) (0,75 điểm) x y 0,25 điểm - HSCM: ≥ 2 với mọi x, y > 0 y x x y x y -2 ≥ 0; - 1 ≥ 1 y x y x x y x y ( -2)( -1) ≥ 0 0,25 điểm y x y x x2 y2 x y x y 2 ( ) 2( ) 2 0 y2 x2 y x y x x 2 y 2 x y 4 3 2 2 y x y x 0,25 điểm 5 Dấu “=” xảy ra x = y > 0 (1,5 điểm) 2) (0,75 điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy(x 2)(y 6) 12x2 24x 3y2 18y 2045 *) x2 - 2x +1 = (x-1)2 ≥ 0 x2 -2x +3 ≥ 2 mọi x R (1) y2 + 6y +9 = (y+3)2 ≥ 0 y2 + 6y + 12 ≥ 3 mọi y R (2) 0,25 điểm + B xy(x 2)(y 6) 12x2 24x 3y2 18y 2045 = (x2 - 2x)( y2 + 6y) + 12(x2 - 2x) + 3(y2 + 6y) + 36 + 2009 = (x2 - 2x)( y2 + 6y + 12) + 3(y2 + 6y +12) + 2009 0,25 điểm = (x2 - 2x + 3)( y2 + 6y + 12) + 2009 (3) + Từ (1) ; (2) và (3) B ≥ 2.3 + 2009 B ≥ 2015 *) B = 2015 x = 1 và y = -3 0,25 điểm *) Min B = 2015 x = 1 và y = - 3 Hết