Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Trường THCS An Châu

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Trường THCS An Châu

1. PHÒNG GD&ĐT ĐÔNG HƯNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CHỌN NGUỒN CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS AN CHÂU Năm học 2020 – 2021 Môn: Toán 7 Thời gian làm bài : 90 phút Bài 1. (4,0 điểm) 1 2 3 4 99 100 Cho biểu thức : C 3 32 33 34 399 3100 3 Chứng minh rằng : C < 16 x 16 y 25 z 9 9 x 11 x Bài 2: (3 điểm) Cho và 2 .Tìm x+y+z 9 16 25 7 9 Bài 3: (2 điểm) Tìm x,y Z biết 2xy+ 3x = 4 Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1 a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức. b/ Tính giá trị của P biết x2+x-3 = 0 Bài 5: (2 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây. Bài 6. (5,0 điểm). Cho Δ ABC nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vuông góc với AC và AE = AC. 1) Chứng minh rằng BE = CD . 2) Gọi M là trung điểm của DE, tia MA cắt BC tại H.Chứng minh MA  BC 3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a. Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c ? Bài 7. (2 điểm) Cho biết xyz=1 x y z Tính giá trị A = xy x 1 yz y 1 xz z 1 Hết
2. HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN - LỚP 7 NĂM HỌC 2020-2021 1 2 3 4 99 100 Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức : C 3 32 33 34 399 3100 3 Chứng minh rằng : C < 16 Đáp án Điểm 1 2 3 4 99 100 2 3 4 99 100 Biến đổi: 3C 3. 2 3 4 99 100 1 2 3 98 99 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0,25 Ta có 2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100 3C C 1 2 3 98 99 2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100 4C 1 3 32 33 398 399 3 32 33 34 399 3100 0,25 2 1 3 2 4 3 100 99 100 0,25 4C 1 2 2 3 3 99 99 100 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 100 0,25 4C 1 3 32 33 399 3100 1 1 1 1 Đặt D 1 3 32 33 399 1 1 1 1 1 1 1 0,25 Ta có: 3D 3. 1 2 3 99 3 1 2 98 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 Khi đó: 3D D 3 1 2 98 1 2 3 99 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 4D 3 1 1 3 32 398 3 32 33 399 0,25 1 1 1 1 1 1 1 4D 3 1 1 2 2 98 98 99 3 3 3 3 3 3 3 0,25 1 4D 3 399 0,25 1 1 Suy ra D = . 3 - 99 4 3 0,25 3 1 D = - 4 4.399 0,25
3. 3 1 100 Nên ta có 4C 99 100 4 4.3 3 0,25 3 1 100 4C 4 4.399 3100 0,25 1 3 1 100 C . 99 100 4 4 4.3 3 0,25 3 1 25 C 16 42.399 3100 0,25 3 1 25 C - 2 99 + 100 16 4 .3 3 0,25 1 25 3 1 25 3 3 Ta có 2 99 100 > 0 nên 2 99 100 < . Vậy C < 4 .3 3 16 4 .3 3 16 16 0,25 x 16 y 25 z 9 9 x 11 x Bài 2: (3 điểm) Cho và 2 .Tìm x+y+z 9 16 25 7 9 Đáp án Điểm + Từ + = 2 (2 – x)( + ) = 0 x = 2 1 đ + Thay x = 2 = = = = = 2. 1 đ + x + y + z = 100 1 đ Bài 3: (2 điểm)Tìm x,y Z biết 2xy+ 3x = 4 Đáp án Điểm + Biến đổi được: x(2y + 3) = 4 1.0 đ + Chỉ ra được x, y Z x Ư(4) và 2y + 3 lẻ 0.5 đ + Lập bảng. 0.5 đ x -4 -2 -1 1 2 4 2y + 3 -1 -2 -4 4 2 1 y -2 loại loại loại loại -1 Bài 4: (2 điểm).Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1 a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức.
4. b/ Tính giá trị của P biết x2+x-3 = 0 Đáp án Điểm a) Chỉ được; a + b + c + d = 0 đpcm. 1.0 đ (hoặc tính được P(1) = 0 đpcm). b) + Rút được: + x = 3 (1) 0.25 đ + Biến đổi được P = (3 + 3 ) + ( + x) – 9x + 1 0.5 đ = 3x( + x) + ( + x) – 9x + 1 + Thay (1) vào: P = 9x + 3 – 9x + 1 = 4(0,25đ) 0.25đ (Học sinh có thể giải đúng bằng cách khác vẫn cho điểm) Bài 5: ( 2 điểm)Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây. . Đáp án Điểm Gọi độ dài mỗi cạnh hình vuông là a (m). 0.25 đ 0.25 đ Thời gian đi trên hai cạnh đầu là: 2a/5(s) 0.25 Thời gian đi trên cạnh thứ hai là: a/4(s) 0.25 đ Thời gian đi trên cạnh thứ 4 là: a/3(s) Vì tổng thời gian đi là 59 giây nên ta có: 0.5đ 2a/5+a/4+a/3=59 →a(2/5+1/4+1/3)=59 →a.59/60=59 →a=59:59/60=60 0.5đ Vậy độ dài cạnh hình vuông là 60m. Bài 6. (5,0 điểm).
5. N E M D F - Nếu hình vẽ sai thì không chấm cả bài hình A - Nếu câu trước làm sai thì HS vẫn có thể sử dụng I kết quả câu trước để làm câu sau. K C B H 1) (1,5 điểm ). Chứng minh : BE = CD . + Ta có D· AC D· AB B· AC ( Vì tia AB nằm giữa 2 tia AD và AC ) 0,25 Mà B· AD 900 (Vì AB  AD tại A ) Nên D· AC 900 B· AC (1) + Ta có B· AE C· AE B· AC ( Vì tia AC nằm giữa 2 tia AB và AE ) Mà C· AE 900 (Vì AE  AC tại A ) 0,25 Nên B· AE 900 B· AC (2) Từ (1) và (2) suy ra B· AE D· AC 0,25 Xét ∆ ABE và ∆ ADC có : AB = AD (GT) 0,50 B· AE D· AC (chứng minh trên) AE = AC (GT) Do đó ∆ABE = ∆ ADC (c – g - c) BE = CD ( vì là hai cạnh tương ứng) 0,25 2) (2,5 điểm). Chứng minh: MA  BC + Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN Từ D kẻ DF vuông góc với MA tại F Xét ∆ MAE và ∆ MDN có : MN = MA (Vì M là trung điểm của AN ) 0,25 A· ME D· MN (chứng minh trên) ME = MD (Vì M là trung điểm của DE ) Do đó ∆ MAE = ∆ MND (c – g - c) Suy ra AE = DN ( vì là hai cạnh tương ứng ) 0,25 và N· DM M· EA ( vì là hai góc tương ứng ) Mà N· DM và ởM· vịE Atrí so le trong của hai đường thẳng AE và DN
6. Nên AE // DN ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ) 0,25 Suy ra A· DN D· AE 1800 (Vì là hai góc trong cùng phía ) (3) + Ta lại có D· AE +D· AB + ·BAC + E· AC = 3600 Hay D· AE + B· AC = 1800 (Vì D· AB E· AC 900 ) (4) 0,25 Từ (3) và (4) A· DN = ·BAC + Ta có AE = DN (chứng minh trên) và AE = AC (GT) Nên AC = DN 0,25 Xét ∆ ABC và ∆ DAN có : AB = AD (GT ) A· DN = ·BAC (chứng minh trên) AC = DN (chứng minh trên) 0,25 Do đó ∆ ABC = ∆ DAN (c – g - c) Suy ra D· NA = A· CB ( vì là hai góc tương ứng ) hay D· NF = A· CB Ta có D· AF + B· AD + ·BAH = 1800 (Vì ba điểm F, A, H thẳng hàng) Hay D· AF + ·BAH = 900 ( Vì B· AD 900 ) (5) Trong ∆ ADF vuông tại F có : 0,25 F· DA + ·DAF = 900 ( Vì là hai góc phụ nhau ) (6) Từ (5) và (6) F· DA = ·BAH + Ta có A· DN = N· DF + ·FDA ( Vì tia DF nằm giữa 2 tia DA và DN ) B· AC = H· AC + B· AH ( Vì tia AH nằm giữa 2 tia AB và AC ) 0,25 Mà A· DN = B· AC và F· DA = ·BAH (chứng minh trên) Nên N· DF = H· AC Xét ∆ AHC và ∆ DFN có : N· DF = H· AC (chứng minh trên) AC = DN (chứng minh trên) 0,25 D·(chứngNF = A ·minhCB trên) Do đó ∆ AHC = ∆ DFN (g - c - g) Suy ra D· FN = A· HC ( vì là hai góc tương ứng ) Mà D· FN = 900 (Vì DE  MA tại F ) nên A· HC 900 0,25 Suy ra MtạiA H B(đpcm)C 3).(1,0 điểm). Nếu AB = c, AC = b, BC = a. Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c + MtạiA H B(chứngC minh trên) nên ∆ AHB vuông tại H 0,25 ∆ AHC vuông tại H Đặt HC = x HB = a - x ( Vì H nằm giữa B và C ) + Áp dụng định lý Py-ta-go cho 2 tam giác vuông AHB và AHC ta có: 0,25 AH2 = AB2 - BH2
7. và AH2 = AC2 - CH2 2 2 2 2 2 2 2 2 AB - BH = AC - CH c - (a - x) = b - x 0,25 a2 b2 c2 Từ đó tìm được HC = x = 0,25 2a Bài 7. (2 điểm) Cho biết xyz=1 x y z Tính giá trị A = xy x 1 yz y 1 xz z 1 Đáp án Điểm x y z xz xyz z = xy x 1 yz y 1 xz z 1 xyz xz z xyz2 xyz xz xz z 1 1đ x z x y z z x y z x z 1 1 1 x z z z 1 x z x z z 1 x y z x z 1 1đ Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng câu, từng bài theo hướng dẫn trên./. Hết