Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 11 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Nghĩa Hành

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 11 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Nghĩa Hành

1. TRƯỜNG THPT SỐ 1 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NGHĨA HÀNH MÔN TOÁN LỚP 11 NĂM HỌC 2107 – 2018 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (9điểm). Giải các phương trình và hệ phương trình sau : a/ (x4 x2 2)(x4 3x2 18) 0 b/ x3 2 5 3 5x 2 y3 y2 x 3x 6y 0 c/ 2 x xy 3 Bài 2 (3điểm) . Giải phương trình lượng giác sau : cos6x – cos4x + cos2x = 1 2 Bài 3 (4điểm) .Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD , trung 11 1 điểm của BC là điểm M(; ) . N là điểm trên cạnh CD sao CN = 2ND, 2 2 đường thẳng AN có phương trình 2x – y – 3 = 0 . a/ Chứng minh góc M· AN 450 . b/ Tìm toạ độ của đỉnh A . Bài 4 (4điểm) . Cho tam giác ABC bất kỳ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu A B C thức : P cot cot cot . 2 2 2 HẾT ĐÁP ÁN MÔN TOÁN HSG LỚP 11 Bài 1 : (9đ) a/ (3điểm) * PT đã cho tương đương (x2 1)(x2 2)(x2 3)(x2 6) 20x4 0 (1,0) (x4 7x2 6)(x4 5x2 6) 20x4 0 (1) (0,5) * Vì x = 0 không phải là nghiệm của (1) nên 6 6 (1) (x2 7)(x2 5) 20 0 (2) (0,5) x2 x2 6 * Đặt t x2 , dễ thấy t 0 x2 2 t 3(l) PT (2) trở thành (t 7)(t 5) 20 0 t 2t 5 0 (0,5) t 5
2. x2 2 x 2 * Với t 5 x2 6x 5 x4 5x2 6 0 (0,5) 2 x 3 x 3 x3 5u 2(1) b/ (3đ) * Đặt u 3 5x 2 , ta có hệ pt (1đ) 3 u 5x 2(2) *Trừ (1) cho (2) theo vế ta có u3 x3 5(u x) 0 (u x)(u2 x2 ux 5) 0(3) x 3 Vì u2 x2 ux 5 (u )2 x2 5 0x,u nên (3) u x (1đ) 2 4 x 2 3 *Thay u = x vào (1) ta được x 5x 2 0 x 1 2 (1đ) . y3 y2 x 3x 6y 0(1) c/ (3đ) Giải hệ pt 2 x xy 3(2) 3 x2 3 *Từ (2) ta thấy x 0 nên (2) y và x y (1đ) x x * Khi đó (1) y2 (x y) 6(x y) 9x 0 9 6x2 x4 3 ( 6). 9x 0 4x4 12x2 9 0 (1đ) x2 x 3 6 6 * x2 x Từ đó tính được y 2 2 2 6 6 6 6 Vậy nghiệm của hệ là ( ; ),( ; ) (1đ) 2 2 2 2 . Bài 2 (3đ) * Với đk sinx 0(*) thì Pt đã cho tương đương với Pt 1 sin 2x.cos6x sin 2x.cos4x sin 2x.cos2x sin 2x (1đ) 2 1 1 1 1 (sin8x sin 4x) (sin6x sin 2x) sin 4x sin 2x 2 2 2 2 x k (l) 8x 6x k2 (1,5) sin8x sin6x 8x 6x k2 x k (a) 14 7
3. 7l 1 * Công thức nghiệm (a) thoả đk (*) k2 l 2k 1 7l k 7 7 2 Với k,l ¢ thì l 2t 1 suy ra k 7t 3,t ¢ Vậy nghiệm của PT là x k (k ¢ ,k 7t 3,t ¢ ) (0,5) 14 7 Bài 3(4đ) a 10 a 5 5a a/ *Đặt AB = a , tính được AN , AM , MN (1,0) 3 2 6 AM 2 AN 2 MN 2 1 cos M· AN M· AN 450 (1,0) 2AM.AN 2 b/ A AN A(m;2m 3) , gọi H là hình chiếu của A trên AN 3 3 10 AH d(M , MN) Suy ra MA MH. 2 (1,0) 5 2 11 2 7 2 45 m 1 A(1; 1) (m ) (2m ) . Suy ra (1,0) 2 2 2 m 4 A(4;5) Bài 4 (4đ) A B B C C A Chứng minh M tan .tan tan .tan tan .tan 1 (1,0) 2 2 2 2 2 2 A B C 3 AD bất đẳng thức Cô si ta có 1 M 33 tan2 tan2 tan2 2 2 2 3 P2 (1,5) Suy ra P2 27 P 3 3 , P 3 3 A B C Vậy MinP 3 3 (1,5) HẾT