Đề thi chọn học sinh giỏi vòng 1 môn Toán Lớp 10 - Năm học 2020-2021 (Kèm hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi vòng 1 môn Toán Lớp 10 - Năm học 2020-2021 (Kèm hướng dẫn chấm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHềNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VềNG 1 TRƯỜNG THPT TRẦN NGUYấN HÃN LỚP 10 - NĂM HỌC 2020-2021 Mụn: Toỏn ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi cú 01 trang) Thời gian bàm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề Họ, tờn thớ sinh: . Số bỏo danh: . Cõu I (4,0 điểm). 1. Cho hàm số y = x2 + 2x- 3 cú đồ thị là parabol (P). a. Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số (P). b. Dựa vào đồ thị (P) vừa vẽ trờn hóy tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh x2 + 2x- 3 + m = 0 cú 4 nghiệm phõn biệt. 2. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để hàm số y (2m 1)x2 2mx m 2 đồng biến trờn khoảng(1; ) . Cõu II (2,0 điểm). 16 Cho số thực a 0 và hai tập hợp A ;4a, B ; . Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của a để a A B  . Cõu III (4,0 điểm). x- 4 x2 - 3x + 2 = 0 1) Giải phương trỡnh ( ) . x- m x- 2 2) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để phương trỡnh + = 2 vụ nghiệm. x- 1 x + 1 Cõu IV (2,0 điểm). ùỡ x + 2y = 4- m Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để hệ phương trỡnhớù cú nghiệm thỏa x2 + y2 = 5 ợù 2x- y = 3m + 3 . Cõu V (4,0 điểm). Cho tam giỏc ABC cú điểm G là trọng tõm.    1) Phõn tớch vộctơ AG theo hai vộctơ AB và AC .    uuur uuur uuur r 2) Điểm N thỏa món NB 3NC 0 chứng minh đẳng thức : 6GN + 5AB- 7AC = 0 . PA 3) Gọi P là giao điểm của AC và GN , tớnh tỉ số . PC Cõu VI (2,0 điểm). Cho cỏc số dương a,b,c thỏa món điều kiện abc = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức bc ca ab P = + + a2b + a2c b2a + b2c c2a + c2b Hết Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. Họ tờn, Chữ kớ của cỏn bộ coi thi:
2. ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Cõu I 1. Cho hàm số (P): y = x2 + 2x- 3 . 3,0 a. Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số. b. Dựa vào đồ thị vừa vẽ trờn hóy tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh x2 + 2x- 3 + m = 0 cú 4 nghiệm phõn biệt. • Ta cú : 0,5 b = 1 và = 4. 2a 4a • Vậy, đồ thị hàm số là một parabol cú đỉnh S( 1; 4), nhận đường thẳng 0,5 x = 1 làm trục đối xứng và hướng bề lừm lờn trờn. • Bảng biến thiờn: x 1 + 0,5 + 4 + y • Đồ thị: Đồ thị đi qua 2 điểm A( 3; 0), B(1; 0). 0,5 c.
3. ùỡ f (x) ; f (x)³ 0 • Ta cú y = f (x) = ớù . Từ đú suy ra cỏch vẽ đồ thị hàm số ù ợù - f (x) ; f (x) 2 Cõu 2 16 2,0 Cho số thực a 0 và hai tập hợp A ;4a, B ; . Tỡm a để AầB = ặ a Ta cú : AầB = ặ khi và chỉ khi 0,5
4. 16 4a a 2 0,25 16 4a 0 a 0,25 2 16 4a 0 (Vỡ a 0 ) 0,25 a2 4 0,25 a 2 0,25 a 2 Kết hợp với a 0 thỡ a 2 0,25 Kết luận với a ( ; 2) thỡ AầB = ặ. Cõu 3 4,0 x- 4 x2 - 3x + 2 = 0 2,0 1)Giải phương trỡnh ( ) (1) 0,5 Điều kiện x ³ 4 ộx- 4 = 0 Ta cú (1)Û ờ 0,5 ờ 2 ởx - 3x + 2 = 0 ộx = 4 ờ Û ờx = 1 0,5 ờ ờ ởx = 2 0,25 Û x = 4vỡ x ³ 4 . Kết luận: Phương trỡnh cú một nghiệm x = 4. 0,25 2)Tỡm m để phương trỡnh sau vụ nghiệm: 2,0 x- m x- 2 + = 2 (1) x- 1 x + 1 • Điều kiện: x 1. 0,5 0,25 Ta cú (1) suy ra (m + 2)x = 4 m. (2) • Trường hợp 1: Nếu m + 2 = 0 m = 2 thỡ 0,5 (2) 0x = 6, mõu thuẫn phương trỡnh vụ nghiệm. • Trường hợp 2: Nếu m 2 0 m 2 thỡ: 4 m (2) x = . m 2 0,5 Do đú (1) vụ nghiệm khi và chỉ khi 4 m 4 m 1 hoặc 1 m 2 m 2 GPT tỡm được m = 1. • Vậy với m = 2 hoặc m = 1 phương trỡnh (1) vụ nghiệm. 0,25 Cõu 4 2,0 ùỡ x + 2y = 4- m Cho hệ phương trỡnh ớù ợù 2x- y = 3m + 3 Tỡm m để hệ cú nghiệm thỏa x2 + y2 = 5 1 2 Nhận xột : ạ nờn hệ cú nghiệm với mọi m 2 - 1 0,5
5. ùỡ x = m + 2 0,5 Giải hệ cú nghiệm ớù ợù y = 1- m 0,5 Tớnh x2 + y2 = 2m2 + 2m + 5 Ta cú 2m2 + 2m + 5 = 5 0,25 ộm = 0 Û ờ 0,25 ởờm = - 1 Cõu 5 Cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G 4,0    1) Phõn tớch vộctơ AG theo hai vộctơ AB và  AC . 2) Điểm N thỏa món NB 3NC 0 chứng minh đẳng thức: uuur uuur uuur r 6GN + 5AB- 7AC = 0 PA 3) Gọi P là giao điểm của AC và GN , tớnh tỉ số . PC Gọi M là trung điểm của BC 1) Ta cú : 0,5  2  AG AM 3 A 2 1  1  AB AC 0,5 3 2 2 G 1  1  P AB AC N 3 3 B M C 0,5 1) Ta cú    1   GN GM MN AM BC 0,5 3 1     AB AC AC AB 0,25 6 7  5  AC AB 0,25 6 6     6GN 5AB 7AC O 0,5   2) Đặt AP k AC .     1   GP AP AG k AC AB AC 3 0,25 1  1  k AC AB . 3 3 0,25  5  7  Theo 2) cú GN AB AC 6 6   Ba điểm G, P, N thẳng hàng nờn hai vectơ GP,GN cựng phương 1 1 1 k k 2 1 7 4  4  0,25 3 3 3 k k AP AC 7 5 7 5 3 15 5 5 6 6 6
6. 4 PA AP AC 4 5 PC 0,25 Cõu 6 Cho cỏc số dương a,b,c thỏa món điều kiện abc = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 2,0 biểu thức bc ca ab P = + + a2b + a2c b2a + b2c c2a + c2b 1 1 1 1 1 1 bc ca ab 2 2 2 2 2 2 P = + + =a b c = a b c 2 + 2 2 + 2 2 + 2 b c a c a b 1 1 1 1 1 1 a b a c b a b c c a c b 0,5 bc ac ab b c c a a b 1 1 1 Đặt x , y , z . a b c Do abc = 1 xyz = 1 và a,b,c dương suy ra x,y,z dương. Ta cú 0,5 x2 y2 z2 P y z z x x y Áp dụng bất đẳng thức Cụsi, ta cú x2 y z y2 z x z2 x y x , y , z y z 4 z x 4 x y 4 0,5 x y z x y z 3 3 P x y z P 3 xyz 2 2 2 2 Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1. 3 Vậy P khi x = y = z = 1 min 2 0,5