Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Sở Giáo dục đào tạo Hà Nam

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Sở Giáo dục đào tạo Hà Nam

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TP HÀ NAM LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 27/3/2021 Thời gian làm bài :150 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776. Câu 1(3,0 điểm). Cho biểu thức x 2 x x x x 6 x 1 x 39 Q x x x . ; 0; 1; 4 . x 4 x x 2 1 x x 3 x 10 a.Rút gọn biểu thức Q b.Tìm x để Q lớn nhất 1 Câu 2(2,0 điểm).Trong mặt phẳng Oxy cho (P ): y x2 ;( d ): y mx 2 với m là 2 tham số.Tìm m để (d) cắt (P)tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 5. Câu 3(4,0 điểm). a.Giải phương trình x22 5 x 11 ( x 7) 2 x 1 x y( y 1) x22 y 2 b.Giải hệ phương trình xy22 44 x y 11 y x 2 ab 2021 Câu 4(2,0 điểm). Tìm số tự nhiên a,b,c thỏa là số hữu tỷ và là số bc 2021 nguyên tố a2 b 2 c 2 Câu 5(7,0 điểm). 1.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại J, EF cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). a) Chứng minh tam giác APQ cân b) Chứng minh DH.DA = DE. DF c) Lấy điểm M đối xứng với điểm P qua AB, điểm N đối xứng với điểm Q qua AC. Chứng minh MN//BC. 2. Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC, (I) tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB lần lượt tại các điểm D, E, F. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh các đường thẳng AM, EF, DI đồng quy.
2. Câu 6(2,0 điểm).Cho a,b,c là ba số thực dương tùy ý.Chứng a b c 32 minh ab b2 bc c 2 ca a 2 2 BÀI GIẢI Câu 1(3,0 điểm). Cho biểu thức x 2 x x x x 6 x 1 x 39 Q x x x . ; 0; 1; 4 . x 4 x x 2 1 x x 3 x 10 a.Rút gọn biểu thức Q b.Tìm x để Q lớn nhất BÀI GIẢI TỰ 1 Câu 2(2,0 điểm).Trong mặt phẳng Oxy cho (P ): y x2 ;( d ): y mx 2 với m là 2 tham số.Tìm m để (d) cắt (P)tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 5. BÀI GIẢI TỰ Câu 3(4,0 điểm). a.Giải phương trình x22 5 x 11 ( x 7) 2 x 1 x y( y 1) x22 y 2 b.Giải hệ phương trình xy22 44 x y 11 y x 2 BÀI GIẢI a.Ta có .Đặt a 2 x2 1; b x 7 phương trình tương đương với a2 5 b 25 ab ( a b )( a b 5) 0.Khi đó có x. ab 2021 Câu 4(2,0 điểm). Tìm số tự nhiên a,b,c thỏa là số hữu tỷ và bc 2021 a2 b 2 c 2 là số nguyên tố BÀI GIẢI a b2021 x Đặt , ta có xb−cx 2021 =ya−by 2021 bc 2021 y a b x ⇒xb−ya=(-yb+cx) 2021 ⇒xb−ya=cx-yb=0⇒ ac b2 ( do là b c y số v tỉ.Ta có abca2 2 2 22 bcba 2 2 2 2 2 accb 2 2 ( acbabc )( ). Do là số nguyên tố nên a+c−b=1 hay a+c=b+1
3. a2 c 22 b 2 b 2 2 b 1 ( b 1) 2 a 2 c 2 2 0, do a,b,c nguyên dương nên a=b=c=1 Câu 5(7,0 điểm). 1.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại J, EF cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). a) Chứng minh tam giác APQ cân b) Chứng minh DH.DA = DE. DF c) Lấy điểm M đối xứng với điểm P qua AB, điểm N đối xứng với điểm Q qua AC. Chứng minh MN//BC. 2. Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC, (I) tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB lần lượt tại các điểm D, E, F. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh các đường thẳng AM, EF, DI đồng quy. BÀI GIẢI 1c.Gọi G, I là giao của CF và BE với (O). Dễ thấy ΔAMN cân tại A nên MN//BC thì ta cần chứng minh AH phân giác góc MAN. Kết hợp với ΔΔAGH,ΔAHI cân tại A nên ta cần chứng minh gócGAP=gócIAQ⇒PG=IQG. PG FP IQ QE Mà ; nên để PG=IQ thì cần chứng minh QC FC BP BE PB FP BE FP AE BP AE . .Từ đó cần chứng minh QC FC QE QE FA AQ QE AG AE AP AE (hiển nhiên đúng) QC QE QC QE BÀI GIẢI 2.Gọi S là giao điểm của DI với EF, M' là giao điểm của AS với BC. Qua S kẻ đường thẳng song song với BC ,cắt AB và AC lần lượt tại G và N .Dễ dàng chứng
4. minh được tam giác ING cân suy ra S là trung điểm NG nên M' là trung điểm của BC .Do đó M' trùng với M Câu 6(2,0 điểm).Cho a,b,c là ba số thực dương tùy ý.Chứng a b c 32 minh ab b2 bc c 2 ca a 2 2 BÀI GIẢI Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức, ta a b c() a b c 2 được: .Ta abb 2 bcc 2 caa 2 aabb 2 bbcc 2 ccaa 2 2 cần chứng minh: aabb 2 bbcc 2 ccaa 2 () abc 2 . 3 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: aab b2 bbc c 2 cca a 2 a b c 2b ( a b ) 2 c ( c b ) 2 a ( a c ) 2 2 2 aa 3 b bb 3 c cc 3 a ( abc )2 abbcac 22 2 2 2 2 2 2 ()a b c 2 a b c 2 () 2 3 ()a b c 2 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh 22 3 .Đẳng thức xảy ra khi a = b = c