Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Nguyễn Lộc Vân Hà

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Nguyễn Lộc Vân Hà

1. NGUYÔN LéC V¡N Hµ ®Ò thi chän häc sinh giái Đề số 1 n¨m häc 2012-2013 ®Ò chÝnh thøc M«n To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10 b) A a 1 a 3 a 5 a 7 15 C©u 2. x 3 x 6 x 1 1 . 3 2 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau: x 2 4 3 2 2 b) T×m x; y biÕt: x2 - y2 + 2x - 4y-10 =0 víi x,y nguyªn d­¬ng. C©u 3: Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức: a b 2c A ab a 2 bc b 1 ac 2c 2 C©u 4: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 2 y 2 xy x y 1 b) Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hãy tính x2 + y2 C©u 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F. a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của ABC để cho AEMF là hình vuông. 1
2. NGUYÔN LéC V¡N Hµ ®Ò thi chän häc sinh giái Đề số 2 n¨m häc 2012-2013 ®Ò chÝnh thøc M«n To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b) x5 + x +1 c) x4 + 4 d) xx - 3x + 4x -2 với x 0 C©u 2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau: x 17 x 21 x 1 a) 4 1990 1986 1004 b) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1 1 c) = + + (x là ẩn số) a b x a b x C©u 3: a) T×m sè d­ trong phÐp chia cña biÓu thøc x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho ®a thøc x2 10x 21 . b) Tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = x4 3x3 ax b chia heát cho ña thøc B(x) x2 3x 4 C©u 4: x y z a b c x2 y2 z2 a)Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1 . a b c x y z a2 b2 c2 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã . C©u 5: Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. 2
3. NGUYÔN LéC V¡N Hµ ®Ò thi chän häc sinh giái Đề số 3 n¨m häc 2012-2013 ®Ò chÝnh thøc M«n To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi 120 phót Bµi 1: (3 ®iÓm) 1 3 x 2 1 A : Cho biÓu thøc 2 2 3 x 3x 27 3x x 3 a) Rót gän A. b) T×m x ®Ó A < -1. c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2: (4 ®iÓm) a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 1 6y 2 3y 2 10y 3 9y 2 1 1 3y b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A= (x 16)(x 9) x Bµi 3: (3 ®iÓm) Mét xe ®¹p, mét xe m¸y vµ mét « t« cïng ®i tõ A ®Õn B. Khëi hµnh lÇn l­ît lóc 5 giê, 6 giê, 7 giê vµ vËn tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 35 km/h vµ 55 km/h. Hái lóc mÊy giê « t« c¸ch ®Òu xe ®¹p vµ xe m¸y. Bµi 4: (4 ®iÓm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: ab(a b) ac(a c) bc(2a b c) b) tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = x4 3x3 ax b chia heát cho ña thöùc B(x) x2 3x 4 Bài 5: (6®iÓm) 1) Cho ®o¹n th¼ng AB, M lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ B. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ c¸c h×nh vu«ng ACDM vµ MNPB. Gäi K lµ giao ®iÓm cña CP vµ NB. CMR: a) KC = KP b) A, D, K th¼ng hµng. c) Khi M di chuyÓn gi÷a A vµ B th× kho¶ng c¸ch tõ K ®Õn AB kh«ng ®æi. 2) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, ba ®­êng cao AA”, BB’, CC’ ®ång quy t¹i H. HA' HB' HC' CMR: b»ng mét h»ng sè. AA' BB' CC' 3
4. NGUYÔN LéC V¡N Hµ ®Ò thi chän häc sinh giái Đề số 4 n¨m häc 2012-2013 ®Ò chÝnh thøc M«n To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi 120 phót Bài 1: (4đ) x2 y2 x y a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = 3( ) 5 (víi x, y kh¸c 0) y2 x2 y x b) Tìm giá trị nguyên của x để A  B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng x y 2 x y 0 y 3 1 x3 1 x 2 y 2 3 4x2 2x 1 d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x2 Bài 2: (2đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 1 1 1 1 b) 8(x )2 4(x2 )2 4(x2 )(x )2 (x 4)2 x x2 x2 x Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. 4
5. NGUYÔN LéC V¡N Hµ ®Ò thi chän häc sinh giái Đề số 5 n¨m häc 2012-2013 ®Ò chÝnh thøc M«n To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi 120 phót 1 a2 1 4a 2b 2 Bài 1. Cho biÓu thøc: A 3 2 : 3 2a b 2a b 2a a b a b ab a a. Rót gän A b. TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt 4a2 + b2 = 5ab vµ a > b > 0 Bài 2 a) Cho a + b = 1. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) b) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. c) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng : a b c A = 3 b c a a c b a b c Bài 3 Cho tam giác ABC, ba đường phân giác AN, BM, CP cắt nhau tại O. Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4,7,5 a) Tính NC biết BC = 18 cm b) Tính AC biết MC - MA = 3cm AP BN CM c) Chứng minh . . 1 PB NC MA Câu 4 ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD. Qua A kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q và S. 1, Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân. 2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS . Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. 3, Chứng minh P là trực tâm SQR. 4, MN là trung trực của AC. 5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng. 5
6. NGUYÔN LéC V¡N Hµ ®Ò thi chän häc sinh giái Đề số 6 n¨m häc 2012-2013 ®Ò chÝnh thøc M«n To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi 120 phót Bài 1: ( 6 điểm ) a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 x.y + x + y ( với mọi x ;y) b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = x 2 x 3 x 2 x 2 Bài 2. (8đ) Cho hình vuông ABCD . Gọi E là 1 điểm trên cạnh BC . Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE . Ax cắt CD tại F . Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G . Chứng minh : a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi . b) AEF ~ CAF và AF2 = FK.FC c) Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi . Bài 3 (3điểm): Tìm dư của phép chia đa thức x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1 Bài 4( 3điểm) Trong hai số sau đây số nào lớn hơn: a = 1969 1971 ; b = 2 1970 6
7. NGUYÔN LéC V¡N Hµ ®Ò thi chän häc sinh giái Đề số 7 n¨m häc 2012-2013 ®Ò chÝnh thøc M«n To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi 120 phót Bài 1: ( 6 điểm ) a, Chứng minh rằng x 3 y 3 z 3 x y 3 3xy. x y z 3 1 1 1 yz xz xy b, Cho 0. Tính A x y z x 2 y 2 z 2 Bài 2 : (8đ). Gäi H lµ h×nh chiÕu cña ®Ønh B trªn ®­êng chÐo AC cña h×nh ch÷ nhËt ABCD; M, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AH vµ CD. a) Gäi I vµ O theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB vµ IC. Chøng minh: 1 MO IC 2 b) TÝnh sè ®o gãc BMK? c) Gäi P vµ Q lÇn l­ît lµ 2 ®iÓm thuéc ®o¹n BM vµ BC. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña P vµ Q ®Ó chu vi tam gi¸c PHQ cã gi¸ trÞ nhá nhÊt? Bài 3 (3điểm): 2x 1 Tìm giá trị lớn nhất của biẻu thức: M x2 2 Bài 4( 3điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: yx2 +yx +y =1. 7
8. NGUYÔN LéC V¡N Hµ ®Ò thi chän häc sinh giái Đề số 8 n¨m häc 2012-2013 ®Ò chÝnh thøc M«n To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi 120 phót Bài 1: ( 6 điểm ) a)Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 27 12x x 2 9 1 1 1 b) Cho B = b2 c2 - a 2 c2 a 2 - b2 a 2 b2 - c2 Rút gọn biểu thức B, biết a + b + c = 0. Bài 2 : (6 điểm). Cho Tam giác ABC vuông cân ở A. Điểm M trên cạnh BC. Từ M kẻ ME vuông góc với AB, kẻ MF vuông góc với AC ( E AB ; F AC ) a. Chứng minh: FC .BA + CA . B E = AB2 và chu vi tứ giác MEAF không phụ thuộc vào vị trí của M. b. Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác MEAF lớn nhất. c. Chứng tỏ đường thẳng đi qua M vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định Bài 3 (5 điểm): a) Cho a 4; ab 12. Chứng minh rằng C = a + b 7 b) Chứng minh rằng số: 1 1 1 1 a = , n Z không phải là một số nguyên. 1.2 2.3 3.4 n.(n+1) + Bài 4( 3điểm). Cho hai bất phương trình: 3mx-2m > x+1 (1) m-2x < 0 (2) Tìm m để hai bất phương trình trên có cùng một tập nghiệm 8
9. NGUYÔN LéC V¡N Hµ ®Ò thi chän häc sinh giái Đề số 9 n¨m häc 2012-2013 ®Ò chÝnh thøc M«n To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi 120 phót Bài 1: ( 5 điểm ) a) Cho a, b > 0 và a+b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = (1+ 1 )2 + (1+1 )2 a b b) Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c = 3 . 2 3 Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 . 4 Bài 2 : (8đ). Cho hình chữ nhật ABCD . Trên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng của C qua P. Gọi O là giao điểm của AC và BD. a) Tứ giác AMDB là hình gi? b). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AD, AB. Chứng minh: EF // AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng. c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P. PD 9 d) Gi¶ sö CP  BD vµ CP = 2,4 cm, . TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ PB 16 nhËt ABCD. Bài 3 (4điểm): Giải phương trình: 1) (x+1)4 + (x+3)4 = 16 x 1001 x 1003 x 1005 x 1007 2) 4 1006 1004 1002 1000 Bài 4( 3 điểm). a. Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120 b. Chứng tỏ đa thức A chia hết cho 24 9
10. NGUYÔN LéC V¡N Hµ ®Ò thi chän häc sinh giái Đề số 10 n¨m häc 2012-2013 ®Ò chÝnh thøc M«n To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi 120 phót Bài 1: ( 4 điểm ). Chứng minh rằng: a) 85 + 211 chia hết cho 17 b) 1919 + 6919 chia hết cho 44 Bài 2 : (6 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF. 1.Chứng minh CE vuông góc với DF. 2.Chứng minh MAD cân. 3.Tính diện tích MDC theo a Bài 3 (5 điểm): 2 a) Rút gọn biểu thức: x x 6 x3 4x2 18x 9 1 1 1 yz xz xy b) Cho 0(x, y, z 0) . Tính x y z x2 y2 z2 Bài 4 (5 điểm). a) Cho hai số x, y thoã mãn điều kiện 3x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3x2 + y2 b) Cho các số dương a, b, c có tích bằng 1 Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8 10
11. Một số đáp án 3 1 3ab 1 312 1 Ta có: C = a + b = (a b) a 2 a 2  4 7 (ĐPCM) 4 4 4 4 4 4 Ta có: 19702 – 1 0. (1) y(x2 + x +1) = 1 y= 1 y = 1 ,x= 0 x2 + x +1 =1 Vậy nghiệm của phương trình trên là (x,y) = (0 ,1). (1đ) 11
12. Bài 1:(2 điểm) Ta có: a + b + c = 0 b + c = - a. Bình phương hai vế ta có : (b + c)2 = a2 b2 + 2bc + c2 = a2 b2 + c2 - a2 = -2bc Tương tự, ta có: c2 + a2 - b2 = -2ca a2 + b2 - c2 = -2ab 1 1 1 -(a+b+c) A = - - - = =0 (vì a + b + c = 0) 2bc 2ca 2ab 2abc Vậy A= 0. 1) Đặt y = x + 2 ta được phương trình: (y – 1)4 + (y +1)4 = 16 2y4 + 12y2 + 2 = 16 y4 + 6y2 -7 = 0 Đặt z = y2 ta được phương trình: z2 + 6z – 7 = 0 có hai nghiệm là z1 = 1 và z2 = -7. 2 y = 1 có 2 nghiệm y1 = 1 ; y2 = -1 ứng với x1 = -1 ; x2 = -3. y 2 = -7 không có nghiệm. x 1001 x 1003 x 1005 x 1007 2) 4 1006 1004 1002 1000 x 1001 x 1003 x 1005 x 1007 1 1 1 1 0 1006 1004 1002 1000 x 2007 x 2007 x 2007 x 2007 0 1006 1004 1002 1000 1 1 1 1 (x 2007) 0 (x 2007) = 0 1006 1004 1002 1000 1 1 1 1 Vì 0 x 2007 1006 1004 1002 1000 Bài 3:(1,5 điểm) Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 a = 1 2 2 3 3 4 n n+1 1 n = 1 = 1 ; n+1 n+1 Mặt khác a > 0. Do đó a không nguyên Bài 1: a. A = x4 – 14x3+ 71x2- 154 x + 120 Kết quả phân tích A = ( x –3) . (x-5). (x-2). (x-4) b. A = (x-3). (x-5). (x-2). (x-4) => A= (x-5). (x-4). (x-3). (x-2) L à tích của 4 số nguyên liên tiêp nên A  24 12
13. Bài 4: Giải a. chứng minh được F C . BA + CA. BE = AB2 (0,5 điểm ) + Chứng minh được chu vi tứ giác MEAF = 2 AB ( không phụ vào vị trí của M ) ( 0,5 điểm ) b. Chứng tỏ được M là trung điểm BC Thì diện tích tứ giác MEAF lớn nhất (1 điểm ) c. Chứng tỏ được đường thẳng MH  EF luôn đi qua một điểm N cố định ( 1 điểm ) a) (1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17 Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17. b) (1,5đ) áp dụng hằng đẳng thức: an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - - abn-2 + bn-1) với mọi n lẽ. Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 + + 6918) = 88(1918 – 1917.69 + + 6918) chia hết cho 44. 1 1 1 1 1 1 0 x y z z x y 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3. 2 . 3 . 2 3 z x y z x x y x y y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 . . 3 3 3 3. x y z x y x y x y z xyz 1 1 1 xyz xyz xyz yz zx xy Do đó : xyz( + + )= 3 3 3 x3 y3 z3 x3 y3 z3 x2 y2 z2 13