Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Phòng giáo dục và đào tạo Huyện Trực Ninh

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Phòng giáo dục và đào tạo Huyện Trực Ninh

1. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TRỰC NINH NĂM HỌC 2020-2021 MễN TOÁN LỚP 7 (Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian làm bài 120 phỳt, khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Cõu 1(4 điểm). 7.1410.2 1024.21.710 a) Tớnh giỏ trị biểu thức: A 10.28.79.98 285.76 1 1 1 1 1 b) Tớnh: B 1 . 1 . 1 1 . 1 4 9 16 100 121 c) Tỡm x biết: x + 1 + x + 2 + x + 3 + + x + 100 = 605x Cõu 2 (4 điểm). 2x 1 3y 2 a) Tỡm x, y biết : và x y 2 5 3 b) Cho a, b, c là cỏc số thực khỏc 0. Tỡm cỏc số thực x, y, z khỏc khụng xy yz zx x2 y2 z2 thỏa món: ay bx bz cy cx az a2 b2 c2 Cõu 3 (2 điểm) 102021 539 a) Chứng minh rằng cú giỏ trị là một số tự nhiờn. 9 b) Chứng minh đa thức sau khụng cú nghiệm A x12 x9 x8 x7 x6 x3 1 Cõu 4 (8,0 điểm) Cho ABC vuụng tại A cú Bà 2Cà . Kẻ AH  BC(H BC) . Trờn tia HClấy D sao cho HD HB . Từ Ckẻ đường thẳng CE vuụng gúc với đường thẳng AD (E AD) . a) Tam giỏc ABD là tam giỏc gỡ? Vỡ sao? b) Chứng minh DH DE;HE / / AC c) So sỏnh HE 2 và (BC 2 AD2 ) : 4 d) Gọi K giao AH và CE , lấy điểm I bất kỡ thuộc đoạn thẳng HE 3 I khỏc H ; I khỏc E . Chứng minh AC IA IK IC 2 Cõu 5 (2 điểm) Tỡm x nguyờn biết : x - 1 + x - 2 + x - 3 + + x - 90 = 2025 ___Hết___
2. HềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TRỰC NINH NĂM HỌC 2020-2021 MễN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phỳt, khụng kể thời gian giao đề) Cõu í Hướng dẫn Điểm Cõu 1 7.1410.2 1024.21.710 7.(2.7)10.2 210.3.7.710 (4 8 9 5 6 8 9 2 2 5 6 0,5 điểm) 10.2 .7 .98 28 .7 5.2.2 .7 .2.7 (2 .7) .7 7.210.710.2 210.3.7.710 211.711 210.3.711 a 0,5 5.2.28.79.2.72 (22.7)5.76 5.210.711 210.711 10 11 2 .7 (2 3) 5 0,25 210.711( 5 1) 4 1 1 1 1 1 3 8 15 99 120 1 . 1 . 1 1 . 1 . . . 4 9 16 100 121 4 9 16 100 121 0,5 Nhận xột: Tớch trờn cú chẵn cỏc thừa số õm b 3.8.15 99.120 1.3.2.4.3.5 9.11.10.12 0,5 4.9.16 100.121 2.2.3.3.4.4 10.10.11.11 1.2.3 9.10 3.4.5 11.12 1 12 6 . . 0,5 2.3.4 10.11 2.3.4 10.11 11 2 11 ùỡ x + 1 ³ 0; " x ù ù x + 2 ³ 0; " x Vỡ ớù ù ù ù ợù x + 100 ³ 0; " x 0,25 ị x + 1 + x + 2 + x + 3 + + x + 100 ³ 0 ;" x Mà x + 1 + x + 2 + x + 3 + + x + 100 = 605x ị 605x ³ 0 c ị x ³ 0 ùỡ x + 1 = x + 1 ù ù x + 2 = x + 2 Khi đú ớù 0,25 ù ù ợù x + 100 = x + 100 Ta cú x 1 x 2 x 3 x 100 605x 0,25 (1 100).100 100x 605x 0,25 2
3. (1 100).100 100x 605x 2 505x=5050 0,25 x=10 KL: Cõu 2 Áp dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ta cú (4 2x 1 3y 2 6x 3 6y 4 6x 3 6y 4 6(x y) 7 0,5 điểm) = 5 3 15 6 15 6 21 6.2 7 5 (vỡ x + y = 2) 0,25 21 21 2x 1 5 23 x a 5 21 42x 21 25 42x 46 21 0,5 3y 2 5 63y 42 15 63y 57 57 y 3 21 63 23 x 21 Vậy 0,25 57 y 63 xy yz zx Từ ay bx bz cy cx az xyz yzx zxy 0,25 ayz bxz bzx cyx cxy azy (vỡ x, y, z là cỏc số khỏc 0) ayz bxz bzx cyx bzx cyx cxy azy 0,25 ayz bxz cxy azy b ayz cyx az cx bzx azy bx ay (vỡ x, y, z là cỏc số khỏc 0) 0,25 bxz cxy bz cy x z a c y x x y z 0,25 b a a b c z y c b
4. x ak x y z Đặt k (k 0) y bk thay vào đề bài ta cú 0,25 a b c z ck ak.bk (ak)2 (bk)2 (ck)2 abk bak a2 b2 c2 0,5 k k 2 (a2 b2 c2 ) k 2 2 a2 b2 c2 1 k 2k 2 k(1 2k) 0 k vỡ k 0 0,5 2 1 x a 2 1 y b 0,25đ 2 1 z c 2 102021 539 Chứng minh rằng cú giỏ trị là một số tự nhiờn. 9 0,25 102021 539 100 00000 539 100 00539 Ta cú a 9 9 9 Trong đú số 100 00539 là số cú tổng cỏc chữ số chia hết cho 9 nờn số đú chia hết cho 9. 102021 539 0,5 Vậy cú giỏ trị là một số tự nhiờn 9 A x12 x9 x8 x7 x6 x3 1 Cõu 3 0.25 Ta cú x12; x8; x6 0 với mọi x (*) (2 điểm) x12 x9  x12 x9 0 8 7 8 7 +) Nếu x 1 khi đú x x  x x 0  suy ra 6 3 6 3 0,25 x x  x x 0  b A x12 x9 x8 x7 x6 x3 1 1 >0 +) Nếu x 0 khi đú –x9; -x7; -x3 0 kết hợp với (*) ta cú 0,25 A x12 x9 x8 x7 x6 x3 1 1 >0 +) Nếu 0 0, 1-x3 > 0 kết hợp với (*) suy ra A x12 x9 x8 x7 x6 x3 1>0
5. Vậy đa thức đó cho khụng cú nghiệm với mọi x 0,25 Cõu 4 (8,0 điểm) Hỡnh vẽ: K B H I E D A M C x Cõu a) ABD là tam giỏc gỡ? Vỡ sao? (1,5 điểm) Chứng minh ABD cú đường vuụng gúc AH đồng thời là đường trung 0,75 tuyến ứng với cạnh BD suy ra ABD cõn tại A à 0 0 Tớnh được gúc B 60 suy ra ABD cõn cú một gúc bằng 60 là tam 0,75 giỏc đều. Cõu b) Chứng minh DH DE ,HE / / AC (2,5 điểm) Tớnh được Cà 300 (1) 0,25 Tớnh được Cã AD 300 (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra ADC cõn tại D 0,25 1,5 Suy ra DA DC 0,25 Chứng minh được AHD CED (cạnh huyền - gúc nhọn) 0,25 Suy ra DH DE 0,25 Tớnh được ãADC 1200 0,25 Ta cú ãADC Hã DE (đối đỉnh) Suy ra Hã DE 1200 Tớnh được Dã HE 300 (3) 0,25 1,0 Từ (1), (3) suy ra ãACD Dã HE 0,25
6. Ta cú ãACD Dã HE (cmt)   HE / / AC 0,25 mà hai góc này ở vị trí so le trong (Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song) Cõu c) (2,0 điểm) So sỏnh HE 2 và (BC 2 AD2 ) : 4 Chứng minh AHE cõn tại H (tam giỏc cú 2 gúc bằng 300 0,5 Suy ra HA HE (4) Trong gúc ãAHC kẻ tia Hx cắt AC tại M sao cho ãAHM 600 Chứng minh được HMC cõn tại M 0,25 Suy ra MH MC (5) Chứng minh được AHM đều 0,25 Suy ra AH HM MA (6) 2 AC 2 AC Từ (4), (5) và (6) suy ra HE HE 0,25 2 2 BC 2 AD2 AB2 AC 2 AD2 Ta cú lại cú (vỡ BC 2 AB2 AC 2 ) 4 4 0,5 2 2 AC AC 2 2 (Vỡ AB AD ) 4 2 BC 2 AD2 Suy ra HE 2 0,25 4 3 Cõu d) (2 điểm) Chứng minh AC IA IK IC 2 Chứng minh KAC đều (tam giỏc cú 2 gúc bằng 600 ) 0,5 Suy ra AK KC AC Xột IKA cú IK IA AK (bất đẳng thức ) Xột IKC cú IK IC KC (bất đẳng thức )  0,5 Xột ICA cú IC IA AC (bất đẳng thức ) Suy ra IK IA IK IC IC IA AK KC AC 0,5
7. => 2.IA 2.IK 2.IC 3.AC (vỡ AC AK KC ) => 2.(IA IK IC) 3.AC 3 3 0,5 => IA IK IC AC . Vậy .AC IA IK IC (ĐPCM) 2 2 Cõu 5. Tỡm x nguyờn sao cho: x - 1 + x - 2 + x - 3 + + x - 90 = 2025 Cõu 5 ỹ x - 1 ³ x - 1 ;" x ù (2,0 ù x - 2 ³ x - 2 ;" x ù điểm) ù ù ù x - 45 ³ x - 45 ;" xù ýù 0,25 x - 46 ³ 46- x ;" xù ù x - 47 ³ 47 - x ;" x ù ù ù ù x - 90 ³ 90- x ;" xỵù x 1 x 2 x 3 x 90 0,25đ x 1 x 2 x 45 46 x 47 x 90 x ;x (1 45).45 (46 90).45 x 1 x 2 x 3 x 2020 2 2 0,5đ x 1 x 2 x 3 x 90 2025 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x - 1 = x - 1 ùỹ ù x - 1³ 0 ùỹ ù ù x - 2 = x - 2 ù x - 2 ³ 0 ù ù ù ù ù ù ù ù ù x - 45 = x - 45 ù x - 45³ 0ù ýù ị ùýị 45Ê x Ê 46 x - 46 = 46- x ù x - 46 Ê 0ù ù ù x - 47 = 47 - x ù x - 47 Ê 0ù ù ù 0,5 ù ù ù ù ù x - 90 Ê 0ỵù x - 90 = 90- x ỵù Mà x là số nguyờn suy ra x 45;;46 0,5đ Chỳ ý: - Học sinh làm cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa.