Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 11 - Trường THPT Chu Văn An

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 11 - Trường THPT Chu Văn An

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VềNG TRƯỜNG TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN MễN: TOÁN Thời gian: 180 phỳt 3 2 Cõu 1(4 điểm). Cho hàm số y x 3x mx 2 (m là tham số) cú đồ thị là (Cm). Xỏc định m để (Cm) cú cỏc điểm cực đại và cực tiểu cỏch đều đường thẳng y x 1 . Cõu 2(4 điểm). ổ ử ỗ pữ 1)Giải phương trỡnh cosx + cos3x = 1+ 2 sinỗ2x + ữ ốỗ 4ứữ 2)Giải phương trỡnh x 4 x2 2 x 4 x2 Cõu 3(4 điểm). 2 y 2 3y 2 1)Giải hệ phương trỡnh x 2 x 2 3x 2 y u 1 1 2)Cho dóy số (u ) xỏc định như sau 1 (1). Chứng minh dóy số (u ) cú n u ,n 2 n n 3 u n 1 giới hạn hữu hạn khi n Cõu 4(2 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giỏc ABC cõn tại A , cú đỉnh A( 1;4) và cỏc điểm B, C thuộc đường thẳng : x y 4 0 . Xỏc định tọa độ điểm B và C, biết diện tớch tam giỏc ABC bằng 18. Cõu 5(3 điểm). 0 2 4 2014 2013 1) Chứng minh rằng 3C2014 5C2014 7C2014 2017C2014 1010.2 . 2) Cho tập A 1;2;3;4;5;6;7;8;9 . Lập ngẫu nhiờn một số cú 3 chữ số khỏc nhau với cỏc chữ số chọn từ tập A. Tớnh xỏc suất để số lập được chia hết cho 6. Cõu 6(3 điểm). Cho hỡnh chúp S.ABCD , đỏy AlàB CD hỡnh chữ nhật cú AB a ,, BC b SA SB SC SD c . K là hỡnh chiếu vuụng gúc của P xuống AC . a/ Tớnh độ dài đoạn vuụng gúc chung của SA và BK . b/ GọiM , N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK và CD . Chứng minh: Cỏc đường thẳng BM và MN vuụng gúc nhau Hết (Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. Học sinh khụng được sử dụng tài liệu)
2. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐAP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN VềNG TRƯỜNG 2017 MễN: TOÁN Thời gian: 180 phỳt Cõu Nội dung Điểm 1. Ta cú: y ' 3x2 6x m . 2 Hàm số cú CĐ, CT y ' 3x 6x m 0 cú 2 nghiệm phõn biệt x1; x2 ' 9 3m 0 m 3 (*) 1,0 Gọi hai điểm cực trị là A x1; y1 ; B x2 ; y2 1 1 2m m Thực hiện phộp chia y cho y ta được: y x y ' 2 x 2 3 3 3 3 2m m 2m m y1 y x1 2 x1 2 ; y2 y x2 2 x2 2 3 3 3 3 Phương trỡnh đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là : 2m m 1,0 y 2 x 2 3 3 Cỏc điểm cực trị cỏch đều đường thẳng y x 1 xảy ra 1 trong 2 trường hợp: TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trựng với đường thẳng 2m 3 1,0 y x 1 2 1 m (thỏa món) 3 2 TH2: Trung điểm I của AB nằm trờn đường thẳng y x 1 y1 y2 x1 x2 2m m yI xI 1 1 2 x1 x2 2 2 x1 x2 2 2 2 3 3 2m 2m 3 .2 6 m 0 3 3 3 Vậy cỏc giỏ trị cần tỡm của m là: m 0;  1,0 2 2. 1)PT Û 2cos2x cosx = 1+ sin 2x + cos2x Û cos2x(2cosx - 1) = 1+ 2sin x cosx 0,5 Û (cos2 x - sin2 x)(2cosx - 1) = (cosx + sin x)2 ộcosx + sin x = 0 (1) Û ờ ờ(cosx - sin x)(2cosx - 1) = cosx + sin x (2) ởờ ổ ử ỗ pữ p p 0,5 (1) Û 2 sinỗx + ữ= 0 Û x + = kp Û x = - + kp ốỗ 4ứữ 4 4 ộ ộ p ờcosx = 0 ờx = + kp ờ ổ ử ờ 2 (2) Û 2cosx(cosx - sin x - 1) = 0 Û ờ ỗ pữ Û ờ (k ẻ Â ) 2 cosỗx + ữ= 1 ờ p p ờ ốỗ 4ứữ ờx + = ± + k2p ởờ ở 4 4 p p 0,5 Vậy pt cú nghiệm là x = - + kp , x = + kp,x = k2p (k ẻ Â ). 4 2 2) Điều kiện 2 x 2
3. PT (x 2) (x 1) 4 x2 (x 2)2 (x 1)2(4 x2) 1,0 x(x 2)(x2 2) 0 x 0,x 2,x 2 Thử lại điều kiện thỏa món 0,5 3 1) ĐK: xy 0 3x2 y y2 2 (1) Hệ . Trừ vế hai phương trỡnh ta được 2 2 3y x x 2 (2) 2 2 2 2 x y 0 1,0 3x y 3xy y x 3xy(x y) (x y)(x y) 0 3xy x y 0 TH 1. x y 0 y x thế vào (1) ta được 3x3 x2 2 0 x 1 y2 2 x2 2 TH 2. 3xy x y 0 . Từ 3y y 0 , 3x x 0 x2 y2 3xy x y 0 . Do đú TH 2 khụng xảy ra. Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất (1 ; 1) 1,0 3 5 2)Chứng minh bằng phương phỏp qui nạp được u với mọi n = 1,2, n 2 Chứng minh được dóy (u ) giảm n 0,5 3 5 Do đú (un ) tồn tại giới hạn. Giả sử limun a thỡ a n 2 0,5 1 3 5 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) ta được a a2 3a 1 0 a 3 a 2 3 5 1,0 Vậy limun n 2 4. Gọi H là hỡnh chiếu của A trờn , suy ra H là trung điểm BC. 9 Khi đú: AH d(A, BC) 2 1 S BC.AH BC 4 2 ABC 2 BC 2 97 AB AC AH 2 4 2 97 Suy ra B và C thuộc đường trũn tõm A và bỏn kớnh R 1,5 2 Do đú B và C là giao điểm của và đường trũn nờn tọa độ điểm B và C là 97 (x 1)2 (y 4)2 nghiệm của hệ: 2 x y 4 0 11 3 3 5 3 5 11 3 Giải được: B ( ; ),C ( ; ) hoặc B ( ; ),C ( ; ) 1,5 2 2 2 2 2 2 2 2 5. 0 2 4 2014 A 3C2014 5C2014 7C2014 2017C2014 1) 2 4 2014 0 2 4 2014 2C2014 4C2014 2014C2014 3 C2014 C2014 C2014 C2014 0,5 0 2 4 2014 2013 Tớnh được C2014 C2014 C2014 C2014 2 k k 1 Chứng minh kC2014 2014C2013 ,k,n Ơ ,0 k n.
4. 2 4 2014 1 3 2013 2012 0,5 Suy ra, 2C2014 4C2014 2014C2014 2014 C2013 C2013 C2013 2014.2 0,5 Vậy A 2014.22012 3.22013 1010.22013 . 2) - Số chia hết cho 6 là số chia hết cho 3 và số đú là số chẵn. - Số chia hết cho 3 là số a1a2 a3 cú tổng ba chữ số (a1 a2 a3 ) chia hết cho 3. - Số chẵn là số chú chữ số tận cựng chia hết cho 2. Để lập được số cú 3 chữ số khỏc nhau từ tập A sao cho số đú chia hết cho 6 ta chia làm hai giai đoạn. 1/ chọn bộ ba chữ số khỏc nhau từ tạp A sao cho tổng 3 chữ số cộng lại chia hết cho 3 và trong ba chữ số đú cú ớt nhất 1 chữ số chẵn. 2/ Xếp mỗi bộ chọn được thành số cú 3 chữ số sao cho số tận cựng phảit là số chẵn. Để chọn và xếp khoa học ta nờn chia ra ba trường hợp nhỏ như sau: TH1: trong 3 chữ số chỉ cú một chữ số chẵn, gồm cú cỏc bộ số sau: 1;2;3 , 1;2;9 , 1;3;8 , 1;4;7 , 1;5;6 , 2;3;7, 2;7;9 , 3;4;5 , 3;6;9 , 3;7;8 , 4;5;9 , 5;6;7 , 7;8;9 . 1 Với trường hợp này: số cỏch chọn và xếp là: NTH1 C13 *1* 2*1 = 26 TH2: trong 3 chữ số chỉ cú hai chữ số chẵn, gồm cú cỏc bộ số sau: 1;2;6, 1;6;8 , 2;3;4 , 2;4;9 , 2;5;8 , 2;6;7 , 3;4;8, 4;5;6 , 4;8;9 6;7;8 Với trường hợp này số ccỏh chọn và xếp là: N C1 * 2* 2*1 = 40 TH 2 10 0,5 TH3: trong 3 chữ số chọn được đề là chữ số chẵn, gồm cú cỏc bộ số sau: 2;4;6 , 4;6;8 1 Với trường hợp này số ccỏh chọn và xếp là: NTH 3 C2 *3! = 12 Số cỏch chọn số cú 3 chữ số khỏc nhau sao cho số đú chia hết cho 6 là: NTH1 NTH 2 NTH 3 = 78 0,5 3 Phộp thử: lập số cú 3 chữ số khỏc nhau từ A n  A9 504 A: là biến cố lập được số cú ba chữ số khỏc nhau sao cho số đú chia hết cho 6. N(A) NTH1 NTH 2 NTH 3 N(A) 78 Xỏc suất của biến cố A: P(A) 0.155 N() 504 0,5 6. _S _D _N _C _K _M _O _A _B
5. a) + Theo giả thiết ta được: SO  ABCD SAC  ABCD . Mà BK  SAC và BBK  AC BK  SA . + Gọi H là hỡnh chiếu của K xuống SA HK  SA và HK  BK ( vỡ HK  SAC ) HK là đoạn vuụng gúc chung của SA và BK . Suy ra được: BH  SA và HBK vuụng tại K . 1,0 1 1 1 a 2b2 + Do ABC vuụng đỉnh A nờn: BK2 . BK2 AB2 BC2 a 2 b2 a 2 c2 .a SI.AB + SAB cõn đỉnh S , BH là đường cao nờn HB 4 SA c + Do HBK vuụng tại K nờn: (4c2 a 2 )a 2 a 2b2 HK2 HB2 BK2 4c2 a 2 b2 (4c2 a 2 b2 )a 4 a 2 (4c2 a 2 b2 ) HK2 HK 4c2 (a 2 b2 ) 2c (a 2 b2 )    b) + 2BM BA BK ( vỡM là trung điểm của AK ) 1,0     1    1  + MN MB BC CN (AB KB) BC BA 2 2  1   + MN KB BC . 2 + Do đú:       4BM.MN (BA BK).(KB 2BC)         = BA.KB 2BA.BC BK.KB 2BK.BC       = BA.KB BK.KB 2BK.BC     = KB.(BA BK 2.BC)      = KB.(BA BC BK BC)        = KB.(CA CK) KB.CA KB.CK 0 Vậy: BK  MN . 1,0