Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Khối 11 - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Khối 11 - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa

1. Bạn nào muốn cú đỏp ỏn liờn hệ 01694838727 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HểA NĂM HỌC 2017 - 2018 Mụn thi: Toỏn - THPT ĐỀ MINH HỌA 51 Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian giao đề Ngày 02 thỏng 3 năm 2018 2x 1 Cõu 1.(1,0 điểm) Cho hàm số : y x 1 Tỡm m sao cho đường thẳng y x m cắt (C) tại hai điểm phõn biệt A, B , để tiếp tuyến với (C) tại 1 1 2016 2016 A, B lần lượt cú hệ số gúc k1 ; k2 thỏa món: 2(k1 k2 ) 2016.k1 .k2 k1 k2 Cõu 2.(1,0 điểm) Giải phương trỡnh: 2cos3x(2cos 2x 1) 1 . x 3 2 (3y x)(y 1) Cõu 3,(1,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh : x 5 3y 2 xy 2y 2 2 Cõu 4.(1,0 điểm) Từ cỏc số 0; 1; 2; 3;4 ;5 viết một số tự nhiờn gồm 4 chữ số khỏc nhau .Tớnh xỏc suất để số viết được chia hết cho 4. Cõu 5.(1,0 điểm) Cho hỡnh thang cõn ABCD cú AD // BC ; AB: x – 2y + 3 = 0 ; AC: y – 2 = 0 .Gọi I là giao điểm của AC, BD .Tỡm tọa độ cỏc đỉnh hỡnh thang ABCD biết IB= 2 IA, xI 3 , M(-1 ; 3) thuộc đường thẳng BD Cõu 6.(1,0 điểm) Cho khai triển: 2011 2 3 2010 2 3 4042110 1 x x x x a0 a1 x a2 x a3 x a4042110 x a. Tớnh tổng a0 a2 a4 a4042110 b. Chứng minh đẳng thức sau: 0 1 2 3 2010 2011 C2011a2011 C2011a2010 C2011a2009 C2011a2008 C2011 a1 C2011 a0 2011 Cõu 7.(2.0 điểm) Cho tứ diện ABCD cú cỏc cạnh đều bằng a, M là một điểm trờn cạnh AB. Mặt phẳng qua M đồng thời song song với AC và BD cắt cỏc cạnh BC, CD, DA thứ tự tại N, P, Q. a. Chứng minh MNPQ là hỡnh bỡnh hành. Tỡm vị trớ của M để MNPQ là hỡnh thoi. b. Tỡm vị trớ của M để tứ giỏc MNPQ cú diện tớch lớn nhất. Cõu 8.(1,0 điểm) Giải phương trỡnh: 2x x 4 2x2 9x 8 Cõu 9.(1,0 điểm) Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món điều kiện a b c 1 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu ab bc ca thức: P c ab a bc b ca
2. Bạn nào muốn cú đỏp ỏn liờn hệ 01694838727 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 51 Cõu NỘI DUNG Điểm 1 2x 1 1,0 Xột pt: x m x2 (m 1)x m 1 0 (*) (ĐK x 1 ) x 1 Đường thẳng y = x + m cắt (C) tại hai điểm phõn biệt A, B pt (*) cú hai nghiệm phõn biệt (m 1)2 4(m 1) 0 m 5 x ; x 1 (1) 1 2 2 ( 1) (m 1) m 1 0 m 1 x1 x2 1 m Khi đú A(x1; x1 m); B(x2 ; x2 m) , với x1.x2 m 1 1 1 Tiếp tuyến tại A , B cú hệ số gúc lần lượt là :k1 2 ; k2 2 x1 1 x2 1 1 1 1 Ta cú k1.k2 2 2 2 2 1 (x1 1) (x2 1) (x1x2 x1 x2 1) (1 m m 1 1) 2 2 1 1 (x1 1) (x2 1) k1 k2 2 2 2 2 (x1 1) (x2 1) (x1 1) (x2 1) 2 2 2 x1 x2 2(x1 x2 ) 2 (x1 x2 ) 2x1x2 2(x1 x2 ) 2 (1 m)2 2(m 1) 2(1 m) 2 m2 6m 7 1 1 2016 2016 Khi đú 2(k1 k2 ) 2016.k1 .k2 k1 k2 2 2 3(k1 k2 ) 2016 3(m 6m 7) 2016 m 6m 665 0 m 3 674 ( tm ĐK (1) ) 2 Giải phương trỡnh:2cos3x(2cos 2x 1) 1 (1) 1,0 PT (1) 2cos3x(3 4sin 2 x) 1 Nhận xộtx k (voi k Z) khụng là nghiệm của phương trỡnh đó cho nờn ta cú: 2cos3x(3 4sin 2 x) 1 2cos3x(3sin x 4sin3 x) sin x 2cos3xsin 3x sin x sin 6x sin x 2m x 6x x m2 5 với m Z 6x x m2 2m x 7 7 2m Xột khi k 2m = 5k m 5t , với t Z 5 2m Xột khi =k 1+2m = 7k k = 2(m-3k)+1 hay k = 2l+1 m = 7l+3, l Z 7 7 2m Vậy phương trỡnh cú nghiệm: x (với m 5t ); 5 2m x (với m 7l 3 ) trong đú m, t, l Z . 7 7 3 2 2 1.0 y ; x 5 y ; x 5 + ĐK: 3 3 (*) (3y x)(y 1) 0 3y x 0 + Phương trỡnh : x 3 2 (3y x)(y 1) 3(y 1) (3y x) 2 3y x y 1
3. Bạn nào muốn cú đỏp ỏn liờn hệ 01694838727 2 2 2 2 y 1 2 3y x y 1 y 1 3y x =0 ( y 1 3y x)(3 y 1 3y x) 0 y 1 3y x (Do 3y 1 3y x 0 , x, y thỏa món (*)) y+1 = 3y- x x 2y 1 Thế x = 2y-1 vào pt cũn lại được : 3y 2 y 2 2y 2 3y 2 3y 2 y 2 2 (y 2)(2y 1) (y 2) (2y 1) 0 3y 2 y 2 3y 2 y 2 2 (2y 1)( 3y 2 y 2) 0( ) + Với y= 2 ta cú x = 3 y 2 2 4 2 2 7 8 + Do y (2y+1)(3y 2 y 2 ) ( 1)( 3. 2 2) 3 3 3 3 3 3 7 8 2- (2y+1)(3y 2 y 2 ) 2 0 ( ) vụ nghiệm. 3 3 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm là (3; 2) 4 Tớnh xỏc suất 1,0 + Gọi số cần tỡm cú 4 chữ số khỏc nhau là : n abcd , a 0 3 a cú 5 cỏch chọn , cú A6 cỏch chọn 3 chữ số cũn lại 3 khụng gian mẫu là  5. A6 = 300 + Gọi A là biến cố “số tạo thành chia hết cho 4” cd 4 cd 20,04,40, 12,32,24,52  + TH1: Nếu cd 20,04,40  cú 3 cỏch chọn bộ cd 2 2 cú A4 cỏch chọn ab cú 3. A4 = 36 số tạo thành . + TH2: Nếu cd 12,32,24,52  cú 4 cỏch chọn bộ cd Cú 3 cỏch chọn a , 3 cỏch chọn b cú 3. 4.3= 36 số tạo thành . Số khả năng thuận lợi cho biến cố A là  A 36 36 72  72 6 6 P(A) A . Vậy: Xỏc suất để số viết được chia hết cho 4 là  300 25 25 6 Cho hỡnh thang cõn + Do A=AB  AC A(1;2) .Lấy E(0;2) AC , gọi F(2a-3; a) AB sao cho EF// BD EF AE EF BI 2 EF 2AE (2a 3) 2 (a 2) 2 2 BI AI AE AI 11 a hoac a 1 5 11 7 1 + Khi a= EF( ; ) là vtcp của đường thẳng BD BD : x 7y 22 0 5 5 5 Do I = BD  AC I( 8;2) (loại) + Khi a = 1 EF( 1; 1) là vtcp của đường thẳng BD BD : x y 4 0 Do I = BD  AC I( 2;2) (t/m) AB  BD B( 5; 1) IB IB 3 2 2 3 2 2 + Lại cú: IB ID ID 2 ID D( , ) ID IA 2 2 IA IA 1 IA .IC .IC IC C( 3 2 2;2) IC IB 2
4. Bạn nào muốn cú đỏp ỏn liờn hệ 01694838727 3 2 2 3 2 2 Vậy : A(1;2) ; B(-5; -1) ; C(-32 -2; 2) ; D( , ) 2 2 6.a Từ khai triển trờn lần lượt cho x 1; x 1 ta được 2011 a0 a1 a2 a4042110 2011 a0 a1 a2 a4042110 1 Cộng từng vế hai đẳng thức trờn và chia cả hai vế cho 2 ta được 20112011 1 A a a a a 0 2 4 4042110 2 2011 6.b 2011 2011 2 4042110 Xột x 1 từ khai triển trờn ta cú: 1 x 1 x a0 a1 x a2 x a4042110 x 2011 1 Hệ số của x trong vế trỏi bằng C2011 2011 Hệ số của x2011 trong vế phải bằng 0 1 2 3 2010 2011 C2011a2011 C2011a2010 C2011a2009 C2011a2008 C2011 a1 C2011 a0 Từ đú ta cú đẳng thức 0 1 2 3 2010 2011 C2011a2011 C2011a2010 C2011a2009 C2011a2008 C2011 a1 C2011 a0 2011 7 A 2,0 M Q B D N P C 7.a +) Vỡ MN và PQ lần lượt là giao tuyến của với cỏc mặt phẳng (ABC) và (ACD) đồng thời song song với AC nờn MN và PQ cựng song song với AC. Do đú MN//PQ. Tương tự MQ//NP nờn MNPQ là hỡnh bỡnh hành. +) Vỡ tam giỏc AMQ đều nờn AM=MQ, tương tự BM=MN. Do đú, MNPQ là hỡnh thoi khi và chỉ khi MA=MB hay M là trung điểm của AB. 7.b Vỡ MQ//BD và MN//AC nờn Nã MQ khụng đổi.Diện tớch tứ giỏc MNPQ là MN.MQ.sin AM Đặt k,0 k 1 ta cú MQ k.a;MN (1 k).a AB 1 1 S k(1 k)a2.sin a2 sin .Đẳng thức xẩy ra khi k hay M là trung điểm AB. MNPQ 4 2 8 x 0 1,0 Đk : 2 ( ) 2x 9x 8 0 2 Với Đk (*), 2x x 4 2x2 9x 8 2 x 2 x 2 x 2 x u x 2 2 2 2 2 2 Đặt ta cú 2u v 2u v 2u v 2u v v x,v 0 2u2 4uv 2v2 0 u v hay x x 2 0 x 4 Thử lại ta cú nghiệm của pt là x = 4 9 ab ab ab 1,0 Vỡ a b c 1 nờn c ab 1 a b ab 1 a 1 b Áp dụng bất đẳng thức Cụ-si, ta cú:
5. Bạn nào muốn cú đỏp ỏn liờn hệ 01694838727 ab 1 a b ab 1 a b 1 a 1 b 2 1 b 1 a c ab 2 1 b 1 a bc 1 b c ca 1 c a Tương tự, ta cú: , a bc 2 1 c 1 b b ca 2 1 a 1 c 1 a c c b b a 1 1 b 1 a 1 c 3 P 2 1 b 1 a 1 c 2 1 b 1 a 1 c 2 3 1 Vậy P đạt giỏ trị lớn nhất bằng . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c . 2 3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HểA NĂM HỌC 2017 - 2018 Mụn thi: Toỏn - THPT Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian giao đề ĐỀ MINH HỌA 52 Ngày 02 thỏng 3 năm 2018 Cõu 1(1,0 điểm) x Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hàm số y cú đồ thị (C). Tỡm điểm M thuộc x 2 (C) biết tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt cỏc trục Ox, Oy lần lượt tại A, B phõn biệt thoả món: 5AB 2OA OB . 3 sin 2x cos 2x 5sin x 2 3 cos x 3 3 Cõu 2.(1,0 điểm) Giải phương trỡnh 1. 2cos x 3 Cõu 3.(1,0 điểm) Gọi A là tập hợp tất cả cỏc số tự nhiờn cú 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiờn một số từ tập A, tớnh xỏc suất để số được chọn chia hết cho 3 và cú chữ số hàng đơn vị bằng 1. Cõu 4.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giỏc ABC cõn tại A , D là trung điểm của AB và D cú tung độ dương.Điểm 1 1 5 là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC, điểm 1 3 5 I ; E ; 3 3 3 3 là trọng tõm tam giỏcACD. Điểm M 3; 1 nằm trờn đường thẳng CD , điểm N 3;0 nằm trờn đường thẳng AD.Tỡm toạ độ cỏc đỉnh A, B, C. 2 x 3 xy x y y 5y 4 Cõu 5.(1,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh : 2 4y x 2 y 1 x 1 Cõu 6.(1,0 điểm) Cho cỏc số thực dương x, y, z thỏa món x2 y2 z2 2xy 3 x y z . Tỡm giỏ trị 20 20 nhỏ nhất của biểu thức: P x y z x z y 2 Cõu 7.(1,5 điểm)
6. Bạn nào muốn cú đỏp ỏn liờn hệ 01694838727 Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC đều , gọi I, K là trung điểm của cỏc cạnh AC và SB , Trờn đường thẳng AS và CK ta chọn cỏc điểm P,Q sao cho PQ// BI .Tớnh độ dài PQ biết cạnh của tứ diện cú độ dài bằng 1. Cõu 8.(1,0 điểm) sin n Cho dóy số u được xỏc định bởi: u sin1; u u , với mọi n Ơ , n 2 . Chứng n 1 n n 1 n2 minh rằng dóy số un xỏc định như trờn là một dóy số bị chặn. Cõu 9.(1,5 điểm) Chứng minh đẳng thức sau: 0 2 1 2 2 2 3 2 2011 2 2012 2 1006 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HểA NĂM HỌC 2017 - 2018 Mụn thi: Toỏn - THPT Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian giao đề ĐỀ MINH HỌA 53 Ngày 02 thỏng 3 năm 2018 (2m 1)x m2 Bài 1.(1,5 điểm) Cho hàm số y (1), với m là tham số. x 1 1. Tỡm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xỳc với đường thẳng y = x. 2. Khi m = 2, tỡm trờn đồ thị (C) của hàm số (1) hai điểm phõn biệt đối xứng với nhau qua đường 1 thẳng d: y = 2x + . 4 Bài 2.(1,0 điểm) Giải phương trỡnh 3 x 6 x 1 x2 1. (x R) Bài 3(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ : x + 2y +1= 0 và đường trũn (C):(x 2)2 (y - 4)2 9 . Tỡm tõm và bỏn kớnh của đường trũn (C ) .Sau đú viết phương trỡnh đường trũn (C’) là ảnh của (C) qua phộp vị tự tõm A(1; 2) tỉ số k = – 2 . Bài 4.(1,0 điểm) Cho m bụng hồng trắng và n bụng hồng nhung khỏc nhau. Tớnh xỏc suất để lấy được 5 bụng hồng trong đú cú ớt nhất 3 bụng hồng nhung?. Biết m, n là nghiệm của hệ sau: m 2 2 9 19 1 Cm Cn 3 Am 2 2 Pn 1 720 Bài 5.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hỡnh thoi ABCD cú tõm I(3;3) và AC 2.BD . Điểm 4 13 M 2; thuộc đường thẳng AB, điểm N 3; thuộc đường thẳng CD. Viết phương trỡnh đường 3 3 chộo BD biết đỉnh B cú hoành độ nhỏ hơn 3. Bài 6.(1,5 điểm)
7. Bạn nào muốn cú đỏp ỏn liờn hệ 01694838727 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là tứ giỏc lồi. Gọi E là một điểm thuộc miền trong của tam giỏc SCD. 1) Tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBE), suy ra giao điểm của BE và mặt phẳng (SAC). 2) Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (ABE). Bài 7.(1,0 điểm) Cho cấp số cộng un : 1; 6;11;16; 21; . . . Hóy tỡm số hạng un của cấp số cộng đú, biết rằng tổng của n số hạng đầu tiờn bằng 970. Bài 8.(1,0 điểm) cos x sin 3 x Giải phương trỡnh 1 sin x cot x. sin x sin 2 x 2 2 x y 2y 6 2 2y 3 0 Bài 9.(1,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh 2 2 2 2 x y x xy y 3 3 x y 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THANH HOÁ NĂM HỌC 2017 - 2018 Mụn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phỳt ĐỀ MINH HỌA SỐ 54 (Khụng kể thời gian giao đề) 3x 4 Cõu 1. (1,0 điểm). Cho hàm số y (1), với m là tham số. Tìm trên đồ thị (C) của hàm số x 1 1 (1) hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua đường thẳng d: y = 2x + . 4 Cõu 2.(1,0 điểm). Giải phương trình 3sin 2x cos2x 4sin x 1 . n 1 x 2 n Cõu 3.(1,0 điểm). Cho khai triển a0 a1x a2 x an x , với n là số tự nhiờn thỏa 2 3 2 n 2 n 2 n 1 1 n 1 món hệ thức Cn Cn 2Cn Cn CnCn 11025 . Hóy tỡm số lớn nhất trong cỏc số a0 ,a1, ,an . Cõu 4.(1,0 điểm.) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh thang ABCD cú AB//CD, BAD 900 ,CD AD 2AB, điểm B 3;6 . Gọi M là trung điểm của cạnh AD. Hỡnh chiếu vuụng gúc 18 24 của M trờn BC là H ; . Xỏc định tọa độ cỏc đỉnh A, B, C, D biết A cú tung độ nhỏ hơn 7. 5 5 2 x 3 xy x y y 5y 4 Cõu 5. (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh : 2 4y x 2 y 1 x 1 Cõu 6 (1,0 điểm). Gọi A là tập hợp cỏc số cú ba chữ số khỏc nhau được lập từ cỏc chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Chọn ngẫu nhiờn ba số từ tập A. Tớnh xỏc suất để trong ba số được chọn cú đỳng một số cú mặt chữ số 3. Cõu 7 (1,0 điểm). Cho cỏc số thực dương x, y, z thỏa món
8. Bạn nào muốn cú đỏp ỏn liờn hệ 01694838727 x2 y2 z2 2xy 3 x y z . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 20 20 P x y z x z y 2 Cõu 8.(2,0 điểm) Cho tứ diện ABCD cú cỏc cạnh bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD, G là trọng tõm tam giỏc BCD. Xỏc định thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(MNG), chứng minh thiết diện đú là hỡnh thang cõn và tớnh diện tớch thiết diện. C 3C 3 Cõu 9.(1,0 điểm) Tỡm cỏc gúc của tam giỏc ABC biết: CosA +Cos(B - ) + Cos = 2 2 2 Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THANH HOÁ NĂM HỌC 2017 - 2018 Mụn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phỳt ĐỀ MINH HỌA SỐ 55 (Khụng kể thời gian giao đề) Cõu 1. (1,0 điểm) ) Giải phương trỡnh: cos2 x(cos x 1) 2 1 sin x (sinx cos x) Cõu 2. (1.,0 điểm) Từ cỏc chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiờu số tự nhiờn mà mỗi số cú 6 chữ số khỏc nhau và bắt buộc cú mặt ba chữ số 0, 1 và 2. Cõu 3 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với toạ độ Oxy cho hỡnh thang ABCD vuụng tại A và D cú AB AD CD, điểm B(1;2) , đường thẳng BD cú phương trỡnhy 2 . Biết rằng đường thẳng (d) : 7x y 25 0 lần lượt cắt cỏc đoạn thẳng AD và CD theo thứ tự tại M và N sao cho BM  BC và tia BN là tia phõn giỏc của gúc MBC. Tỡm toạ độ đỉnh D (với hoành độ của D là số dương). 2 1 3 2 Cõu 4 (1,0điểm) Giải phương trỡnh 8x 15x 9 1 5x 2x 2 x Cõu 5 (1,0 điểm) Cho tam giỏc ABC, trờn cạnh BC lấy điểm K sao cho KB = 2KC. Gọi M là trung điểm của BC, H là hỡnh chiếu của B trờn AK. Giả sử Bã AK 2Cã AK , chứng minh rằng MH vuụng gúc với AC. Cõu 6.(1,0 điểm). Cho tứ diện ABCD cú cỏc cạnh: BC = DA = a; CA = DB = b; AB = DC = c. 1 1 1 9 .Chứng minh rằng: (S là diện tớch toàn phần của tứ diện) a2b2 b2c2 c2a2 S 2 Cõu 7.(1,0 điểm) Cho A,B,C là ba gúc của tam giỏc ABC. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: sin2 A sin2 B sin2 C M cos2 A cos2 B cos2C Cõu 8.(1,0 điểm): 2xy 2yz 3zx 5 Cho x, y, z 0.Chứng minh rằng: P (z x)(z y) (x y)(x z) (y z)(y x) 3
9. Bạn nào muốn cú đỏp ỏn liờn hệ 01694838727 1 1 16 2x x y x y 3 Cõu 9.(1,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh: 2 2 1 1 100 2(x y ) 2 2 (x y) (x y) 9 Cõu 10.(1,0 điểm) Cho tam giỏc ABC nhọn, phớa bờn ngoài của tam giỏc ABC dựng hai tam giỏc đều ABM và ACN. Tỡm một phộp dời hỡnh biến đoạn thẳng MC thành đoạn BN .Từ đú suy ra MC=BN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THANH HOÁ NĂM HỌC 2017 - 2018 Mụn thi: TOÁN ĐỀ MINH HỌA SỐ 58 Thời gian làm bài: 180 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) 2x 1 Cõu I (1,0 điểm) Cho hàm số y . x 1 Cho hai điểm M, N thuộc hai nhỏnh của đồ thị (C) thoả món: xM 1, xN 1 . Tỡm m để khoảng cỏch ngắn nhất từ M, N đến đường thẳng (dm ) : y 2x 2m 1 bằng nhau. (cos x 1).(sin 2x sin x cos x 2) Cõu 2.(1,0 điểm) Giải phương trỡnh 1. sin x.(1 2cos x) 2 y 4 y 2 3 Cõu 3.(1,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh x x2 (x, y Ă ). 2 y x 2xy 2 2y x Cõu 4. (1,0 điểm) Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món xy yz zx 3. Chứng minh rằng : 1 1 1 3 . x2 y2 2 y2 z2 2 z2 x2 2 4 Cõu 5.(1,0) Tỡm cỏc giỏ trị thực của tham số m để hệ bất phương trỡnh sau cú nghiệm thực x2 4xy 5y2 m2 4m 5 x 3y 2. Cõu 6.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD với M, N lần lượt là trung điểm đoạn AB và BC. Gọi H là chõn đường cao kẻ từ B xuống CM. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh 5 vuụng ABCD biết: N( 1; ), H ( 1;0) và điểm D nằm trờn đường thẳng.(d) : y x 4 2 Cõu 7.(1,0 điểm) Tỡm số hạng tổng quỏt và tớnh tổng 100 số hạng đầu tiờn của dóy số un xỏc định bởi u1 2013,un 1 2un 1,n 1 .
10. Bạn nào muốn cú đỏp ỏn liờn hệ 01694838727 Cõu 8.(2,0 điểm) Cho tứ diện ABCD. M là một điểm trờn cạnh AB. (P) là mặt phẳng qua M song song với AD và BC. a) Xỏc định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (P). Thiết diện là hỡnh gỡ? Hóy xỏc định vị trớ của M trờn đoạn AB sao cho thiết diện thu được là hỡnh thoi. b) Cho O là điểm nằm trong tam giỏc BCD. Cỏc đường thẳng qua O song song với AB, AC, AD tương ứng cắt cỏc mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC) theo thứ tự tại B’, C’, D’. Tỡm giỏ trị lớn nhất của tớch OB’.OC’.OD’, biết AB = x, AC y, AD z . Cõu 9.(1,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú a BC,b AC,c AB , min A, B,C 150 . Chứng minh rằng ab, bc, ca cũng là độ dài ba cạnh của một tam giỏc. HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THANH HOÁ NĂM HỌC 2017 - 2018 Mụn thi: TOÁN ĐỀ MINH HỌA SỐ 57 Thời gian làm bài: 180 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) Cõu 1.(1,0 điểm). Cho x,y,z là cỏc số thực dương. x y z Chứng minh rằng: 3 4(x3 y3 ) 3 4(y3 z3 ) 3 4(z3 x3 ) 2( ) 12 y2 z2 x2 12x 8 Cõu 2.(1,0 điểm). Giải bất pt: 2x 4 - 2 2 x 9x 2 16 Cõu 3.(1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2;1). Tỡm tọa độ điểm B thuộc Ox, điểm C thuộc Oy sao cho tam giỏc ABC vuụng tại A, cú diện tớch lớn nhất và điểm B cú hoành độ khụng õm, điểm C cú tung độ khụng õm. Cõu 4.(1,0 điểm.) Cho tứ diện ABCD, chứng minh rằng: (AC BD)2 (AD BC)2 > (AB CD)2 Cõu 5. (1,5 điểm). Cho phương trỡnh :(2sin x 1)(2cos 2x 2sin x m) 1 2cos2x ( Với m là tham số) a, Giải phương trỡnh với m = 1 b, Tỡm m để phương trỡnh cú đỳng 2 nghiệm thuộc 0;  Cõu 6.(1,5 điểm) 2 Cho dóy (Un), (n = 0,1,2,3 ) xỏc định bởi: u0 2 ; un 1 4un 15un 60 a) Hóy xỏc định số hạng tổng quỏt của un . 1 b) Chứng minh rằng số (u 8) cú thể biểu diễn thành tổng bỡnh phương của ba số nguyờn liờn 5 2n tiếp. 2 14 15 2 210 Cõu 7.(1,0 điểm) Cho khai triển 1 x x x a0 a1x a2 x a210 x . Chứng minh rằng: 0 1 2 15 C15a15 C15a14 C15a13 C15 a0 15.
11. Bạn nào muốn cú đỏp ỏn liờn hệ 01694838727 Cõu 8.(1,0 điểm) Nếu một số được chọn ngẫu nhiờn từ một tập hợp gồm 5 chữ số trong đú tổng cỏc chữ số bằng 43. Tớnh xỏc xuất để số được chọn chia hết cho 11. Cõu 9.(1,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú cỏc gúc A,B,C lập thành một cấp số cộng với A B C . A B C 3 3 Biết: cos cos cos , tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC. 2 2 2 8 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THANH HOÁ NĂM HỌC 2017 - 2018 Mụn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phỳt ĐỀ MINH HỌA SỐ 58 (Khụng kể thời gian giao đề) Cõu 1.(4,0 điểm). a/ Cho hàm số y x2 2mx 3m và hàm số y 2x 3 . Tỡm m để đồ thị cỏc hàm số đú cắt nhau tại hai điểm phõn biệt và hoành độ của chỳng đều dương. b/ Giải phương trỡnh: 2x2 11x 23 4 x 1 Cõu 2.(4,0 điểm). 8sin2 x.cos x 3 sinx cos x a/ Tớnh tổng cỏc nghiệm của phương trỡnh: 0. trờn 0;1007  7 3 sin x 3cos x 2 2 b/ Tớnh giỏ trị biểu thức: 0 2 1 2 2 2 3 2 2015 2 2016 2 2017 2 2018 2 A C2018 C2018 C2018 C2018 C2018 C2018 C2018 C2018 Cõu 3.(4,0 điểm) a/ Cho a, b, c là cỏc số thực dương . Chứng minh rằng: 2 2 2 2a 2b 2c a b b c c a 3 b c c a a b a b c 2 u1 v1 2 b/ Cho cấp số cộng un và cấp số nhõn vn thừa món: u2 v2 0 . Tỡm S u4 v4 . u3 4 v3 Cõu 4.(4,0 điểm) a/ Từ cỏc chữ số 1, 3, 4, 8 lập cỏc số tự nhiờn cú sỏu chữ số, trong đú chữ số 3 cú mặt đỳng ba lần, cỏc chữ số cũn lại cú mặt đỳng một lần. Trong cỏc số được tạo thành núi trờn, chọn ngẫu nhiờn một số. Tớnh xỏc suất để số được chọn chia hết cho 4? b/ Cho tam giỏc nhọn ABC khụng cõn nội tiếp đường trũn (O), cú đường cao AH và tõm đường trũn nội tiếp là I. Đường thẳng AI cắt lại đường trũn (O) tại điểm thứ hai M. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua O. Đường thẳng MA' cắt cỏc đường thẳng AH, BC theo thứ tự tại N và K. 1) Chứng minh rằng tứ giỏc NHIK nội tiếp đường trũn. 2) Đường thẳng A'I cắt lại đường trũn (O) tại điểm thứ hai D, hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại điểm S. Chứng minh rằng nếu AB AC 2BC thỡ I là trọng tõm của tam giỏc AKS.
12. Bạn nào muốn cú đỏp ỏn liờn hệ 01694838727 Cõu 5.(4,0 điểm).Cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’ cú cạnh a . Gọi I là tõm của hỡnh vuụng CD D’C’, K là trung điểm của cạnh CB. a. Dựng thiết diện của hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’ cắt bởi mặt phẳng (AKI). Tớnh diện tớch của thiết diện theo a . b. Tớnh gúc tạo bởi hai đường thẳng A’D’ và AQ với Q là giao điểm của (AKI) và CC’. HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THANH HOÁ NĂM HỌC 2017 - 2018 Mụn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phỳt (Khụng kể thời gian ĐỀ MINH HỌA SỐ 59 giao đề) Cõu 1.(4,0 điểm) a/Tỡm m để phương trỡnh x2 1 m4 m2 1 cú bốn nghiệm phõn biệt b/ Tỡm giỏ trị lớn nhất của hàm số.y x2 2x 5 x2 6x 10 Cõu 2.(3,0 điểm). Giải cỏc phương trỡnh sau: x 3 5x2 2 a) 4sin2 3 cos 2x 1 2cos2 (x ). b) 3 x3 5x2 1 . 2 4 6 Cõu 3.(4,0 điểm). a) Chọn ngẫu nhiờn ba số đụi một khỏc nhau từ tập hợp A {1;2; ;20}. Tớnh xỏc suất để trong ba số được chọn khụng cú hai số tự nhiờn liờn tiếp. n * b) Cho dóy số (un ) xỏc định bởi: u1 1;un 1 2un 3 ,n Ơ . Tỡm cụng thức số hạng tổng quỏt un theo n. Cõu 4.(2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD. Điểm M thuộc cạnh AB sao cho AM=2MB. Biết B(6;4), phương trỡnh CM: x y 8 0, điểm D thuộc d: 2x y 2 0. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh A, C và D. Cõu 5.(2,0 điểm). Cho ba số thực dương thay đổi a,b,c thỏa món: a2 b2 c2 (a b c) ab bc ca. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 1 P a(a 2b 2) b(b 2c 2) c(c 2a 2) . abc Cõu 6.(4,0 điểm) 1,Cho tứ diện ABCD cú trọng tõm G . Tỡm điểm M sao cho tổng: MA MB MC MD đạt giỏ trị bộ nhất. GB.GC.GD GA.GC.GD GA.GB.GD GA.GB.GC 2, Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy là hỡnh thang, đỏy lớn AB. Trờn SA, BD lấy hai điểm M, N sao cho 2 2 SM SA ,DN DB . Qua N kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại H, K. 3 3 a) Chứng minh rằng: MH / / SBD
13. Bạn nào muốn cú đỏp ỏn liờn hệ 01694838727 b) Gọi O là giao điểm của SB với MNH . Chứng minh: OK / /SC .Hết . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THANH HOÁ NĂM HỌC 2017 - 2018 ĐỀ MINH HỌA SỐ 60 Mụn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) Cõu 1.(4,0 điểm). 2 2 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai Parabol (P1) : y x 5x a và (P2 ) : y x 10x b (a,b là tham số). Biết (P1) cắt Ox tại hai điểm M1 x1;0 , M 2 x2 ;0 ; (P2 ) cắt Ox tại hai điểm x3 x2 x4 M 3 x3;0 , M 4 x4 ;0 thỏa món . Tỡm a và b . x1 x3 x2 2. Tỡm m để phương trỡnh: x2 2x 4 (x 1)(3 x) m 3 cú nghiệm. Cõu 2.(4,0 điểm). x 3x x 3x 1 1. Giải phương trỡnh cos x.cos .cos sin x.sin .sin . 2 2 2 2 2 17 x2 x 3 x 1 2 63 14x 18y 2. Giải hệ phương trỡnh y 2 x x 2x 9 12y 34 2 13 3y 17 6y. Cõu 3.(4,0 điểm). 1. Cho x, y 0 thỏa món x2 y xy2 x y 3xy. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2xy 2 3 P x2 y2 . 2xy u 2 1 2. Cho dóy số un xỏc định bởi: u 1 u n , n 1,n Ơ . n 1 2 Hóy xỏc định cụng thức số hạng tổng quỏt u của dóy số u n n Cõu 4.(4,0 điểm). 124 1. Cú bao nhiờu số hạng hữu tỉ trong khai triển 3 4 5 . 9 3 2. Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn tõm I ; , cú phương trỡnh đường thẳng BC là 2 2 x 3y 4 0. Gọi E, F lần lượt là chõn đường cao kẻ từ B và C của tam giỏc ABC thỏa món EF 2 2, biết điểm K 6;1 thuộc đường thẳng AC,diện tớch AEIF bằng 5 và tung độ điểm C õm. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh A, B,C. Cõu 5.(4,0 điểm).
14. Bạn nào muốn cú đỏp ỏn liờn hệ 01694838727 1. Cho tứ diện vuụng SABC vuụng tại S . Gọi , , lần lượt là cỏc gúc giữa cỏc mặt phẳng Cos2 Cos2 Cos2 3 SAB , SBC , SCA với ABC , Chứng minh rằng , Sin2 Sin2 Sin2 Sin2 Sin2 Sin2 4 2. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh bỡnh hành với AB a; AD 2a;SAB là tam giỏc vuụng cõn tại A , M là điểm trờn cạnh AD (M khỏc A và D ). Mặt phẳng qua M song song với SAB cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P,Q . Đặt x AM . Tớnh diện tớch của tứ giỏc MNPQ theo a và x .