Đề ôn Học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 (Kèm đáp án)

Nội dung text: Đề ôn Học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 (Kèm đáp án)

1. ĐỀ ÔN HSG – (ĐỀ 01 – Ngày 02/02/2021) 2 2 3x 2y 2z 4x 4y 3z x 2xy z 2) Cho (xyz≠0) và . Tính giá trị biểu thức: P 2017 2018 2019 x2 y2 z2 a1 a2 a3 a15 3) Cho các số 0 a1 a2 a3 a15 . Chứng minh rằng 5 a5 a10 a15
2. 1 1 1 1 Vì x x x x 0 x 0 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 99x+ + +L + =100x 1.2 2.3 99.100 99 x= 100 3x 2y 2z 4x 4y 3z x y z Từ  2017 2018 2019 2 3 4
3. x y z Đặt k k 0 x = 2k, y = 3k, z = 4k 2 3 4 x2 2xy z2 4k2 2.2k.3k 16k2 24 P x2 y2 z2 4k2 9k2 16k2 29 Cho các số 0 a1 a2 a3 a15 . a a a a Chứng minh rằng 1 2 3 15 5 a5 a10 a15 Ta có a a a a a 5a a a a a a 5a 1 2 3 4 5 5 ; 6 7 8 9 10 10 a a a a a 5a Suy ra a a a 5(a a a ) 11 12 13 14 15 15 ; 1 2 15 5 10 15 a a a a Vậy 1 2 3 15 5 a5 a10 a15 ĐỀ 02 Câu 1: (4,5 điểm). 1. Tính giá trị các biểu thức sau: 3 4 7 4 7 7 212.35 46.92 a) A = : : b) B = 2 6 4 5 7 11 11 7 11 11 (2 .3) 8 .3 x y 5x2 3y2 2. Cho . Tính giá trị biểu thức: C = 3 5 10x2 3y2 Câu 2: (4,5 điểm) 1. Tìm các số x, y, z, biết: x y y z a) ; và x + y + z = 92 2 3 5 7 b) (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = 0 2. Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x – y = 6 Câu 3: (3,0 điểm) 1. Tìm đa thức A biết: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 2. Cho hàm số y = f(x) = ax + 2 có đồ thị đi qua điểm A(a – 1; a2 + a). a) Tìm a b) Với a vừa tìm được, tìm giá trị của x thỏa mãn: f(2x – 1) = f(1 – 2x) Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao điểm BE và CD. Chứng minh rằng: a) BE = CD b) BDE là tam giác cân c) E· IC 600 và IA là tia phân giác của D· IE Câu 5: (2,0 điểm) Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + .+ 3x+100 chia hết cho 120 ( với x Z)
4. ĐÁP ÁN ĐỀ 02 Câu 1: 1. 3 4 7 4 7 7 3 4 11 4 7 11 a) A = : : = . . 7 11 11 7 11 11 7 11 7 7 11 7 11 3 4 4 7 11 3 4 4 7 11 11 A = = = ( 1) 1 .0 0 7 7 11 7 11 7 7 7 11 11 7 7 212.35 46.92 212.35 (22 )6.(32 )2 212.35 212.34 212.34 (3 1) b) B = = = (22.3)6 84.35 212.36 (23 )4.35 212.36 212.35 212.35 (3 1) 212.34.2 1 B = 212.35.4 6 x y x 3k 2. Đặt = k . Khi đó: 3 5 y 5k 5x2 3y2 5(3k)2 3(5k)2 45k2 75k2 120k2 C = = = 8 10x2 3y2 10(3k)2 3(5k)2 90k2 75k2 15k2 x y x y 2 3 10 15 x y z Câu 2: 1. a) Ta có: y z y z 10 15 21 5 7 15 21 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và x + y + z = 92, ta được: x 2 10 x 20 x y z x y z 92 y = 2 2 y 30 10 15 21 10 15 21 46 15 z 42 z 2 21 b ) Ta có: (x – 1)2016 0  x (2y – 1)2016 0  y |x + 2y – z|2017 0  x, y, z (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 0  x, y, z Mà (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = 0 nên dấu "=" xảy ra x – 1 2016 0 x 1 x 1 2016 1 1 2y – 1 0 y y 2 2 2017 x 2y – z 0 1 z 2 1 2. – z 0 2
5. 2. Ta có: xy + 3x – y = 6 x(y + 3) – (y + 3) = 6 – 3 (x – 1)(y + 3) = 3 = 1.3 = 3.1 = (– 1)(– 3) = (– 3)(– 1) Ta có bảng sau: x – 1 1 3 – 1 – 3 y + 3 3 1 – 3 – 1 x 2 4 0 – 2 y 0 – 2 – 6 – 4 Vậy: (x; y) = (2; 0) = (4; – 2) = (0; 6) = (– 2; – 4) Câu 3: 1. Ta có: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 A = x2 – 7xy + 8y2 + (3xy – 4y2) A = x2 – 4xy + 4y2 2. a) Vì đồ thị hàm số y = f(x) = ax + 2 đi qua điểm A(a – 1; a2 + a) nên: a2 + a = a(a – 1) + 2 a2 + a = a2 – a + 2 2a = 2 a = 1 b) Với a = 1 thì y = f(x) = x + 2 1 Ta có: f(2x – 1) = f(1 – 2x) (2x – 1) + 2 = (1 – 2x) + 2 4x = 2 x = 2 Câu 4: B ABC, Aµ = 900, ABD và ACE GT đều D 1 I 2 I = BE CD 1 1 1 A 3 2 2 C a) BE = CD b) V BDE là tam giác cân KL · 0 2 1 c) EIC 60 và IA là tia phân giác của 2 D· IE E · µ 0 0 0 0 DAC A1 90 60 90 150 a) Ta có: D· AC B· AE · µ 0 0 0 0 BAE A2 90 60 90 150 Xét V DAC và V BAE có: DA = BA (GT);D· AC B· AE (CM trên) AC = AE (GT) V DAC = V BAE (c – g – c) BE = CD (Hai cạnh tương ứng) 0 0 0 0 0 0 b) Ta có: Aµ 3 Aµ 1 B· AC Aµ 2 360 Aµ 3 60 90 60 360 Aµ 3 150 0 Aµ 3 = D· AC = 150
6. Xét V DAE và V BAE có: DA = BA (GT);Aµ 3 = D· AC (CM trên); AE: Cạnh chung V DAE = V BAE (c – g – c) DE = BE (Hai cạnh tương ứng) V BDE là tam giác cân tại E µ µ c) Ta có: V DAC = V BAE (CM câu a) E1 = C1 (Hai góc tương ứng)  µ · 0 Lại có: I1 E2 ICE 180 (Tổng 3 góc trong V ICE)  · µ µ µ 0  0 µ µ 0 0 I1 (AEC E1) (C1 C2 ) 180 I1 60 E1 C1 60 180  0 0 µ µ  0 I1 120 180 (Vì E1 = C1 ) I1 60 µ µ Vì V DAE = V BAE (Cm câu b) E1 = E2 (Hai góc tương ứng) EA là tia phân giác của D· EI (1) DAC BAE µ µ Vì V DAC = V DAE D1 = D2 (Hai góc tương ứng) DA là tia DAE BAE phân giác của E· DC (2) Từ (1) và (2) A là giao điểm của 2 tia phân giác trong V DIE IA là đường phân giác thứ ba trong V DIE hay IA là tia phân giác của D· IE Câu 5: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + .+ 3x+100 = (3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4 ) + (3x+5 + 3x+6 + 3x+7 + 3x+8 ) + + (3x+97+3x+89 +3x+99 + 3x+100) = 3x(3 + 32 + 33 + 34) + 3x+4(3 + 32 + 33 + 34 ) + + 3x+96 (3 + 32 + 33 + 34) = 3x.120 + 3x+4.120 + + 3x+96 .120 = 120.( 3x+ 3x+4 + + 3x+96 ) 120 (đpcm)