Đề kiểm tra môn Toán Khối 12 - Học kì II - Đề số 1 - Năm học 2016-2017

Nội dung text: Đề kiểm tra môn Toán Khối 12 - Học kì II - Đề số 1 - Năm học 2016-2017

1. LỚP TOÁN 10 – 11 – 12 – LTĐH ĐỀ ÔN KIỂM TRA HỌC KÌ II Đá Bạc – Cam Linh – Cam Ranh MÔN TOÁN – LỚP 12 ThS. Lê Tuấn Vũ – 0972.998.677 ĐỀ 01 1 2 Câu 1. Nguyên hàm của f (x)= + + 3 là: x 3 x 4 1 1 4 A. 2 x + 3 3 x 2 + 3x + C .B C D.2 .x + 3 x 2 + 3x + C x + 3 3 x 2 + 3x + C x + 3 x 2 + 3x + C 3 2 2 3 1 1 1 2 æ ö æ - - ö ç 1 2 ÷ ç 2 3 ÷ 2 3 3 2 Giải: ç + + 3÷dx = çx + 2x + 3÷dx = 2x + 3x + 3x + C = 2 x + 3 x + 3x + C . òèç x 3 x ø÷ òèç ø÷ 2x 3 - 6x 2 + 4x + 1 Câu 2. Nguyên hàm dx là: ò x 2 - 3x + 2 x - 1 1 x - 2 1 x - 1 x - 2 A xB.2 .+C.l.nD. + C x 2 + ln + C x 2 + ln + C x 2 + ln + C . x - 2 2 x - 1 2 x - 2 x - 1 3 2 2x - 6x + 4x + 1 æ 1 ö æ 1 1 ö 2 x - 2 Giải: dx = ç2x + ÷dx = ç2x + - ÷dx = x + ln + C. ò x 2 - 3x + 2 òèç x 2 - 3x + 2ø÷ òèç x - 2 x - 1ø÷ x - 1 Câu 3. Gọi F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x)= 4x 3 + 2(m - 1)x + m + 5 , với m là tham số thực. Một nguyên hàm của f (x) biết rằng F (1)= 8 và F (0)= 1 là: A.F (x)= x 4 + 2x 2 + 6x + 1 B. F (x)= x 4 + 6x + 1 . C F (x)D.= xĐáp4 + 2ánx 2 A+ và1 B. é 3 ù 4 2 Giải:.ò ëê4x + 2(m - 1)x + m + 5ûú dx = x + (m - 1)x + (m + 5)x + C ïì F 0 = 1 ì ì ï ( ) ï C = 1 ï C = 1 4 Lại có:í Û íï Û íï . Vậy F (x)= x + 6x + 1 . ï ï ï îï F (1)= 8 îï 1+ m - 1+ m + 5+ C = 8 îï m = 1 Câu 4. Theo phương pháp đổi biến số với t = cos x,u = sin x , nguyên hàm của I = ò(tan x + cot x)dx là: A.- ln t + ln u + C .B C D ln t - ln u + C ln t + ln u + C - ln t - ln u + C sin x cos x Giải: Ta có:(tan x + cot x)dx = dx + dx . ò ò cos x ò sin x sin x 1 Xét I = dx . Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx Þ I = - dt = - ln t + C . 1 ò cos x 1 ò t 1 cos x 1 Xét I = dx . Đặt u = sin x Þ du = cos xdx Þ I = du = ln u + C . Þ I = I + I = - ln t + ln u + C 2 ò sin x 2 ò u 2 1 2 2 sin x + 2 cos x Câu 5. Theo phương pháp đổi biến số (x ® t) , nguyên hàm của I = dx là: ò 3 1- sin 2x A 2B.3 t + C 6 3 t + C . C 3D.3 t. + C 12 3 t + C 2 sin x + 2 cos x 2(sin x + cos x) Giải:.I = dx = dx ò 3 ò 2 1- sin 2x 3 (sin x - cos x) 2 1 1 Đặt t = sin x - cos x Þ dt = (sin x + cos x)dx .Þ I = ò dt = 2. t 3 + C = 6 3 t + C . 3 t 2 æ 2ö 1+ ç- ÷ èç 3ø÷ æpö Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)thỏa mãn điều kiện: f (x)= 2x - 3cos x, F ç ÷= 3 èç2ø÷ p2 p2 A. F (x) = x 2 - 3sin x + 6 + . B. F (x) = x 2 - 3sin x - . 4 4 p2 p2 C. F (x) = x 2 - 3sin x + . D. F (x) = x 2 - 3sin x + 6- . 4 4 Giải: Ta có: F (x)= ò(2x - 3cos x)dx = x 2 - 3sin x + C 2 2 2 æpö æpö p p 2 p F ç ÷= 3 Û ç ÷ - 3sin + C = 3 Û C = 6- . Vậy F (x) = x - 3sin x + 6- èç2ø÷ èç2ø÷ 2 4 4 1
2. 1 æpö Câu 7. Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 2x + thỏa mãn F ç ÷= - 1 là: 2 ç ÷ sin x è4ø p2 p2 A. F (x) = - cot x + x 2 - . B. F (x) = cot x - x 2 + . 16 16 p2 C.F (x) = - cot x + x 2 . D. F (x) = - cot x + x 2 - . 16 2 2 æ 1 ö 2 æpö æpö p p Giải: Ta có: F (x)= ç2x + ÷dx = x - cot x + C . F ç ÷= - 1 Û ç ÷ - cot + C = - 1 Û C = òèç sin2 x ø÷ èç4ø÷ èç4ø÷ 4 16 p2 Vậy F (x) = - cot x + x 2 - . 16 1 x Câu 8. Giá trị của tích phân I = dx = a . Biểu thức P = 2a - 1 có giá trị là: ò + 0 x 1 A.P = 1- ln 2. B.P = 2- 2 ln 2. C. P = 1- 2 ln 2. D. P = 2- ln 2. 1 x Giải: Giá trị của tích phân I = dx = a . Biểu thức P = 2a - 1 có giá trị là: ò + 0 x 1 1 1 x æ 1 ö 1 Tacó: I = dx = ç1- ÷dx = (x - ln x + 1) = 1- ln 2 Þ a = 1- ln 2 Þ P = 2a - 1 = 1- 2 ln 2 . ò + òèç + ø÷ 0 0 x 1 0 x 1 2 e 2 æ1+ x + x ÷ö Câu 9. Giá trị của tích phân I = ç ÷dx = a . Biểu thức P = a - 1 có giá trị là: òç ÷ e è x ø 1 1 1 1 1 1 1 1 A.P = e + e 2 + e 4 . B. P = - e + e 2 + e 4 . C.P = - e - e 2 + e 4 . D. P = e + e 2 - e 4 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 e 2 æ1+ x + x ÷ö Giải: Giá trị của tích phân I = ç ÷dx = a . Biểu thức P = a - 1 có giá trị là: òç ÷ e è x ø 2 2 2 e e æ 2 ö e æ ö æ 2 ö 2 4 ç1+ x + x ÷ ç1 ÷ ç x ÷ e e Ta có: I = ç ÷dx = ç + 1+ x÷dx = çln x + x + ÷ = 1- e + + . òèç x ø÷ òèçx ø÷ èç 2 ø÷ 2 2 e e e e 2 e 4 e 2 e 4 e 2 e 4 Þ a = 1- e + + Û a - 1 = - e + + Û P = - e + + . 2 2 2 2 2 2 2 ax + 1 3 4 3 2 Câu 10. Tích phân I = dx = ln + ln . Giá trị của a là: ò 2 + + 1 x 3x 2 5 3 5 3 1 2 3 4 A.a = . B.a = . C.a = . D. a = . 5 5 5 5 2 ax + 1 3 4 3 2 Giải: Tích phân I = dx = ln + ln . Giá trị của a là: ò 2 + + 1 x 3x 2 5 3 5 3 2 ax + 1 2 x 2 1 Ta có:I = dx = a dx + dx . ò 2 + + ò 2 + + ò 2 + + 1 x 3x 2 1 x 3x 2 1 x 3x 2 2 2 æ ö 2 x ç 2 1 ÷ 4 2 Xét I1 = a dx = a ç - ÷dx = a(2 ln x + 2 - ln x + 1) = a(2 ln 4 - 3ln 3+ ln 2)= 2a ln + a ln . ò 2 + + òèç + + ø÷ 1 1 x 3x 2 1 x 2 x 1 3 3 2 1 2 4 2 4 2 Xét I 2 = dx = (ln x + 1 - ln x + 2 ) = - ln - ln . Þ I = I + I = (2a - 1)ln + (a - 1)ln ò 2 + + 1 1 2 1 x 3x 2 3 3 3 3 3 4 3 2 4 Theo đề bài: I = ln + ln Þ a = . 5 3 5 3 5 a a a é ù Câu 11. Cho hai tích phân ò f (x)dx = m và ò g(x)dx = n . Giá trị của tích phân ò ëf (x)- g(x)ûdx là: - a - a - a A. m - n. B.n - m. C.m + n. D. Không thể xác định. a a a é ù Giải: Cho hai tích phân ò f (x)dx = m và ò g(x)dx = n . Giá trị của tích phân ò ëf (x)- g(x)ûdx là: - a - a - a 2
3. a a a é ù Ta có ngay kết quả: ò ëf (x)- g(x)ûdx = ò f (x)dx - ò g(x)dx =m - n . - a - a - a b Câu 12. Cho tích phân I = ò(x 2 + 1)dx . Khẳng định nào dưới đây không đúng? a b b b b A.I = (x 2 + 1)dx = x 2dx + dx. B. I = (x 3 + x) . ò ò ò a a a a 1 1 C.I = b3 + b - a3 - a. D. Chỉ có A và C đúng. 3 3 b Giải: Cho tích phân I = ò(x 2 + 1)dx . Khẳng định nào dưới đây không đúng? a b b 2 æ1 3 ö 1 3 1 3 Ta có: I = (x + 1)dx = ç x + x÷ = b + b - a - a . ò èç ø÷ a 3 a 3 3 p p 2 2 a Câu 13. Biết I = ò x cos 2xdx = ap 3 + bò sin 2xdx , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của là: p p b 6 6 1 1 1 1 A. . B C.- . D.- . 12 24 12 24 p p 2 2 a Giải: Biết I = ò x cos 2xdx = ap 3 + bò sin 2xdx . Giá trị của là: p p b 6 6 p p p ì 1 p ï 2 2 2 ï a = - æ1 ö2 1 p 3 1 ï 24 a 1 Ta có: I = x cos 2xdx = ç x sin 2x÷ - sin 2xdx = - - sin 2xdx Þ í Þ = . ò èç ø÷p ò ò ï p 2 2 p 24 2 p ï 1 b 12 6 ï b = - 6 6 6 îï 2 2 1 2 + a a Câu 14. Cho dx = ln , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị là: ò 2 1 x + 1 1+ b b 2 5 2 3 A B. . C D. . 5 2 3 2 2 1 a a Giải: Cho dx = ln . Giá trị là: ò 2 1 x + 1 b b 2+ 5 ïì 2+ 5 2 dt dx ï x = 1 Þ t = 1+ 2 dt 2 + 5 Ta đặt: t = x + x + 1 Þ = . Đổi cận íï . = (ln t ) ln . t 2 ï ò t 1+ 2 1+ 2 x + 1 îï x = 2 Þ t = 2 + 5 1+ 2 Câu 15. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền (D) giới hạn bởi (C) : y = x 3 - x 2 ,(d) : y = x - 1 khi quay quanh trục Ox là: 208 209 208 209 A.p. B.p. C.p. D. p. 105 103 103 105 éx = - 1 1 1 208 Giải: x 3 - x 2 = x - 1 Û ê . V = p (x 3 - x 2 )2 - (x - 1)2 dx =p ((x - 1)2 - (x 3 - x 2 )2 )dx = p(dvtt) ê ò- 1 ò- 1 ëx = 1 105 Câu 16. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền (D) giới hạn bởi (C) : y = x 2 - 1, y = 0 khi quay quanh trục Ox là: 2 7 4 5 A.p. B.p. C.p. D. p. 3 3 3 3 1 1 4 Giải: x 2 - 1 = 0 Û x = ± 1. V = p x 2 - 1 dx =p (1- x 2 )dx = p(dvtt) ò- 1 ò- 1 3 ln x 1 Câu 17. Tính diện tích phần mặt phẳng bị giới hạn bởi đồ thị hàm số y = với đường thẳng x = ; x = và2 x 2 trục Ox. 3
4. 1 A. 2B.ln 2C.2 .D. ln 2. ln 2. ln2 2. 2 ln x Giải: = 0 Þ ln x = 0 Þ x = 1 x 2 ln x 1 ln x 2 ln x 1 ln x 0 e t .t 0 ln2 2 S = dx = - dx + dx e t = x Þ ln x = t dx = dt = tdt = ò ò ò . Đặt . Ta có: ò ò t ò 1 x 1 x 1 x 1 x 1 e 1 2 ln ln 2 2 2 2 2 2 ln x ln 2 e t .t ln 2 ln2 2 1 ln x 2 ln x dx = dt = tdt = S = - dx + dx = ln2 2 ò ò t ò . Từ đó suy ra: ò ò 1 x 0 e 0 2 1 x 1 x 2 ln x Câu 18. Tính diện tích phần mặt phẳng bị giới hạn bởi đồ thị hàm số y = với đường thẳng x = 1; x = e và trục x 3 Ox. 3 1 1 3 3 1 3 1 A. B. - . - . C. D.- . + . 4e 2 4 4 4e 2 4 4e 2 4 4e 2 e ln x e ln x 1 t 1 e- 2t 1 e- 2t e- 2 e- 2t 1 3 Giải: S = dx . Ta có: dx = dt = e- 2t tdt = t. 1- dt = - 1= - ò 3 ò 3 ò 2t ò - 0 ò - - 0 2 1 x 1 x 0 e 0 2 0 2 2 4 4 4e 1 Câu 19. Tính diện tích phần mặt phẳng bị giới hạn bởi đồ thị hàm số y = với đường thẳng e x + 2e- x - 3 x = ln 3; x = ln 5 và trục Ox. 7 2 3 2 A. ln . B. C. ln . ln . D. ln . 2 3 2 7 ln 5 dx dt Giải: S = . Đặt e x = t Þ e x dx = dt Þ dx = ò x + - x - ln 3 e 2e 3 t ln 5 dx 5 dt 5 dt 5 dt 3 Ta có: = = = = ln ò e x + 2e- x - 3 ò æ 2 ö ò t 2 - 3t + 2 ò(t - 2)(t - 1) 2 ln 3 3 t çt + - 3÷ 3 3 èç t ÷ø e 2x Câu 20. Tính diện tích phần mặt phẳng bị giới hạn bởi đồ thị hàm số y = với đường thẳng e x - 1 x = ln 2; x = ln 5 và trục Ox. 20 10 40 50 A. . B. C. D. . . . 3 3 3 3 ln 5 e 2x ln 5 e 2x 5 t Giải: S = dx . Ta có: dx = dt ò x ò x ò ln 2 e - 1 ln 2 e - 1 2 t - 1 Đây là lúc chúng ta sử dụng một số cách rút gọn về đa thức quen thuộc: 5 5 æ ö 3 1 t - 1+ 1 1 ÷ 2 5 20 I = dt = ç t - 1 + ÷dt = (t - 1)2 + 2(t - 1)2 = ò òç ÷ 2 2 t - 1 2 è t - 1ø 3 3 a + i b Câu 21. Phần thực và phần ảo của các số phức là: i a b 2a b 2a A. và - a. B. và - a. C. - và a . D. - và a . a b a b a + i b (a + i b)(- i a) - ia a + ab b = = = - i a i a - i 2a a a 100 Câu 22. Kết quả của phép tính (1- i) là: A. B.- 2 25. - 250. C. 250. D. 225. 100 2 50 50 (1- i) = é(1- i) ù = (- 2i) = - 250 ëê ûú 2(1+ 2i) Cho số phức z thỏa mãn: (2 + i)z + = 7 + 8i . Tìm môđun của số phức w = z + 1+ i. Câu 23. 1+ i 4
5. A. 5. B. 5. C. 3. D. 3. 2(1+ 2i) Giải: Giả sử z = a + bi . (1) Û (2 + i)(a + bi) + = 7 + 8i 1+ i 2(1+ 2i)(1- i) Û 2a + 2bi + ai + bi 2 + = 7 + 8i Û 2a + 2bi + ai - bi + 1- i + 2i - 2i 2 = 7 + 8i 1+ i 2 ïì 2a - b + 3 = 7 ïì a = 3 Û íï Û íï . Do đó w = 3+ 2i + 1+ i = 4 + 3i Þ w = 16 + 9 = 5 . îï 2b + a + 1 = 8 îï b = 2 Câu 24. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: z - (2 + i) = 10 và z.z = 25. A.1.B. 2.C. 3.D. 4. Giải: Gọi z = x + yi (với x, y Î ¡ ) suy ra z - (2 + i)= (x - 2)+ (y - 1)i 2 2 Ta có: z - (2 + i) = 10 Û (x - 2) + (y - 1) = 10 (1) z.z = 25 Û x 2 + y2 = 25 (2) Câu hệ (1) và (2) ta được: (x; y)= (3;4) hoặc (x; y)= (5;0) Vậy: z = 3+ 4i hoặc z = 5. Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn z - 4 = z và (z + 4)(z + 2i) là số thực. Điểm M biểu diễn số phức z trong hệ tọa độ Oxy có tọa độ là: A. B.M (2;- 3). M (2;3). C.M (- 2;3). D. M (- 2;- 3). Giải: Gọi z = a + bi; a,b Î ¡ . Từ giả thiết cho ta: ì 2 2 2 2 ï (a - 4) + b = a + b ïì b = 3 íï Û íï Þ M (2;3) ï é ù ï a = 2 îï (6 + bi)ë2 + (2- b)iû= 12- b(2- b)+ (12- 4b)i Þ 12- 4b = 0 îï Câu 26. Cho các số phức z thỏa mãn z - 1+ i = 1 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức làz một đường tròn. Bán kính R của đường tròn đó là: A. R = 1. B. R = 2. C. R = 4. D. R = 8. Giải: Gọi số phức z = x + yi; x, y Î ¡ . Từ giả thiết ta có: 2 2 z - 1+ i = 1 Û (x - 1)+ (y + 1)i = 1 Û (x - 1) + (y + 1) = 1 Þ R = 1 . Câu 27. Cho các số phức z thỏa mãn - 2 + i (z - 1) = 5 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tâm I của đường tròn đó là: A. I (1;- 2). B. I (1;2). C. I (- 1;2). D. I (- 1;- 2). Giải: Gọi số phức z = x + yi; x, y Î ¡ . Từ giả thiết ta có: 2 2 - 2- i (x - 1+ yi) = 5 Û - y - 2 + (x - 1)i = 5 Û (x - 1) + (y + 2) = 25 Þ I (1;- 2) Câu 28. Cho các số phức z thỏa mãn z - 1+ 2i „ 2. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là: 2 2 A. Đường tròn (x - 1) + (y + 2) = 4 . 2 2 B. Những điểm nằm trong đường tròn (x - 1) + (y + 2) = 4 2 2 C. Những điểm nằm trong và nằm trên đường tròn (x - 1) + (y + 2) = 4 2 2 D. Những điểm nằm ngoài đường tròn (x - 1) + (y + 2) = 4 2 2 Giải: Gọi z = x + yi, z, y Î ¡ . Ta có a + bi - 1+ 2i „ 2 Û (x - 1) + (y + 2) „ 4 Þ Đáp án C. Câu 29. Cho các số phức z thỏa mãn 2z + z + 1 = 3 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tâm I của đường tròn đó là: æ 1 ö æ1 ö æ 1ö æ - 1ö A. I ç- ;0÷. B. I ç ;0÷. C. I ç0; ÷. D. I ç0; ÷. èç 3 ø÷ èç3 ø÷ èç 3ø÷ èç 3 ø÷ Giải: Gọi z = x + yi; x, y Î ¡ . Từ giả thiết ta có: 2 2 æ 1 ö 2x + 2yi + x - yi + 1 = 3 Û 3x + 1+ yi = 3 Û (3x + 1) + y = 9 Þ I ç- ;0÷. èç 3 ø÷ 5
6. z + 2- 3i Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn = 1 là đường thẳng D : ax + by + c = 0 Câu 30. z - 4 + i Tính a.b.c. Chọn đáp án đúng. A. 2.B. 1.C. 3. D. 4. Giải: Giả sử z = x + yi (x, y Î ¡ ) có điểm M (x; y) biểu diễn z trên mặt phẳng (Oxy). Khi đó giả thiết tương đương với 2 2 2 2 z + 2- 3i = z - 4 + i Þ x + 2 + (y - 3)i = x - 4 - (y - 1)i Û (x + 2) + (y - 3) = (x - 4) + (y - 1) Û 3x - y - 1 = 0 Kết luận: Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng 3x - y - 1 = 0 2 2 2 Câu 31. Cho z1, z2 là nghiệm của z - (1+ i 2)z + 2- 3i = 0 . Tính giá trị của phần thực của z1 + z2 là: A. - 4. B.- 5. C. - 6. D.- 7. 2 2 2 2 z1 + z2 = (z1 + z2 ) - 2z1z2 = (1+ i 2) - 2(2- 3i) = - 5+ (6 + 2 2)i z 3 + (2- 2i)z 2 + (5- 4i)z - 10i = 0 Câu 32. Phương trình có nghiệm là: éz = - 2i éz = 2i éz = i éz = - i ê ê ê ê ê = - + ê = - + ê = - + ê = - + A.êz 1 2i . B. êz 1 2i . C.êz 1 2i . D. êz 1 2i . ê ê ê ê ëz = - 1- 2i ëz = - 1- 2i ëz = - 1- 2i ëz = - 1- 2i éz = 2i ê 3 + - 2 + - - = Û - 2 + + = Û ê = - + z (2 2i)z (5 4i)z 10i 0 (z 2i)(z 2z 5) 0 êz 1 2i ê ëz = - 1- 2i 2 Câu 33. Tìm tham số m để phương trình số phức z - mz + m + 1 = 0 có 2 nghiệm z1, z2 thỏa mãn 2 2 z1 + z2 = z1z2 + 1 . A. m = - 1;m = - 4. B. m = 4. C. m = - 1;m = 4. D. m = - 1. 2 Giải: z - mz + m + 1 = 0 ïì z + z = m · íï 1 2 ï îï z1z2 = m + 1 ém = 4(N ) 2 2 2 2 ê · z1 + z2 = z1z2 + 1 Û (z1 + z2 ) - 2z1z2 = z1z2 + 1 Û m - 3(m + 1)- 1 = 0 Û ê ëêm = - 1(N ) 2 2 2 Câu 34. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2(1+ i)z - 4(2- i)z - 5- 3i = 0 . Tính z1 + z2 . A. 9. B. 8. C. 7.D. 5. 2 Giải: Ta có D ' = 4(2- i) + 2(1+ i)(5+ 3i)= 16 . Vậy phương trình có hai nghiệm phức 3 5 1 1 2 2 z = - i, z = - - i . Do đó z + z = 9 . 1 2 2 2 2 2 1 2 Câu 35. Cho ba điểm A(3,1,0); B(2,1,- 1); C (x, y,- 1) . Tìm tọa độ của C để DABC là tam giác đều A. (3,2,- 1). B. (3,0,- 1). C. (- 3,- 2,1); (3,0,- 1). D. (3,2,- 1); (3,0,- 1). ì 2 2 ïì AC = AB ï x + y - 6x - 2y + 9 = 0 (1) Û íï Û íï ï BC = AB ï 2 2 Giải: DABC đều îï îï x + y - 4x - 2y + 3 = 0 (2) . Hai điểm C (3;2;- 1);C '(3;0;- 1) (2)- (1): 2x - 6 = 0 Û x = 3 Þ y2 - 2y = 0 Û y = 2 Ú y = 0 ur r r uur r r r r ur Câu 36. Cho hai vectơ V = ma - 2b và W = mb - a với a = (2,1,- 1) và b = (1,- 2,1) . Với giá trị nào của m thì V uur và W cùng phương? A. 2. B. - 2. C. 2. D. ± 2. ur uur V = (2m - 2;m + 4;- m - 2);W = (m - 2;- 2m - 1;m + 1) ur uur V cùng phương W Û a1b2 - a2b1 = 0 Û (2m - 2)(- 2m - 1)- (m + 4)(m - 2)= 0 Û m = ± 2 Câu 37. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (a) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0 và x + 3y - 2z + 7 = 0 ,chứa điểm M (- 1,2,4) là: A. x + 10y - 9z + 17 = 0. B. x - 10y + 9z + 17 = 0. C.x - 10y - 9z - 17 = 0. D. x + 10y + 9z - 17 = 0. Giải: (a)thuộc chùm mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 + m(x + 3y - 2z + 7)= 0 nên có dạng 6
7. (m + 2)x + (3m - 1)y - (2m - 3)z + 7m + 4 = 0(*) M Î (a) Û (m + 2).(- 1)+ (3m - 1).2- (2m - 3).4 + 7m + 4 = 0 Û 4m + 12 = 0 Û m = - 3 Thế vào (*) :x + 10y - 9z + 17 = 0 . Câu 38. Ba mặt phẳng 2x + y - z - 1 = 0,3x - y - z + 2 = 0,4x - 2y + z - 3 = 0 cắt nhau tại điểm A . Tọa độ của A là: A. A(1,- 2,3). B. A(1,- 2,- 3). C. A(1,2,3). D. A(- 1,2,3). ì ï 2x + y - z - 1 = 0(1) ï Giải: Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình :í 3x - y - z + 2 = 0(2) ï ï îï 4x - 2y + z - 3 = 0(3) 2z - 1 z + 7 Giải (1),(2) tính x,y theo z được x = ; y = . Thế vào (3) được z = 3, từ đó có x = 1, y = 2 . Vậy A(1,2,3) . 5 5 Câu 39. Cho tứ diện ABCD có A(5,1,3),B(1,6,2),C (5,0,4), D(4,0,6) . Mặt phẳng chứa BC và song song với AD có phương trình : A.8x - 7y + 5z - 60 = 0. B. 8x + 7y + 5z - 60 = 0. C.8x - 7y - 5z - 60 = 0. D. 8x + 7y - 5z - 60 = 0. uuur uuur uuur uuur r BC = (4,- 6,2); AD = (- 1,- 1,3),éBC, ADù= (- 16,- 14,- 10) cùng phương với n = (8,7,5) Giải: ëê ûú r Chọn n làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa BC và song song với AD. Phương trình (P) có dạng :8x + 7y + 5z + D = 0 . Điểm B Î (P)Û 8 + 42 + 10 + D = 0 Û D = - 60 Phương trình (P) : 8x + 7y + 5z - 60 = 0 Câu 40. Cho hai điểm A(2,- 3,4); B(- 1,4,3) . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) vuông góc với AB , 3 cắt ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz tại M ,N,E sao cho thể tích O.MNE bằng đvtt. 14 A. 3x - 7y + z ± 3 = 0. B. 3x - 7y + z + 3 = 0. C. 3x - 7y + z - 3 = 0. D. 3x - 7y + z ± 27 = 0. uuur Giải: Vectơ pháp tuyến của (P): AB = (- 3,7,- 1) . Phương trình (P): 3x - 7y + z + D = 0 æ D ö æ D ö (P) cắt 3 trục tọa độ tại M ç- ,0,0÷; N ç0, ,0÷; E (0,0,- D) èç 3 ÷ø èç 7 ÷ø 3 1 1 D D D 3 3 V = OM.ON.OE = . .D Û = Û D = 27 Û D = ± 3 Þ (P): 3x - 7y + z ± 3 = 0 O.MNE 6 6 3 7 126 14 Câu 41. Cho hai mặt phẳng (P): mx + (m - 1)y - z - 3 = 0 và (Q):(m - 1)x + my + z + 5 = 0 . Với giá trị nào của m thì (P) và (Q) tạo với nhau một góc 60° ? A. - 1. B. 2. C. 1 và 2. D. - 1 và 2. 2 2m - 2m - 1 1 ém = - 1 cos 60o = = Û 4m2 - 3m - 2 = 2m2 - 2m + 2 Û m2 - m - 2 = 0 Û ê . 2 2 ê m2 + (m - 1) + 1. (m - 1) + m2 + 1 2 ëm = 2 Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): x + 2y - 3z + 4 = 0 và đường thẳng x + 2 y - 2 z d : = = . Đường thẳng D nằm trong (P) đồng thời cắt và vuông góc với d có phương trình: 1 1 - 1 x - 3 y - 1 z - 1 x + 3 y + 1 z - 1 A. D : = = . B. D : = = . 1 - 2 - 1 1 - 2 - 1 x + 3 y - 1 z - 1 x + 3 y - 1 z + 1 C. D : = = . D. D : = = . 1 - 2 - 1 1 - 2 - 1 uur uur Giải: Mặt phẳng (P) có VTPT nP = (1;2;- 3) ; d có VTCP ud - (1;1;- 1) . ïì x + 2 y - 2 z ï = = Gọi A = d Ç(P) , tọa độ điểm A thỏa mãn hệ í 1 1 - 1 Þ A(- 3;1;1) . ï îï x + 2y - 3z + 4 = 0 uur uur uur Do D nằm trong (P) và vuông góc với d nên có VTCP u = én ,u ù= (1;- 2;- 1) . D ëê P d ûú uur uur uur Khi đó đường thẳng D được xác định là đi qua A(- 3;1;1) và có VTCP u = én ,u ù= (1;- 2;- 1) nên có phương D ëê P d ûú 7
8. x + 3 y - 1 z - 1 trình D : = = . 1 - 2 - 1 Câu 43. Cho tam giác ABC có A(3,- 1,- 1); B(1,2,- 7); C (- 5,14,- 3) . Viết phương trình của đường phân giác trong BD của góc B . x - 1 y - 2 z + 7 x - 1 y - 2 z + 7 x - 1 y - 1 z + 7 x - 1 y - 2 z + 7 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . - 1 3 8 - 1 2 8 - 1 3 8 - 1 3 4 uuur uuur BA = (2,- 3,6)Þ BA = 7;BC = (- 6,12,4)Þ BC = 14 Giải: ïì - 5+ 2.3 1 ï x = = ï 3 3 uuur ï DC BC ï 14 + 2(- 1) Þ uuur = - = - 2 Þ D chia CA theo tỷ số k = - 2 Þ D íï y = = 4 DA BA ï 3 ï ï - 3+ 2(- 1) 5 ï z = = - îï 3 3 uuur 2 x - 1 y - 2 z + 7 Ta có BD = (- 1,3,8) Nên BD : = = 3 - 1 3 8 ïì x = 3+ 4t ï Câu 44. Với giá trị nào của m và n thì đường thẳng (D): íï y = 1- 4t (t Î ¡ ) song song với mặt phẳng ï îï z = t - 3 (P):(m - 1)x + 2y - 4z + n - 9 = 0 ? A. m = 4; n = 14. B. m = - 4; n = - 10. C. m = 3; n = - 11. D. m = 4; n = - 14. r Giải: (D) qua A(3,1,- 3) và có vecto chỉ phương a = (4,- 4,1) . Vecto pháp tuyến của (P):(m - 1,2,- 4) r r ì ï a.n = 0 ïì m = 4 ïì m = 4 (D)Ì (P)Û íï Û íï Û íï ï ï 3m + n = - 2 ï n = - 14 îï A Î (P) îï îï ïì x = t ï Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng D : íï y = 8 + 4t và mặt phẳng ï îï z = 3+ 2t (P): x + y + z - 7 = 0. D ' D (P) Phương trình đường thẳng là hình chiếu vuông góc của trên là: ïì x = 8 + 4t ïì x = - 8- 4t ïì x = - 8 + 4t ïì x = - 8 + 4t ï ï ï ï A. íï y = 15- 5t B. íï y = 15- 5t C. íï y = 5- 5t D. íï y = 15- 5t ï ï ï ï îï z = t. îï z = t. îï z = t. îï z = t. Giải: Gọi (Q) là mặt phẳng chứa D và vuông góc với (P) , suy ra (Q): 2x + y - 3z + 1 = 0. ïì x + y + z - 7 = 0 Khi đó D ' cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q) nên thỏa mãn hệ íï . îï 2x + y - 3z + 1 = 0 ïì x = - 8 + 4t ï Đặt z = t, ta có phương trình tham số của D ' là íï y = 15- 5t . ï îï z = t Câu 46. Viết phương trình mặt cầu (S)ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(0,- 1,0); B(2,0,1);C (1,0,- 1);D(1,- 1,0). A. x 2 + y2 + z 2 - x + y - z - 2 = 0. B. x 2 + y2 + z 2 - x - y - z - 2 = 0. C. x 2 + y2 + z 2 - 2x + y - 2z + 2 = 0. D. x 2 + y2 + z 2 + 2x - 2y + z + 2 = 0. Giải: (S): x 2 + y2 + z 2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 qua A,B,C, D Þ (S): x 2 + y2 + z 2 - x - y - z - 2 = 0 Câu 47. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng song song (P): x - 2y + 2z + 6 = 0;(Q): x - 2y + 2z - 10 = 0 và có tâm I ở trên trục y 'Oy. A. x 2 + y2 + z 2 - 2y + 55 = 0. B. x 2 + y2 + z 2 + 2y - 60 = 0. 55 55 C. x 2 + y2 + z 2 + - 2y - = 0. D. x 2 + y2 + z 2 + 2y - = 0. 9 9 8 Giải: (P) và (Q)cắt y 'Oy lần lượt tại A(0,3,0) và B(0,- 5,0) . Tâm I (0,- 1,0) . Bán kính R = d (I,P)= 3 8
9. 2 64 55 Þ (S): x 2 + (y + 1) + z 2 = Û x 2 + y2 + z 2 - = 0 9 9 x - 2 z - 1 Câu 48. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I (4,2,- 1) nhận đường thẳng (D): = y + 1 = làm tiếp tuyến. 2 2 2 2 2 2 2 2 A.(x - 4) + (y - 2) + (z + 1) = 4. B. (x - 4) + (y - 2) + (z + 1) = 16. 2 2 2 2 2 2 C. (x - 4) + (y - 2) + (z + 1) = 9. D. (x - 4) + (y - 2) + (z + 1) = 3. r r Giải: (D) qua A(2,- 1,1) có vecto chỉ phương a = (2,1,2)Þ a = 3 uur r uur r uur 12 2 2 2 AI = (2,3,- 2)Þ éa, AI ù= (- 8,8,4)Þ éa, AI ù= 12 Þ r = d (I, D)= = 4 Þ (S):(x - 4) + (y - 2) + (z + 1) = 16 ëê ûú ëê ûú 3 Câu 49. Viết phương trình mặt cầu (S) qua gốc O và các giao điểm của mặt phẳng (P): 2x + y - 3z + 6 = 0 với ba trục tọa độ. A. x 2 + y2 + z 2 - 3x + 6y + 2z = 0. B. x 2 + y2 + z 2 - 3x - 6y - 2z = 0. C. x 2 + y2 + z 2 + 3x + 6y + 2z = 0. D. x 2 + y2 + z 2 + 3x + 6y - 2z = 0. Giải: (P)cắt ba trục Ox,Oy,Oz tại A(- 3,0,0);B(0,- 6,0),C (0,0,2) (S): x 2 + y2 + z 2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 qua O, A,B,C, nên: 3 d = 0; 9 + 6a = 0 Û a = - ; 36 + 12b = 0 Û b = - 3; 4 - 4c = 0 Û c = 1 . Vậy (S): x 2 + y2 + z 2 + 3x + 6y - 2z = 0 2 Câu 50. Với mỗi bộ giá trị của các tham số a,b,c (a,b không đồng thời bằng 0), xét mặt cầu có phương trình 2 x 2 - 2ax + y2 - 2by + (z - c) = 0. Tìm khẳng định đúng. A. Mọi mặt cầu đó đi qua gốc tọa độ O . B. Mọi mặt cầu đó tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy). C. Mọi mặt cầu đó tiếp xúc với trục Oz. D. Mọi mặt cầu đó tiếp xúc với các trục O vàx O y. Giải: Ta có bán kính mặt cầu bằng a2 + b2 , khoảng cách từ tâm I (a;b;c) của mặt cầu theo thứ tự đến gốc tọa độ O, đến trục Oz, đến mặt phẳng (bằngOxy) a2 + b2 + c 2 , a2 + b Chọn2 , c . C. 9