›
›
›

Giáo án môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

doc 56 trang nhatle22 2530
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo án môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docgiao_an_mon_toan_lop_12_chuyen_de_tinh_don_dieu_va_cuc_tri_c.doc

Nội dung text: Giáo án môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

  1. Buổi 1. CHỦ ĐỀ 1+2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN A. Tính đơn điệu của hàm số 1. Định nghĩa: Cho hàm số y f (x) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn. Hàm số y f (x) đồng biến (tăng) trên K nếu x1, x2 K, x1 x2 f x1 f x2 . Hàm số y f (x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x1, x2 K, x1 x2 f x1 f x2 . 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f (x) có đạo hàm trên khoảng K . Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f x 0,x K . Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f x 0,x K . 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f (x) có đạo hàm trên khoảng K . Nếu f x 0,x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K . Nếu f x 0,x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K . Nếu f x 0,x K thì hàm số không đổi trên khoảng K .  Chú ý.  Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y f (x liên) tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y f (x liên) tục trên đoạn a; vàb có đạo hàm f x 0,x K trên khoảng a;b thì hàm số đồng biến trên đoạn a;b .  Nếu f x 0,x K ( hoặc f x 0,x K ) và f x 0chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K ). 4. Kĩ năng cơ bản 4.1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x) Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P(x) , hoặc giá trị của x làm biểu thức Pkhông(x) xác định. Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu. 4.2 . Xét tính đơn điệu của hàm số y f (x) trên tập xác định Bước 1. Tìm tập xác định D. Bước 2. Tính đạo hàm y f (x) . Bước 3. Tìm nghiệm của f (x) hoặc những giá trị x làm cho f (x) không xác định. Bước 4. Lập bảng biến thiên. Bước 5. Kết luận. 4.3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f (x) đồng biến, nghịch biến trên khoảng a; b cho trước. Cho hàm số y f (x,m) có tập xác định D, khoảng (a;b)  D :  Hàm số nghịch biến trên (a;b) y ' 0,x (a;b) 1
  2.  Hàm số đồng biến trên (a;b) y ' 0,x (a;b) a x b  Chú ý: Riêng hàm số y 1 1 thì : cx d . Hàm số nghịch biến trên (a;b) y ' 0,x (a;b) . Hàm số đồng biến trên (a;b) y ' 0,x (a;b) * Nhắc lại một số kiến thức liên quan: Cho tam thức g(x) ax2 bx c (a 0) a 0 a 0 a)g(x) 0,x ¡ b) g(x) 0,x ¡ 0 0 a 0 a 0 c) g(x) 0,x ¡ d) g(x) 0,x ¡ 0 0  Chú ý: Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a;b) :  Bước 1: Đưa bất phương trình f (x) 0 (hoặc f (x) 0 ), x (a;b) về dạng g(x) h(m) (hoặc g(x) h(m) ), x (a;b) .  Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên (a;b) .  Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m. B. Cực trị của hàm số 1. Định nghĩa: Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là ; b là ) và điểm x0 (a;b) . Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x f x0 với mọi x (x0 h; x0 h) và x x0 thì ta nói hàm số f (x) đạt cực đại tại x0 . Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x f x0 với mọi x (x0 h; x0 h) và x x0 thì ta nói hàm số f (x) đạt cực tiểu tại x0 . 2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y f (x) liên tục trên K (x0 h; x0 h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \{x0} , với h 0 . Nếu f ' x 0 trên khoảng (x0 h; x0 ) và f '(x) 0 trên (x0 ; x0 h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f (x) . Nếu f x 0 trên khoảng (x0 h; x0 ) và f (x) 0 trên (x0 ; x0 h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f (x) . Minh họa bằng bảng biến thiên x x0 h x0 x0 h x x0 h x0 x0 h f (x) f (x) fCÑ f (x) f (x) fCT  Chú ý. 2
  3.  Nếu hàm số đạty cựcf (x )đại (cực tiểu) tại thì đượcx0 gọix 0là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f (x0 ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCÑ ( fCT ) , còn điểm M (x0 ; f (x0 )) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.  Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. 3. Kĩ năng cơ bản 3.1.Quy tắc tìm cực trị của hàm số Quy tắc 1: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tínhf x . Tìm các điểm tại đó f x bằng 0 hoặc f x không xác định. Bước 3. Lập bảng biến thiên. Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Quy tắc 2: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tínhf x . Giải phương trình f x và ký hiệu xi i 1,2,3, là các nghiệm của nó. Bước 3. Tínhf x và f xi . Bước 4. Dựa vào dấu của f xi suy ra tính chất cực trị của điểm xi . 3.2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y ax3 bx2 cx d a 0 Ta có y 3ax2 2bx c Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt b2 3ac 0 2c 2b2 bc . Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là : y x d . 3 9a 9a Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị : 3 2 2 x b x i ax bx cx d 3ax 2bx c  Ai B y Ax B 3 9a y .y Hoặc sử dụng công thức y . 18a Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là: 4e 16e3 b2 3ac AB với e a 9a 3.3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương. Cho hàm số: y ax4 bx2 c a 0 có đồ thị là C . x 0 y 4ax3 2bx; y 0 b x2 2a b C có ba điểm cực trị y 0 có 3 nghiệm phân biệt. 0 2a b b 2 Khi đó ba điểm cực trị là: A 0;c , B ; , C ; với b 4ac 2a 4a 2a 4a 3
  4. b4 b b Độ dài các đoạn thẳng: AB AC , BC 2 . 16a2 2a 2a Các kết quả cần ghi nhớ: ABC vuông cân BC 2 AB2 AC 2 2b b4 b b4 b b b3 b3 2 2 2 0 1 0 1 0 a 16a 2a 16a 2a 2a 8a 8a đều A BC BC 2 AB2 2b b4 b b4 3b b b3 b3 2 2 0 3 0 3 0 a 16a 2a 16a 2a 2a 8a 8a b3 8a 8a B· AC , ta có: cos tan b3 8a 2 b3 b2 b S ABC 4 a 2a b3 8a Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là R 8 a b b2 b 4 a 2a b2 Bán kính đường tròn nội tiếp ABC là r b4 b b 4 a 16a2 2ab3 16a2 2a 2a 2 2 2 2 Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là: x y c y c 0 b 4a b 4a II. LUYỆN TẬP A. Tính đơn điệu của hàm số Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: 2x 3 1/ y x4 8x2 5 ; 2/ y 4 x x2 x 1 3/ y ; 4/ y 25 x2 x 2 1 Bài 2: Cho hàm số y (m 1)x3 mx2 (3m 2)x (1) 3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. HD giải. Tập xác định: D = R. y (m 1)x2 2mx 3m 2 . (1) đồng biến trên R y 0, x m 2 Bài 3: Cho hàm số y x3 3x2 mx 4 (1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( ;0) . HD giải. Tập xác định: D = R. y 3x2 6x m . y có 3(m 3) . + Nếu m 3 thì 0 y 0,x hàm số đồng biến trên R m 3 thoả YCBT. + Nếu m 3 thì 0 PT y 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 x2 ) . Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; x1),(x2; ) . 4
  5. 0 m 3 Do đó hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) 0 x1 x2 P 0 m 0 (VN) S 0 2 0 Vậy: m 3 . Bài 4: Cho hàm số y 2x3 3mx2 1 (1). Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng (x1; x2 ) với x2 x1 1 . HD giải. y' 6x2 6mx , y' 0 x 0  x m . + Nếu m = 0 y 0,x ¡ hàm số nghịch biến trên ¡ m = 0 không thoả YCBT. + Nếu m 0 , y 0,x (0;m) khi m 0 hoặc y 0,x (m;0) khi m 0 . Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (x1; x2 ) với x2 x1 1 . (x1; x2 ) (0;m) m 0 1 và x2 x1 1 m 1 (x1; x2 ) (m;0) 0 m 1 B. Cực trị của hàm số Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số: 1 1 1) y = x3 4x 2) y = x4 4x2 1 3 4 x2 3x 2x 7 3) y = 4) y = x 1 4x 3 x2 2x 2 x 3 5) y 6) y x 1 x 4 Bài 2: Tìm m để hàm số: x 2 mx 1 1) y = đạt cực đại tại x = 2 x m x 2 mx m 1 2) y = đạt cực tiểu tại x = 1 x 1 x2 2x m 3) y đạt cực tiểu tại x = 2 x 1 4) y mx3 3x2 5x m đạt cực tiểu tại x = 2 1 3 2 5) y mx (m 2)x (2 m)x 2 đạt cực đại tại x = –1 3 Bài 3: Cho hàm số y 2x2 3(m 1)x2 6mx m3 . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho AB 2 . HD giải. Ta có: y 6(x 1)(x m) . Hàm số có CĐ, CT y 0 có 2 nghiệm phân biệt m 1 . Khi đó các điểm cực trị là A(1;m3 3m 1),B(m;3m2 ) . AB 2 (m 1)2 (3m2 m3 3m 1) 2 m 0; m 2 (thoả điều kiện). Bài 4: Cho hàm số y x3 3(m 1)x2 9x m , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1,x2 sao cho x1 x2 2 . HD giải. Ta có y' 3x2 6(m 1)x 9. + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 PT y' 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 5
  6. 2 PT x 2(m 1)x 3 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2 . 2 m 1 3 ' (m 1) 3 0 (1) m 1 3 + Theo định lý Viet ta có x1 x2 2(m 1); x1x2 3. Khi đó: 2 2 2 x1 x2 2 x1 x2 4x1x2 4 4 m 1 12 4 (m 1) 4 3 m 1 (2) + Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là 3 m 1 3 và 1 3 m 1. III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM x 1 Câu 1. Cho hàm số y . Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng? 1 x A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1  1; . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1  1; . C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1; . D. Hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 1; . Câu 2. Cho hàm số y x3 3x2 3x 2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số luôn nghịch biến trên ¡ . B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1; . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 và nghịch biến trên khoảng 1; . D. Hàm số luôn đồng biến trên ¡ . Câu 3. Cho hàm số y x4 4x2 10 và các khoảng sau: (I): ; 2 ; (II): 2;0 ; (III): 0; 2 ; Hàm số đồng biến trên các khoảng nào? A. Chỉ (I).B. (I) và (II).C. (II) và (III).D. (I) và (III). 3x 1 Câu 4. Cho hàm số y . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 4 2x A. Hàm số luôn nghịch biến trên ¡ . B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ;2 và 2; . D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2 và 2; . Câu 5. Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên ¡ ? A. h(x) x4 4x2 4 .B. g( .x) x3 3x2 10x 1 4 4 C. f (x) x5 x3 x .D. k(x) . x3 10x cos2 x 5 3 x2 3x 5 Câu 6. Hàm số y nghịch biến trên các khoảng nào ? x 1 A. ( ; 4) và (2; ) .B. . 4;2 6
  7. C. ; 1 và 1; .D. và . 4; 1 1;2 3 Câu 7. Hàm số yđồng biếnx5 3trênx4 khoảng4x3 2 nào? 5 A. ( ;0) .B. . ¡ C. .D. (0;2) . (2; ) Câu 8. Cho hàm số y ax3 bx2 cx d . Hàm số luôn đồng biến trên¡ khi nào? a b 0,c 0 a b 0,c 0 A. . B. . 2 2 a 0;b 3ac 0 a 0;b 3ac 0 a b 0,c 0 a b c 0 C. . D. . 2 2 a 0;b 3ac 0 a 0;b 3ac 0 Câu 9. Cho hàm số y x3 3x2 9x 15 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;1 . B. Hàm số đồng biến trên ¡ . C. Hàm số đồng biến trên 9; 5 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng 5; . Câu 10. Tìm điều kiện để hàm số y ax4 bx2 c (a 0) có 3 điểm cực trị . A. B.ab 0. C.a bD. 0. b 0. c 0. Câu 11. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên: x 2 4 y 0 0 3 y 2 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x 2 . B. Hàm số đạt cực đại tại . x 3 C. Hàm số đạt cực đại tại x 4 . D. Hàm số đạt cực đại tại x 2 . Câu 12. Cho hàm số y x3 3x2 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x 2 và đạt cực tiểu tại x 0 . B. Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 và đạt cực đại x 0 . C. Hàm số đạt cực đại tại x 2 và cực tiểu tại x 0 . D. Hàm số đạt cực đại tại x 0 và cực tiểu tại x 2 . Câu 13. Cho hàm số y x4 2x2 3 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có ba điểm cực trị.B. Hàm số chỉ có đúng 2 điểm cực trị. C. Hàm số không có cực trị.D. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị. Câu 14. Biết đồ thị hàm số y x3 3x 1 có hai điểm cực trị A, B . Viết phương trình đường thẳng AB . A. B.y x 2. y 2x 1. C. D.y 2x 1. y x 2. 7
  8. x2 3x 3 Câu 15. Gọi M ,n lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số y . Tính giá x 2 trị của biểu thức M 2 2n ? 2 2 2 2 A. M 2n 8. B. M 2n 7. C. D.M 2n 9. M 2n 6. Câu 16. Cho hàm số y x3 17x2 24x 8 . Kết luận nào sau đây là đúng? 2 A. B.x 1. C.x . D. x 3. x 12. CD CD 3 CD CD Câu 17. Cho hàm số y 3x4 6x2 1 . Kết luận nào sau đây là đúng? A. B.yC D 2. C.y CD 1. D. yC D 1. yCD 2. 3 Câu 18. Trong các hàm số sau, hàm số nào đạt cực đại tại x ? 2 1 A. B.y x4 x3 x2 3x. y x2 3x 2. 2 x 1 C. y 4x2 12x 8. D. y . x 2 Câu 19. Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ có cực đại mà không có cực tiểu? A. y 10x4 5x2 7. B. y 17x3 2x2 x 5. x 2 x2 x 1 C. y . D. y . x 1 x 1 Câu 20. Cho hàm số y x3 6x2 4x 7 . Gọi hoành độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là x1, x2 . Tính x1 x2 ? A. x1 x2 6. B. x1 x2 4.C. D. x1 x2 6. x1 x2 4. Câu 21. Tính hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y x3 3x2 4 . D. 4 .B. . 2C. .A. . 2 4 Câu 22. Xác định hàm số y ax3 bx2 cx d . Biết đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là gốc tọa độ và điểm A( 1; 1) . A. y 2x3 3x2 .B. . y 2x3 3x2 C. y x3 3x2 3x . D. . y x3 3x 1 Câu 23. Hàm số nào dưới đây có cực trị? A. y x4 1 .B. . y x3 x2 2x 1 x 1 C. y 2x 1 .D. . y 2x 1 Câu 24. Tìm các giá trị của tham số đểm đồ thị hàm số: y x4 3m 1 x2 2m có1 ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với điểm D 7;3 nội tiếp được một đường tròn. A. m 3. B. m 1. C. m 1 . D. Không tồn tại m. 8
  9. Câu 25. Tìm tất cả các giá trị của tham số đểm đồ thị hàm số: y x4 2mx2 m có 1 ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. m 1 m 1 1 5 A.B. 1 5 . C. 1 5 . D.m . m 1. m m 2 2 2 IV. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D B C D D B A A D A B A A D B B B D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B C C A B Buổi 2. Chủ đề 3+4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN A. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1. Định nghĩa: Cho hàm số y f (x) xác định trên miền D f (x) M ,x D Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên D nếu: . x0 D, f (x0 ) M Kí hiệu: M max f (x) hoặc M max f (x) . x D D f (x) m,x D Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên D nếu: . x0 D, f (x0 ) m Kí hiệu: m min f (x) hoặc m min f (x) x D D 2. Kĩ năng cơ bản Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f (x) liên tục trên K (K có thể là khoảng, đoạn, nửa khoảng, ) 2.1 Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên  Bước 1. Tính đạo hàm f (x) .  Bước 2. Tìm các nghiệm của f (x) và các điểm f (x) trên K.  Bước 3. Lập bảng biến thiên của f (x) trên K.  Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận min f (x),max f (x) K K 2.2 Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên  Trường hợp 1. Tập K là đoạn [a;b]  Bước 1. Tính đạo hàm f (x) . 9
  10.  Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi [a;b] của phương trình f (x) 0 và tất cả các điểm i [a;b] làm cho f (x) không xác định.  Bước 3. Tính f (a) , f (b) , f (xi ) , f ( i ) .  Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M max f (x) , m min f (x) . a;b a;b  Trường hợp 2. Tập K là khoảng (a;b)  Bước 1. Tính đạo hàm f (x) .  Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi (a;b) của phương trình f (x) 0 và tất cả các điểm i (a;b) làm cho f (x) không xác định.  Bước 3. Tính A lim f (x) , B lim f (x) , f (xi ) , f ( i ) . x a x b  Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M max f (x) , m min f (x) . (a;b) (a;b)  Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). B.Đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1. Đường tiệm cận ngang Cho hàm số y f (x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; ) , ( ;b) hoặc ( ; ) ). Đường thẳng y y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn lim f (x) y0 , lim f (x) y0 x x Nhận xét: Như vậy để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta chỉ cần tính giới hạn của hàm số đó tại vô cực. 2. Đường tiệm cận đứng Đường thẳng x x0 là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) . x x0 x x0 x x0 x x0 Ngoài ra cần nhớ các kiến thức về giới hạn sau: 3) Quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc tìm giới hạn của tích f (x).g(x) : Nếu lim f (x) L 0 và lim g(x) (hoặc ) thì x x0 x x0 lim f (x)g(x) được tính theo quy tắc cho trong bảng sau x x0 lim f (x) lim g(x) lim f (x)g(x) x x0 x x0 x x0 L 0 L 0 f (x) Quy tắc tìm giới hạn của thương : Nếu lim f (x) L 0 và lim g(x) (hoặc ) thì g(x) x x0 x x0 lim f (x)g(x) được tính theo quy tắc cho trong bảng sau x x0 10
  11. lim f (x) lim g(x) Dấu của g(x) f (x) x x0 x x0 lim x x0 g(x) 0 Tùy ý 0 L 0 + L 0 0 + (Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x x0 ) Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x x0 , x x0 , x và x . +) Nếu x x 0 x2 x x +) Nếu x x 0 x2 x x II. LUYỆN TẬP A. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 3 2 é ù a/ y = f (x) = 3x - x - 7x + 1 trên đoạn ëê0;2ûú . 3 2 é ù b/ y = f (x) = x - 8x + 16x - 9 trên đoạn ëê1;3ûú . 4 2 é ù c/ y = f (x) = - 2x + 4x + 3 trên đoạn ëê0;2ûú . 3 2 é ù d/ y = f (x) = 2x - 6x + 1 trên đoạn ëê- 1;1ûú . 3 2 é ù HD giải. a/ Tìm max – min của hàm số: y = f (x) = 3x - x - 7x + 1 trên ëê0;2ûú. é ù  Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn.ëê0;2ûú é é ù êx = 1 Î ëê0;2ûú (N )  Ta có: y ' = f ' x = 9x 2 - 2x - 7 Þ y ' = 0 Û 9x 2 - 2x - 7 = 0 Û ê ( ) ê 7 é ù x = - Ï ê0;2ú (L) ëê 9 ë û  Tính f (0) = 1; f (2) = - 9; f (1) = - 6 ïì max f (x) = 1 khi x = 0 ï [0;2] Þ íï ï min f (x) = - 9 khi x = 2 îï [0;2] 3 2 é ù b/ Tìm max – min của hàm số: y = f (x) = x - 8x + 16x - 9 trên ëê1;3ûú. é ù  Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn.ëê1;3ûú  Ta có: é é ù êx = 4 Ï ëê1;3ûú (L) y ' = f ' x = 3x 2 - 16x + 16 Þ y ' = 0 Û 3x 2 - 16x + 16 = 0 Û ê ( ) ê 4 é ù x = Î ê1;3ú (N ) ëê 3 ë û  Tính: 11
  12. æ4ö 13 f (1) = 0; f (3) = - 6; f ç ÷= èç3ø÷ 27 ïì 13 4 ï max f (x) = khi x = Þ íï [1;3] 27 3 ï min f (x) = - 6 khi x = 3 îï [1;3] 4 2 é ù c/ Tìm max – min của hàm số: y = f (x) = - 2x + 4x + 3 trên ëê0;2ûú. é ù  Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn.ëê0;2ûú é é ù êx = 0 Î ëê0;2ûú (N ) 3 3 ê é ù  Ta có: y ' = f '(x) = - 8x + 8x Þ y ' = 0 Û - 8x + 8x = 0 Û êx = - 1 Ï ê0;2ú (L) . ê ë û êx = 1 Î é0;2ù N ë ëê ûú ( )  Tính: f (0) = 3; f (2) = - 13; f (1) = 5 ïì max f x = 5 khi x = 1 ï ( ) ï é0;2ù Þ íï ëê ûú ï min f (x) = - 13 khi x = 2 ï ï é0;2ù îï ëê ûú 3 2 é ù d/ Tìm max – min của hàm số: y = f (x) = 2x - 6x + 1 trên ëê- 1;1ûú. é ù  Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn.ëê- 1;1ûú éx = 0 Î é- 1;1ù (N )  Ta có: y ' = f '(x) = 6x 2 - 12x Þ y ' = 0 Û 6x 2 - 12x = 0 Û ê ëê ûú . êx = 2 Ï é- 1;1ù L ëê ëê ûú ( )  Tính: f (- 1) = - 7; f (1) = - 3; f (0) = 1 ïì max f x = 1 khi x = 0 ï ( ) ï é- 1;1ù Þ íï ëê ûú ï min f (x) = - 7 khi x = - 1 ï ï é- 1;1ù îï ëê ûú Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 4 x - 1 a/ y = x + , (x > 0) . b/ y = . x x 2 - x + 1 1 x + 1+ 9x 2 c/ y = x - ,x Î 0;2ù . d/ y = , x > 0 . ( ú 2 ( ) x û 8x + 1 4 HD giải. a/ Tìm max – min của hàm số: y = x + , (x > 0) x * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên (0;+ ¥ ) . 4 x 2 - 4 Ta có: y ' = 1- = , " x Î (0;+ ¥ ) Þ y ' = 0 Û x 2 - 4 = 0 Û x = ± 2. x 2 x 2 Bảng biến thiên: 12
  13. x - 2 0 2 + ¥ y ' + 0 - 0 + y 4 Dựa vào bảng biến thiênÞ min f (x) = 4 khi x = 2 và hàm số không có giá trị lớn nhất. (0;+ ¥ ) x - 1 b/ Tìm max – min của hàm số: y = x 2 - x + 1 Hàm số đã cho xác định và liên tục trênD = ¡ . - x 2 + 2x éx = 0 Ta có: y ' = Þ y ' = 0 Û - x 2 + 2x = 0 Û ê 2 ê 2 x = 2 (x - x + 1) ëê Bảng biến thiên: x - ¥ 0 2 + ¥ y ' - 0 + 0 - 1 0 y 3 - 1 0 1 1 Dựa vào bảng biến thiên, ta được: max y = khi x = 0 và miny = khi x = 2 . ¡ 3 ¡ 3 1 c/ Tìm max – min của hàm số: y = x - ,x Î (0;2ù x ûú ù Hàm số đã cho xác định và liên tục trên(0;2ûú . 1 x 2 - 1 Ta có: y ' = 1- = , " x Î 0;2ù . 2 2 ( ú x x û Cho y ' = 0 Û x 2 - 1 = 0 Û x = ± 1 . Bảng biến thiên: x - ¥ - 1 0 1 2 + ¥ y ' + 0 - 0 + + 3 y 2 0 Dựa vào bảng biến thiên: min f (x) = 0 khi x = 1 . ù (0;2ûú x + 1+ 9x 2 d/ Tìm max – min của hàm số: y = , (x > 0) 8x 2 + 1 13
  14.  Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng.(0,+ ¥ ) x + 1+ 9x 2 9x 2 + 1- x 2 1  Ta có: y = f x = = = . ( ) 2 8x + 1 (8x 2 + 1)( 9x 2 + 1 - x) 9x 2 + 1 - x  Hàm sốy = f (x) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0,+ ¥ )khi và chỉ khi hàm số: g(x) = 9x 2 + 1 - x đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng.(0,+ ¥ ) ïì x > 0 9x 2 ï 1  Ta cóg'(x) = - 1 Þ g'(x) = 0 Û 9x + 1 = 9x Û í 2 Þ x = . 2 ï 72x = 1 9x + 1 îï 6 2 2 2 1 1 3 2 1  Vậy: min g(x) = khi x = Þ max f (x) = = khi x = . (0;+ ¥ ) 3 6 2 (0;+ ¥ ) 2 2 4 6 2 3 Bài 3: a/ Chu vi của một tam giác là16(cm) , độ dài của một cạnh tam giác là6(cm) . Tìm hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất. b/ Cho Parabol (P): y = x2 và điểm A(- 3;0) . Xác định điểm M Î (P) sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất. Tìm khoảng cách đó. HD giải. a/ Gọi độ dài cạnh thứ nhất của tam giác làx (cm) , cạnh thứ hai có độ dài lày (cm) và cạnh thứ ba là6(cm) . ì ì ï x > 0, y > 0 ï y = 10 - x; " x Î (0;10)  Theo đề bài ta có: í Þ íï ï Chu vi D = 2p = x + y + 6 = 16 ï p = 16 îï îï  Công thức tính diện tích Δ theo Hêrông: 2 SD (x) = p(p - x)(p - y)(p - 6) = 8(8 - x)(8 - y)(8 - 6) = 4 - x + 10x - 16 . 5 - x ' ( )  Ta có: SD = 4. ; " x Î (0;10) . - x 2 + 10x - 16 5 - x ' ( ) SD = 0 Û 4. Û x = 5; " x Î (0;10). - x 2 + 10x - 16  Bảng biến thiên: x - ¥ 0 5 10 + ¥ ' + 0 – SD 12 SD (x) 2  Dựa vào bảng biến thiên: MaxSD = 12(cm ) khi mỗi cạnh còn lại dài 5(cm);(khi x = y = 5). 2 b/Gọi M (xo;yo )Î (P) Þ M (xo;xo ) . 14
  15. 2 2 2 4 2  Khoảng cách: AM = d (xo ) = (xo + 3) + (xo ) = xo + xo + 6xo + 9 . 2x 3 + x + 3  Ta có: d '(x ) = o o ; d '(x ) = 0 Û 2x 3 + x + 3 = 0 Û x = - 1. o 4 2 o o o o xo + xo + 6xo + 9  Bảng biến thiên: - ¥ - 1 + ¥ xo - 0 + d '(xo ) + ¥ + ¥ AM = d (xo ) 5 2 Dựa vào bảng biến thiên: AM min = 5 khi điểm.M (- 1;1)Î (P): y = x II. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1) Tìm giới hạn theo quy tắc Ví dụ 1. Tìm lim (x3 2x) . x 3 3 2 3 2 Giải. Ta có lim (x 2x) lim x 1 2 (vì lim x và lim 1 2 1 0 ). x x x x x x 2x3 5x2 1 Ví dụ 2. Tìm lim . x x2 x 1 5 1 3 2 2 2x 5x 1 x x2 Giải. Ta có lim lim x. (vì lim x và x x2 x 1 x 1 1 x 1 x x2 5 1 2 x x2 lim 2 0 ) x 1 1 1 x x2 2x 3 Ví dụ 3. Tìm lim . x 1 x 1 2x 3 Giải. Ta có lim(x 1) 0 , x 1 0 x 1 và lim(2x 3) 1 0 . Do đó lim . x 1 x 1 x 1 x 1 2x 3 Ví dụ 4. Tìm lim . x 1 x 1 2x 3 Giải. Ta có lim(x 1) 0 , x 1 0 x 1 và lim(2x 3) 1 0 . Do đó lim . x 1 x 1 x 1 x 1 2) Kĩ năng sử dụng máy tính Ý tưởng: Giả sử cần tính lim f (x) ta dùng chức năng CALC để tính giá trị của f (x) tại các giá x a trị của x rất gần a . a) Giới hạn của hàm số tại một điểm lim f (x) thì nhập f (x) và tính giá trị tại x a 10 9 . x a 15
  16. lim f (x) thì nhập f (x) và tính giá trị tại x a 10 9 . x a lim f (x) thì nhập f (x) và tính giá trị tại x a 10 9 hoặc x a 10 9 . x a b) Giới hạn của hàm số tại vô cực lim f (x) thì nhập f (x) và tính giá trị tại x 1010 . x lim f (x) thì nhập f (x) và tính giá trị tại x 1010 . x x2 2x 3 Ví dụ 1. Tìm giới hạn .lim x 1 x 1 x2 2x 3 Giải. Nhập biểu thức . Ấn tổ hợp phím: CALC 1 1 0 9 = . Máy hiện số 4. x 1 x2 2x 3 Vậy lim 4 . x 1 x 1 2x 3 Ví dụ 2. Tìm giới hạn .lim x 1 x 1 2x 3 Giải. Nhập biểu thức . Ấn tổ hợp phím: CALC 1 1 0 9 = . x 1 2x 3 Máy hiện số -999999998. Vậy lim . x 1 x 1 2x2 2x 3 Ví dụ 3. Tìm giới hạn .lim x x2 1 2x2 2x 3 CALC 10 = Giải. Nhập biểu thức 2 . Ấn tổ hợp phím: 1 0 . Máy hiện số 2. x 1 2x2 2x 3 Vậy.lim 2 x x2 1 3) Dạng toán thường gặp: Tìm các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f (x) . Phương pháp: - Tìm TXĐ của hàm số. - Tìm các giới hạn của hàm số khi x , x , x x0 , x x0 rồi dựa vào định nghĩa các đường tiệm cận để kết luận. Chú ý. Đồ thị hàm số ychỉ cóf ( xthể) có tiệm cận ngang khi TXĐ của nó là một khoảng vô hạn hay một nửa khoảng vô hạn (nghĩa là biến x có thể dần tới hoặc ). Đồ thị hàm số ychỉ cóf ( xthể) có tiệm cận đứng khi TXĐ của nó có một trong các dạng sau (a;b),[a;b),(a;b],(a; ),( ;a) hoặc là hợp của các tập hợp này và TXĐ không có một trong các dạng sau ¡ ,[c; ),( ;c],[c;d] . P(x) Đối với hàm phân thức y trong đó P(x),Q(x) là hai đa thức của x ta thường dùng Q(x) phương pháp sau để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số. i) Tiệm cận đứng 16
  17. P(x0 ) 0 Nếu thì đường thẳng x x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Q(x0 ) 0 ii) Tiệm cận ngang Nếu bậc của P(x) bé hơn bậc của Q(x )thì đường thẳng y 0(trục hoành) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. A Nếu bậc của P(x) bằng bậc của Q(x) thì đường thẳng y là tiệm cận ngang của đồ thị B hàm số P(x) trong đó A, B lần lượt là hệ số của số hạng có số mũ lớn nhất của P(x) và Q(x) . Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) thì đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. ax b Đặc biệt, mọi hàm phân thức hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất y đồ thị đều có hai tiệm cận cx d d a Tiệm cận đứng x ; tiệm cận ngang y . Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm c c tâm đối xứng. 2x 3 Ví dụ 1. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y . x 1 Giải. TXĐ: D ¡ \{1} . Ta có lim y lim y 2 nên đồ thị nhận đường thẳng y 2 làm tiệm cận ngang. x x lim y , lim y nên đồ thị nhận đường thẳng x 1 làm tiệm cận đứng. x 1 x 1 Chú ý: Có thể cho HS áp dụng luôn nhận xét ở phần trên để luyện tập. x 2016 Ví dụ 2. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y . x2 2016 Giải. TXĐ: D ( ; 12 14)  (12 14; ) . Ta có lim y 1 và lim y 1 nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là y 1 và y 1. x x x 1 Ví dụ 3. Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y . x 2 Giải. TXĐ: D [0;4)  (4; ) . Ta có lim y lim y 1 nên đồ thị nhận đường thẳng y 1 làm tiệm cận ngang. x x lim y , lim y nên đồ thị nhận đường thẳng x 4 làm tiệm cận đứng. x 4 x 4 III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 1 Câu 1. Gọi y ; y lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên 1 2 x 1 x 2 đoạn 3;4 . Tính tích y1.y2 . 3 5 5 7 A. .B. . C. .D. . 2 6 4 3 17
  18. 1 1 1 Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y trên đoạn  5; 3 . x x 1 x 2 13 11 A. Giá trị lớn nhất bằng . B. Giá trị lớn nhất bằng . 12 6 47 11 C. Giá trị lớn nhất bằng . D. Giá trị lớn nhất bằng . 60 6 Câu 3. Cho hàm số y x x 1 . Khẳng định nào sau đây đúng? 3 A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng và không có giá trị lớn nhất. 4 3 B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng và giá trị lớn nhất bằng 1 . 4 C. Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. D. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm có hoành độ x 1 và giá trị lớn nhất bằng 1 . Câu 4. Hàm số y 1 x2 1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu? A. 0 .B. . C.1 .D. . 2 2 Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất N của hàm số y sin4 x cos4 x . 1 A. N 2; M 1 . B. N 0; M 2 C. N ; M 1 . D. N 0; M 1 . 2 Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y sin4 x cos4 x . A. 0 .B. .C. .D. Không1 tồn tại. 1 Câu 7. Tìm điểm có hoành độ trên 0; để hàm số y 1 2sin x.cos x đạt giá trị nhỏ nhất . 2 A. .x B. . C. x và . D. . x 0 x x 4 6 2 3 Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất N của hàm số y sin6 x cos6 x . 1 1 A. M 1; N 1 .B. M .C.2; N 0 M .D . ; N 1 . M 1; N 4 4 3 Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x 3 trên 1; . 2 A. maxy 5 . B. maxy 3 . C. maxy 4 . D. maxy 6 3 3 3 3 x 1; x 1; x 1; x 1; 2 2 2 2 Câu 10. Hàm số y x3 2x2 7x 5 có giá trị nhỏ nhất là m và giá trị lớn nhất là M trên 1;3 . Tính tổng m + M. 338 446 A. m M .B. m M 27 27 14 C. m M 10 .D. . m M 27 18
  19. Câu 11. Tìm các giá trị của tham số m > 0 để hàm số y x3 3x 1đạt giá trị nhỏ nhất trên m 1;m 2 luôn bé hơn 3. 1 A. m (0;1) .B. . m ( ;1) 2 C. m ( ;1) \ 2 . D. m (0;2) . Câu 12. Một công ti bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê, mỗi căn hộ thêm 50.000 đồng một tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Công ti đã tìm ra phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn nhất. Hỏi thu nhập cao nhất công ti có thể đạt được trong một tháng là bao nhiêu? A. 115.250.000. B. 101.250.000. C. 100.000.000. D. 100.250.000. Câu 13. Doanh nghiêp Hồng Anh cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B. Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là x3 2x ( triệu đồng ), máy B làm việc trong y ngày và cho số tiền lãi là 326y 27y2 ( triệu đồng ). Hỏi doanh nghiệp Hồng Anh cần sử dụng máy A làm việc trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng hai máy A và B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày). A. 6. B. 5. C. 4. D. 7. Câu 14. Một người thợ xây cần xây một bể chứa 108 m 3 nước có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông và không có nắp. Hỏi chiều cao của lòng bể bằng bao nhiêu để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất. Biết thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch, độ dày thành bể và đáy bể là như nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị diện tích là bằng nhau. A. 9m. B. 6m. C. 3m. D. 2m. Câu 15. Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2016 vừa kết thúc, Nam đỗ vào trường đại học kinh tế quốc dân Hà Nội. Kỳ I của năm thứ nhất gần qua, kỳ II sắp đến. Hoàn cảnh không được tốt nên gia đình rất lo lắng về việc đóng học phí cho Nam, kỳ I đã khó khăn, kỳ II càng khó khăn hơn. Gia đình đã quyết định bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 50m, lấy tiền lo cho việc học của Nam cũng như tương lai của em. Mảnh đất còn lại sau khi bán là một hình vuông cạnh bằng chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu. Tìm số tiền lớn nhất mà gia đình Nam nhận được khi bán đất, biết giá tiền 1m 2 đất khi bán là 1500.000 VN đồng. A. 112687500VN đồng. B. 114187500VN đồng. C. 115687500VN đồng. D. 117187500VN đồng. Câu 16. Đồ thị hàm số y x4 2x2 5 có bao nhiêu đường tiệm cận ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 17. Đồ thị hàm số nào sau đây nhận đường thẳng y 2 là một đường tiệm cận ? 3x 2x 1 2x 1 A. y . B. y . C. y . D. y x 2 . x 2 2 x 2 x 19
  20. 3x 1 Câu 18. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y . x 1 A. x 1. B. x 1. C. x 3 . D. .x 3 2x 1 Câu 19. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y . x 1 A. y 1. B. y 1. C. y 2 . D. .y 2 2x m Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y x m tạo với 2 trục tọa độ một hình vuông. A. m 2 . B. m 2 . C. A và B sai. D. A và B đều đúng. Câu 21. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ giao điểm của 2 đường tiệm cận mx 2 của đồ thị hàm số y tới gốc tọa độ O bằng. 5 x 1 A. m 4 . B. m 2 . C. A và B sai. D. A và B đều đúng. 2 3x Câu 22. Cho hàm số y . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tiệm cận đứng của đồ thị 3x m hàm số nằm bên trái trục tung. A. m 0 . B. m 0 . C. m tùy ý. D. .m  Câu 23. Cho hàm số y = f (x) có lim f (x)= 1 và lim f (x)= - 1 . Khẳng định nào sau đây là x® - ¥ x® + ¥ khẳng định đúng ? A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang. C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = - 1 . D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 1 vàx = - 1 . x+ 1 Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = có hai đường tiệm mx2 + 1 cận ngang. A. m Î Æ . B. m 0 2mx m Câu 25. Cho hàm số y . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận x 1 đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8. 1 A. m 2 . B. m . C. m 4 . D. .m 4 2 IV. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C C B B C B C D A A A B A C D A C D D D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B C D D 20
  21. Buổi 3. CHỦ ĐỀ 5. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số a) Tập xác định: Tìm tập xác định của hàm số. b) Sự biến thiên của hàm số Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tiệm cận (nếu có). Xét chiều biến thiên của hàm số: Tính đạo hàm. Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Lập bảng biến thiên và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số. c) Đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị. 2. Đồ thị hàm số bậc ba: y ax3 bx2 cx d (a 0) Các dạng đồ thị của hàm số bậc 3: a 0 a 0 Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt Phương trình y’ = 0 có nghiệm kép Phương trình y’ = 0 vô nghiệm 3. Đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương: y ax4 bx2 c (a 0) 21
  22. Các dạng đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương: a > 0 a 0) O x x O y y y’= 0 có 3 nghiệm (a.b<0) x x O O ax b 4) Đồ thị của hàm số y (c 0,ad bc 0) cx d Các dạng đồ thị hàm số: Chú ý: Cần hướng dẫn học sinh cách “đọc” đồ thị để suy ra chiều biến thiên, lập bảng biến thiên trong mỗi trường hợp và chỉ ra các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có) 5) Các phép biến đổi đồ thị Cho hàm số y f (x) có đồ thị (C) . Khi đó với số a 0 , ta có + Hàm số y f (x) a có đồ thị (C ') bằng cách tịnh tiến đồ thị (C) theo phương Oy lên trên a đơn vị. + Hàm số y f (x) a có đồ thị (C ') bằng cách tịnh tiến đồ thị (C) theo phương Oy lên trên a đơn vị. 22
  23. + Hàm số y f (x a) có đồ thị (C ') bằng cách tịnh tiến đồ thị (C) theo phương Ox sang trái a đơn vị. + Hàm số y f (x a) có đồ thị (C ') bằng cách tịnh tiến đồ thị (C) theo phương Ox sang phải a đơn vị. + Hàm số y f (x) có đồ thị (C ') là đối xứng của đồ thị (C) qua trục Ox . + Hàm số y f ( x) có đồ thị (C ') là đối xứng của đồ thị (C) qua trục Oy . f (x) khi x 0 + Hàm số y f x có đồ thị (C ') suy từ đồ thị (C) bằng cách: f ( x) khi x 0 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy và bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái Oy . Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy qua Oy . f (x) khi f (x) 0 + Hàm số y f (x) có đồ thị (C ') suy từ đồ thị (C) bằng cách: f (x) khi f (x) 0 Giữ nguy ên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox . Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phía dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới Ox . II. LUYỆN TẬP (KĨ NĂNG CƠ BẢN) Dạng 1. Nhận dạng đồ thị hàm số Ví dụ 1. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. y x4 2x2 2. B. y x3 3x 1. C. y x4 4x2 2. x 1 D. y . x 2 Hướng dẫn giải. Đây là dạng đồ thị hàm bậc 4 trùng phương với hệ số a > 0. Chọn A. Ví dụ 2. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y x2 2x 3. B. y x3 3x 1. C. y x4 2x2 1. D. y x3 3x 1. Hướng dẫn giải Ta thấy đường cong là đồ thị của hàm bậc ba, lim y . Vậy đáp án là D. x 23
  24. x 1 Ví dụ 3. Hàm số y có đồ thị là hình vẽ nào dưới đây? x 2 A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. Hướng dẫn giải Do hàm số đã cho là hàm phân thức nên loại đáp án B và D. x 1 1 y y ' 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đáp án là C. x 2 x 2 2 Dạng 2. Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên chỉ ra số nghiệm của phương trình Ví dụ 4. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 0 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau: x 0 2 y' 0 y 4 2 Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f x m có ba nghiệm thực phân biệt. A.  2;4. B. 2;4 . C. 2;4. D. ;4. Hướng dẫn giải Phương trình có 3 nghiệm khi và chỉ khi đồ thị hàm số y f x cắt đường thẳng d : y m tại 3 điểm phân biệt. Từ bảng biến thiên suy ra 2 m 4 m 2;4 . Chọn B. Ví dụ 5. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên: x 1 0 1 y' 0 0 y 4 0 3 0 Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f x m có hai nghiệm thực phân biệt. 4 4 4 A. m 0. B. m . C. 0 m . D.m 0 hoặc m . 3 3 3 Hướng dẫn giải 24
  25. Phương trình có 2 nghiệm khi và chỉ khi đồ thị hàm số y f x cắt đường thẳng d : y m tại 2 4 điểm phân biệt. Từ BBT suy ra m 0 hoặc m . Chọn D. 3 Ví dụ 6. Xét hàm số y x3 3x2 2 có đồ thị (C) được cho ở hình bên. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình x3 3x2 2 m có 2 nghiệm thực phân biệt . A. 2 m 2. B. m 2 hoặc m 2 C. m 2 hoặc m 2 D. m 2 hoặc m 2. Ví dụ 7. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên : x - -1 1 + y’ + 0 - 0 + y 4 + - 0 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f x m 3 có đúng một nghiệm thực. A. 1 m 3 . B. 1 m 3 . C. m 1 . D. m 1 . m 3 m 3 Hướng dẫn giải Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y m 3 . Từ BBT ta được m 3 4 m 1 . Chọn D. m 3 0 m 3 Ví dụ 8. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên: – 0 2 x + y' – 0 + 0 – + 3 y –1 – 25
  26. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f x m 1 có nghiệm thực lớn hơn 2. A. m 4 . B.m 4 . C. m 0 . D. 0 m 4 . Hướng dẫn giải Nghiệm của phương trình f x m 1 là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y m 1 . Từ BBT ta được m 1 3 m 4 . Chọn B. Ví dụ 9. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 0 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau: x 1 0 2 y' 0 0 y 2 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f x m 1 có hai nghiệm thực phân biệt . m 3 m 3 A. . B. 1 m 3. C. 1 m 3. D. . m 1 m 1 Hướng dẫn giải Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số giao điểm của đồ thị hàm số m 1 2 m 3 y f x và đường thẳng y m 1 . Từ BBT ta được . Chọn A. m 1 2 m 1 3 Ví dụ 10. Cho hàm số y x 3x 2 có đồ thị được cho ở hình 1. Đồ thị ở hình 2 là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 3 Hình 1. Hình 2. A. y | x | 3| x | 2. B. y x3 3x 2 . C. y x3 3x 2. D. y x 1 x2 x 2 . Hướng dẫn giải Cách 1. Đồ thị ở hình 2 được vẽ như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) ở dưới Ox qua Ox, bỏ đi phần đồ thị (C) ở dưới Ox. + Đồ thị thu được nằm hoàn toàn trên Ox. Đây là đồ thị hàm số y x3 3x 2 . Chọn B. Cách 2. Đồ thị ở hình 2 nằm ở phía trên trục hoành y 0 . Chọn B. 26
  27. III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM y Câu 1. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Đồ thị hình bên là của hàm số nào? A. y = - x 2 + x - 1 . x B. y = - x 3 + 3x + 1 . O C. y = x 4 - x 2 + 1 . D. y = x 3 - 3x + 1 . Câu 2. Đồ thị hình bên là của hàm số nào? y 2 A. y = (x + 1) (1- x) . 2 B. y = (x + 1) (1+ x) . 2 x 2 C. y = (x + 1) (2- x) . -1O 1 2 2 D. y = (x + 1) (2 + x) . Câu 3. Đồ thị sau đây là của hàm số nào? y A. y = - x 3 + 1 . 2 B. y = - x 3 + 3x + 2 . 1 x C. y = - x 3 - x + 2 . O 1 D. y = - x 3 + 2 . Câu 4. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau: x - ¥ - 1 1 + ¥ y ' + 0 - 0 + 2 + ¥ y - ¥ - 2 27
  28. Đồ thị nào thể hiện hàm số y = f (x) ? y y A B 2 4 x 1 2 -1 O x -2 -1 O 1 y C y x -1 1 D O 2 -2 x -1 -4 O 1 -2 (Đáp án : A). Câu 5. Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình bên. Chọn đáp án đúng? y A. Hàm số có hệ số a < 0 . 2 x B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (- 2;- 1) và (1;2) . 1 y 1 O C. Hàm số không có cực trị. -2 D. Hệ số tự do của hàm số khác 0 . y Câu 6. Đồ thị hình bên là của hàm số nào? A. y = - x 4 + 2x 2 + 2 . B. y = x 4 - 2x 2 + 2 . C. y = x 4 - 4x 2 + 2 . 2 1 D. y = x 4 - 2x 2 + 3 . x -1 O 1 Câu 7. Đồ thị sau đây là của hàm số nào? y 1 x A. y = x 4 - 2x 2 - 1 . -1 O 1 28 -1
  29. y B. y = - 2x 4 + 4x 2 - 1 . C. y = - x 4 + 2x 2 - 1 . D. y = - x 4 + 2x 2 + 1 . Câu 8. Đồ thị hình bên là của hàm số nào? y 3 A. y = - x 4 - 2x 2y + 3 . B. y = - x 4 - 2x 2 - 3 . C. y = - x 4 + 2x 2 + 3 . x 1 D. y = x 4 + 2x 2 + 3 . -1 O Câu 9. Đồ thị sau đây là của hàm số nào? y A. y = x 4 + x 2 + 2 . B. y = x 4 - x 2 + 2 . 2 C. y = x 4 - x 2 + 1 . x D. y = x 4 + x 2 + 1 . -1 1 O Câu 10. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau. Chọn phát biểu sai? x - ¥ -1 0 1 + ¥ y ' - 0 + 0 - 0 + y + ¥ -3 + ¥ y y -4 -4 y A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (- 1;0) và (1;+ ¥ ) . B. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 . x C. Đồ thị hàm số đã cho biểu diễn như hình bên. -1 1 O D. Hàm số đã cho là y = x 4 - 2x 2 - 2 . -3 Câu 11. Đồ thị sau đây là của hàm số nào? y -4 x + 1 A. y = . 2x + 1 x + 3 1 B. y = . 2 2x + 1 1 O x x C. y = . 2 2x + 1 x - 1 D. y = . 2x + 1 Câu 12. Cho hàm số y = x 3 - 6x 2 + 9x có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới 29
  30. đây? y y 4 4 x O 1 3 x -3 -1 O 1 3 Hình 1 Hình 2 3 2 3 2 3 2 y = x - 6x + 9x 3 2 A. y = - x + 6x - 9x. B. y = x + 6 x + 9 x . C. . D. y = x - 6x + 9 x . Câu 13. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 - 2 có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây? y y 2 x 2 -2 -1 O 1 3 x -2 -3 -2 -1 O 1 3 Hình 1 Hình 2 3 2 3 2 3 2 3 2 A. y = x + 3 x - 2. B. y = x + 3x - 2 . C. y = x + 3x - 2 . D. y = - x - 3x + 2. Câu 14. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình dưới đây. y (I). Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) . (II). Hàm số đồng biến trên khoảng (- 1;2) . (III). Hàm số có ba điểm cực trị. 2 (IV). Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là: x -1 O 1 A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . x Câu 15. Cho hàm số y = có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây? 2x + 1 30
  31. y y y y 1 1 2 2 1 O x 1 O x 2 2 yHình 1 Hìnhy 2 x x x x A. By.= C. D. . y = . y = . y = . 2x + 1 2 x + 1 2 x + 1 2 x + 1 x + 2 Câu 16. Cho hàm số y = có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây? 2x - 1 y y 1 1 2 2 -2 O 1 x -2 O 1 x 2 2 -2 -2 Hình 1 Hình 2 æx + 2 ö x + 2 x + 2 x + 2 A. y = - ç ÷. B. y = C. y = . D. y = . èç2x - 1ø÷ 2 x - 1 2x - 1 2x - 1 Câu 16. Cho hàm số y = x 3 + bx 2 + cx + d . y y y y x x O x O x O O (I) (II) (III) (IV) Các đồ thị nào có thể là đồ thị biểu diễn hàm số đã cho? A. (I).B. (I) và (III). C. (II) và (IV). D. (III) và (IV). Câu 17. Cho hàm số y = f (x)= ax 3 + bx 2 + cx + d . 31
  32. y y y y x x O x x O O O (I) (II) (III) (IV) Trong các mệnh đề sau hãy chọn mệnh đề đúng: A. Đồ thị (I) xảy ra khi a 0 và f '(x)= 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. D. Đồ thị (IV) xảy ra khi a > 0 và f '(x)= 0 có có nghiệm kép. Câu 18. Cho đường cong (C ) có phương trình y = f (x)= 1- x 2 . Tịnh tiến (C ) sang phải 2 đơn vị, ta được đường cong mới có phương trình nào sau đây? A. y = - x 2 + 4x + 3 . B. y = - x 2 + 4x - 3 . C. y = 1- x 2 + 2 . D. y = 1- x 2 - 2 . x - 4 Câu 19. Tịnh tiến đồ thị hàm số y = sang phải 1 đơn vị, sau đó lên trên 5 đơn vị ta được đồ 2x + 3 thị hàm số nào dưới đây? 11x x - 5 x - 3 11x + 22 A. y = . B. y = + 5 . C. y = + 5 . D. y = . 2x + 1 2x + 3 2x + 3 2x + 5 Câu 20. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào x -1 0 1 y’ - 0 + 0 - 0 + y -3 - 4 - 4 1 A. y x 4 3x 2 3 . B. y x 4 3x 2 3 . C. y x 4 2x 2 3 . D. y x 4 2x 2 3 . 4 Câu 21. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? x 0 y’ - 0 + y 1 A. y x4 3x2 1. B. y x4 3x2 1. C. y x4 3x2 1. D. y x4 3x2 1. Câu 22. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? x - 1 y’ + + y 2 32
  33. 2 2x 1 x 1 2x 1 x 2 A. y . B. y . C. y . D. y . x 1 2x 1 x 1 1 x Câu 23. Cho hàm số y ax3 bx2 cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A a 0, b 0, c 0, d 0 B. a 0, b 0, c 0, d 0 . C. a 0, b 0, c 0, d 0 . D. a 0, b 0, c 0, d 0 . Câu 24. Cho hàm số y f (x) có đồ thị y f (x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a b c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. f (c) f (a) f (b). B. f (c) f (b) f (a). C. f (a) f (b) f (c). D. f (b) f (a) f (c). Câu 25. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 0 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau x 1 0 2 y' 0 0 y 2 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đường thẳng d : y 2m 2 cắt đồ thị hàm số y f x tại điểm có tung độ nhỏ hơn 0. A. m 0. B. m 0 C. m 0. D. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn. IV. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D C D A B B B A D D C D B 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 B A B C B A C C A A A C 33
  34. Buổi 4. CHỦ ĐỀ 6. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐỒ THỊ. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Cho hai đồ thị (C1): y f (x) và (C2): y g(x) . Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: f (x) g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm). Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị. Nghiệm x0 của phương trình (*) chính là hoành độ giao điểm. Thay giá trị này vào một trong hai hàm số ban đầu ta được tung độ giao điểm. Điểm M(x0 ; y0 ) là giao điểm của (C1) và (C2). 2) Các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải Bài toán 1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số Phương pháp: Cho 2 hàm số y f x , y g x có đồ thị lần lượt là (C) và (C’). +) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f x g x . +) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm. +) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’). Bài toán 2. Tương giao của đồ thị hàm bậc ba y ax3 bx2 cx d (a 0) Phương pháp 1: Bảng biến thiên (phương pháp đồ thị) +) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F x,m 0(phương trình ẩn x tham số m) +) Cô lập m đưa phương trình về dạng m f x . +) Lập BBT cho hàm số y f x . +) Dựa vào giả thiết và BBT từ đó suy ra m. *) Dấu hiệu: Sử dụng phương pháp này khi m độc lập với x. Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2. +) Lập phương trình hoành độ giao điểm F x,m 0 +) Nhẩm nghiệm (Khử tham số): Giả sử x x0 là 1 nghiệm của phương trình. x x0 +) Phân tích F x,m 0 x x0 .g x 0 (g x 0 là phương trình bậc 2 ẩn x g x 0 tham số m ). +) Dựa vào yêu cầu bài toán để xử lý phương trình bậc hai g x 0 . Phương pháp 3: Cực trị *) Nhận dạng: Khi bài toán không cô lập được m và cũng không nhẩm được nghiệm. *) Quy tắc: +) Lập phương trình hoành độ giao điểm F x,m 0 (1). Xét hàm số y F x,m 34
  35. y +) Để (1) có đúng 1 nghiệm thì đồ thị y y F x,m cắt trục hoành tại đúng 1 điểm. (2TH) f(x) = x3 3∙x 3 - Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên ¡ q(x) = x3 + x + 1 O x hàm số không có cực trị y' 0 hoặc O x vô nghiệm hoặc có nghiệm kép y' 0 - Hoặc hàm số có CĐ, CT và ycd .yct 0 (hình vẽ) +) Để (1) có đúng 3 nghiệm thì đồ thị y y y F x,m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Hàm số có cực đại, cực tiểu và ycd .yct 0 O x O x f(x) = x3 3∙x + 1 f(x) = x3 + 3∙x + 1 +) Để (1) có đúng 2 nghiệm thì đồ thị y y y F x,m cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt Hàm số có cực đại, cực tiểu và ycd .yct 0 O x O x 3 g(x) = x 3∙x + 2 f(x) = x3 + 3∙x + 2 Bài toán. Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 1 cấp số cộng a) Định lí Vi-ét 2 *) Cho bậc 2: Cho phương trình ax bx c 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì ta có: b c x x , x x 1 2 a 1 2 a 3 2 *) Cho bậc 3: Cho phương trình ax bx cx d 0 có 3 nghiệm x1, x2 , x3 thì ta có: b c d x x x , x x x x x x , x x x 1 2 3 a 1 2 2 3 3 1 a 1 2 3 a c) Tính chất của cấp số cộng +) Cho 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng thì: a c 2b d) Phương pháp giải toán: b +) Điều kiện cần: x là 1 nghiệm của phương trình. Từ đó thay vào phương trình để tìm m. 0 3a +) Điều kiện đủ: Thay m tìm được vào phương trình và kiểm tra. Bài toán 3. Tương giao của hàm phân thức Phương pháp 35
  36. ax b Cho hàm số y C và đường thẳng d : y px q . Phương trình hoành độ giao điểm của cx d ax b (C) và (d): px q F x,m 0 (phương trình bậc 2 ẩn x tham số m). cx d *) Các câu hỏi thường gặp: d 1. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt 1 có 2 nghiệm phân biệt khác . c 2. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C) 1 có 2 nghiệm phân d biệt x , x và thỏa mãn : x x . 1 2 c 1 2 3. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C) 1 có 2 nghiệm phân d biệt x , x và thỏa mãn x x . 1 2 1 2 c 4. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C) 1 có 2 nghiệm phân biệt d x , x và thỏa mãn x x . 1 2 1 c 2 5. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước: +) Đoạn thẳng AB k +) Tam giác ABC vuông. +) Tam giác ABC có diện tích S0 . * Quy tắc: +) Tìm điều kiện tồn tại A, B (1) có 2 nghiệm phân biệt. +) Xác định tọa độ của A và B (chú ý định lý Vi-ét) +) Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m. Từ đó suy ra m. *) Chú ý: Công thức khoảng cách: 2 +) A x ; y ,B x ; y : AB x x 2 y y A A B B B A B A M x ; y Ax By C +) 0 0 d M, 0 0 2 2 : Ax0 By0 C 0 A B Bài toán 4. Tương giao của hàm bậc 4 trùng phương: y ax4 bx2 c (a 0) NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: y ax4 bx2 c (a 0) (1) 1. Nhẩm nghiệm: - Nhẩm nghiệm: Giả sử x x0 là một nghiệm của phương trình. x x 2 2 0 - Khi đó ta phân tích: f x,m x x0 g x 0 g x 0 - Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc hai g x 0 2. Ẩn phụ - tam thức bậc 2: - Đặt t x2 , t 0 . Phương trình: at2 bt c 0 (2). t1 0 t2 - Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có nghiệm t1, t2 thỏa mãn: t1 t2 0 36
  37. t1 0 t2 - Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có nghiệm t1, t2 thỏa mãn: 0 t1 t2 - Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t1, t2 thỏa mãn: 0 t1 t2 - Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm t1, t2 thỏa mãn: 0 t1 t2 3. Bài toán: Tìm m để đồ thị hàm bậc bốn trùng phương (1) cắt Ox tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng. - Đặt t x2 , t 0 . Phương trình: at2 bt c 0 (2). - Để (1) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm dương t1, t2 t1 t2 thỏa mãn t2 9t1 . - Kết hợp t2 9t1 vơi định lý Vi – ét tìm được m. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài toán 1: Tiếp tuyến tại điểm M x0 ; y0 thuộc đồ thị hàm số: Cho hàm số C : y f x và điểm M x0 ; y0 C . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M. - Tính đạo hàm f ' x . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f ' x0 - Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y f ' x0 x x0 y0 Bài toán 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước - Gọi là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k. - Giả sử M x0 ; y0 là tiếp điểm. Khi đó x0 thỏa mãn: f ' x0 k (*) . - Giải (*) tìm x0 . Suy ra y0 f x0 . - Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y k x x0 y0 Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua điểm Cho hàm số C : y f x và điểm A a;b . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A. - Gọi là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó : y k x a b (*) f x k x a b 1 - Để là tiếp tuyến của (C) có nghiệm. f ' x k 2 - Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm. Cách khác: Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Vì M (C) y0 f (x0 ) . PTTT của (C) tại M có dạng: y y'(x0 ) x x0 f (x0 ) (1) Tiếp tuyến đi qua A(a;b) nên b y'(x0 ) a x0 f (x0 ) Giải phương trình với ẩn x0 , thay vào (1) ta được PTTT. Chú ý: 1. Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M x0 ; y0 thuộc (C) là: k f ' x0 2. Cho đường thẳng d : y kd x b 37
  38. 1 +) / / d k kd +)  d k .kd 1 k kd k kd +) ,d tan +) ,Ox k tan 1 k .kd 3. Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị (C) có phương song song hoặc trùng với trục hoành. 4. Cho hàm số bậc 3: y ax3 bx2 cx d, a 0 +) Khi a 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. +) Khi a 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất. II. LUYỆN TẬP x 1 Ví dụ 1. Biện luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số sau: y (C) và y = m – x (d). x 1 HD giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: x 1 x 1 2 2 m x x 1 mx m x x x mx m 1 0. x 1 x 1 (m x)(x 1) Biện luận: Nếu 0 m 2 2 hoặc m 2 2 thì (C) và d có hai điểm chung. Nếu 0 m 2 2 hoặc m 2 2 thì (C) và d có một điểm chung. Nếu 0 2 2 m 2 2 thì (C) và d không có điểm chung. Chú ý: Nhấn mạnh cho HS tùy theo yêu cầu của bài toán để chọn phương án thích hợp vì khi đó chỉ hỏi một ý trong bài. Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số (C): y x3 mx 5 cắt đường thẳng d: y = 6x + m tại ba điểm phân biệt. 21 21 m 21 21 m A. 4 . B. m . C. m . D. 4 . 4 4 m 3 m 3 HD giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: x3 mx 5 6x m (*) x3 (m 6)x 5 m 0 x 1 x2 x m 5 0 x 1 (1) . 2 x x m 5 0 (2) 38
  39. Đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại ba điểm phân biệt phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt 21 21 4m 0 m phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1 4 . Chọn A. 12 1 m 5 0 m 3 4 2 Ví dụ 3. Cho hàm số y x (3m 2)x 3m có đồ thị (C m). Xác định tất cả các giá trị thực của tham số m để (Cm) cắt đường thẳng y = - 1 tại bốn điểm phân biệt. m 0 m 0 1 1 A. 1 . B. m . C. m . D. 1 . m 3 3 m 3 3 HD giải. Phương trình hoành độ giao điểm: x4 (3m 2)x2 3m 1 x4 (3m 2)x2 3m 1 0 (1) . Đặt t x2, t 0 , phương trình (1) trở thành: t2 (3m 2)t 3m 1 0 (2). Đồ thị (C m) cắt đường thẳng y = - 1 tại bốn điểm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm 2 m 0 0 9m 0 m 0 1 dương phân biệt P 0 3m 1 0 m 1 . Chọn D. 3 m S 0 3m 2 0 3 2 m 3 x 3 1 Ví dụ 4. Cho hàm số y . Biết đồ thị hàm số đã cho luôn cắt đường thẳng y x m tại hai x 2 2 điểm phân biệt A và B. Tìm giá trị của m sao cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. A.m 1 . B .m 1 . C.m 2 . D.m 2 . HD giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: x 2 x 3 1 2 x m 1 x 2mx 4m 6 (*) . x 2 2 x 3 x m (x 2) 2 Ta có / m2 1(4m 6) m2 4m 6 m 2 2 2 0,m . Suy ra (C) luôn cắt d tại A và B 1 1 với mọi m. Gọi A(x ; y ), B(x ; y ) . Ta có y x m; y x m . A A B B A 2 A B 2 B xA xB 2m Lại có xA, xB là nghiệm của phương trình (*) nên . yA.yB 4m 6 1 5 AB (x x )2 (y y )2 (x x )2 (x x )2 (x x )2 B A B A B A 4 B A 4 B A 5 5 5 (x 2 x 2 2x x ) ((x x )2 4x x ) 2m 2 4 4m 6 4 A B A. B 4 A B A. B 4 39
  40. 5 m 2 2 2 10 . Do đó, độ dài đoạn AB nhỏ nhất bằng 10 m 2 0 m 2 . Chọn C. 4 2 Ví dụ 5. Cho hàm số y x 2(m 1)x 2m 1 (Cm ) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (Cm ) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. 9  9 A. m 4 . B. m 4 . C. m 4;  . D. m . 4 4 HD giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành là: x4 2(m 1)x2 2m 1 0 (1). Đặt t x2, t 0 , phương trình (1) trở thành t2 2(m 1)t 2m 1 0 (2). Đồ thị (Cm ) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm dương phân / 2 m 0 0 m 0 m 0 1 biệt P 0 2m 1 0 m 1 . 2 m S 0 2(m 1) 0 2 m 1 m 0 Với 1 đồ thị (Cm ) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. m 2 Gọi t1 t2 là hai nghiệm của (2). Khi đó (1) có bốn nghiệm t2 t1 t1 t2 là hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành. Các hoành độ trên lập thành cấp số cộng thì 9t1 t2 (3). t1 t2 2(m 1) (4) Ta cũng có t1,t2 là nghiệm của (2) nên . t1.t2 2m 1 (5) m 1 t1 (6) 10t1 2(m 1) 5 Từ (3) t 9t vào (4) và (5) ta được: . 2 1 2 2 9t1 2m 1 m 1 9 2m 1 (7) 5 m 4 (tm) 2 Ta có (7) 9m 18m 9 50m 25 9 . Chọn B. m (l) 4 Ví dụ 6. Cho hàm số y x3 2x2 (1 m)x m (1). Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện 2 2 2 x1 x2 x3 4 . 40
  41. 1 1 1 1 A.m ;1 \{0} . B. m ;1 . C. m 1; \{0} . D. m 1; . 4 4 4 4 HD giải. Phương trình xác định hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là: x3 2x2 (1 m)x m 0 (1) . x 1 (x 1).(x(x 1) m) 0 (x 1)(x2 x m) 0 . 2 x x - m 0 (2) Đặt x3 = 1. Yêu cầu bài toán sẽ được thực hiện khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 1 2 2 2 thỏa mãn điều kiện: 1 x1 x2 4 (3) . 1 1 4m 0 m Điều kiện để (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 là: 4 (a) . 12 1 m 0 m 0 Theo Viet ta có: x1 x2 1, x1x2 m nên 2 (3) x1 x2 2x1x2 3 1 2m 3 m 1 (b) . 1 Tổng hợp các điều kiện (a) và (b) ta được m ;1 \{0} . Chọn A. 4 Ví dụ 7. Cho hàm số y x3 3x2 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số a) Tại điểm có hoành độ bằng – 1. b) Tại điểm có tung độ bằng 2. c) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7. 1 d) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x . 45 HD giải. Gọi M (x0; y0 ) là tiếp điểm. / 2 / a) Ta có y 3x 6x . Từ x0 1 y0 2 , y ( 1) 0 phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 9(x + 1) y = 9x + 7. b) Ta có y/ 3x2 6x . 3 2 3 2 x0 0 Cho y0 = 2 x0 3x0 2 2 x0 3x0 . x0 3 / Với x0 0 , y0 = 2, y (0) 0 phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 = 0( x – 0) y = 2. / Với x0 3 , y0 = 2, y (3) 9 phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 = 9( x – 3) y = 9x – 25. / 2 c) Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Ta có y 3x 6x . Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là 41
  42. / 2 y (x0) 3x0 6x0 . / 2 x0 1 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7 nên y (x0) 9 3x0 6x0 9 . x0 3 / Với x0 1 y0 2 , y ( 1) 0 phương trình tiếp tuyến là: y + 2 = 9(x + 1) y = 9x + 7 (l). / Với x0 3 y0 2 , y (3) 9 phương trình tiếp tuyến là: y – 2 = 9( x – 3) y = 9x – 25. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x – 25. / 2 d) Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Ta có y 3x 6x . / 2 Hệ số góc của tiếp tuyến là y (x0) 3x0 6x0 . 1 Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x nên 45 1 x 5 y/ (x ) 45 3x 2 6x 45 0 . 0 1 0 0 x0 3 45 Với x0 5 y0 52 phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 52 = 45( x – 5) y = 45x – 173. Với x0 3 y0 52 phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 52 = 45( x + 3) y = 45x + 83. 2x 1 Ví dụ 8. Cho đồ thị (C) của hàm số y . Viết các phương trình tiếp tuyến của (C), biết x 1 khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng 2 . A.x y 1 0 . B.x y 1 0 và x y 5 0 . C. x y 1 0 và x y 5 0 . D. x y 5 0 . HD giải. Tiếp tuyến của (C) tại điểm M (x0; f (x0)) (C) có phương trình 2 2 y f '(x0)(x x0) f (x0) hay x (x0 1) y 2x0 2x0 1 0 (*). Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2 khi và chỉ khi 2 2x0 2 x0 0 hoặc x0 2 . 4 1 (x0 1) Suy ra các tiếp tuyến cần tìm là: x y 1 0 và x y 5 0 . Chọn B. 2x 1 Ví dụ 9. Cho hàm số y (C). Tìm tất cả các điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) x 1 tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng -9. A. M(0; 3) và M(2; 5). B. M(0; 3) và M(-2; 5). C. M(0; -3) và M(-2; 5). D. M(0; -3) và M(2; 5). 42
  43. 3 y y 3 HD giải. Ta có I(-1; 2). Gọi M (C) M (x ;2 ) k M I . 0 IM 2 x0 1 xM xI (x0 1) 3 Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: k y '(x ) . M 0 2 x0 1 3 3 ycbt k .k 9 . 9 x = 0; x = -2. M IM 2 2 0 0 (x0 1) (x0 1) Suy ra có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; -3) và M(-2; 5). Chọn C. III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hàm số y x3 4x . Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số và trục Ox. A. 0. B. 2.C. 3. D. 1. Câu 2. Tìm số giao điểm của đường cong y x3 2x2 2x 1 và đường thẳng y 1 x . A. 0. B. 2. C. 3.D. 1. 2x 4 Câu 3. Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng y x 1 và đường cong y . Tìm hoành độ x 1 trung điểm I của đoạn thẳng MN. 5 5 A. .B. 1. C. 2. D. . 2 2 Câu 4 (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017). Biết rằng đường thẳng y = - 2x + 2 cắt đồ thị hàm 3 số y = x + x + 2 tại điểm duy nhất; ký hiệu (x0 ; y0 ) là toạ độ của điểm đó. Tìm y0 . A. y0 = 4 . B. y0 = 0 . C. y0 = 2 . D. y0 = - 1 . Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3x2 1 cắt đường thẳng y m tại 3 điểm phân biệt. A. 3 m 1 . B. 3 m 1 . C. m>1. D. m 4. B. 0 m 4 . C. 0 m 4 .D. 0 . m 4 Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y m không cắt đồ thị hàm số y 2x4 4x2 2 . A. 0 m 4 .B. m>4. C. m 2.C. . 2 D.m m2 = -2. Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x2 x2 2 m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt. A. 0 m 1. B.m 0. C.m 1. D. m 0. 43
  44. 3x 1 Câu 10. Cho đường cong C : y . Có bao nhiêu điểm trên đồ thị C sao cho tổng khoảng x 2 cách từ điểm đó đến 2 đường tiệm cận của C bằng 6? A. 4. B. 2. C. 0. D. 6. Câu 11. Cho hàm số y x4 2(m 1)x2 m 2 có đồ thị (C) . Gọi ( ) là tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ( ) vuông góc 1 với đường thẳng (d) : y x 2016. 4 A.m 1. B.m 0. C. m 1. D. m 2. 2x 1 Câu 12. Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số y với trục Oy. Viết phương trình tiếp tuyến x 2 với đồ thị trên tại điểm M. 3 1 3 1 3 1 3 1 A. y x . B. y x . C. y x . D. y x . 4 2 4 2 2 2 2 2 Câu 13. Tìm số các tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O của đồ thị (C) : y x4 2x2 . A.0. B. 1. C.2. D.3. 2x 1 Câu 14. Cho hàm số y (C). Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị (C) sao cho tiếp x 1 tuyến đó cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thoả mãn OA 4OB . 1 1 A. k . B. k . C.k 1. D. k 1 . 4 4 Câu 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = 6x + m là tiếp tuyến của đường cong y = x3 + 3x- 1 . ém = - 3 ém = 1 ém = - 1 ém = - 1 A. ê . B.ê . C.ê . D. ê . ëêm = 1 ëêm = 3 ëêm = 3 ëêm = - 3 x3 Câu 16. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 3x2 2 biết tiếp tuyến có hệ số góc 3 k 9 . A. y –16 –9 x – 3 . B. y 16 –9 x 3 C.y –16 –9 x 3 . D. y –9x – 27 . 2x 1 Câu 17. Cho hàm số y có đồ thị.( TìmC) các điểm M trên đồ thị (saoC) cho khoảng cách x 1 từ hai điểm A 2;4 và B 4; 2 đến tiếp tuyến của (C) tại M là bằng nhau. 3 5 A.M 0;1 . B. M 1; và M 2; . 2 2 3 3 C.M 1; . D. M 0;1 , M 2;3 và M 1; . 2 2 44
  45. Câu 18. Tìm hệ số góc nhỏ nhất của các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y x3 3x2 2 . A. 3 . B. 3 . C. 4 . D. .0 Câu 19. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để qua điểm M 2; m kẻ được ba tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị hàm số y x3 3x2 . A.m 4; 5 . B.m 2; 3 . C. m 5; 4 . D.m 5; 4 . Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y mx – 2m – 4 cắt đồ thị C : y x3 – 6x2 9x – 6 tại 3 điểm phân biệt. A. m 3 . B. m 1 . C. m 3 . D. m 1 . Câu 21. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y –x m cắt đồ thị 2x 1 C : y tại hai điểm A, B sao cho AB 2 2 . x 1 A. m 1;m 7 . B. m 1;m 2. C. m 7;m 5 . D. m 1;m 1. Câu 22. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x2 x2 – 2 3 m có 2 nghiệm phân biệt. A. m 3 . B. m 3 . C. m 3 . D. m 3 hoặc m 2 . Câu 23. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số x 1 y tại hai điểm phân biệt có hoành độ x ; x thỏa mãn x x 5 . x 1 2 1 2 A.m { 3;1}. B.m { 2; 1}. C. m {0;2}. D. m 3. 2x 1 Câu 24. Gọi M C : y có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của C tại Mcắt các trục tọa độ x 1 Ox , Oy lần lượt tại A và B . Tính diện tích S của tam giác OAB . 121 119 123 125 A. S . B. S . C.S . D. S . 6 6 6 6 2x 1 Câu 25. Cho hàm số y C và đường thẳng dm : y x m . Tìm giá trị của tham số m để x 1 C cắt dm tại hai điểm phân biệt A , B sao cho OAB vuông tại O . 1 4 2 1 A. m . B. m . C. m . D. m . 3 3 3 3 IV. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B C A D B C A A C A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B B A C D A C A A D C A C 45
  46. ĐỀ LUYỆN TẬP TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ MA TRẬN ĐỀ (Chuyên đề hàm số) 1. Ma trận Cấp độ Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Cộng Chủ đề Cấp độ thấp Cấp độ cao Số câu: 4 Tính đơn điệu của hàm Số câu: 1 Số câu: 1 Số câu: 1 Số câu: 1 Số điểm: 1,6 số Số điểm: 0,4 Số điểm: 0,4 Số điểm: 0,4 Số điểm: 0,4 (16%) Số câu: 4 Số câu: 1 Số câu: 2 Số câu: 1 Cực trị của hàm số Số điểm: 1,6 Số điểm: 0,4 Số điểm: 0,8 Số điểm: 0,4 (16%) Số câu: 3 Giá trị lớn nhất và nhỏ Số câu: 1 Số câu: 1 Số câu: 1 Số điểm: 1,2 nhất của hàm số Số điểm: 0,4 Số điểm: 0,4 Số điểm: 0,4 (12%) Số câu: 3 Đường tiệm cận của đồ Số câu: 1 Số câu: 1 Số câu: 1 Số điểm: 1,2 thị hàm số Số điểm: 0,4 Số điểm: 0,4 Số điểm: 0,4 (12%) Số câu: 4 Khảo sát sự biến thiên Số câu: 1 Số câu: 2 Số câu: 1 Số điểm: 1,6 và vẽ đồ thị hàm số Số điểm: 0,4 Số điểm: 0,8 Số điểm: 0,4 (16%) Số câu: 5 Một số bài toán thường Số câu: 3 Số câu: 1 Số câu: 1 Số điểm: 2,0 gặp về đồ thị Số điểm: 1,2 Số điểm: 0,4 Số điểm: 0,4 (20%) Số câu: 2 Số câu: 1 Số câu: 1 Ứng dụng thực tế Số điểm: 0,8 Số điểm: 0,4 Số điểm: 0,4 (8%) Số câu: 5 Số câu: 10 Số câu: 7 Số câu: 3 Số câu: 25 Tổng Số điểm: 2,0 Số điểm: 4,0 Số điểm: 2,8 Số điểm: 1,2 Số điểm: 10 ( 20%) (40%) (28%) (12%) (100%) 2. Các chuẩn đánh giá Chủ đề Chuẩn đánh giá I. Mức độ nhận biết: - Nhớ được điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng. - Biết mối liên hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu của Tính đơn điệu đạo hàm cấp một của nó. của hàm số - Nhận dạng được bảng biến thiên của một số hàm số đơn giản. Ví dụ. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên (a;b) khi và chỉ khi 46
  47. f ' (x)£ 0, " x Î (a;b). B. Nếu f ' (x)£ 0, " x Î (a;b) thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên (a;b) . C. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên (a;b) khi và chỉ khi f ' (x) 2 . B. . mC.³ 1 . D. .m ³ 2 m > 1 IV. Mức độ vận dụng cao -Vận dụng khái niệm, điều kiện hàm số đồng biến, nghịch biến kết hợp phương pháp đổi biến tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng. tan x- 2 Ví dụ:Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = tan x- m æ p ö đồng biến trên khoảng ç0; ÷ . èç 4 ø÷ A. m £ 0 hoặc 1£ m < 2 .B. . m £ 0 C. 1£ m < 2 .D. . m ³ 2 I. Mức độ nhận biết: -Nhớ các khái niệm: Điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số. -Nhớ các điều kiện đủ để có các điểm cực trị của hàm số. Cực trị của hàm - Từ bảng biến thiên nhận dạng được các điểm cực trị của hàm số, của đồ thị số hàm số. Ví dụ. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau: 47
  48. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. Hàm số có đúng một cực trị. B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1. D. Hàm số đạt cực đại tại x=0 và đạt cực tiểu tại x=1. II. Mức độ thông hiểu - Tìm được điểm cực trị của hàm số, giá trị cực trị của hàm số và cực trị của đồ thị hàm số. - Tìm điều kiện của tham số sao cho hàm bậc ba có hai cực trị, không có cực trị. - Tìm điều kiện của tham số sao cho hàm bậc bốn có ba cực trị, một cực trị. Ví dụ: Đồ thị của hàm số y = x3 - 3x2 có hai điểm cực trị là: A. (0;0) hoặc (1;-2).B. (0;0) hoặc (2;4). C. (0;0) hoặc (2;-4). D. (0;0) hoặc (-2;-4). III. Mức độ vận dụng thấp Vận dụng khái niệm, điều kiện hàm số có cực trị tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước. Ví dụ: Cho hàm số y = 2x3 - 3(m+ 1)x2 + 6mx + m3 . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A,B sao cho độ dài AB = 2 . A. m=0. B. m=0 hoặc m=2. C. m=1. D. m=2. I. Mức độ nhận biết: -Nhớ các khái niệm giá trị lớn, giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên một tập hợp số. -Từ bảng biến thiên nhận dạng được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất( nếu có) của hàm số trên một tập hợp số. - Từ tính chất đơn điệu của hàm số trên một đoạn, nhận dạng được GTLN, Giá trị lớn nhất GTNN của hàm số trên đoạn đó. và nhỏ nhất của Ví dụ: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 + 5x + 7 trên đoạn [- 5;0] là hàm số A. 7. B. -143. C. 6. D. 8 II. Mức độ thông hiểu Tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất( nếu có) của hàm số trên một tập hợp số x2 + 3 Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên đoạn [2;4] . x- 1 48
  49. 19 A. min y = 6 . B. min y = -. 2C. min y. =D.- . 3 min y = [2;4] [2;4] [2;4] [2;4] 3 III. Mức độ vận dụng thấp Vận dụng khái niệm giá trị lớn, giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên một tập hợp số tìm giá trị của tham số để hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện nào đó. Ví dụ: Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số x- m2 + m f (x)= trên đoạn [0;1] bằng - 2 ? x + 1 ém = 1 ém = 1 ém = - 1 ém = - 1 A. ê . B. ê . C. . D. ê . ê ëêm = 2 ëêm = - 2 ëêm = - 2 ëêm = 2 I. Mức độ nhận biết: -Nhớ được khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. - Nhận dạng được tiệm cận của đồ thị của hàm số khi biết một số giới hạn. - Nhận biết được số tiệm cận của một số đồ thị hàm số đơn giản. Ví dụ: Cho hàm số y = f (x) có lim f (x)= 2 và lim f (x)= - 2 . Khẳng x® + ¥ x® + ¥ định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang. C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 2 và y = - 2 D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 2 và x = - 2. II. Mức độ thông hiểu Đường tiệm cận Tìm được tiệm cận của đồ thị hàm số bằng cách tính các giới hạn từ đó suy ra của đồ thị hàm số số tiệm cận của đồ thị hàm số. x2 - x- 1 Ví dụ: Đồ thị hàm số y = có: x- 1 A. Tiệm cận đứng x = - 1 , tiệm cận xiên y = x . B. Tiệm cận đứng x = 1 , tiệm cận xiên y = x . C. Tiệm cận đứng x = 1 , tiệm cận xiên y = - x . D. Kết quả khác. III. Mức độ vận dụng thấp Vận dụng khái niệm tiệm cận của đồ thị hàm số tìm giá trị của tham số để đồ thị hàm số có tiệm cận. Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số x- 2 y = có hai tiệm cận ngang. mx2 + 2 A. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. B. .m 0 Khảo sát sự biến I. Mức độ nhận biết: 49
  50. thiên và vẽ đồ thị - Nhận dạng được đồ thị của một số hàm thường gặp qua một số đặc điểm đặc hàm số trưng của đồ thị từng loại hàm khi cho biết nhiều loại hàm. Ví dụ: Đồ thị sau đây là của hàm số nào? 2 y A. y = - x - 3x- 2 . B. y = x3 + 3x2 - 2 . C. y = x4 - 3x2 - 2 . x x- 2 -2 -1 O D. y = . x + 1 -2 y II. Mức độ thông hiểu Nhận dạng được đồ thị của một số hàm thường gặp qua một số dấu hiệu như nhánh vô cực, điểm trên đồ thị, tính đơn điệu, cực trị, tiệm cận khi cho biết một số hàm cùng loại - Từ đồ thị, biện luận theo tham số số nghiệm của phương trình. Ví dụ: Đồ thị sau đây là của hàm số nào? x + 1 y A. y = . 2x + 1 x + 3 B. y = . 2x + 1 1 2 x C. y = . 2x + 1 1 O x 2 x- 1 D. y = . 2x + 1 III. Mức độ vận dụng thấp Từ đồ thị của hàm số y = f (x) tìm được đồ thị các hàm chứa dấu trị tuyệt đối liên quan. Ví dụ: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 9x có đồ thị như Hình 1 . Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây? 50
  51. y 4 x O 1 3 y 4 x -3 -1 O 1 3 y Hình 1 Hình 2 A. By.= - x3 + 6x2 - 9x. y = x 3 + 6 x 2 + 9 x . C. Dy.= x3 - 6x2 + 9x y = x 3 - 6x2 + 9 x . I. Mức độ thông hiểu - Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị. - Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số. - Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại tiếp điểm. Ví dụ: Cho đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. Giá trị m để phương trình f x m có haiy nghiệm phân biệt là: 1 A. m 1 . x Một số bài toán B. .m 1 thường gặp về đồ -1 O 1 thị C. .m 1 -1 D m 1 II. Mức độ vận dụng : - Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết điều kiện về hệ số góc hoặc đi qua một điểm. -Vận dụng kiến thức về sự tương giao của hai đồ thị và kiến thức về phương trình tìm điều kiện của tham sao giao điểm của hai đồ thị thỏa mãn điều kiện cho trước. Ví dụ 1: 51
  52. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y x 2m cắt đồ thị hàm x 3 số y tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. x 1 m 2 3 1 A. 0 m 1 . B. . C. . D1. m . 0 m m 5 2 3 Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y x m 2 2x cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt A và B sao cho độ dài x 1 AB ngắn nhất. A. m 3 . B. m 1 . C. m 3 . D. m 1 . Giải quyết một số bài toán ứng dụng thực tế liên qua tới nhiều kiến thức tổng hợp như đạo hàm, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhât, diện tích, thể tích, Ví dụ ở mức độ vận dụng thấp: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f t 45t 2 t3 (kết quả khảo sát được trong tháng 8 vừa qua). Nếu xem f ' t là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t . Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ: A. 12. B. 30. C. 20. D. . 15 Ví dụ ở mức độ vận dụng cao: Một bác thợ gò hàn muốn làm một chiếc thùng hình hộp chữ nhật (không nắp) Ứng dụng thực tế bằng tôn thể tích 62,5 dm3 . Chiếc thùng này có đáy là hình vuông cạnh x dm , chiều cao h dm . Để làm chiếc thùng, bác thợ phải cắt một miếng tôn như hình vẽ. Tìm x để bác thợ sử dụng ít nguyên liệu nhất. h h A. 7 dm B. 6 dm x C. 4 dm D.5 dm x h h 52
  53. ĐỀ LUYỆN TẬP TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ Các câu hỏi sau chỉ có 1 phương án trả lời đúng. Hãy khoanh tròn vào phương án trả lời đúng đó. Câu 1: Cho hàm số y f (x) có lim f (x) 1 vàlim f (x) 1 . Khẳng định nào sau đây là khẳng x x định đúng ? A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang. C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x 1 và x 1. D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y 1 và y 1. 2x 1 Câu 2: Tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y . x 1 A. x 2; y 1. B. x 1; x 2. C. x 1; y 2. D. x 1; y 1. Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x4 4x2 m 0 có 2 nghiệm. m 0 m 0 A. m 4. B. m 0. C. . D. . m 4 m 4 x 2 Câu 4: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y . x 1 A. ¡ . B. ¡ \{1}. C. ( ;1) và (1; ). D. ( ;1)  (1; ). Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x4 2(m 1)x2 m2 có các điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông. A. m 1. B. m 1. C. m 0. D. m 1. Câu 6: Xác định hàm số có đồ thị sau 2x 1 2x 1 x 1 2x 1 A. y . B. y . C. y . D. y . x 1 x 1 x 2 x 1 Câu 7: Tìm điểm cực đại của hàm số y x3 3x2 4 . A. x 1. B. x 0. C. x 2. D. x 2. x m2 2m Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y nghịch biến trên khoảng x m ( ;1). A. 1 m 3. B. 0 m 3. C. 1 m 3. D. 0 m 3. Câu 9: Xác định hàm số có đồ thị sau 53
  54. A. y x3 3x2 2. B. y x3 3x 2. C. y x3 3x 2. D. y x3 3x2 2. 2x 1 Câu 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn 0;1 . x 1 1 A. -1. B. 0. C. 1. D. . 2 2x 1 Câu 11: Cho đồ thị (C) có phương trình y . Tịnh tiến đồ thị (C) theo vectơ v (2;1) ta x 1 được đồ thị (C’). Tìm phương trình của đồ thị (C’). 3x 6 3x 5 3x 5 3x 5 A. y . B. y . C. y . D. y . x 1 x 1 x 1 x 1 Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d): y x m cắt đồ thị (C): 2x 1 y tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất. x 1 A. m 1. B. m 1. C. m 0. D. m 2. Câu 13: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để một tiếp tuyến bất kì của đồ thị hàm số 2mx 3 y (C) tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác có diện tích bằng 10. x m A. m 2. B. m 1. C. m 0. D. m 2. Câu 14: Một công ty sữa cần làm hộp sữa hình trụ, có thể tích 0,2 (lít). Tính bán kính đáy hộp để công ty tốn ít nguyên liệu làm hộp nhất. 200 150 250 100 A. 3 (cm). B. 3 (dm). C. 3 (dm). D. 3 (cm). Câu 15: Tìm hàm số không có cực trị trong các hàm số cho dưới đây. x2 A. y x3 3x 2. B. y . x 1 C. y x3 3x2 3x 2. D. y x4 x2 1. Câu 16: Cho hàm số y x4 4x2 3 có đồ thị (H1) như hình vẽ. Tìm hàm số có đồ thị (H2) trong các hàm số cho dưới đây. 54
  55. (H1) (H2) A. y (x 1)4 4(x 1)2 3. B. y x4 4x2 2. C. y (x 1)4 4(x 1)2 3. D. y x4 4x2 4. 2 Câu 17: Cho y 0; x x y 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của P 4x y xy 2. A. m 6 và M 10. B. m 10 và M 6. C. m 6 và M 10. D. m 10 và M 10. Câu 18: Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì hàm số y x3 3x2 m2 m 2 x 9 đồng biến trên khoảng ( 1;0). m 1 m 1 A. 1 m 2. B. 1 m 2. C. . D. . m 2 m 2 x3 x2 1 Câu 19: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y biết tiếp tuyến đó cắt trục 3 2 6 hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OB 2OA (O là gốc tọa độ). y 2x 1 y 2x 1 y 2x 3 y 2x 3 A. . B. 7 . C. . D. 7 . y 2x 3 y 2x y 2x 3 y 2x 2 2 Câu 20: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x4 2m2 x2 3m 2 đạt cực tiểu tại điểm x 1. A. m 0. B. m 1. C. m 2. D. m 2. x2 1 Câu 21: Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y . x 1 A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Câu 22: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y x m cắt đồ thị hàm số y x3 3x2 9x 10 (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. A. m 1. B. m 1. C. m 2. D. m 0. Câu 23: Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y x4 2x2 3 . A. ( ; 1) và (0;1). B. ¡ . C. ( ; 1)  (0;1). D. ¡ \ ( 1;0)  (1; ). Câu 24: Từ một tấm tôn hình vuông cạnh 15(cm) người ta cắt ở mỗi góc tấm tôn một hình vuông nhỏ rồi gò thành một cái hộp (hình hộp chữ nhật) không có nắp như hình vẽ dưới đây. Tìm thể tích lớn nhất của hộp. 55
  56. A. 400(cm3 ). B. 300(cm3 ). C. 250(cm3 ). D. 200(cm3 ). Câu 25: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y x4 4x2 3 trên đoạn . 0; 5 A. M 0. B. .M 9 C. . M 3 D. . M 8 HẾT ĐÁP ÁN Câu 1 D Câu 6 A Câu 11 A Câu 16 A Câu 21 D Câu 2 C Câu 7 B Câu 12 B Câu 17 D Câu 22 D Câu 3 D Câu 8 A Câu 13 B Câu 18 B Câu 23 A Câu 4 C Câu 9 C Câu 14 D Câu 19 B Câu 24 C Câu 5 C Câu 10 A Câu 15 C Câu 20 B Câu 25 D Tên các trường thực hiện Chuyên đề Hàm số: 1) Trường THPT Chuyên Tuyên Quang 2) Trường THPT Yên Hoa 3) Trường THPT Hòa Phú 56