›
›
›

Đề kiểm tra môn Toán Khối 11 - Học kì 2

doc 39 trang nhatle22 2220
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề kiểm tra môn Toán Khối 11 - Học kì 2", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_kiem_tra_mon_toan_khoi_11_hoc_ki_2.doc

Nội dung text: Đề kiểm tra môn Toán Khối 11 - Học kì 2

  1. Bài tập Toán 11 – HK2 CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Giôùi haïn höõu haïn Giôùi haïn voâ cöïc 1. Giôùi haïn ñaëc bieät: 1. Giôùi haïn ñaëc bieät: 1 1 k lim 0 ; lim 0 (k ¢ ) lim n lim n (k ¢ ) n n n k n lim qn (q 1) lim qn 0 ( q 1) ; lim C C n n 2. Ñònh lí: 1 2. Ñònh lí : a) Neáu lim u thì lim 0 n u a) Neáu lim un = a, lim vn = b thì n lim (un + vn) = a + b lim (un – vn) = un b) Neáu lim un = a, lim vn = thì lim = 0 a – b vn u n a c) Neáu lim un = a 0, lim vn = 0 lim (un.vn) = a.b lim (neáu vn b u neáu a.v 0 thì lim n = n neáu a.v 0 b 0) vn n b) Neáu un 0, n vaø lim un= a d) Neáu lim un = + , lim vn = a thì a 0 vaø lim un a neáu a 0 thì lim(un.vn) = neáu a 0 c) Neáu un vn ,n vaø lim vn = 0 * Khi tính giôùi haïn coù moät trong caùc daïng voâ thì lim u = 0 n 0 d) Neáu lim u = a thì lim u a ñònh: , , – , 0. thì phaûi tìm caùch n n 0 3. Toång cuûa caáp soá nhaân luøi voâ haïn khöû daïng voâ ñònh. 2 u1 S = u1 + u1q + u1q + = q 1 1 q Moät soá phöông phaùp tìm giôùi haïn cuûa daõy soá: Chia caû töû vaø maãu cho luyõ thöøa cao nhaát cuûa n. Nhaân löôïng lieân hôïp: Duøng caùc haèng ñaúng thöùc a b a b a b; 3 a 3 b 3 a2 3 ab 3 b2 a b Duøng ñònh lí keïp: Neáu un vn ,n vaø lim vn = 0 thì lim un = 0 Khi tính caùc giôùi haïn daïng phaân thöùc, ta chuù yù moät soá tröôøng hôïp sau ñaây: Neáu baäc cuûa töû nhoû hôn baäc cuûa maãu thì keát quaû cuûa giôùi haïn ñoù baèng 0. Neáu baäc cuûa töø baèng baäc cuûa maãu thì keát quaû cuûa giôùi haïn ñoù baèng tæ soá caùc heä soá cuûa luyõ thöøa cao nhaát cuûa töû vaø cuûa maãu. Neáu baäc cuûa töû lôùn hôn baäc cuûa maãu thì keát quaû cuûa giôùi haïn ñoù laø + neáu heä soá cao nhaát cuûa töû vaø maãu cuøng daáu vaø keát quaû laø – neáu heä soá cao nhaát cuûa töû vaø maãu traùi daáu. Một số tổng thường gặp: n(n 1) n(n 1)(2n 1) S 1 2 3 n S 12 22 32 n2 1 2 2 6 n2(n 1)2 S 13 23 33 n3 3 4 n(n 1) n 1 S 1.2 2.3 3.4 n 1 .n 4 3 Trang 1
  2. Bài tập Toán 11 – HK2 1 1 1 1 n S S 1 3 5 (2n 1) n2 5 1.2 2.3 3.4 n n 1 n 1 6 A.TỰ LUẬN: 2n2 n 3 2n 1 DẠNG 1: . Tính các giới hạn sau: 1) lim 2) lim 3n2 2n 1 n3 4n2 3 3n3 2n2 n n4 1 3n 4.3n 7n 1 3) lim 4) lim 5) lim 6) lim n3 4 (n 1)(2 n)(n2 1) 4 3n 2.5n 7n 4n 1 6n 2 4n2 1 2n 1 n2 3 n 4 n2 3 1 n6 7) lim 8) lim 9) lim 10) lim n n 5 8 n2 4n 1 n n2 2 n n4 1 n2 DẠNG 2: . Tính các giới hạn sau: 1.lim( n2 3n 2 n) 2.lim( n 2 n 2) 2 2 2 2 3.lim( n n n) 4. lim n 2n n 1 5. lim n n n 2 3 3 3 3 2 6. lim 2n n n 1 7. lim n 3n n 1 1 1 DẠNG 3: GIỚI HẠN DÃY SỐ. Tính các giới hạn: 1) lim 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1) 1 1 1 1 1 1 2) lim 3) lim 1 1 1 1.3 2.4 n(n 2) 22 32 n2 1 1 1 1 2 22 2n 1 2 n 4) lim 5) lim 6) lim 1.2 2.3 n(n 1) 1 3 32 3n n2 3n DẠNG 4: CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN. Tính giới hạn tổng các CSN sau: 1 1 1 1 1 1 1 1) 2) S 1 2 4 8 16 32 3 3n 3) S x x2 x3 x4 ( 1)n 1 xn với x 1 B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 6n3 2n2 3 Câu 1. Tìm giới hạn lim : A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 n3 3n 2 2n 1 Câu 2. Tìm giới hạn lim : A. 2 B. 0 C. 1 D. 1/3 n2 3 Câu 3. Tìm giới hạn lim(n2 3n 1 – n): A. 3 B. 1 C. 3/2 D. 0 Câu 4. Tìm giới hạn lim(3 n3 6n2 – n): A. +∞ B. 3 C. 0 D. 2 Câu 5. Tìm giới hạn lim(4n 3 n 1 ): A. 0 B. 1 C. 1/3 D. 1/2 Câu 6. Tìm giới hạn lim(3 3n n3 + n): A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 9n2 5 5n 3 Câu 7. Tìm giới hạn lim : A. –1 B. 1 C. 2 D. –2 3 n3 3n2 2 n 4n.3 9n 2 Câu 8. Tìm giới hạn lim : A. 9 B. 9/5 C. 81 D. 7 2n.5 9n Câu 9. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 0? 2 n n 2 3 n n 1 2 3 n n A. lim n 3n 1 B. lim C. lim n D. lim 3 4n 1 3 2 n 1 Trang 2
  3. Bài tập Toán 11 – HK2 2n.3n 3.3n 1 Câu 10. Tìm lim ta được: A. 4 B. 1 C. D.4 6n 4n 4 3n3 n Câu 11. Giá trị của lim bằng: A. B. C.0D. 1 n2 2 n Câu 12. Giá trị của lim bằng: A. B. C.0D. 1 n 1 n2 1 Câu 13. Giá trị của lim bằng: A. B. C.0D. 1 n 1 n 2 n Câu 14. Giá trị của lim bằng: A. B. C. 1/2 D. 1 2n 1 Câu 15. Giá trị của lim bằng: A. B. C.0 D. 1 n2 2 n 7 n2 2n 1 Câu 16. Giá trị của lim bằng: A. B. C.0 D. n 3n2 1 1 3 4 9 2n2 1 n 2 Câu 17. Giá trị của lim bằng: A. B. C.16 D. 1 n17 1 (n 2)7 (2n 1)3 Câu 18. Giá trị của. lim bằng: A. B. C.8 D. 1 (n2 2)5 n3 1 1 Câu 19. Giá trị của. lim bằng: A. B. C. D. 1 n(2n 1)2 4 n 1 1 1 1 1 1 3 2 Câu 20. Tổng S + + n là A. 1. B. .C. D. . 2 4 8 2 3 4 3 5 3n2 n a 3 Câu 21. Giới hạn lim (a/b tối giản) có a+b bằng : 2(3n 2) b A. 21 B. 11 C. 19D. 51 1 3 5 (2n 1) 1 Câu 22. lim bằng : A. 2. B. 1 C. D. không tồn tại. 2n(2n 3) 4 Câu 23. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? n n 3 6 2 n 3n 2 A. B. C. D. n 4n 5 3 n 1 Câu 24. Trong các dãy số sau, dãy số nào có giới hạn hữu hạn? n n 4 3 3 2.5 12 n 1 n 3n 2 2n 3n 3 A. B.un n C. D.un 6 un 4 un 2 3 2 3 n 2n 4 n 5 Câu 25. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0? 2n 2n2 1 3 3 4 A. B. 2C. D. 3 2 3n 4 5 n n n 3 9n2 1 n 2 Câu 26. lim bằng: A. 8/3 B. 10/3C. 3 D. 1 3n 3 2 Câu 27. Tính lim n 3n n : A. -3/2 B. 0 C. 5/2 D. 3/2 II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Giôùi haïn höõu haïn Giôùi haïn voâ cöïc, giôùi haïn ôû voâ cöïc 1. Giôùi haïn ñaëc bieät: 1. Giôùi haïn ñaëc bieät: Trang 3
  4. Bài tập Toán 11 – HK2 lim x x0 ; lim c c (c: haèng soá) k k neáu k chaün x x x x lim x ; lim x 0 0 x x neáu k leû 2. Ñònh lí: c 1 lim c c ; lim 0 lim ; a) Neáulim f (x) L vaø lim g(x) M x x xk x 0 x x x0 x x0 1 1 1 thì: lim  f (x) g(x) L M lim lim lim x x 0 x 0 x x 0 x x 0 x lim  f (x) g(x) L M 2. Ñònh lí: x x0 Neáu l i0m vaøf ( x) L l ithì:m g(x) lim  f (x).g(x) L.M x x0 x x0 x x0 neáu L vaø lim g(x) cuøng daáu f (x) L x x lim (neáu M 0) lim f (x)g(x) 0 x x0 g(x) M x x neáu L vaø lim g(x) traùi daáu 0 x x 0 b) Neáu f(x) 0 vaø lim f (x) L x x0 0 neáu lim g(x) x x0 thì L 0 vaø lim f (x) L f (x) x x lim neáu lim g(x) 0 vaø L.g(x) 0 0 x x g(x) x x 0 0 c) Neáu lim f (x) L thì lim f (x) L neáu lim g(x) 0 vaø L.g(x) 0 x x x x x x 0 0 0 3. Giôùi haïn moät beân: * Khi tính giôùi haïn coù moät trong caùc daïng voâ lim f (x) L 0 lim f (x) lim f (x) L x x ñònh: , , – , 0. thì phaûi tìm caùch khöû x x x x 0 0 0 0 daïng voâ ñònh. 0 Moät soá phöông phaùp khöû daïng voâ ñònh: 1. Daïng 0 P(x) a) L = lim vôùi P(x), Q(x) laø caùc ña thöùc vaø P(x0) = Q(x0) = 0 x x0 Q(x) Phaân tích caû töû vaø maãu thaønh nhaân töû vaø ruùt goïn. P(x) b) L = lim vôùi P(x0) = Q(x0) = 0 vaø P(x), Q(x) laø caùc bieåu thöùc chöùa caên cuøng x x0 Q(x) baäc Söû duïng caùc haèng ñaúng thöùc ñeå nhaân löôïng lieân hôïp ôû töû vaø maãu. P(x) c) L = lim vôùi P(x0) = Q(x0) = 0 vaø P(x) laø bieâåu thöùc chöùa caên khoâng ñoàng baäc x x0 Q(x) m n m n Giaû söû: P(x) = u(x) v(x) vôùi u(x0 ) v(x0 ) a . Ta phaân tích P(x) = m u(x) a a n v(x) . P(x) 2. Daïng :L = lim vôùi P(x), Q(x) laø caùc ña thöùc hoaëc caùc bieåu thöùc chöùa caên. x Q(x) – Neáu P(x), Q(x) laø caùc ña thöùc thì chia caû töû vaø maãu cho luyõ thöøa cao nhaát cuûa x. – Neáu P(x), Q(x) coù chöùa caên thì coù theå chia caû töû vaø maãu cho luyõ thöøa cao nhaát cuûa x hoaëc nhaân löôïng lieân hôïp. 3. Daïng – : Giôùi haïn naøy thöôøng coù chöùa caên Ta thöôøng söû duïng phöông phaùp nhaân löôïng lieân hôïp cuûa töû vaø maãu. 4. Daïng 0. : Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp nhö caùc daïng ôû treân. Trang 4
  5. Bài tập Toán 11 – HK2 1 x x2 x3 3x2 1 x DẠNG 1: GIỚI HẠN KHÔNG VÔ ĐỊNH: Tính: 1) lim 2)lim x 0 1 x x 1 x 1 sin x x 1 x2 x 1 3 3x2 4 3x 2 3) lim 4 4)lim 5)lim 6) lim x 1 4 x 2 x 2 x x x x 3 x 1 x 1 2 0 DẠNG 2: VÔ ĐỊNH DẠNG 0 x3 x2 x 1 x4 1 x4 16 Bài 1: Tính giôùi haïn: a) lim b) lim c) lim x 1 x2 3x 2 x 1 x3 2x2 x x 2 x3 2x2 4x 1 3 1 x2 1 x 2 2 Bài 2: Tính giôùi haïn: a) lim b) lim c) lim x 2 x2 4 x 0 x x 2 x 7 3 2x 2 3x 1 1 x 1 x 3 2x x 9 x 16 7 d) lim e) lim h)lim i) lim x 1 x 1 x 0 3 1 x 1 x 3 x2 3x x 0 x 1 x 3 1 x 3 8x 11 x 7 2 1 x 3 8 x Bài 3: Tính giôùi haïn: a)lim b) lim c) lim x 0 x x 2 x2 3x 2 x 0 x 3 5 x3 x2 7 1 4x. 1 6x 1 1 2x.3 1 4x 1 3 x 1 1 x d)lim e)lim f)lim g) lim x 1 x2 1 x 0 x x 0 x x 0 x x2 1 2x2 x 1 DẠNG 3: VÔ ĐỊNH DẠNG ; .0 . Tính giôùi haïn:1)lim 2) lim x 2x2 x 1 x x 2 2x2 1 4x2 2x 1 2 x x x 1 3) lim 4)lim 5) lim 3 2 2 x x 3x 2 x 9x2 3x 2x x x x 1 DẠNG 4: VÔ ĐỊNH DẠNG 2 2 1 3 Tính giôùi haïn: 1)lim x x x 2)lim 2x 1 4x 4x 3 3) lim x x x 1 1 x 1 x3 3 3 3 3 2 1 1 4)lim 2x 1 2x 1 5)lim 3x 1 x 2 6) lim x x x 2 x2 3x 2 x2 5x 6 x2 2x 3x 1 x 1 DẠNG 5: GIỚI HẠN MỘT BÊN. Tìm giôùi haïn: 1) lim 2)lim 3) lim x 2 3x 1 x 2 2 x 1 x 1 x 1 x 2 x 3 2x x 2 3x 3 x 2 3x 3 4)lim 5) lim 6) lim 7)lim 8)lim x 1 x 1 x 0 2x x 0 4x 2 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 Bài 2: Tìm giôùi haïn beân phaûi, giôùi haïn beân traùi cuûa hs f(x) taïi xo vaø xeùt xem haøm soá coù giôùi haïn taïi xo khoâng ? x 2 3x 2 (x 1) 4 x 2 1 x 1 2 x 0 x 1 (x 2) 3 a) f(x) b) f(x) x 2 c) f (x) 1 x 1 x (x 1) 1 2x (x 2) 3/ 2 x 0 2 vôùi x 2 0 o vôùi xo vôùi x o 1 Bài 3: Tìm A ñeå haøm soá sau coù giôùi haïn taïi xo: Trang 5
  6. Bài tập Toán 11 – HK2 x 3 1 x 6 2x 9 (x 1) A x 3 a)f(x) x 1 vôùi x0 = 1 b) f (x) x3 4x2 3x vôùi x0 = 3 2 Ax 2 (x 1) 3x 2 x 3 sin u(x) DẠNG 5: GIỚI HẠN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC DẠNG lim x x0 u(x) sin u(x) Ta söû duïng caùc coâng thöùc löôïng giaùc vaø coâng thöùc lim 1 (vôùi lim u(x) 0 ) x x0 u(x) x x0 sin 5x 1 cos2x cosx cos7x cosx cos3x Tính giôùi haïn: 1) lim 2) lim 2 3) lim 2 4) lim x 0 3x x 0 x x 0 x x 0 sin 2 x tgx sin x sin 2x sin x sin3x 1 cosx 1 sinx 5)lim 6) lim 7) lim 8) lim 9)lim x 0 3 x 0 x 0 sin2x x 0 2 2 x 3sin x x x 2 x 2 B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM: Bài 1: Giới hạn của hàm số sau đây bằng bao nhiêu: lim(5x2 7x) x 3 A. 24 B. 0 C. D. Không có giới hạn x2 2x 15 1 Bài 2: Giới hạn: lim : A. B. 2 C. D. 8 x 3 x 3 8 x4 a Bài 3: Giới hạn lim : A. 2a2 B. 3a4 C. 4a3 D. 5a4 x a x a x 1 x2 x 1 Bài 4: Giới hạn lim : A. 0 B. 1 C. D. 2 x 0 x 1 3 1 x Bài 5: Giới hạn của hàm số khi x tiến đến 0 : f (x) bằng bao nhiêu: x 1 1 A. 0 B. 1 C. D. 3 9 x2 3x 2 Bài 6: Giới hạn của hàm số khi x tiến đến 2: f (x) bằng bao nhiêu: (x 2)2 A. 0 B. 1 C. 2 D. 5x2 4x 3 5 Bài 7: Giới hạn lim : A. B. 1 C. 2 D. x 2x2 7x 1 2 (x2 1)(x 1) 1 Bài 8: Giới hạn của hsố khi x tiến đến :f (x) : A. 0 B. C. D. 2 (2x4 x)(x 1) 2 (2x2 1)(2x3 x) Bài 9: Giới hạn của hsố khi x tiến đến : f (x) : A. 4 B. C. 0 D. 2 (2x4 x)(x 1) Bài 10: Khi x tiến tới , hàm số sau có giới hạn: f (x) ( x2 2x x) : A. 0 B. + C. D. 1 2x 1 neu x 1 x Bài 11: cho hàm số: f (x) Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? x2 x neu x 1 x 1 A. lim f (x) 1 B.lim f (x) 1 C. lim f (x) 1 D. Không xác định khi x tiến tới 1 x 1 x 1 x 1 Bài 12: lim 3x2 3x 7 A.-2 B.5 C.9 D. 11 x 2 Trang 6
  7. Bài tập Toán 11 – HK2 x2 x 2 neu x 1 Bài 13: cho hàm số: f (x) x Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? 2 x x 1 neu x 1 A. lim f (x) không xác định B.lim f (x) không xác định x 1 x 1 C. lim f (x) không xác định D. f(1) không xác định x 1 x2 3x 2 2 Bài 14: lim A.-1 B.1 C. D. x 1 x 1 3 3x3 x2 2 5 5 Bài 15: lim A.5 B.1 C. D. x 1 x 2 3 3 10. lim 4x3 2x 3 A.5 B. 3 C.1 D. -5 x 1 3 x 1 1 2 Bài 16: lim A.0 B. 1 C. D. x 1 x2 3 2 3 4 2 3 2x4 x3 2x2 3 Bài 17: lim A.-2 B. -1 C.1 D. 2 x x 2x4 3x4 2x5 2 3 Bài 18: lim A. B. C. D. x 5x4 3x 1 5 5 3x4 4x5 2 1 5 2 Bài 19: lim A.0 B. C. D. x 9x5 5x4 4 3 3 3 x 3 1 1 Bài 20: lim A. B. C. D. 0 x 3 3x 6 2 6 1 x3 1 Bài 21: lim A.1 B. C. D. 0 x 1 3x2 x 3 x 2 1 1 Bài 22: lim A. B. C. D. x 1 x 1 2 2 x3 2x 3 1 9 Bài 23: lim A. B. C. D. x 2 x2 2x 8 8 2x x 2 Bài 24: lim A. B. 1 C. D. x 0 5x x 5 x2 4x 3 Bài 25: lim A.0 B. 1 C. D. 1 x 1 x3 x2 x2 3x 1 khi x 2 Bài 26: f x , lim f x A.11 B. 7 C.-1 D. -13 5x 3 khi x 2 x 2 3 2x 2x khi x 1 Bài 27: f x , lim f x A.-4 B. -3 C.-2 D. 2 3 x 3x khi x 1 x 1 2 x 3 khi x 1 x2 1 1 1 Bài 28: f x , lim f x A. B. - C.0 D. 1 x 1 8 8 khi x 1 8 Trang 7
  8. Bài tập Toán 11 – HK2 x2 1 khi x 1 Bài 29: f x , lim f x A.-1 B. 0 C.-2 D.+ 1 x x 1 2x 2 khi x 1 2x khi x 1 Bài 30: f x 1 x , lim f x A.- B. 2 C.4 D.+ x 1 2 3x 1 khi x 1 2x2 3x 1 1 1 1 1 Bài 31: lim A. B. C. - D.- x 1 1 x2 2 4 4 2 x2 4 1 4 4 1 Bài 32: lim A. B. C. - D.- x 2 2x2 3x 2 2 5 5 2 x2 12x 35 2 Bài 33: lim A. B. -2 C. + D.5 x 5 x 5 5 x2 2x 3x 1 2 2 1 Bài 34: lim A. B. C. - D.- x 4x2 1 x 2 2 3 3 2 Bài 35: lim x 1 x 3 A. 0 B. 2 C. + D. - x 5 5 Bài 36: lim x x2 5 x A. 5 B. C. D. + x 2 2 Bài 37: lim x x2 2 x A. 2 B. 1 C. 0 D. + x t 4 1 Bài 38: lim A. 4 B. 1 C.- D. + t 1 t 1 y4 1 3 4 Bài 39: lim A. 0 B. C. D. + y 1 y3 1 4 3 3x2 x5 1 Bài 40: lim A.3 B. C. + D. - x x4 6x5 5 6 4x2 1 x 5 Bài 41: lim A.0 B. 1 C. + D. 2 x 2x 7 x2 2x 15 1 Bài 42: lim A.-8 B. -4 C. + D. x 5 2x 10 2 3x4 2x5 2 3 Bài 43: lim A. B. - C. + D. x 5x4 x 4 5 5 x Bài 44: lim x 5 A.0 B. 1 C. + x x3 1 3x2 7x 3 Bài 45: lim A. B. 2 C. 6 D. + x 3 2x 3 2 2 x 3 1 1 1 1 Bài 46: lim A. B. C. D. - x 1 1 x2 4 6 8 8 1 2x 3 1 3x Bài 47: lim A.1 B. 0 C. + D. -1 x 0 x Trang 8
  9. Bài tập Toán 11 – HK2 III. HÀM SỐ LIÊN TỤC 1. Haøm soá lieân tuïc taïi moät ñieåm:y = f(x) lieân tuïc taïi x0 lim f (x) f (x0 ) x x0 Ñeå xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 ta thöïc hieän caùc böôùc: B1: Tính f(x0). B2: Tính lim f (x) (trong nhieàu tröôøng hôïp ta caàn tính lim f (x) , lim f (x) ) x x 0 x x0 x x0 B3: So saùnh lim f (x) vôùi f(x0) vaø ruùt ra keát luaän. x x0 2. Neáu y = f(x) lieân tuïc treân [a; b] vaø f(a). f(b)< 0 thì toàn taïi ít nhaát moät soá c (a; b): f(c) = 0. Noùi caùch khaùc: Neáu y = f(x) lieân tuïc treân [a; b] vaø f(a). f(b)< 0 thì phöông trình f(x) = 0 coù ít nhaát moät nghieäm c (a; b). Môû roäng: Neáu y = f(x) lieân tuïc treân [a; b]. Ñaët m = min f (x) , M = max f (x) . Khi ñoù vôùi a;b a;b moïi T (m; M) luoân toàn taïi ít nhaát moät soá c (a; b): f(c) = T. Bài 1: Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá taïi ñieåm ñöôïc chæ ra: x 3 2 x 3 khi x 1 khi x 1 x a) f (x) x 1 taïi x 1 b) f (x) 1 taïi x 1 1 1 khi x 1 khi x 1 4 2 7x 5x2 x3 x 5 khix 2 khi x 5 f(x) 2 taïi x 2 f (x) taïi x 5 c) x 3x 2 d) 2x 1 3 2 1 khi x 2 (x 5) 3 khi x 5 x 1 1 cos x khi x 0 khi x 1 e) f (x) taïi x 0 f) f (x) 2 x 1 taïi x 1 x 1 khi x 0 2x khi x 1 x2 khi x 1 Bài 2: Tìm m ñeå haøm soá lieân tuïc taïi ñieåm chæ ra: a) f (x) taïi x 1 2mx 3 khi x 1 x2 x 2 khi x 2 b) f (x) x 2 taïi x 2 m khi x 2 Bài 3: Xeùt tính lieân tuïc cuûa caùc haøm soá sau treân taäp xaùc ñònh cuûa chuùng: 3 x x 2 2 khi x 1 x 3x 4 khi x 2 3 a) f (x) x 1 b) f (x) 5 khi x 2 4 khi x 1 2x 1 khi x 2 3 2 x2 4 x 2 khi x 2 khi x 2 c) f (x) x 2 d) f (x) x 2 4 khi x 2 2 2 khi x 2 Bài 4: Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå caùc haøm soá sau lieân tuïc treân taäp xaùc ñònh cuûa chuùng: Trang 9
  10. Bài tập Toán 11 – HK2 x2 x khi x 1 x2 khi x 1 a) f (x) b) f (x) 2 khi x 1 2mx 3 khi x 1 mx 1 khi x 1 Bài 5: CMR phöông trình sau coù 3 nghieäm phaân bieät: a) x3 3x 1 0 b) x3 6x2 9x 1 0 Bài 6: CMR phöông trình sau luoân coù nghieäm: a) x5 3x 3 0 b) x4 x3 3x2 x 1 0 Bài 7: Chöùng minh raèng phöông trình: x5 5x3 4x 1 0 coù 5 nghieäm treân (–2; 2). Bài 8: Chöùng minh raèng caùc phöông trình sau luoân coù nghieäm vôùi moïi giaù trò cuûa tham soá: a) m(x 1)3(x 2) 2x 3 0 b) x4 mx2 2mx 2 0 c) cos x m cos2x 0 d) (1 m2 )(x 1)3 x2 x 3 0 e) m(2 cos x 2) 2sin 5x 1 B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM: x2 1 neu x 1 Bài 1: cho hàm số: f (x) x 1 để f(x) liên tục tại điêm x0 = 1 thì a bằng? a neu x 1 A. 0 B. +1 C. 2 D. -1 x2 1 neu x 0 Bài 2: cho hàm số: f (x) trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? x neu x 0 A. lim f (x) 0 B. lim f (x) 1 C. f (x) 0 D. f liên tục tại x0 = 0 x 0 x 0 ax 3 neu x 1 f (x) Bài 3: cho hàm số: 2 để f(x) liên tục trên toàn trục số thì a bằng? x x 1 neu x 1 A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 Bài 4: Cho hàm số f (x) x5 x 1 . Xét phương trình: f(x) = 0 (1) trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? A. (1) có nghiệm trên khoảng (-1; 1) B. (1) có nghiệm trên khoảng (0; 1) C. (1) có nghiệm trên R D. Vô nghiệm x2 16 neu x 4 Bài 5: cho hàm số: f (x) x 4 đề f(x) liên tục tại điểm x = 4 thì a bằng? a neu x 4 A. 1 B. 4 C. 6 D. 8 x2 2x Bài 6: Cho hàm số f(x) chưa xác định tại x = 0: f (x) . Để f(x) liên tục tại x = 0, phải x gán cho f(0) giá trị bằng bao nhiêu? A. -3 B. -2 C. -1 D. 0 x3 2x2 Bài 7: Cho hàm số f(x) chưa xác định tại x = 0: f (x) . Để f(x) liên tục tại x = 0, phải x2 gán cho f(0) giá trị bằng bao nhiêu? A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 ax2 neu x 2 Bài 8: cho hàm số: f (x) để f(x) liên tục trên R thì a bằng? 2 x x 1 neu x 2 3 A. 2 B. 4 C. 3 D. 4 Bài 9: Cho phương trình 3x3 2x 2 0 . Xét phương trình: f(x) = 0 (1) trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? A. (1) Vô nghiệmB. (1) có nghiệm trên khoảng (1; 2) C. (1) có 4 nghiệm trên R D. (1) có ít nhất một nghiệm Trang 10
  11. Bài tập Toán 11 – HK2 x3 8 khi x 2 Bài 10: Cho hàm số f x 4x 8 . Hàm số f x liên tục tại 3 khi x 2 A. x 2. B. x 3. C. x 2 . D. x 3. x2 1 neu x 0 Bài 11: Cho hàm số: f (x) trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? x neu x 0 A. lim f (x) 0 B. lim f (x) 1 C. f (0) 0 D. f liên tục tại x0 = 0 x 0 x 0 Bài 12: Khẳng định nào đúng: x 1 x 1 A. Hàm số f (x) liên tục trên R. B. Hàm số f (x) liên tục trên R. x2 1 x 1 x 1 x 1 C. Hàm số f (x) liên tục trên R. D. Hàm số f (x) liên tục trên R. x 1 x 1 Bài 13: Cho hàm số . Khẳng định nào đúng: A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn . B. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc . C. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm . D. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm . Bài 14: Khẳng định nào sau đây là đúng: A. Hàm số có giới hạn tại điểm thì liên tục tại . B. Hàm số có giới hạn trái tại điểm thì liên tục tại . C. Hàm số có giới hạn phải tại điểm thì liên tục tại . D. Hàm số có giới hạn trái và phải tại điểm thì liên tục tại . Bài 15: Cho một hàm số . Khẳng định nào sau đây là đúng: A. Nếu thì hàm số liên tục trên . B. Nếu hàm số liên tục trên thì . C. Nếu hàm số liên tục trên và thì phương trình có nghiệm. D. Cả ba khẳng định trên đều sai. Bài 16: Cho một hàm số . Khẳng định nào sau đây là đúng: A. Nếu liên tục trên đoạn thì phương trình không có nghiệm trên khoảng . B. Nếu thì phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng . C. Nếu phương trình có nghiệm trong khoảng thì hàm số phải liên tục trên khoảng D. Nếu hàm số liên tục, tăng trên đoạn và thì phương trình không có ngiệm trong khoảng . Bài 17: Cho phương trình . Khẳng định nào đúng: A. Phương trình không có nghiệm trong khoảng . B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng . C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng . D. Phương trình có ít nhất nghiệm trong khoảng . x3 8 ,x 2 Bài 17: Cho hàm số f(x) 4x 8 . Khẳng định nào đúng: 3,x 2 A. Hàm số không liên tục trên . B. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc . Trang 11
  12. Bài tập Toán 11 – HK2 C. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm . D. Hàm số chỉ liên tục tại điểm . Bài 18: Cho hàm số . Khẳng định nào đúng: A. Hàm số chỉ liên tục tại điểm . B. Hàm số chỉ liên tục trái tại . C. Hàm số chỉ liên tục phải tại . D. Hàm số liên tục tại điểm . Bài 19: Cho hàm số . Khẳng định nào sai: A. Hàm số liên tục phải tại điểm . B. Hàm số liên tục trái tại điểm . C. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc . D. Hàm số gián đoạn tại điểm . Bài 20: Trong các hàm sau, hàm nào không liên tục trên khoảng : 1 A. B. f (x) C. D. 2 1 x Bài 21: Hàm số nào sau đây không liên tục tại : x2 x 1 x2 x 1 x2 x x2 x A. f (x) B. f (x) C. f (x) D. f (x) x 1 x x x 1 Bài 22: Hàm số nào sau đây liên tục tại : x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2 x 1 A. f (x) B. f (x) C. f (x) D. f (x) x 1 x x2 1 x 1 Bài 23: Cho hàm số . Khẳng định nào sai: A. Hàm số liên tục phải tại điểm . B. Hàm số liên tục trái tại điểm . C. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc . D. Hàm số gián đoạn tại điểm . Bài 24: Hàm số liên tục trên nếu bằng: A. 1 B. -1 C. -2 D. 2 Bài 25: Cho hàm số . Khẳng định nào sai: A. Hàm số gián đoạn tại điểm . B. Hàm số liên tục trên khoảng . C. Hàm số liên tục trên khoảng .D. Hàm số liên tục trên . Bài 26: Hàm số liên tục trên nếu bằng: 1 1 1 A. B. C. D. Đáp án khác 2 2 2 Bài 27: Hàm số liên tục trên nếu bằng: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Bài 28: Cho hàm số . Khẳng định nào đúng: A. Hàm số liên tục trên . B. Hàm số liên tục trên . C. Hàm số liên tục trên . D. Hàm số liên tục trên . Bài 29: Hàm số liên tục trên nếu: A. B. C. D. Trang 12
  13. Bài tập Toán 11 – HK2 Bài 30: Hàm số liên tục trên nếu bằng: A. 0 B. 3 C. -1 D. 7 CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM 1. Ñònh nghóa ñaïo haøm taïi moät ñieåm: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a; b) vaø f(x) f(x0 ) y x0 (a; b): f '(x0 ) lim = lim ( x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0) x x x 0 0 x x0 x Neáu haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 thì noù lieân tuïc taïi dieåm ñoù. 2. YÙ nghóa cuûa ñaïo haøm YÙ nghóa hình hoïc: + f (x0) laø heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) taïi M x0;f(x0 ) . + Khi ñoù phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) taïi M x0;f(x0 ) laø: y – y0 = f (x0).(x – x0) 3. Qui taéc tính ñaïo haøm (u v) = u v (uv) = u v + v u u u v v u 1 v (v 0) (ku) = ku v v2 v v2 n n–1 n N 1 4. Công thức tính ñaïo haøm (C)' = 0(x) = 1 (x ) = n.x x n 1 2 x sinx sin u(x) 5. Ñaïo haøm cuûa haøm soá löôïng giaùc lim 1 ;lim 1 (vôùi lim u(x) 0 ) x 0 x x x0 u(x) x x0 1 1 (sinx) = cosx (cosx) = – sinx tanx cot x cos2 x sin2 x 6. Vi phaân: d y df(x) f (x). x f(x0 x) f(x0 ) f (x0 ). x (n) (n 1) 7. Ñaïo haøm caáp cao: f ''(x) f '(x) ; f '''(x) f ''(x) ; f (x) f (x) (n N, n 4) 8. Ý nghĩa vật lý: + vận tốc tức thời v(t) = s’(t). + Gia tốc tức thời a(t) = v’(t) = s’’(t). VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Duøng ñònh nghóa tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau taïi ñieåm ñöôïc chæ ra: 2 1) y f(x) 2x x 2 taïi x0 1 2) y f(x) 3 2x taïi x0 = –3 2x 1 3) y f(x) taïi x0 = 2 4) y f(x) sinx taïi x0 = x 1 6 VẤN ĐỀ 2: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC 1 3 2 Bài 1: Tính ñaïo haøm: a) y 2x4 x3 2 x 5 b)y x x x. c)y (x3 2)(1 x2 ) 3 x2 3 2 2 2 2 2x 1 3 1 x 3x 3 d)y (x 1)(x 4)(x 9) e)y f)y g)y x 1 1 k) y 1 3x 2x 1 x x 1 Bài 2: Tính y': 3 2 2 4 2 5 2x 1 (x 1) 1 a)y (x x 1) b)y (1 2x ) c)y d)y e) y x 1 (x 1)3 (x2 2x 5)2 3 Bài 3: Tính ñaïo haøm: a) y 2x2 5x 2 b) y 1 1 2x c) y x x Trang 13
  14. Bài tập Toán 11 – HK2 4x 1 4 x2 x3 d) y (x 2) x2 3 e) y f) y g) y h) y (x 2)3 x2 2 x x 1 2 sinx 3 2 Bài 4: Tính ñaïo haøm: a)y b)y x.cosx c)y sin (2x 1) d) y sin (cos3x) 1 cosx e) y sin 2 x2 f) y cot3 5x g) y cos45x h) y 2sin2 4x 3cos3 5x 4 2 3 1 tant 2 2 i) y (2 sin 2x) j) y cosx cos3x k) y l) y cot x x 1 s)y cos 2x 3 t 3 sin x cos x x sin x Bài 5: 1. y 5sin x 3cos x 2. y 3. y x cot x 4. y sin x cos x sin x x x 1 xsin x 5. y tan 6. y 7. y 1 2 tan(3x 1) 8. y cot 3 2x 1 2x 1 tan x 9.y sin 2 3x.cos3 2x 10. y cos2x 11. y tan4 x VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f(x) 1. Phöông trình tieáp tuyeán taïi ñieåm M(x0, y0) (C) laø:y y0 f '(x0 )(x x0 ) (*) 2. Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C), bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k: + Goïi x0 laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm. Ta coù: f (x0 ) k (yù nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm) + Giaûi phöông trình treân tìm x0, roài tìm y0 f(x0 ). + Vieát phöông trình tieáp tuyeán theo coâng thöùc (*) 3. Vieát phöông trình tieáp tuyeán (d) vôùi (C), bieát (d) ñi qua ñieåm A(x1, y1) cho tröôùc: + Goïi (x0 , y0) laø tieáp ñieåm (vôùi y0 = f(x0)). + Phöông trình tieáp tuyeán (d): y y0 f '(x0 )(x x0 ) (d) qua A (x1, y1) y1 y0 f '(x0 ) (x1 x0 ) (1) + Giaûi phöông trình (1) vôùi aån laø x0, roài tìm y0 f(x0 ) vaø f '(x0 ). + Töø ñoù vieát phöông trình (d) theo coâng thöùc (*). 1 4. Nhaéc laïi: Cho ( ): y = ax + b. Khi ñoù: + (d)  ( ) k a + (d)  ( ) k d d a Bài 1: Cho haøm soá (C): y f(x) x2 2x 3. Vieát phöông trình tieáp vôùi (C): a) Taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x0 = 1. b) Song song vôùi ñöôøng thaúng 4x – 2y + 5 = 0. c) Vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng x + 4y = 0. d) Vuoâng goùc vôùi ñöôøng phaân giaùc thöù nhaát. 2 x x2 Bài 2: Cho haøm soá y f(x) (C). x 1 a) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm M(2; 4). b) Vieát phöông trình ttieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k = 1. 3x 1 Bài 3: Cho haøm soá y f(x) (C). Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) 1 x a) taïi ñieåm A(2; –7). b) taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh. 1 c) taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc tung. d) bieát tieáp tuyeán song song vôùi d: y x 100 . 2 e) bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi : 2x + 2y – 5 = 0. Trang 14
  15. Bài tập Toán 11 – HK2 Bài 4: Cho haøm soá (C): y 1 x x2 . Tìm phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C): 1 a) Taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x0 =. b) Song song vôùi ñöôøng thaúng x + 2y = 0. 2 VẤN ĐỀ 4: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO 1. Ñeå tính ñaïo haøm caáp 2, 3, 4, ta duøng coâng thöùc: y(n) (yn 1)/ . 2. Ñeå tính ñaïo haøm caáp n: Tính ñaïo haøm caáp 1, 2, 3, töø ñoù döï ñoaùn coâng thöùc ñaïo haøm caáp n. Duøng phöông phaùp quy naïp toaùn hoïc ñeå chöùng minh coâng thöùc ñuùng. Bài 1: Cho haøm soá f(x) 3(x 1)cosx . a) Tính f '(x),f ''(x) b) Tính f ''( ), f '' ,f ''(1) 2 Bài 2: Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá ñeán caáp ñöôïc chæ ra: a) y cosx, y''' b) y x6 4x3 4, y(4) x 3 1 c) y , y'' d) y 2x x2 , y'' e) y xsinx, y'' f) y xtanx, y'' g) y , y(5) x 4 1 x 1 x Bài 3: Tính ñaïo haøm caáp n cuûa caùc haøm soá sau: a) y b) y sin2 x c) y x 2 x2 1 Bài 4: Chöùng minh caùc heä thöùc sau vôùi caùc haøm soá ñöôïc chæ ra: x 3 2 a) y xsinx b) y 2x x c) y xtanx d) y 3 2 2 2 x 4 xy'' 2(y' sinx) xy 0 y y'' 1 0 x y'' 2(x y )(1 y) 0 2 2y (y 1)y'' VẤN ĐỀ 5: CÁC BÀI TOÁN KHÁC Baøi 1: Giaûi phöông trình f '(x) 0 vôùi: 2 a) f(x) 3cosx 4sinx 5x b) f(x) cosx 3sinx 2x 1 c) f(x) sin x 2cosx Baøi 2: Giaûi phöông trình f '(x) g(x) vôùi: 2 2 x f(x) sin4 3x f(x) sin3 2x f(x) 2x cos a) b) c) 2 g(x) sin6x g(x) 4cos2x 5sin4x 2 g(x) x x sinx Baøi 3: Giaûi baát phöông trình f '(x) g'(x) vôùi: a) f(x) x3 x 2, g(x) 3x2 x 2 x2 2 b) f(x) 2x3 x2 3, g(x) x3 3 c) f(x) , g(x) x x3 2 x Baøi 4: Xaùc ñònh m ñeå caùc baát phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi moïi x R: mx3 a) f '(x) 0 vôùi f(x) 3x2 mx 5 b) 3 mx3 mx2 f '(x) 0 vôùi f(x) (m 1)x 15 . 3 2 B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Số gia của hàm số , ứng với: và là: A. 19 B. -7 C. 7 D. 0 Câu 2: Số gia của hàm số theo và là: A. B. C. D. Câu 3: Đạo hàm của hàm số bằng: A. 5 B. -5 C. 0D. Không có đạo hàm Trang 15
  16. Bài tập Toán 11 – HK2 Câu 4: Tỉ số của hàm số theo x và là: A. 2 B. 2 C. D. − Câu 5: Đạo hàm của hàm số tại là: A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 Câu 6: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M(-2; 8) là: A. 12 B. -12 C. 192 D. -192 Câu 7: Một chất điểm chuyển động có phương trình (t tính bằng giây, s tính bằng mét). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm (giây) bằng: A. B. C. D. Câu 8: Đạo hàm của hàm số trên khoảng là: A. B. C. D. Câu 9: Phương trình tiếp tuyến của Parabol tại điểm M(1; 1) là: A. B. C. D. Câu 10: Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động , và t tính bằng s. Vận tốc tại thời điểm bằng: A. B. C. D. Câu 11: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ có phương trình là: A. B. C. D. Câu 12: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là: A. B. C. D. Câu 13: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 là: A. và B. và C. và D. và Câu 14: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có tung độ của tiếp điểm bằng 2 là: A. và B. và C. và D. và Câu 15: Cho hàm số có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là: A. B. C. D. Câu 16: Biết tiếp tuyến của Parabol vuông góc với đường thẳng . Phương trình tiếp tuyến đó là: A. B. C. D. Câu 17: Giải phương trình biết . A. B. C. D. Câu 18: Vi phân của hàm số là: A. B. C. D. Câu 19: Vi phân của hàm số là: A. B. C. D. Câu 20: Vi phân của hàm số tại điểm ứng với là: A. 0,01 B. 0,001 C. -0,001 D. -0,01 Câu 21: Cho biết khai triển . Tổng có giá trị bằng: A. B C. D. Kết quả khác Câu 22: Đạo hàm của hàm số là: A. B. C. D. Câu 23: Đạo hàm của hàm số là: A. B. C. D. Câu 24: Đạo hàm của hàm số là: Trang 16
  17. Bài tập Toán 11 – HK2 A. B. C. D. Câu 25: Đạo hàm của hàm số là: A. B. C. D. Câu 26: Tìm đạo hàm của hàm số . A. B. C. D. Không tồn tại đạo hàm Câu 27: Đạo hàm của hàm số bằng: A. B. C. D. Câu 28: Đạo hàm của hàm số tại điểm là: A. B. C. D. Câu 29: Đạo hàm của hàm số là: 2x2 2x 1 2x2 2x 1 2x2 2x 1 2x2 2x 1 A. y ' B. y ' C. y ' ; D. y ' 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Câu 30: Cho . Tính A. 623088 B. 622008 C. 623080D. 622080 Câu 31: Cho hàm số . Giá trị của x để là: A. B. C. D. 1 Câu 32: Hàm số có y ' 2x là: x2 x3 1 3(x2 x) x3 5x 1 2x2 x 1 A. y B. C.y y D. y x x3 x x Câu 33: Tìm nghiệm của phương trình biết . A. và B. và 4 C. và 4 D. và Câu 34: Cho hàm số . Tính . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 35: Giả sử . Tập nghiệm phương trình là: A. B. C. D. Câu 36: Cho hai hàm số và . Tính . A. 2 B. 0 C. Không tồn tạiD. -2 1 x2 Câu 37: Cho hai hàm f (x) và g(x) . Tính góc giữa hai tiếp tuyến của đồ thị mỗi x 2 2 hàm số đã cho tại giao điểm của chúng.A. B. C. D. Câu 38: Cho hàm số . Tập nghiệm của bất phương trình là: A. B. C. D. Câu 39: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình , trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Vận tốc tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu là: A. B. −3 C. D. 1 Câu 40: Đạo hàm của hàm số là: A. B. C. D. Câu 41: Cho . Nghiệm của bất phương trình là: A. B. C. D. Trang 17
  18. Bài tập Toán 11 – HK2 1 Câu 42: Tìm trên đồ thị y điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ x 1 tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. 3 3 3 3 A. ;4 B. ; 4 C. D. ; 4 ;4 4 4 4 4 Câu 43: Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu (bỏ qua sức cản của không khí). Thời điểm tại đó tốc độ của viên đạn bằng 0 là: A. B. C. D. Câu 44: Cho hàm số . Tập nghiệm bất phương trình là: 3 5 3 5 3 5 A. B.x C. hoặc x D. hoặc x 2 2 2 Câu 45: Cho hàm số . Tìm m để có hai nghiệm trái dấu. A. B. C. D. Câu 46: Đạo hàm của hàm số là: A. B. C. D. sinx cos x Câu 47: Đạo hàm của hàm số y là: sinx-cos x A. B. C. D. Câu 48: Đạo hàm của hàm số là: A. B. C. D. Câu 49: Đạo hàm của hàm số là: A. B. C. D. Câu 50: Vi phân của là: A. B. C. D. Câu 51: Đạo hàm của hàm số là: A. B. C. D. Câu 52: Cho hàm số . Tập nghiệm của phương trình là: A. B. C. D. Câu 53: Đạo hàm của hàm số là: A. B. C. D. Câu 54: Đạo hàm cấp hai của hàm số là: A. B. C. D. Câu 55: Cho . Tính . A. B. C. D. Câu 56: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là: A. 2B. 3C. 1D. 0 Câu 57: Tìm . A. B. C. D. Trang 18
  19. Bài tập Toán 11 – HK2 Câu 58: Đạo hàm của hàm số là: A. B. C. D. Câu 59: Cho các hàm số , , . Hàm số nào có đạo hàm tại bằng 2. A. B. C. D. và Câu 60: Với giá trị x nào thì hàm số có đạo hàm tại x bằng . A. B. C. D. Câu 61: Cho hai hàm số và . Tính . A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Câu 62: Cho hàm số và . Tính . A. 0 B. 2 C. 3 D. -1 Câu 63: Cho hàm số . Giá trị của x để là: A. B. C. D. Câu 64: Đạo hàm hàm số là: A. 0 B. 1C. D. Câu 65: Cho . Giải phương trình . A. và B. C. D. Đáp án khác Câu 66: Đạo hàm hai lần hàm số ta được: A. B. C. D. Câu 67: Hàm số nào sau đây có đạo hàm cấp hai là : A. B. C. D. Câu 68: Đạo hàm cấp hai của hàm số là: A. B. C. D. Câu 69: Đạo hàm cấp của hàm số là: A. B. C. D. Câu 70: Cho . Tìm để là bình phương của một nhị thức. A. B. C. D. Câu 71: Giải phương trình với được nghiệm là: A. B. C. D. Câu 72: Tính biết . A. 4320 B. 2160 C. 1080 D. 540 Câu 73: Cho , tính giá trị biểu thức . A. 1 B. 0 C. -1D. Đáp án khác Câu 74: Một vật chuyển động với phương trình , trong đó , tính bằng , tính bằng . Tìm gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc của vật bằng 11. A. B. C. D. Câu 75: Tính giá trị biểu thức biết . A. 0 B. 1 C. 2D. 3 PHẦN HÌNH HỌC Bài 1: VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN    + Qui taéc ba ñieåm: Cho ba ñieåm A, B, C baát kyø, ta coù: AB BC AC  + Qui taéc hình bình haønh: Cho hình bình haønh ABCD, ta coù: AB AD AC Trang 19
  20. Bài tập Toán 11 – HK2     + Qui taéc hình hoäp: Cho hình hoäp ABCD.A B C D , ta coù: AB AD AA' AC ' + Heâï thöùc trung ñieåm ñoaïn thaúng: Cho I laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB, O tuyø yù.      Ta coù:IA IB 0 ; OA OB 2OI + Heä thöùc troïng taâm tam giaùc: Cho G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC, O tuyø yù. Ta coù:        GA GB GC 0; OA OB OC 3OG + Heä thöùc troïng taâm töù dieän: Cho G laø troïng taâm cuûa töù dieän ABCD, O tuyø yù. Ta coù:          GA GB GC GD 0; OA OB OC OD 4OG + Ñieàu kieän hai vectô cuøng phöông: a vaø b cuøng phöông(a 0) !k R : b ka + Ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá k (k 1), O tuyø yù. Ta coù:      OA kOB MA kMB; OM 1 k 2. Söï ñoàng phaúng cuûa ba vectô: Ba vectô ñöôïc goïi laø ñoàng phaúng neáu caùc giaù cuûa chuùng cuøng song song vôùi moät maët phaúng. Ñieàu kieän ñeå ba vectô ñoàng phaúng: Cho ba vectô a,b,c , trong ñoù a vaø b khoâng cuøng phöông. Khi ñoù: a,b,c ñoàng phaúng ! m, n R: c ma nb Cho ba vectô a,b,c khoâng ñoàng phaúng, x tuyø yù. Khi ñoù: ! m, n, p R: x ma nb pc 3. Tích voâ höôùng cuûa hai vectô   Goùc giöõa hai vectô trong khoâng gian: AB u, AC v (u,v) B· AC (00 B· AC 1800 ) Tích voâ höôùng cuûa hai vectô trong khoâng gian: + Cho u,v 0 . Khi ñoù: u.v u . v .cos(u,v) + Vôùi u 0 hoaëc v 0 . Qui öôùc: u.v 0 + u  v u.v 0 . BÀI TẬP TỰ LUẬN 1. Cho töù dieän ABCD. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, CD. I laø trung ñieåm cuûa EF.          Chöùng minh: a) IA IB IC ID 0 . b) MA MB MC MD 4MI , vôùi M tuyø yù.     c) Tìm ñieåm M thuoäc maët phaúng coá ñònh (P) sao cho: MA MB MC MD nhoû nhaát. 2. Cho tam giaùc ABC. Laáy ñieåm S naèm ngoaøi maët phaúng (ABC). Treân ñoaïn SA laáy ñieåm    1  M sao cho MS 2MA vaø treân ñoaïn BC laáy ñieåm N sao cho NB NC . Chöùng minh 2     2  1  raèng ba vectô AB, MN,SC ñoàng phaúng. HD: Chöùng minh MN AB SC . 3 3 3. Cho hình hoäp ABCD.EFGH. Goïi M, N, I, J, K, L laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P vaø Q  laàn löôït laø trung ñieåm cuûa NG  vaø JH.  Chöùng minh: a) 3 vectô MN,FH,PQ ñoàng phaúng. b) ba vectô IL,JK, AH ñoàng phaúng.    4. Cho hình laêng truï tam giaùc ABC.A B C coù AA' a, AB b, AC c . Haõy phaân tích caùc     vectô B'C,BC ' theo caùc vectô a,b,c . HD: a) B'C c a b b) BC ' a c b . 5. Cho töù dieän OABC. Goïi G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC. a) Phaân tích vectô OG theo caùc ba OA,OB,OC .     b) Goïi D laø troïng taâm cuûa töù dieän OABC. Phaân tích vectô OD theo ba vectô OA,OB,OC . Trang 20
  21. Bài tập Toán 11 – HK2 6. Cho hình laäp phöông ABCD.EFGH.   a) Phaân tích vectô AE theo3 vectô AC, AF, AH .     b) Phaân tích vectô AG theo 3 vectô AC, AF, AH . 7. Cho hình laäp phöông ABCD.A B C D .      a) Xaùc ñònh goùc giöõa caùc caëp vectô: AB vaø A'C ' , AB vaø A'D ' , AC ' vaø BD .       b) Tính caùc tích voâ höôùng cuûa caùc caëp vectô: AB vaø A'C ' , AB vaø A'D ' , AC ' vaø BD . CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM    1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, M là trung điểm của BB’. Đặt CA a ,CB b , AA' c . Khẳng định nào sau đây đúng?   1  1 1  1 A. AM b c a B. AM a c b C. AM a c b D. AM b a c 2 2 2 2 2. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:         A. OA OB OC OD 0 B. OA OC OB OD  1   1   1   1  C. OA OB OC OD D. OA OC OB OD 2 2 2 2  3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA a;SB b;SC c;SD d . Khẳng định nào sau đây đúng? A. a c d b B. a b c d C. a d b c D. a c d b 0   4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt AB b ,AC c ,  AD d .Khẳng định nào sau đây đúng?  1  1  1  1 A. MP (c d b) b) MP (d b c) C. MP (c b d) D. MP (c d b) 2 2 2 2 5. Cho tứ diện ABCD. Người ta định nghĩa “ G là trọng tâm tứ diện ABCD khi     GA GB GC GD 0 ”. Khẳng định nào sau đây sai ? A. G là trung điểm của đoạn IJ (I, J lần lượt là trung điểm AB và CD) B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC D. Chưa thể xác định được.    6. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt x AB ; y AC ; z AD . Khẳng định nào sau đây đúng?  1  1  2  2 A. AG (x y z) B.AG (x y z) C. AG (x y z) D. AG (x y z) 3 3 3 3   7.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Đặt AB a ;BC b . M là điểm xác định bởi  1 OM (a b) .Khẳng định nào sau đây đúng? 2 A. M là tâm hình bình hành ABB’A’ B. M là tâm hình bình hành BCC’B’ C. M là trung điểm BB’ D. M là trung điểm CC’ Trang 21
  22. Bài tập Toán 11 – HK2 Bài 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 1. Vectô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng: a 0 laø VTCP cuûa d neáu giaù cuûa a song2 hoaëc truøng vôùi d. 2. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng: a //a, b //b a¶,b a· ',b' Giaû söû u laø VTCP cuûa a, v laø VTCP cuûa b, (u,v) . Khi ñoù: neáu 00 1800 a¶,b 0 0 0 180 neáu 90 180 Neáu a//b hoaëc a  b thì a¶,b 00 . Chuù yù: 00 a¶,b 900 3. Hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc: a  b a¶,b 900 Giaû söû u laø VTCP cuûa a, v laø VTCP cuûa b. Khi ñoù a  b u.v 0 . Löu yù: Hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi nhau coù theå caét nhau hoaëc cheùo nhau. VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Phöông phaùp: Coù theå söû duïng 1 trong caùc caùch sau: 1. Chöùng minh goùc giöõa hai ñöôøng thaúng ñoù baèng 900. 2. Chöùng minh 2 vectô chæ phöông cuûa 2 ñöôøng thaúng ñoù vuoâng goùc vôùi nhau. 3. Söû duïng caùc tính chaát cuûa hình hoïc phaúng (nhö ñònh lí Pi–ta–go, ). BÀI TẬP TỰ LUẬN · · · 1. Cho hình choùp tam giaùc S.ABC coù SA = SB = SC vaø A SB BSC CSA . Chöùng minh raèng SA  BC, SB  AC, SC  AB. HD: Chöùng minh SA.BC = 0 2. Cho töù dieän ñeàu ABCD, caïnh baèng a. Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp BCD. a) Chöùng minh AO vuoâng goùc vôùi CD. 3 b) Goïi M laø trung ñieåm cuûa CD. Tính goùc giöõa AC vaø BM. HD:b) cos(A·C,BM) . 6 3. Cho töù dieän ABCD coù AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. a) CMR ñoaïn noái trung ñieåm caùc caëp caïnh ñoái dieän thì vuoâng goùc vôùi 2 caïnh ñoù. b) Tính goùc hôïp bôûi caùc caïnh ñoái cuûa töù dieän. 4. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh vôùi AB = a, AD = 2a, SAB laø tam giaùc vuoâng caân taïi A, M laø ñieåm treân caïnh AD (M A vaø D). Maët phaúng (P) qua M song song vôùi mp(SAB) caét BC, SC, SD laàn löôït taïi N, P, Q. a) Chöùng minh MNPQ laø hình thang vuoâng. b) Ñaët AM = x. Tính dieän tích cuûa MNPQ theo a vaø x. 5. Cho hình hoäp ABCD.A B C D coù taát caû caùc caïnh ñeàu baèng nhau. Chöùng minh raèng AC  B D , AB  CD , AD  CB . 6.Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a//b B. Nếu a//b và c  a thì c  b. C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a//b D. Nếu a và b cùng nằm trong mp ( ) // c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c 7.Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = a 3 (I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số 2 đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là : Trang 22
  23. Bài tập Toán 11 – HK2 A. 300 B. 450 C. 600 D. 900 8.Cho tứ diện ABCD có AB = a, BD = 3a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN A. MN = a 10 B. MN = a 6 C. MN = 3a 2 D. MN = 2a 3 2 3 2 3 9.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây? A.  BDB’ B.  AB’C C.  DB’B D.  DA’C’ 10.Cho tứ diện đều ABCD (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng: A. 300 B. 450 C. 600 D. 900 11.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai? A. A’C’BD B. BB’BD C. A’BDC’ D. BC’A’D. 12.Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos(AB,DM) bằng: A. 3 B)2 C. 3 D. 1 6 2 2 2 13.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN, SC) bằng: A. 300 B. 450 C. 600 D. 900 14.Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ, CD) bằng: A. 300 B. 450 C. 600 D. 900 15.Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc (giữa (IE, JF) bằng: A. 300 B. 450 C. 600 D. 900 Bài 3: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 1. Ñònh nghóa: d  (P) d  a, a  (P) a,b  (P),a  b O 2. Ñieàu kieän ñeå ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng : d  (P) d  a,d  b 3. Ñònh lí ba ñöôøng vuoâng goùc: Cho a  (P),b  (P) , a laø hình chieáu cuûa a treân (P). Khi ñoù b  a b  a 4. Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng : Neáu d  (P) thì d·,(P) = 900. Neáu d  (P) thì d·,(P) = d· ,d ' vôùi d laø hình chieáu cuûa d treân (P). Chuù yù: 00 d·,(P) 900. VẤN ĐỀ 1: Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng Chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc * Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng Ñeå chöùng minh d  (P), ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau: Chöùng minh d vuoâng goùc vôùi hai ñöôøng thaúng a, b caét nhau naèm trong (P). Chöùng minh d vuoâng goùc vôùi (Q) vaø (Q) // (P). Trang 23
  24. Bài tập Toán 11 – HK2 Chöùng minh d // a vaø a  (P). * Chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc Ñeå chöùng minh d  a, ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau: Chöùng minh d vuoâng goùc vôùi (P) vaø (P) chöùa a. Söû duïng ñònh lí ba ñöôøng vuoâng goùc. Söû duïng caùc caùch chöùng minh ñaõ bieát ôû phaàn tröôùc. BÀI TẬP TỰ LUẬN 1. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình vuoâng taâm O. SA  (ABCD). Goïi H, I, K laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân SB, SC, SD. a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC). b) CMR: AH, AK cuøng vuoâng goùc vôùi SC. Töø ñoù suy ra 3 ñöôøng thaúng AH, AI, AK cuøng naèm trong moät maët phaúng. c) CMR: HK  (SAC). Töø ñoù suy ra HK  AI. 2. Cho töù dieän SABC coù tam giaùc ABC vuoâng taïi B; SA  (ABC). a) Chöùng minh: BC  (SAB). b) Goïi AH laø ñöôøng cao cuûa SAB. Chöùng minh: AH  SC. 3. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình thoi taâm O. Bieát: SA = SC, SB = SD. a) Cm: SO  (ABCD). b) Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh BA, BC. CMR: IJ  (SBD). 4. Cho töù dieän ABCD coù ABC vaø DBC laø 2 tam giaùc ñeàu. Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC. a) Chöùng minh: BC  (AID). b) Veõ ñöôøng cao AH cuûa AID. Chöùng minh: AH  (BCD). 5. Cho töù dieän OABC coù OA, OB, OC ñoâi moät vuoâng goùc vôùi nhau. Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm O treân mp(ABC). Cmr: a) BC  (OAH). 1 1 1 1 b) H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ABC. c) . OH 2 OA2 OB2 OC2 d) Caùc goùc cuûa tam giaùc ABC ñeàu nhoïn. 6. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a. Maët beân SAB laø tam giaùc ñeàu; SAD laø tam giaùc vuoâng caân ñænh S. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD. a) Tính caùc caïnh cuûa SIJ vaø chöùng minh raèng SI  (SCD), SJ  (SAB). b) Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa S treân IJ. CMR: SH  AC. c) Goïi M laø moät ñieåm thuoäc ñöôøng thaúng CD sao cho: BM  SA. Tính AM theo a. 7. Cho hình choùp SABCD coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, maët beân SAB laø tam giaùc ñeàu vaø SC = a2 . Goïi H vaø K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø AD. a) CMR: SH  (ABCD). b) Chöùng minh: AC  SK vaø CK  SD. 8. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình chöõ nhaät coù AB = a, BC = a3 , maët beân SBC vuoâng taïi B, maët beân SCD vuoâng taïi D coù SD = a5 . a) Chöùng minh: SA  (ABCD) vaø tính SA. b) Ñöôøng thaúng qua A vaø vuoâng goùc vôùi AC, caét caùc ñöôøng thaúng CB, CD laàn löôït taïi I, J. Goïi H laø hình chieáu cuûa A treân SC. Haõy xaùc ñònh caùc giao ñieåm K, L cuûa SB, SD vôùi mp(HIJ). a) CMR: AK  (SBC), AL  (SCD). b) Tính dieän tích töù giaùc AKHL. Trang 24
  25. Bài tập Toán 11 – HK2 9. Goïi I laø 1 ñieåm baát kì ôû trong ñöôøng troøn (O;R). CD laø daây cung cuûa (O) qua I. Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng chöùa ñöôøng troøn (O) taïi I ta laáy ñieåm S vôùi OS = R. Goïi E laø ñieåm ñoái taâm cuûa D treân ñöôøng troøn (O). Chöùng minh raèng: a) Tam giaùc SDE vuoâng taïi S. b) SD  CE. c) Tam giaùc SCD vuoâng. 10. Cho MAB vuoâng taïi M ôû trong maët phaúng (P). Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi (P) taïi A ta laáy 2 ñieåm C, D ôû hai beân ñieåm A. Goïi C laø hình chieáu cuûa C treân MD, H laø giao ñieåm cuûa AM vaø CC . a) Chöùng minh: CC  (MBD). b) Goïi K laø hình chieáu cuûa H treân AB. CMR: K laø tröïc taâm cuûa BCD. VẤN ĐỀ 2: Tìm thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng Phöông phaùp: Tìm 2 ñöôøng thaúng caét nhau cuøng vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng ñaõ cho, khi ñoù maët phaúng caét seõ song song (hoaëc chöùa) vôùi 2 ñöôøng thaúng aáy. 1. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình thang vuoâng taïi A vaø B vôùi AB = BC = a, AD = 2a; SA  (ABCD) vaø SA = 2a. Goïi M laø 1 ñieåm treân caïnh AB. Maët phaúng (P) qua M vaø vuoâng goùc vôùi AB. Ñaët AM = x (0 < x < a). a) Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (P). Thieát dieän laø hình gì? b) Tính dieän tích thieát dieän theo a vaø x. 2. Cho töù dieän SABC, coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a; SA  (ABC) vaø SA = 2a. Maët phaúng (P) qua B vaø vuoâng goùc vôùi SC. Tìm thieát dieän cuûa töù dieän vôùi (P) vaø tính dieän tích cuûa thieát dieän naøy. 3. Cho töù dieän SABC vôùi ABC laø tam giaùc vuoâng caân ñænh B, AB = a. SA  (ABC) vaø SA = a3 . M laø 1 ñieåm tuyø yù treân caïnh AB, ñaët AM = x (0 < x < a). Goïi (P) laø maët phaúng qua M vaø vuoâng goùc vôùi AB. a) Tìm thieát dieän cuûa töù dieän vôùi (P). b) Tính dieän tích cuûa thieát dieän ñoù theo a vaø x. Tìm x ñeå dieän tích thieát dieän coù giaù trò lôùn nhaát. 4. Cho hình töù dieän SABC vôùi ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a, SA  (ABC) vaø SA = a. Tìm thieát dieän cuûa töù dieän vôùi maët phaúng (P) vaø tính dieän tích thieát dieän trong caùc tröôøng hôïp sau: a) (P) qua S vaø vuoâng goùc vôùi BC. b) (P) qua A vaø vuoâng goùc vôùi trung tuyeán SI cuûa tam giaùc SBC. c) (P) qua trung ñieåm M cuûa SC vaø vuoâng goùc vôùi AB. 5. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, SA  (ABCD) vaø SA = a2 . Veõ SH 2 ñöôøng cao AH cuûa tam giaùc SAB. a) CMR: . SB 3 b) Goïi (P) laø maët phaúng qua A vaø vuoâng goùc vôùi SB. (P) caét hình choùp theo thieát dieän laø 5a2 6 hình gì? Tính dieän tích thieát dieän. HD: b) S = 18 VẤN ĐỀ 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Phöông phaùp: Xaùc ñònh goùc giöõa ñöôøng thaúng a vaø maët phaúng (P). Tìm giao ñieåm O cuûa a vôùi (P). Chon ñieåm A a vaø döïng AH  (P). Khi ñoù ·AOH (a·,(P)) Trang 25
  26. Bài tập Toán 11 – HK2 1. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, taâm O; SO  (ABCD). Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh SA vaø BC. Bieát (M·N,(ABCD)) 600 . a) Tính MN vaø SO. b) Tính goùc giöõa MN vaø (SBD). 2. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a; SA  (ABCD) vaø SA = a 6 . Tính goùc giöõa: a) SC vaø (ABCD) b) SC vaø (SAB) c) SB vaø (SAC) d) AC vaø (SBC) 3. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät; SA  (ABCD). Caïnh SC = a hôïp vôùi ñaùy goùc vaø hôïp vôùi maët beân SAB goùc . a) Tính SA. b) CMR: AB = acos(  ).cos(  ) . 4. Cho hình choùp SABC, coù ABC laø tam giaùc caân, AB = AC = a, B· AC . Bieát SA, SB, SC ñeàu hôïp vôùi maët phaúng (ABC) goùc . a) CMR: hình chieáu cuûa S treân mp(ABC) laø taâm cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ABC. b) Tính khoaûng caùch töø S ñeán mp(ABC). 5. Cho laêng truï ABC.A B C , coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a, AA  (ABC). Ñöôøng cheùo BC cuûa maët beân BCC B hôïp vôùi (ABB A ) goùc 300. a) Tính AA . b) Tính khoaûng caùch töø trung ñieåm M cuûa AC ñeán (BA C ). c) Goïi N laø trung ñieåm cuûa caïnh BB . Tính goùc giöõa MN vaø (BA C ). 6. Cho laêng truï ABC.A B C , coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân taïi A; AA  (ABC). Ñoaïn noái trung ñieåm M cuûa AB vaø trung ñieåm N cuûa B C coù ñoä daøi baèng a, MN hôïp vôùi ñaùy goùc vaø maët beân BCC B goùc . a) Tính caùc caïnh ñaùy vaø caïnh beân cuûa laêng truï theo a vaø . b) Chöùng minh raèng: cos = 2 sin. HD: a) AB = AC = 2a.cos ; BC = 2a2 cos ; AA = a.sin . CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Khẳng định nào sau đây sai ? A. Nếu đường thẳng d ( ) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong ( ) B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong ( ) thì d ( ) C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong ( ) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong ( ). D. Nếu d ( ) và đường thẳng a // ( ) thì d  a Câu 2. Trong không gian cho đường thẳng và điểm O. Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với cho trước? A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô số Câu 3. Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước? A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô số Câu 4. Mệnh đề nào sau đây có thể sai ? A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song. D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau. Trang 26
  27. Bài tập Toán 11 – HK2 Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABC) và ABC vuông ở B. AH là đường cao của SAB. Khẳng định nào sau đây sai ? A. SA  BC B. AH  BC C. AH  AC D. AH  SC Câu 6. Trong không gian tập hợp các điểm M cách đều hai điểm cố định A và B là: A. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. B. Đường trung trực của đoạn thẳng AB. C. Mặt phẳng vuông góc với AB tại A D. Đường thẳng qua A và vuông góc với AB Câu 7. Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB  (ABC) B. AC  BD C. CD  (ABD) D. BC  AD Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai ? A. SO  (ABCD) B. CD  (SBD) C. AB  (SAC) D. CD AC Câu 9. * Cho hình chóp S.ABC có SA= SB = SC và tam giác ABC vuông tại B. Vẽ SH  (ABC), H (ABC). Khẳng định nào sau đây đúng? A. H trùng với trọng tâm tam giác ABC B. H trùng với trực tâm tam giác ABC. C. H trùng với trung điểm của AC D. H trùng với trung điểm của BC Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA (ABC) và đáy ABC là tam giác cân ở C. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào sau đây có thể sai ? A. CH  SA B. CH  SB C. CH  AK D. AK  SB Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có SA= SB = SC. Gọi O là hình chiếu của S lên mặt đáy ABC. Khẳng định nào sau đây đúng? A. O là trọng tâm tam giác ABC B. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C. O là trực tâm tam giác ABC D. O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABC) và đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là tâm của ABC và I là trung điểm của SC. Khẳng định nào sau đây sai ? A. BC  SB B. (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD C. IO  (ABCD) D. Tam giác SCD vuông ở D. Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA (ABCD). Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, BC và SB. Khẳng định nào sau đây sai ? A. (IJK) // (SAC) B. BD  (IJK) C. Góc giữa SC và BD có số đo 600 D. BD  (SAC) Câu 14. Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc nhau. Hãy chỉ ra điểm O cách đều bốn điểm A, B, C, D. A. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC B. O là trọng tâm tam giác ACD C. O là trung điểm cạnh BD D. O là trung điểm cạnh AD Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) và AB BC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC, H là hình chiếu vuông góc của O lên (ABC). Khẳng định nào đúng? A. H là trung điểm cạnh AB B. H là trung điểm cạnh AC C. H là trọng tâm tam giác ABC D. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Câu 16. Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH  (BCD). Biết H là trực tâm tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây không sai ? Trang 27
  28. Bài tập Toán 11 – HK2 A. AB = CD B. AC = BD C. AB CD D. CD BD Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có tâm O, SA (ABCD). Gọi I là trung điểm của SC. Khẳng định nào sau đây sai ? A. IO (ABCD). B. (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD C. BD SC D. SA= SB= SC. Câu 18. Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB C. Góc giữa AC và (ABD) là góc CAB D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD. Câu 19. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho SA = a 6 . Tính số đo giữa đường thẳng SA và (ABC) 2 A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 Câu 20. Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. Biết góc giữa SA và (ABCD) có số đo bằng 450. Tính độ dài SO. a 3 a 2 A. SO = a 3 B. SO= a2 C. SO = D. SO= 2 2 Câu 21. Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a. Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho SO(ABCD). Biết tanSOB= 1 . Tính số đo của góc giữa SC và (ABCD). 2 A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA (ABCD) . Biết SA = a 6 . Tính góc giữa SC và (ABCD): A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 3 Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau SA = SB = SC = SD. Gọi H là hình chiếu của S lên mặt đáy ABCD. Khẳng định nào sau đây sai ? A. HA = HB = HC = HD B. Tứ giác ABCD là hình bình hành C. Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn. D. Các cạnh SA, SB, SC, SD hợp với đáy ABCD những góc bằng nhau. Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều.Tính số đo của góc giữa SA và (ABC): A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 Câu 25. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC): A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 Bài 4: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC a  (P) · ¶ 1. Goùc giöõa hai maët phaúng: (P),(Q) a,b b  (Q) a  (P),a  c · ¶ Giaû söû (P)  (Q) = c. Töø I c, döïng (P),(Q) a,b . b  (Q),b  c Chuù yù: 00 (·P),(Q) 900 Trang 28
  29. Bài tập Toán 11 – HK2 2. Dieän tích hình chieáu cuûa moät ña giaùc: Goïi S laø dieän tích cuûa ña giaùc (H) trong (P), S laø dieän tích cuûa hình chieáu (H ) cuûa (H) treân (Q), = (·P),(Q) . Khi ñoù: S = S.cos 3. Hai maët phaúng vuoâng goùc (P)  (Q) (·P),(Q) 900 (P)  a Ñieàu kieän ñeå hai maët phaúng vuoâng goùc vôùi nhau: (P)  (Q) a  (Q) VẤN ĐỀ 1: Góc giữa hai mặt phẳng Phöông phaùp: Muoán tìm goùc giöõa hai maët phaúng (P) vaø (Q) ta coù theå söû duïng moät trong caùc caùch sau: Tìm hai ñöôøng thaúng a, b: a  (P), b  (Q). Khi ñoù: (·P),(Q) a¶,b . a  (P),a  c · ¶ Giaû söû (P)  (Q) = c. Töø I c, döïng (P),(Q) a,b b  (Q),b  c 1. Cho hình choùp SABC, coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân vôùi BA = BC = a; SA  (ABC) vaø SA = a. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø AC. a) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SAC) vaø (SBC). b) Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (SEF) vaø (SBC). 2. Cho hình vuoâng ABCD caïnh a, taâm O; SA  (ABCD). Tính SA theo a ñeå soá ño cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (SCB) vaø (SCD) baèng 600. HD: SA = a. 3. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø nöûa luïc giaùc ñeàu noäi tieáp ñöôøng troøn ñöôøng kính AB = 2a; SA  (ABCD) vaø SA = a3 . a) Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (SAD) vaø (SBC). b) Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (SBC) vaø (SCD). 4. Cho hình vuoâng ABCD caïnh a, SA  (ABCD) vaø SA = a3 . Tính goùc giöõa caùc caëp maët phaúng sau: a) (SBC) vaø (ABC) b) (SBD) vaø (ABD) c) (SAB) vaø (SCD) a 3 a 6 5. Cho hình thoi ABCD caïnh a, taâm O, OB = ; SA  (ABCD) vaø SO = . 3 3 a) Chöùng minh A· SC vuoâng. b) Chöùng minh hai maët phaúng (SAB) vaø (SAD) vuoâng goùc. c) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SBC) vaø (ABC). HD: c) 600. 6. Cho hình choùp SABCD coù SA  (ABCD) vaø SA = a2 , ñaùy ABCD laø hình thang vuoâng taïi A vaø D vôùi AB = 2a, AD = DC = a. Tính goùc giöõa caùc caëp maët phaúng: a) (SBC) vaø (ABC) b) (SAB) vaø (SBC) c) (SBC) vaø (SCD) VẤN ĐỀ 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc – Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Trang 29
  30. Bài tập Toán 11 – HK2 * Chöùng minh 2 maët phaúng vuoâng goùc: Ñeå chöùng minh (P)  (Q), ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau: Chöùng minh trong (P) coù moät ñöôøng thaúng a maø a  (Q). Chöùng minh (·P),(Q) 900 * Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng: Ñeå chöùng minh d  (P), ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau: Chöùng minh d  (Q) vôùi (Q)  (P) vaø d vuoâng goùc vôùi giao tuyeán c cuûa (P) vaø (Q). Chöùng minh d = (Q)  (R) vôùi (Q)  (P) vaø (R)  (P). Söû duïng caùc caùch chöùng minh ñaõ bieát ôû phaàn tröôùc. BÀI TẬP TỰ LUẬN 1. Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a. Goïi D laø ñieåm ñoái xöùng vôùi A qua BC. Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôi mp(ABC) taïi D laáy ñieåm S sao cho SD = a6 . Chöùng minh 2 mp (SAB) vaø (SAC) vuoâng goùc vôùi nhau. 2. Cho hình töù dieän ABCD coù hai maët ABC vaø ABD cuøng vuoâng goùc vôùi ñaùy DBC. Veõ caùc ñöôøng cao BE, DF cuûa BCD, ñöôøng cao DK cuûa ACD. a) Chöùng minh: AB  (BCD). b) Chöùng minh 2 maët phaúng (ABE) vaø (DFK) cuøng vuoâng goùc vôùi mp(ADC). c) Goïi O vaø H laàn löôït laø tröïc taâm cuûa 2 tam giaùc BCD vaø ADC. CMR: OH  (ADC). 3. Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng, SA  (ABCD). a) Chöùng minh (SAC)  (SBD). b) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SAD) vaø (SCD). c) Goïi BE, DF laø hai ñöôøng cao cuûa SBD. CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC). 4. Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA  (ABCD). Goïi M, N laø a 3a 2 ñieåm laàn löôït ôû treân 2 caïnh BC, DC sao cho BM = , DN = . Chöùng minh 2 mp 2 4 (SAM) vaø (SMN) vuoâng goùc vôùi nhau. 5. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A. Veõ BB vaø CC cuøng vuoâng goùc vôùi mp(ABC). a) Chöùng minh (ABB )  (ACC ). b) Goïi AH, AK laø caùc ñöôøng cao cuûa ABC vaø AB C . Chöùng minh 2 maët phaúng (BCC B ) vaø (AB C ) cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng (AHK). 6. Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, maët beân SAB laø tam giaùc ñeàu vaø vuoâng goùc vôùi ñaùy. Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB. a) Chöùng minh raèng SI  (ABCD), AD  (SAB). b) Tính goùc giöõa BD vaø mp(SAD). c) Tính goùc giöõa SD vaø mp(SCI). 7. Cho hình töù dieän ABCD coù AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y. Tìm heä thöùc lieân heä giöõa a, b, x, y ñeå: a) Maët phaúng (ABC)  (BCD). Trang 30
  31. Bài tập Toán 11 – HK2 b) Maët phaúng (ABC)  (ACD). 8. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi taâm I caïnh a vaø coù goùc A baèng 600, a 6 caïnh SC = vaø SC  (ABCD). a) Chöùng minh (SBD)  (SAC). 2 b) Trong tam giaùc SCA keû IK  SA taïi K. Tính ñoä daøi IK. c) Chöùng minh B· KD 900 vaø töø ñoù suy ra (SAB)  (SAD). CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và đáy ABC vuông ở A. Khẳng định nào sau đây sai ? A. (SAB)  (ABC) B. (SAB)  (SAC) C. Vẽ AH  BC , H BC góc ASH là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) D. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) là góc SCB. Câu 2. Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai ? A. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là góc AIB. B. (BCD)  (AIB) C. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là góc CBD D. (ACD)  (AIB) Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và AB  BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây? A. Góc SBA B. Góc SCA C. Góc SCB D. Góc SIA (I là trung điểm BC) Câu 4. * Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA  (ABCD). Khẳng định nào sau đây sai ? A. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc ABS. B. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc SOA (O là tâm hình vuông ABCD) C. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là góc SDA. D. (SAC) (SBD) Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SO  (ABCD), SO = a 3 và đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính bằng a. Tính góc hợp bởi mỗi mặt bên với đáy? A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và khoảng cách từ A đến BD bằng 2a . Biết SA  (ABCD) và SA = 2a. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) 5 và (SBD). Khẳng định nào sau đây sai ? A. (SAB) (SAD) B. (SAC) (ABCD) C. tan = 5 D. = SOA. Câu 7. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi, AC = 2a. Các cạnh bên AA’, BB’ vuông góc với đáy và AA’ = a. Khẳng định nào sau đây sai ? A. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình chữ nhật. B. Góc giữa hai mặt phẳng (AA’C’C) và (BB’D’D) có số đo bằng 600. C. Hai mặt bên (AA’C) và (BB’D) vuông góc với hai đáy. D. Hai hai mặt bên AA’B’B và AA’D’D bằng nhau. Trang 31
  32. Bài tập Toán 11 – HK2 Câu 8. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với trực tâm H của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây không đúng? A. (AA’B’B)(BB’C’C) B. (AA’H)(A’B’C’) C. BB’C’C là hình chữ nhật. D. (BB’C’C)(AA’H) Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và đáy ABC là tam giác cân ở A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng? A. H SB B. H trùng với trọng tâm tam giác SBC C. H SC D. H SI (I là trung điểm của BC) Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SBC) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC). Khẳng định nào sau đây sai ? A. SC  (ABC) B. Nếu A’ là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC) thì A’ SB C. (SAC)  (ABC) D. BK là đường cao của tam giác ABC thì BK  (SAC). Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân ở A và có đường cao AH (H BC). Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng định nào sau đây sai ? A. SC  (ABC) B. (SAH)  (SBC) C. O SC D. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc SBA. Câu 12. * Cho tứ diện ABCD có hai mặt bên ACD và BCD là hai tam giác cân có đáy CD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (ACD). Khẳng định nào sau đây sai ? A. AB nằm trên mặt phẳng trung trực của CD B. H AM (M là trung điểm CD) C. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là góc ADB. D. (ABH)  (ACD). Câu 13. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân ở A. H là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây sai ? A. Các mặt bên của ABC.A’B’C’ là các hình chữ nhật bằng nhau. B. (AA’H) là mặt phẳng trung trực của BC C. Nếu O là hình chiếu vuông góc của A lên (A’BC) thì O A’H D. Hai mặt phẳng (AA’B’B) và (AA’C’C) vuông góc nhau. Câu 14. Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ trở thành hình lăng trụ tứ giác đều khi phải thêm các điều kiện nào sau đây? A. Tất cả các cạnh đáy bằng nhau và cạnh bên vuông góc với mặt đáy. B. Cạnh bên bằng cạnh đáy và cạnh bên vuông góc với mặt đáy C. Có một mặt bên vuông góc với mặt đáy và đáy là hình vuông. D. Các mặt bên là hình chữ nhật và mặt đáy là hình vuông Câu 15. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Khẳng định nào sau đây không đúng? A. Hình hộp có 6 mặt là 6 hình chữ nhật. B. Hai mặt ACC’A’ và BDD’B’ vuông góc nhau C. Tồn tại điểm O cách đều tám đỉnh của hình hộp D. Hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau và đồng qui tại trung điểm của mỗi đường. Câu 16. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai ? A. Hai mặt ACC’A’ và BDD’B’ vuông góc nhau B. Bốn đường chéo AC’, A’C, BD’, B’D bằng nhau và bằng a 3 Trang 32
  33. Bài tập Toán 11 – HK2 C. Hai mặt ACC’A’ và BDD’B’là hai hình vuông bằng nhau D. AC  BD’ Câu 17. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a, AD = 2a. Gọi α là góc giữa đường chéo A’C và đáy ABCD. Tính α A. α 20045’ B. α 2405’ C. α 30018’ D. α 25048’ Câu 18. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ABC’) có số đo bằng 600. Cạnh bên của hình lăng trụ bằng: A. 3a B. a3 C. 2a D. a 2 Câu 19. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = AA’ = a, BC = 2a, CA = a5 . Khẳng định nào sau đây sai ? A. Đáy ABC là tam giác vuông. B. Hai mặt AA’B’B và BB’C’ vuông góc nhau C. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A”BC) có số đo bằng 450 D. AC’ = 2a 2 Câu 20. Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A’B’C’D’E’F’ có cạnh bên bằng a và ADD’A’ là hình vuông. Cạnh đáy của lăng trụ bằng: A. a B. a C. aD.3 . a 2 2 3 2 Câu 21. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có ACC’A’ là hình vuông, cạnh a 2 a 3 bằng a. Cạnh đáy của hình lăng trụ bằng: A. B. a2 C. D. a 3 2 3 Câu 22. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a3 và cạnh bên bằng 2a. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai đáy ABC và A’B’C’. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về AA’G’G? A. AA’G’G là hình chữ nhật có hai kích thước là 2a và 3a. B. AA’G’G là hình vuông có cạnh bằng 2a. C. AA’G’G là hình chữ nhật có diện tích bằng 6a2 D. AA’G’G là hình vuông có diện tích bằng 8a2 Câu 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai? A. Tam giác AB’C là tam giác đều. B. Nếu là góc giữa AC’ thì cos = 2 3 C. ACC’A’ là hình chữ nhật có diện tích bằng 2a2 D. Hai mặt AA’C’C và BB’D’D ở trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đường cao SH. Xét các mệnh đề sau: I) SA = SB = SC II) H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. III) Tam giác ABC là tam giác đều. IV) H là trực tâm tam giác ABC. Các yếu tố nào chưa đủ để kết luận S.ABC là hình chóp đều? A. (I ) và (II ) B. (II) và (III ) C. (III ) và (IV ) D. (IV ) và (I ) Câu 25. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SH bằng cạnh đáy. Tính số đo góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy. A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 Câu 26. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2 . Tính số đo của 2 góc giữa mặt bên và mặt đáy. A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 Câu 27. Tính cosin của góc giữa hai mặt của một tứ diện đều. Trang 33
  34. Bài tập Toán 11 – HK2 A. 3 B. 2 C. 1 D. 1 2 3 2 3 Câu 28. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa một mặt bên và mặt đáy bằng 600. Tính độ dài đường cao SH. A. SH = a B. SH = a 3 C. SH = a 2 D. SH = a 3 2 2 3 3 Câu 29. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính cosin của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy. A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 2 3 3 2 Câu 30. Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc nhau từng đôi một. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC = a. Khẳng định nào sau đây sai? 2 A. O.ABC là hình chóp đều. B. Tam giác ABC có diện tích S = a 3 2 C. Tam giác ABC có chu vi 2p = 3a 2 2 D. Ba mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA)vuông góc với nhau từng đôi một. Câu 31. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và Â = 600. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O (O là tâm của ABCD), lấy điểm S sao cho tam giác SAC là tam giác đều. Khẳng định nào sau đây đúng? A. S.ABCD là hình chóp đều B. Hình chóp S.ABCD có các mặt bên là các tam giác cân. C. SO = 3a 2 D. SA và SB hợp với mặt phẳng (ABCD) những góc bằng nhau. Câu 32. Cho hình chóp cụt đều ABC.A’B’C’ với đáy lớn ABC có cạnh bằng a. Đáy nhỏ A’B’C’ có cạnh bằng a , chiều cao OO’ = a . Khẳng định nào sau đây sai ? 2 2 A. Ba đường cao AA’, BB’, CC’ đồng qui tại S. B. AA’= BB’= CC’ = a 2 C. Góc giữa cạnh bên mặt đáy là góc SIO (I là trung điểm BC) D. Đáy lớn ABC có diện tích gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ A’B’C’. Câu 33. Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’cạnh của đáy nhỏ ABCD bằng a và 3 cạnh của đáy lớn A’B’C’D’bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Tính chiều cao OO’ của hình chóp cụt đã cho. A.OO’= a 3 B.OO’ = a 3 C.OO’ = 2a 6 D.OO’ = 3a 2 3 2 3 4 Bài 5: KHOẢNG CÁCH 1. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng, ñeán moät maët phaúng d(M,a) MH trong ñoù H laø hình chieáu cuûa M treân a hoaëc (P). d(M,(P)) MH 2. Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng song song, giöõa hai maët phaúng song song d(a,(P)) = d(M,(P))trong ñoù M laø ñieåm baát kì naèm treân a. d((P),(Q) = d(M,(Q))trong ñoù M laø ñieåm baát kì naèm treân (P). Trang 34
  35. Bài tập Toán 11 – HK2 3. Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau Ñöôøng thaúng caét caû a, b vaø cuøng vuoâng goùc vôùi a, b ñöôïc goïi laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa a, b. Neáu caét a, b taïi I, J thì IJ ñöôïc goïi laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa a, b. Ñoä daøi ñoaïn IJ ñöôïc goïi laø khoaûng caùch giöõa a, b. Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau baèng khoaûng caùch giöõa moät trong hai ñöôøng thaúng ñoù vôùi maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng kia vaø song song vôùi noù. Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau baèng khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song laàn löôït chöùa hai ñöôøng thaúng ñoù. VẤN ĐỀ 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phöông phaùp: Döïng ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau a vaø b. Caùch 1: Giaû söû a  b: Döïng maët phaúng (P) chöùa b vaø vuoâng goùc vôùi a taïi A. Döïng AB  b taïi B AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa a vaø b. Caùch 2: Söû duïng maët phaúng song song. Döïng maët phaúng (P) chöùa b vaø song song vôùi a. Choïn M a, döïng MH  (P) taïi H. Töø H döïng ñöôøng thaúng a // a, caét b taïi B. Töø B döïng ñöôøng thaúng song song MH, caét a taïi A. AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa a vaø b. Chuù yù: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)). Caùch 3: Söû duïng maët phaúng vuoâng goùc. Döïng maët phaúng (P)  a taïi O. Döïng hình chieáu b cuûa b treân (P). Döïng OH  b taïi H. Töø H, döïng ñöôøng thaúng song song vôùi a, caét b taïi B. Töø B, döïng ñöôøng thaúng song song vôùi OH, caét a taïi A. AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa a vaø b. Chuù yù: d(a,b) = AB = OH. BÀI TẬP TỰ LUẬN 1. Cho hình töù dieän OABC, trong ñoù OA, OB, OC = a. Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC. Haõy döïng vaø tính ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa caùc caëp ñöôøng thaúng: a) OA vaø BC. b) AI vaø OC. 2. Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng taâm O, caïnh a, SA  (ABCD) vaø SA = a. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng: a) SC vaø BD. b) AC vaø SD. 3. Cho töù dieän SABC coù SA  (ABC). Goïi H, K laàn löôït laø tröïc taâm cuûa caùc tam giaùc ABC vaø SBC. a) Chöùng minh ba ñöôøng thaúng AH, SK, BC ñoàng qui. b) Chöùng minh SC  (BHK), HK  (SBC). Trang 35
  36. Bài tập Toán 11 – HK2 c) Xaùc ñònh ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa BC vaø SA. 4. a) Cho töù dieän ABCD. Chöùng minh raèng neáu AC = BD, AD = BC thì döôøng vuoâng goùc chung cuûa AB vaø CD laø ñöôøng noái caùc trung ñieåm I, K cuûa hai caïnh AB vaø CD . b) Chöùng minh raèng neáu ñöôøng thaúng noái caùc trung ñieåm I, K cuûa hai caïnh AB vaø CD cuûa töù dieän ABCD laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa AB vaø CD thì AC = BD, AD = BC. 5. Cho hình vuoâng ABCD caïnh baèng a, I laø trung ñieåm cuûa AB. Döïng IS  (ABCD) vaø IS a 3 = . Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh BC, SD, SB. Haõy döïng vaø 2 tính ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa caùc caëp ñöôøng thaúng: VẤN ĐỀ 2: Tính khoảng cách giữa hai đối tượng trong không gian Ñeå tính khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán ñöôøng thaúng (maët phaúng) ta caàn xaùc ñònh ñoaïn vuoâng goùc veõ töø ñieåm ñoù ñeán ñöôøng thaúng (maët phaúng). 1. Cho hình choùp SABCD, coù SA  (ABCD) vaø SA = a6 , ñaùy ABCD laø nöûa luïc giaùc ñeàu noäi tieáp trong ñöôøng troøn ñöôøng kinh AD = 2a. a) Tính khoaûng caùch töø A vaø B ñeán mp (SCD). b) Tính khoaûng caùch töø ñthaúng AD ñeán mp (SBC). c) Tính dieän tích cuûa thieát dieän cuûa hình choùp SABCD vôùi maët phaúng (P) song song vôùi a 3 mp(SAD) vaø caùch (SAD) moät khoaûng baèng . 4 2. Cho hình laêng truï ABC.A B C coù AA  (ABC) vaø AA = a, ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi A coù BC = 2a, AB = a3 . a) Tính khoaûng caùch töø AA ñeán maët phaúng (BCC B ). b) Tính khoaûng caùch töø A ñeán (A BC). c) Chöùng minh raèng AB  (ACC A ) vaø tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (ABC ). 3. Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA  (ABCD) vaø SA = 2a. a) Tính khoaûng caùch töø A ñeán mp(SBC), töø C ñeán mp(SBD). b) M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø AD. Chöùng minh raèng MN song song vôùi (SBD) vaø tính khoaûng caùch töø MN ñeán (SBD). c) Maët phaúng (P) qua BC caét caùc caïnh SA, SD theo thöù töï taïi E, F. Cho bieát AD caùch (P) a 2 moät khoaûng laø , tính khoaûng caùch töø S ñeán maët phaúng (P) vaø dieän tích töù giaùc 2 BCFE. 4. Cho hai tia cheùo nhau Ax, By hôïp vôùi nhau goùc 600, nhaän AB = a laøm ñoaïn vuoâng goùc chung. Treân By laáy ñieåm C vôùi BC = a. Goïi D laø hình chieáu cuûa C treân Ax. Trang 36
  37. Bài tập Toán 11 – HK2 a) Tính AD vaø khoaûng caùch töø C ñeán mp(ABD). b) Tính khoaûng caùch giöõa AC vaø BD. 5. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a vaø B· AD 600 . Goïi O laø giao 3a ñieåm cuûa AC vaø BD. Ñöôøng thaúng SO  (ABCD) vaø SO = . Goïi E laø trung ñieåm 4 cuûa BC, F laø trung ñieåm cuûa BE. a) Chöùng minh (SOF)  (SBC). b) Tính caùc khoaûng caùch töø O vaø A ñeán (SBC). CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho tứ diện SABC trong đó SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA = 3a, SB = a, SC=2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng: A. 3a 2 B. 7a 5 C. 8a 3 D. 5a 6 2 5 3 6 Câu 2. Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC  (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC = a2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng: A. a 2 B. a 6 C. a 7 D. a 4 3 11 5 7 Câu 3. Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC  (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC = a2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng: A. 3a 2 B. 2a 3 C. 4a 5 D. a 11 2 3 3 2 Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD) đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và Bˆ = 600. Biết SA= 2a. Tính khỏang cách từ A đến SC A. 3a 2 B. 4a 3 C. 2a 5 D. 5a 6 2 3 5 2 Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD), SA= 2a, ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi O là tâm của ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC. A. a 3 B. a 3 C. a 2 D. a 2 3 4 3 4 Câu 6. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng α. Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng: a 2 a 2 A. a 2 cotα B. a2 tan C. cosα D. sinα 2 2 Câu 7. Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = 3a, AB=a3 , BC = a6 . Khỏang cách từ B đến SC bằng: A. a 2 B. 2a C. 2a3 D. a 3 Câu 8. Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = a3 , AB=a3 . Khỏang cách từ A đến (SBC) bằng: A. a 3 B. a 2 C. 2a 5 D. a 6 2 3 5 6 Trang 37
  38. Bài tập Toán 11 – HK2 Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a, SA = a. Khỏang cách từ A đến (SCD) bằng: A. 3a 2 B. 2a 3 C. 2a D. 3a 2 3 5 7 Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a3 . Tính khaỏng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên: A. a 5 B. 2a 3 C. a3 D. a 2 2 3 10 5 Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a2 . Tính khỏang cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên: A. a 3 B. a 2 C. 2a 5 D. a 2 3 3 2 Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CB. Tính khỏang cách giữa đường a 2 a 3 a a thẳng IJ và (SAD). A. B. C. D. 2 3 2 3 Câu 13. Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D, AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với (ABCD) lấy điểm S với SD = a2 . Tính khỏang cách giữa đường thẳng DC và 2a a a 3 (SAB). A. B. C. a2 D. 3 2 3 Câu 14. Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH = 2a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm 3 của OA và OB. Khỏang cách giữa đường thẳng MN và (ABC) bằng:. A. a B. a 2 C. a D. a 3 2 2 3 3 Câu 15. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CD. A. a 3 b )a 2 C. a 2 D. a 3 2 3 2 3 Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a 5 và BC=a2 . Tính khoảng cách giữa SD và BC 3a 2a a 3 A. B. C. D. a 3 4 3 2 Câu 17. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB’ và AC bằng: A. a B. a C. a 2 D. a 3 2 3 2 3 Câu 18. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 (đvd). Khoảng cách giữa AA’ và BD’ bằng: A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 3 5 3 2 5 7 Trang 38
  39. Bài tập Toán 11 – HK2 Câu 19. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và a a (ACC’). A. a 3 B. C. D. a 2 3 4 3 4 Câu 20. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 600, đáy ABC là tam giác đều và A’ cách đều A, B, C. Tính khoảng cách giữa hai đáy a 3 2a của hình lăng trụ. A. a B. a2 C. D. 2 3 Câu 21. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến (BCD) bằng: A. a 6 B. a 6 C. a 3 D. a 3 2 3 6 3 Câu 22. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai cạnh đối AB và CD bằng: A. a 2 B. a 3 C. a D. a . 2 2 2 3 - HẾT- Trang 39