Đề khảo sát học sinh giỏi lớp 6 cấp huyện môn Toán Lớp 6 (Kèm hướng dẫn chấm)

73 trang hoanvuK 09/01/2023 3600

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề khảo sát học sinh giỏi lớp 6 cấp huyện môn Toán Lớp 6 (Kèm hướng dẫn chấm)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

de_khao_sat_hoc_sinh_gioi_lop_6_cap_huyen_mon_toan_lop_6_kem.docx

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi lớp 6 cấp huyện môn Toán Lớp 6 (Kèm hướng dẫn chấm)

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ 1 Bài 1: (1,0điểm) Thực hiện phộp tớnh( tớnh hợp lý nếu cú thể ) a/ 1968 : 16 + 5136 : 16 -704 : 16 b/ 23. 53 - 3 {400 -[ 673 - 23. (78 : 76 +70)]} Bài 2: ( 1,0điểm) M cú là một số chớnh phương khụng nếu : M = 1 + 3 + 5 + + (2n-1) ( Với n N , n 0 ) Bài 3: (1,5điểm) Chứng tỏ rằng: a/ (3100+19990)  2 b / Tổng của 4 số tự nhiờn liờn tiếp khụng chia hết cho 4 Bài 4 : (1,0điểm) So sỏnh A và B biết : 1718 1 1717 1 A = , B = 1719 1 1718 1 Bài 5: ( 2,0điểm ) Tớm tất cả cỏc số nguyờn n để: n 1 a) Phõn số cú giỏ trị là một số nguyờn n 2 12n 1 b) Phõn số là phõn số tối giản 30n 2 Bài 6: (2,5điểm) Cho gúc xBy = 550 .Trờn cỏc tia Bx, By lần lượt lấy cỏc điểm A, C ( A B, C B ). Trờn đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho gúc ABD = 300 a/ Tớnh độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b/ Tớnh số đo gúc DBC c/ Từ B vẽ tia Bz sao cho gúc DBz = 900 . Tớnh số đo ABz. Bài 7: (1,0điểm) Tỡm cỏc cặp số tự nhiờn x , y sao cho : (2x + 1)( y – 5) = 12 HẾT (Đề thi gồm cú 01 trang). Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh: ; Số bỏodanh PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 1 Bài 1: (1,0 điểm) í/Phần Đỏp ỏn Điểm a = 16(123+ 321 - 44):16 0,25 = 400 0,25 b =8.125-3.{400-[673-8.50]} 0,25 = 1000-3.{400-273} =619 0,25 Bài 2: (1,0 điểm) í/Phần Đỏp ỏn Điểm M = 1 + 3 + 5 + + (2n-1) ( Với n N , n 0 ) 0,5 Tớnh số số hạng = ( 2n-1-1): 2 + 1 = n Tớnh tổng = ( 2n-1+1 ) n : 2 = 2n2 : 2 = n 2 0,5đ KL: M là số chớnh phương Bài 3: (1,5 điểm) í/Phần Đỏp ỏn Điểm Ta cú: 3100 = 3.3.3 .3 (cú 100 thừa số 3) = (34)25 = 8125 cú chữ số tận cựng bằng 1 19990 = 19.19 19 ( cú 990 thứa số 19 ) 0,25 a = (192)495 = 361495 ( cú chữ số tận cựng bằng 1 Vậy 3100+19990 cú chữ số tận cựng bằng 2 nờn tổng này chia 0,25 hết cho 2 0,5 Gọi 4 số tự nhiờn liờn tiếp là : a ; (a +1) ;( a + 2) ;( a + 3 ) ; ( a N ) 0,25 b Ta cú : a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6 0,25 Vỡ 4a 4 ; 6 khụng chia hết 4 nờn 4a+ 6 khụng chia hết 4 Bài 4 : ( 1,0 điểm) í/Phần Đỏp ỏn Điểm 1718 1 1718 1 1718 1 16 Vỡ A = < 1 A= < = 1719 1 1719 1 1719 1 16 0,75 17 1717 1 1717 1 = = B 17 1718 1 1718 1 0,25 Vậy A < B
Bài 5: (2,0 điểm) í/Phần Đỏp ỏn Điểm a n 1 là số nguyờn khi ( n+1)  (n-2) 0.5 n 2 Ta cú (n+1) = (n 2) 3 Vậy (n+1)  (n-2) khi 3 (n-2) (n-2) Ư(3) = 3; 1;1;3 => n 1;1;3;5 0,5 Gọi d là ƯC của 12n+1 và 30n+2 ( d N* ) 0,25 12n 1d,30n 2d 5(12n 1) 2(30n 2) d (60n+5-60n-4) d 1 d mà d * b N d = 1 0,5đ Vậy phõn số đó cho tối giản 0,25 Bài 6: (2,5 điểm) í/Phần Đỏp ỏn Điểm Vẽ hỡnh đỳng TH1 TH2 x x a z A A D D 0,25 B B C C y y z Vỡ D thuộc đoạn thẳng AC nờn D nằm giữa A và C : AC= AD + CD = 4+3 = 7 cm 0,25 Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC 0,25 b 0,25 Ta cú đẳng thức :  ABC =  ABD +  DBC  DBC =  0,5 ABC -  ABD =550 – 300 = 250 c Xột hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phớa nửa mặt phẳng 0,25 cú bờ là AB nờn tia BA nằm giữa hai tiaBz và BD Tớnh được  ABz = 900 -  ABD = 900- 300 = 600 0,25 - Trường hợp 2 :Tia Bz và tia BD nằm về cựng nửa mặt phẳng cú 0,25 bờ là AB nờn tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA
Tớnh được  ABz = 900 +  ABD = 900 + 300 = 1200 0,25 Bài 7: (1,0 điểm) í/Phần Đỏp ỏn Điểm (2x+ 1); (y - 5) là cỏc ước của 12 0,25 Ư(12) = 1;2;3;4;6;12  0,25 Vỡ 2x + 1 là lẻ nờn : 2x + 1= 1 x=0 , y =17 0,25 2x + 1= 3 x=1 , y=9 0,25 Vậy với x = 0 thỡ y = 17 ; Với x = 1 thỡ y = 9 PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ 2 Bài 1: (5,0 điểm) . Cho A 550 – 548 546 544  +56 - 54 + 52 1. a) Tớnh A. b) Tỡm số tự nhiờn n biết 26.A 1 5n c) Tỡm số dư trong phộp chia A cho 100. Bài 2: (3,0 điểm). Tỡm số tự nhiờn x ,biết: a) 1 3 5 7 9  2x –1 225 x x 1 x 2 x 3 x 2015 2019 b) 2 2 2 2  +2 2 8. Bài 3: (5,0 điểm) a) Cho số abc chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cab cũng chia hết cho 37. b) Tỡm số x, y nguyờn biết x.y 12 x y Bài 4 (3,0 điểm): Tỡm số tự nhiờn a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3. Bài 5: (4,0 điểm) 1. Cho 30 điểm phõn biệt trong đú cú a điểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng. Tỡm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường thẳng. 2. Vẽ đoạn thẳng AB 6cm . Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho AC BD 9cm. a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C. b) Tớnh độ dài đoạn thẳng CD ? Hết PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 2 Bài 1: (4,0 điểm) Đỏp ỏn Điểm 50 48 46 44 6 4 2 a. A 5 – 5 5 5  +5 - 5 + 5 1. 25A 52. 550 – 548 546 544  +56 - 54 + 52 1. 0,25 52 50 48 46 8 6 4 2 5 – 5 5 5  +5 - 5 + 5 5 . 0,25 Suy ra 25A A 552 1 0,50 Vậy A 552 1 : 26 0,25 b) Tỡm số tự nhiờn n biết 26.A 1 5n Ta cú 26.A 1 5n mà 26A 552 1 nờn 552 1 1 5n 0,25 Suy ra 552 5n n 52 .Vậy n 52 0,25 c). Tỡm số dư trong phộp chia A cho 100. A 550 – 548 546 544  +56 - 54 + 52 1. ( cú 26 số hạng) 0,25 50 48 46 44 6 4 2 5 – 5 5 5  + 5 - 5 + 5 1. 0,25 50 48 46 44 6 4 2 5 – 5 5 5  + 5 - 5 + 5 1 . 0,25 48 2 44 2 4 2 2 5 . 5 –1 5 . 5 –1  +5 . 5 –1 + 5 1 . 0,25 548.24 544.24  +54 .24+ 24. 0,25 546.25.24 542.25.24  +52 .25.24+ 24. 0,50 546.600 542.600  +52 .600+ 24. 6.100. 546 542 52 24 0,25 Suy ra A chia cho 100 dư 24. 0,25 Bài 2: (3,0 điểm). Tỡm số tự nhiờn x ,biết: Đỏp ỏn Điểm a) 1 3 5 7 9  2x –1 225 Với mọi x N ta cú 2x – 1 là số lẻ 0,25 Đặt A = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + 2 x – 1 A là tổng của cỏc số lẻ liờn tiếp từ 1 đến 2x – 1 0,25 Số số hạng của A là: 2x –1–1 : 2 1 x (Số hạng) 0,25 2 A 2x –1 1 .x : 2 x 0,25 Mà A 225 x2 225 152 0,25 x 15 Vậy x 15 0,25 x x 1 x 2 x 3 x 2015 2019 b) 2 2 2 2  +2 2 8. x x x 2 x 3 x 2015 2019 3 2 .1 2 .2 2 .2 2 .2  +2 .2 2 2 . 0,25 2x. 1 2 22 23  +22015 23. 22016 1 . 0,25 2 3 2015 Đặt M 1 2 2 2  +2 2 3 4 2016 Ta được 2.M 2 2 2 2  +2 0,25
Suy ra M 22016 1 0,25 2x. 22016 1 23. 22016 1 . Vậy ta cú 0,25 x 3 2 2 x 3 .Vậy x 3 0,25 Bài 3: (5,0 điểm). Đỏp ỏn Điểm a) Cho số abc chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cab cũng chia hết cho 37. Ta cú abc37 100.abc 37 abc0037 0,50 ab .1000 c00 37 0,25 ab .999 c00 ab 37 0,25 ab .999 cab 37 0,25 Mà ab .999 ab .37.27  37 0,25 cab37 0,25 Vậy nếu abc37 thỡ cab37 0,25 b) Tỡm số x, y nguyờn biết x.y 12 x y Ta cú x.y 12 x y x.y x y 12 0 0,25 x. y 1 y 12 0 0,25 x. y 1 y 1 11 0 0,25 x 1 . y 1 11 1 0,25 Vỡ x, y Z nờn x 1 Z; y 1 Z 0,25 Do đú từ 1 x 1; y 1là cỏc ước của -11 0,25 Cỏc ước của -11 là -11; -1;1;11 0,25 +) Với x 1 11 thỡ y 1 1. Suy ra x 10; y = 2 ( Thỏa món) 0,25 +) Với x 1 1 thỡ y 1 11. Suy ra x 0; y = 12 ( Thỏa món) 0,25 +) Với x 1 1thỡ y 1 11. Suy ra x 2; y = -10 ( Thỏa món) 0,25 +) Với x 1 11thỡ y 1 1. Suy ra x 12; y = 0 ( Thỏa món) 0,25 Vậy x; y 10;2 ; 0;12 ; 2; 10 ; 12;0 . 0,25 Bài 4: (3,0 điểm). Đỏp ỏn Điểm Vỡ a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3 0,25 Nờn a 12 ;a 13 ; a 45 ; a 37 a 12 ;a 23 ; a 15 ; a 47 0,25 a 112 ;a 113 ; a 115 ; a 117 0,50 a 11 BC 2;3;5;7 . 0,25 Mà a là số tự nhiờn nhỏ nhất 0,25
a 11 BCNN 2;3;5;7 . 0,25 Mà cỏc số 2; 3; 5; 7 nguyờn tố cựng nhau 0,25 BCNN 2;3;5;7 2.3.5.7 210 0,25 a 11 210. 0,25 a 199. 0,25 Vậy số tự nhiờn cần tỡm là 199. 0,25 Bài 5: (4,0 điểm) Đỏp ỏn Điểm 1. – Giả sử trong 30 điểm phõn biệt khụng cú 3 điểm nào thẳng hàng : 0,25 + Chọn một điểm bất kỡ trong 30 điểm đó cho. Qua điểm đú và từng điểm trong 29 điểm cũn lại ta vẽ được 29 đường thẳng. + Làm như vậy với 30 điểm thỡ ta vẽ được tất cả là 29.30 đường thẳng. 0,25 + Nhưng mỗi đường thẳng đó được tớnh hai lần nờn số đường thẳng thực tế vẽ được là 29.30 : 2 435 đường thẳng. 0,25 Vậy qua 30 điểm phõn biệt mà khụng cú 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được 435 đường thẳng. – Tương tự như trờn, giả sử trong a điểm phõn biệt khụng cú 3 điểm nào thẳng 0,25 hàng ta vẽ được a. a 1 : 2 đường thẳng. Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta chỉ vẽ được một đường thẳng nờn số đường thẳng 0,25 bị giảm đi là a. a 1 : 2 1 đường thẳng. Theo bài ra ta cú : a. a 1 : 2 1 435 421 14 0,25 a. a 1 30 6.5 0,25 Vỡ a-1 và a là hai số tự nhiờn liờn tiếp và a 1 a nờn a 6. 0,25 2. Hỡnh A D C B a) Chứngvẽ : tỏ D nằm giữa A và C. Vỡ D nằm giữa A và B nờn: AD DB AB 0,25 Thay AB 6 cm ta cú AD DB 6 cm . 0,25 Lại cú AC DB 9 cm AD DB AC DB hay AD AC. 0,25 Trờn tia AB cú : AD AC suy ra D nằm giữa A và C 0,25 b) Tớnh độ dài đoạn thẳng CD ? Vỡ D nằm giữa A và C suy ra AD DC AC. 0,25 Lại cú AC DB 9 cm , suy ra AD DC DB 9cm 0,25 Hay AD DB DC 9cm 0,25 Thay AD DB 6 cm , ta cú 6cm DC 9 cm . Vậy DC 3 cm 0,25 Chỳ ý: Học sinh giải theo cỏch khỏc mà đỳng thỡ vẫn cho điểm tương ứng với từng cõu, từng bài theo hướng dẫn trờn./. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
ĐỀ 3 Bài 1 (5 điểm) 1): Rỳt gọn cỏc biểu thức sau: M = 3 – 32 + 33 – 34 + + 32015 – 32016. 2) Chứng tỏ rằng: 1 1 1 1 1 3 a) 22 32 42 992 1002 4 Bài 2 (3 điểm): Tỡm số tự nhiờn x biết: a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + (2x – 1 ) = 225 b) 2x . 2x + 1. 2x + 2 = 1000 0 : 518 18 chữ số 0 Bài 3: (5 điểm) a) Cho 3a + 2b 17 (a , b N). Chứng minh 10a + b 17 b) Tỡm số x,y nguyờn biết xy + x – y = 4 Bài 4: (4 điểm) Cho 30 điểm phõn biệt trong đú cú a điểm thẳng hàng cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng. Tỡm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường thẳng . Bài 5 (3 điểm) Tỡm số tự nhiờn a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3. = Hết = PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 3 Bài Nội dung Điểm Bài 1 (5 điểm) 1.1.a) M = 3 – 32 + 33 – 34 + + 32015 – 32016 Ta cú :3M = 32 – 33 + 34 – 35 + + 32016 – 32017 0,5 (2,0 đ) 3M + M = 3 + (32 – 32) + (33 – 33)+ + (32016 – 32016) – 32017 0,5 4M = 3 + 0 + 0 + . . . + 0 – 32017 0,5 4M = 3 – 32017 M = (3 – 32017) : 4 0,5 1.2. Ta cú: 1 1 32 2.3 (3,0 đ) 1 1 42 3.4 0,5
1 1 52 4.5 . . . . . . . 1 1 992 98.99 1 1 1002 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 32 42 992 1002 4 2.3 3.4 4.5 98.99 99.100 0,5 1 1 1 1 1 1 Mà 4 2.3 3.4 4.5 98.99 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 4 2 3 3 4 4 5 98 99 99 100 0,5 1 1 1 = 4 2 100 0,5 3 1 3 = 4 100 4 0,5 1 1 1 1 1 3 22 32 42 992 1002 4 0,5 Bài 2 (3 điểm) 2.a) Với mọi x N ta cú 2x – 1 là số lẻ 0,25 Đặt A = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + (2x – 1) (1,5) A là tổng của cỏc số lẻ liờn tiếp từ 1 đến 2x – 1 0,25 Số số hạng của A là: (2x – 1 – 1) : 2 + 1 = x (Số hạng) 0,25 A = [(2x – 1) + 1] . x : 2 = x2 0,25 Mà A = 225 x2 = 225 = 152 0,25 x = 15 Vậy x = 15 0,25 2.b) 2x . 2x + 1. 2x + 2 = 1000 0 : 518 18 chữ số 0 (1,5 đ) 2x + x + 1+ x + 2 = 10 . 10 . 10 . . 10 : 5 . 5 . 5 . . 5 18 thừa số 10 18 thừa số 5 0,25 23x + 3 = (10 : 5 ).(10 : 5). (10 : 5) . .(10 : 5) 18 thừa số (10 : 5) 0,25 23x + 3 = 2 . 2 . 2 . . 2 18 thừa số 2 0,25 23x + 3 = 218 0,25 3x + 3 = 18 3x = 18 – 3 3x = 15 x = 15 : 3 0,25
x = 5 Vậy x = 5 0,25 Bài 3: (5 điểm) 3.a) Vỡ 3a + 2b 17 10(3a + 2b) 17 0,5 (30a + 20b) 17 0,25 (2,0đ) (30a + 3b + 17b) 17 0,25 [3(10a + b) + 17b] 17 0,25 Vỡ 17b 17 0,25 3(10a + b) 17 0,25 10a + b 17 (vỡ 3 và 17 nguyờn tố cựng nhau) 0,25 3.b) xy + x – y = 4 x(y + 1) – y = 4 0,25 (3,0đ) x(y + 1) – y – 1 + 1 = 4 0,5 x(y + 1) - ( y + 1 ) + 1= 4 0,25 ( y + 1 )( x – 1) + 1 = 4 0,25 ( y + 1)( x – 1)= 3 0,25 Vỡ x, y là số nguyờn nờn y + 1,x – 1 là ước của 3. 0,25 Nếu x -1 = 1 và y + 1 = 3 thỡ x = 2 và y = 2 0,25 Nếu x -1 = -1 và y + 1 = -3 thỡ x = 0 và y = -4 0,25 Nếu x -1 = 3 và y + 1 = 1 thỡ x = 4 và y = 0 0,25 Nếu x -1 = -3 và y + 1 = -1 thỡ x = -2 và y = -2 0,25 Vậy x = 2 và y = 2 hoặc x = 0 và y = -4 hoặc x = 4 và y = 0 hoặc x = -2 và y = -2 0,25 Bài 4( 4điểm) 4. Giả sử trong 20 điểm khụng cú 3 điểm nào thẳng hàng. Gọi 20 điểm đú là A1, A2, A3, ,A20. (4 đ) Vỡ cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng nờn 0,25 Qua điểm A1 và từng điểm trong 19 điểm cũn lại A2, A3, ,A20 ta vẽ được 19 đường thẳng. 0,5 Qua điểm A2 và từng điểm trong 18 điểm cũn lại A3, A4, ,A20 ta vẽ được 18 đường thẳng. 0,5 . Qua điểm A19 và điểm A20 ta vẽ được 1 đường thẳng. 0,5 Do đú số đường thẳng tạo thành là: 1 + 2 + 3 + + 19 + 20 = ( 1+ 20).20 : 2 = 190 ( đường thẳng) 0,5 Với a điểm trong đú khụng cú 3 điểm nào thẳng hàng thỡ ta cú số đường thẳng tạo thành là 1 + 2 + 3 + +( a – 1) = (a- 1). a: 2 0,5 Với a điểm thẳng hàng thỡ ta chỉ vẽ được 1 đường thẳng 0,25 Vậy trong 20 điểm mà cú a diểm thẳng hàng thỡ sổ đưởng thẳng giảm đi là ( a- 1).a: 2 - 1 = 190 – 170 0,5 ( a- 1).a: 2 - 1 = 20 ( a- 1).a: 2 = 21 0,25
( a- 1).a = 42 ( a- 1).a = 6.7 Mà a-1 và a là 2 số tự nhiờn liờn tiếp a -1 < a nờn a -1 = 6 và a =7 0,25 Vậy a = 7 5. Gọi số phải tỡm là a a = 2k + 1 (3,0 đ) a = 3q + 1 a = 5m + 4 a = 7r + 3 (k, q, m, r N) 0,5 a + 11 = 2k + 12 2 a + 11 = 3q + 12 3 a + 11 = 5m + 15 5 a + 11 = 7r + 14 7 a + 11 BC(2; 3; 5; 7) 1,0 Mà a là số tự nhiờn nhỏ nhất a + 11 = BCNN(2; 3; 5; 7) 0,5 Mà 2; 3; 5; 7 nguyờn tố cựng nhau BCNN(2; 3; 5; 7) = 2.3.5.7 = 210 0,25 a + 11 = 210 a = 210 – 11 a = 199 0,5 Vậy a = 199 0,25 PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ 4 Bài 1 : (5 điểm) Thực hiện cỏc phộp tớnh sau một cỏch hợp lý : a) 102 112 122 : 132 142 . b) 1.2.3 9 1.2.3 8 1.2.3 7.82
2 3.4.216 c) 11.213.411 169 d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1 Bài 2 : (4 điểm) Tỡm x, biết: 2 a) 19x 2.52 :14 13 8 42 b) x x 1 x 2 x 30 1240 c) 11 - (-53 + x) = 97 d) -(x + 84) + 213 = -16 Bài 3 :(2 điểm) Tỡm hai số tự nhiờn a và b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 và a+15=b. Bài 4 :(3 điểm) a)Tỡm số nguyờn x và y, biết : xy - x + 2y = 3. 101102 1 b) So sỏnh M và N biết rằng : M . 101103 1 101103 1 N . 101104 1 Bài 5 : (6 điểm) Cho đoạn thẳngAB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a) Chứng tỏ rằng OA < OB. b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm cũn lại ? c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB). PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 7 Bài 1 : (5 điểm) Thực hiện cỏc phộp tớnh sau một cỏch hợp lý : Đỏp ỏn Điểm a) 102 112 122 : 132 142 100 121 144 : 169 196 1 365:365 1 b) 1.2.3 9 1.2.3 8 1.2.3 7.82 1.2.3 7.8. 9 1 8 1.2.3 7.8 0 0 1 2 2 2 3.4.216 3.22.216 32. 218 c) 13 11 9 11 9 13 22 36 11.2 .4 16 11.213. 22 24 11.2 .2 2 1 32.236 32.236 32.236 32.2 2 11.213.222 236 11.235 236 235 11 2 9 d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374 1 = (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = -65 e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1 = 1
= 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - 7 - 6 + 5) - (4 - 3 - 2 + 1) = 13 Bài 2 : (4 điểm) Tỡm x : Cõu Đỏp ỏn Điểm a. 19x 2.52 :14 13 8 2 42 x 14. 13 8 2 42 2.52 :19 1  x 4 b. x x 1 x 2 x 30 1240 x x x 1 2 30 1240  31 So hang 30. 1 30 31x 1240 1 2 31x 1240 31.15 775 x 25 31 c. 11 - (-53 + x) = 97 x 11 97 ( 53) 33 1 d. -(x + 84) + 213 = -16 (x 84) 16 213 (x 84) 229 1 x 84 229 x 229 84 145 Bài 3 :(3 điểm) Đỏp ỏn Điểm Từ dữ liệu đề bài cho, ta cú : + Vỡ ƯCLN(a, b) = 15, nờn ắt tồn tại cỏc số tự nhiờn m và n khỏc 0, sao cho: a = 15m; b = 15n (1) và ƯCLN(m, n) = 1 (2) + Vỡ BCNN(a, b) = 300, nờn theo trờn, ta suy ra : BCNN 15m; 15n 300 15.20 BCNN m; n 20 (3) 3 + Vỡ a + 15 = b, nờn theo trờn, ta suy ra : 15m 15 15n 15. m 1 15n m 1 n (4) Trong cỏc trường hợp thoả món cỏc điều kiện (2) và (3), thỡ chỉ cú trường hợp : m = 4, n = 5 là thoả món điều kiện (4). Vậy với m = 4, n = 5, ta được cỏc số phải tỡm là : a = 15 . 4 = 60; b = 15 . 5 = 75 Bài 4 :(2 điểm) Cõu Đỏp ỏn Điểm Chứng minh đẳng thức: a. - (-a + b + c) + (b + c - 1) = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c. 1 Biến đổi vế trỏi của đẳng thức, ta được :
VT = -(-a + b + c) + (b + c - 1) = -(-a) - (b + c) + (b + c) + (-1) = a - 1 Biến đổi vế phải của đẳng thức, ta được : VP = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c = b + (-c) + 6 - 7 + a - b + c = [b + (-b)] + [(-c) + c] + a + [6 + (-7)] = a - 1 So sỏnh, ta thấy : VT = VP = a - 1 Vậy đẳng thức đó được chứng minh. Với a > b và S = -(-a - b - c) + (-c + b + a) - (a + b), ta cú : S a b c c b a a b S ( a b)+c ( c) (b a) (a b) S ( a b) a b Tớnh S : theo trờn ta suy ra : S a b * Xột với a và b cựng dấu, ta cú cỏc trường hợp sau xảy ra : + a và b cựng dương, hay a > b > 0, thỡ a + b > 0 : S a b a b + a và b cựng õm, hay 0 > a > b, thỡ a + b b, nờn suy ra : a > 0 và b -b > 0, do đú a b a ( b) 0, suy ra: S a b a b + a b , hay -b > a > 0, do đú a b a ( b) 0, hay a b 0 suy ra : S a b (a b) a ( b) Vậy, với : + S a b (nếu b < a < 0) + S a b (nếu b < a < 0, hoặc b < 0 <a b ) Bài 5 : (6 điểm) Cõu Đỏp ỏn Điểm Hỡnh a b vẽ o m n Hai tia AO, AB đối nhau, nờn điểm A nằm giữa hai điểm O và B, suy a. ra : 2 OA < OB. Ta cú M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB, nờn : OA OB OM ; ON b. 2 2 2 Vỡ OA < OB, nờn OM < ON. Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON, nờn điểm M nằm giữa hai điểm O và N. Vỡ điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nờn ta cú : c. OM MN ON 2 suy ra : MN ON OM
OB OA AB hay : MN 2 2 Vỡ AB cú độ dài khụng đổi, nờn MN cú độ dài khụng đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB). PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ 5 Cõu 1(3,0 điểm): Tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau: 3 28.43 28.5 28.21 a. 24.5 [131 (13 4)2 ] b. 5 5.56 5.24 5.63 Cõu 2(4,0 điểm): Tỡm cỏc số nguyờn x biết. 3 5 24 5 3 2 a. x . b. (7x 11) ( 3) .15 208 c. 2x 7 20 5.( 3) 3 35 6 Cõu 3(5,0 điểm): a, Một số tự nhiờn chia cho 7 dư 5,chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đú chia cho 91 thỡ dư bao nhiờu? b, Học sinh khối 6 khi xếp hàng; nếu xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 đều dư 3 học sinh. Nhưng khi xếp hàng 11 thỡ vựa đủ. Biết số học sinh khối 6 chưa đến 400 học sinh.Tớnh số học sinh khối 6? Cõu 4 (6,0 điểm): Cho gúc bẹt xOy. Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ xy,vẽ cỏc tia Oz và Ot sao cho xã Oz 700 ; ãyOt 550 . a. Chứng tỏ tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot ? b. Chứng tỏ tia Ot là tia phõn giỏc của gúc yOz? c.Vẽ tia phõn giỏc On của gúc xOz. Tớnh gúc nOt? Cõu 5 (2,0 điểm): Cho n là số nguyờn tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyờn tố hay là hợp số. Hết PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 5 Cõu Nội dung Thang điểm Cõu 16.5 (131 92 ) 0.5 1(4điểm) 80 50 0.5 a (1,5) 30 0.5
3 28 43 5 1 b (1,5) .( ) 0.5 5 5 56 24 3 3 28 129 35 56 0.5 .( ) 5 5 168 168 168 3 28 108 0,25 . 5 5 168 3 18 5 5 0.25 3 cõu 2 0.5 (4điểm) a (1,0) 0.5 b (1,5) (7x 11)3 ( 3)2.15 208 0.5 (7x 11)3 9.15 208 (7x 11)3 73 0.5 18 7x 11 7 x 7 0.5 (khụng thỏa món) c (1,5) 2x 7 20 5.( 3) 0.5 2x 7 5 [2x 7 5 [2x 12 [x 6 0.5 2x 7 5 2x 2 x 1 0.5 Vậy x 1;6 Cõu3(4,0) Gọi số đú là a 0.25 Vỡ a chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4 a (2,0) a 97;a 913 mà (7,13)=1 nờn 1.0 a 97.13 a+9=91k a=91k-9 =91k-91+82=91(k-1)+82 (k N) Vậy a chia cho 91 dư 82. 1.0 0.25 b (2,0) Gọi số Hs khối 6 là a (3<a<400) 0.25 Vỡ khi xếp hàng 10,hàng 12, hàng 15 đều dư 3 a 310;12;15 a 3 BC(10,12,15) ta cú 0.5 BCNN(10,12,15)=60 a 3 60;120;180;240;300;360;420;  0.5 a 63;123;183;243;303;363;423;  mà a11;a 400 a=363 0.75 Vậy số HS khối 6 là 363 học sinh. 0.5 Cõu 4 (6,0) z t n Vẽ hỡnh 0.5
x O y a (1,5) Vỡ gúc xOy là gúc bẹt nờn suy ra trờn cựng một nưả mặt phẳng cú bờ xy cú xã Ot và tảOy là hai gúc kề bự. 0 xã Ot +tảOy =1800 xã Ot 180 550 xã Ot 1250 0.75 Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ chứa tia Ox cú: ã ã 0 0 xOz xOt(70 125 ) Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot. 0.75 b (2,0) Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ xy ,ta cú xã Oz và zãOy là hai gúc kề bự xã Oz zãOy 1800 hay 0.75 700 zãOy 1800 zãOy 1800 700 1100 Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ chứa tia Oy cú: ãyOt ãyOz(550 1100 ) Tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz (1) nờn ta cú: ãyOt tảOz ãyOz hay 0.75 550 tảOz 1100 tảOz 1100 550 550 ãyOt tảOz( 550 ) (2).Từ (1) và (2) suy ra Ot là tia phõn giỏc 0.5 của gúc yOz. c (2,0) Vỡ xã Oy là gúc bẹt nờn suy ra tia Ox và tia Oy là hai tia đối nhau Hai tia Ox và Oy nằm trờn hai nửa mặt phẳng đối nhau cú bờ chứa tia Oz (1) 0.5 xã Oz 700 Vỡ On là tia phõn giỏc của gúc xOz nờn nã Oz 350 và 2 2 hai tia On và Ox cựng nằm trờn mặt phẳng cú bờ chứa tia Oz (2) Ta lại cú tia Ot là tia phõn giỏc của gúc yOz (theo b,) 0.5 Hai tia Ot và Oy cựng nằm trờn một nửa mặt phẳng cú bờ chứa tia Oz (3) . Từ (1),(2), (3) suy ra tia On và tia Ot nằm trờn hai nửa mặt phẳng đối nhau cú bờ chứa tia Oz tia Oz 0.5 nằm giữa hai tia On và Ot nờn ta cú: 0 0 0 0 0.5 nã Oz zã Ot nã Ot hay nã Ot 35 55 90 .Vậy nã Ot 90 Cõu 5 n là số nguyờn tố, n > 3 nờn n khụng chia hết cho 3. 0.5 (2,0) Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 0.5 do đú n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007 0.75 = 3( m+669) chia hết cho 3. Vậy n2 + 2006 là hợp số. 0.25
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ 6 Cõu 1. (4 điểm) 12 12 12 5 5 5 12 5 158158158 a) Thực hiện phộp tớnh: A = 81. 7 289 85 : 13 169 91 . 4 4 4 6 6 6 4 6 711711711 7 289 85 13 169 91 2 1 1 1 1 1 1 b) Tỡm x biết: 1) - (x ) (2x 1) 2) .2x .2x 1 .27 .28 3 4 3 5 3 5 3 c. Tìm hai số tự nhiên a và b biết tổng BCNN và ƯCLN của chúng là 15 d. Tỡm x nguyờn thỏa món: x 1 x 2 x 7 5x 10 Cõu 2. (4 điểm) 5.(22.32 )9.(22 )6 2.(22.3)14.34 a. Thực hiện phộp tớnh: A 5.228.318 7.229.318 b. Tỡm cỏc số nguyờn n sao cho: n2 + 5n + 9 là bội của n + 3 c. Chứng minh rằng bỡnh phương của một số nguyờn tố khỏc 2 và 3 khi chia cho 12 đều dư 1 d. Tỡm x, y nguyờn sao cho: xy + 2x + y + 11 = 0 Cõu 3. (4 điểm) a) Tỡm số tự nhiờn nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11.
6 9 9 2 b) Tỡm 3 số cú tổng bằng 210, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ 2 và số thứ 2 bằng số thứ 3. 7 11 11 3 c. Tỡm số tự nhiờn a, b, c, d nhỏ nhất sao cho: a 15 b 9 c 9 ; ; b 21 c 12 d 11 d. Tỡm hai số biết tỉ số của chỳng bằng 5 : 8 và tớch của chỳng bằng 360. Cõu 4. (5 điểm) 1. a) Cho đoạn thẳng AB dài 7cm. Trờn tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4 cm. Trờn tia BA lấy điểm K sao cho BK = 2 cm. Hóy chứng tỏ rằng I nằm giữa A và K. Tớnh IK. b) Trờn tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D ; OA = 5cm; OD = 2 cm ; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đụi độ dài BD. Tỡm độ dài cỏc đoạn BD; AC. 2. Trên nữa mặt phẳng cho tr-ớc có bờ Ox vẽ hai tia Oy và Oz sao cho số đo  xOy = 700 và số đo  yOz = 300. a) Xác định số đo của  xOz b) Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B (Điểm A không trùng với điểm O và độ dài OB lớn hơn độ dài OA). Gọi M là trung điểm của OA. Hãy so sánh độ dài MB với trung bình cộng độ dài OB và AB. Cõu 5. ( 3 điểm) a. Chứng minh rằng: 32 + 33+ 34 + + 3101 chia hết cho 120. a b. Cho hai số a và b thỏa món: a – b = 2(a + b) = b a Chứng minh a = -3b ; Tớnh ; Tỡm a và b b c. Tỡm x, y, z biết: ( x – y2 + z)2 + ( y – 2)2 + ( z +3)2 = 0 Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm - SBD:
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 6 Cõu Phần Nội dung Điểm a 12 12 12 5 5 5 12 5 158158158 2đ Ta cú: . A 81. 7 289 85 : 13 169 91 . 4 4 4 6 6 6 Cõu 1 4 6 711711711 (4 điểm) 7 289 85 13 169 91 1 1 1 1 1 1 12 1 5 1 7 289 85 13 169 91 158.1001001 81. : . 1 1 1 1 1 1 711.1001001 1 4 1 6 1 7 289 85 13 169 91 12 5 158 0,5 81. : . 4 6 711 18 2 324 0,5 81. . 5 9 5 b (x + 1) + ( x + 2 ) + . . . . . . . . + (x + 100) = 5750 2đ => x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . . . . . + x + 100 = 5750 => ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 5750 0.5 101 . 50 + 100 x = 5750 0.5 100 x + 5050 = 5750 100 x = 5750 – 5050 0.5 100 x = 700 x = 7 0.5 5.(22.32 )9.(22 )6 2.(22.3)14.34 Ta cú: A a 5.228.318 7.229.318 2đ 18 18 12 28 14 4 5.2 .3 .2 2.2 .3 .3 0.5 5.228.318 7.229.318 5.230.318 229.318 Cõu 2 0.5 ( 4 điểm ) 228.318 (5 7.2) 229.318 (5.2 1) 2.9 1 2 228.318 (5 14) 9 b 2đ S =(3)0+(3)1 + (3)2+(3)3+ + (3)2015. 3S = (3).[(3)0+(3)1+(3)2 + +(3)2015] 0,5 = (3)1+ (3)2+ +(3)2016] 0,5 1 2 2016 0 1 2015 3S – S = [(3) + (3) + +(3) ] - (3) -(3) - -(3) . 0,5
2S = (3)2016 -1. (3)2016 1 S = 0,5 2 Gọi số cần tỡm là a ta cú: (a-6)  11 ;(a-1)  4; (a-11)  19. 0.5 a (a-6 +33)  11 ; (a-1 + 28)  4 ; (a-11 +38 )  19. 2đ (a +27)  11 ; (a +27)  4 ; (a +27)  19. 0.5 Do a là số tự nhiờn nhỏ nhất nờn a+27 nhỏ nhất 0.5 Cõu 3 Suy ra: a +27 = BCNN (4 ;11 ; 19 ) . 0.5 (4 điểm) Từ đú tỡm được : a = 809 9 6 21 b Số thứ nhất bằng: : = (số thứ hai) 2đ 11 7 22 0.5 9 2 27 Số thứ ba bằng: : = (số thứ hai) 0.5 11 3 22 Số thứ hai bằng: 22 (số thứ hai) 22 22 21 27 70 Tổng của 3 số bằng: (số thứ hai) = (số thứ hai) 0.5 22 22 70 21 Số thứ hai là : 210 : = 66 ; số thứ nhất là: . 66 = 63 ; số thứ 0.5 22 22 27 3 là: .66 = 81 22 1) Trờn tia BA ta cú BK = 2 cm. BA = 7cm nờn BK< BA do đú điểm K nằm giữa A và B. Suy ra AK + KB = AB hay AK + 2 2,5 a = 7 AK = 5 cm. Trờn tia AB cú điểm I và K mà AI < AK (và 4 4đ <5) nờn điểm I nằm giữa A và K 2) Do I nằm giữa A và K nờn AI + IK = AK. Hay 4 + IK = 5 IK 1,5 = 5 – 4 = 1. Cõu 4 b Vỡ A nằm giữa B và C nờn BA +AC = BC BA +AC = 4 (1) 0,5 (6 điểm ) Lập luõn B nằm giữa A và D. 2đ Theo gt OD < OA D nằm giữa O và A. Mà OD + DA = OA 2 + DA =5 DA =3 cm 0,5 Ta cú DB + BA = DA DB +BA = 3 (2) 0,5 Lấy (1) – (2): AC – DB = 1 (3) Theo đề ra : AC = 2BD thay và (3) Ta cú 2BD – BD = 1 BD = 1 0,5 AC = 2BD AC = 2 cm Cõu 5 Ta cú 32 + 33+ 34+ + 3101 ( 2 điểm ) = (32+ 33+ 34 + 35) + (36 + 37 + 38 + 39)+ + (398 + 399 + 3100 + 3101) 0,5 = 31(3+32+33+34) + 35(3+32+33+34) + +397(3+32+33+34) 0,5 = 31.120 + 35.120 + +397.120 0,5
= 120(31 + 35 + +397)120 (đpcm) 0,5 Lưu ý .Học sinh cú cỏch giải khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ 7 Bài 1: (4,0 điểm) a) Cho n 7a5 8b4. Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tỡm a và b. b) Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y sao cho: 5x + 12y = 26. Bài 2:(4,0 điểm) a 1 1 a)Tỡm cỏc số nguyờn a, b biết rằng: 7 2 b 3 1 1 1 b) Tỡm x, biết : ( + + . . . + ) . x = 22 1.2.3 2.3.4 8.9.10 45 Bài 3: (4,0 điểm) a) Cựng một cụng việc nếu mỗi người làm riờng thỡ 3 người A, B, C hoàn thành cụng việc trong thời gian lần lượt là 6 giờ, 8 giờ, 12 giờ. Hai người B và C làm chung trong 2 giờ sau đú người C chuyển đi làm việc khỏc, người A cựng làm với người B tiếp tục cụng việc cho đến khi hoàn thành. Hỏi người A làm trong mấy giờ? b) Cho D = 5 + 52 + 53 + 54 + + 519 + 520. Tỡm số dư khi chia D cho 31. Bài 4:(4,0 điểm) 1930 5 19 31 5 a) So sỏnh M và N biết: M = ; N = 1931 5 19 32 5 b) Thực hiện tớnh: 1 1 1 1 E = 1+ 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + + 1 + 2 + + 200 2 3 4 200 Bài 5: (4,0 điểm) a) Cho: xã Oy = 1200, xã Oz = 500. Gọi Om là tia phõn của gúc ãyOz . Tớnh xãOm b) Cho 20 điểm phõn biệt trong đú cú đỳng 7 điểm thẳng hàng, ngoài ra khụng cú ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi từ 20 điểm đú vẽ được tất cả bao nhiờu đường thẳng? PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 7 Cõu Phần Nội dung cần trỡnh bày Điểm 1 a Cho n 7a5 8b4. Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tỡm a và b. (4đ) (2đ) Ta cú: n = 7a5 8b4 M9 7 a 5 8 b 4 M9 0,5 24 a bM9 a b 3;12 (vỡ a + b 3. Do đú a + b = 12. 0,5 Kết hợp với a – b = 6, suy ra a = 9, b = 3. 0,5 b Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y sao cho: 5x + 12y = 26. (2đ) Ta cú 122 = 144 > 26 và y ∈ N => 0 y 1 => y ∈ {0;1} 0,5 x 1 x +) Với y = 1 => 5 + 12 = 26 => 5 = 14 => khụng tỡm được 0,5 x ∈ N. +) Với y = 0 => 5x + 120 = 26 => 5x = 25=52 => x = 2 1 a 1 1 2 a Tỡm cỏc số nguyờn a, b biết rằng: 7 2 b 3 (4đ) (2đ) a 1 1 2a 7 1 (2a 7)(b 3) 14. 7 2 b 3 14 b 3 0,5 Do a,b Z nờn 2a – 7 Ư(14) 0,5 0,5 Vỡ 2a – 7 lẻ nờn 2a – 7 7; 1;1;7 a 0;3;4;7. Từ đú tớnh được: (a; b) = (0; -5), (3; -17), (4; 11), (7; -1) 0,5 1 1 1 b Tỡm x , biết : ( + + . . . + ) . x = 22 (2đ) 1.2.3 2.3.4 8.9.10 45 1 1 1 ( + + . . . + ) . x = 22 0,5 1.2.3 2.3.4 8.9.10 45 1 1 1 1 1 1 1 22 (  ) . x = 0,5 2 1.2 2.3 2.3 3.4 8.9 9.10 45 1 1 1 22 ( ) . x = 0,5 2 2 90 45 x = 2 0,5 3 a Cựng một cụng việc nếu mỗi người làm riờng thỡ 3 người A, B, (4đ) (2đ) C hoàn thành cụng việc trong thời gian lần lượt là 6 giờ, 8 giờ, 12 giờ. Hai người B và C làm chung trong 2 giờ sau đú người C chuyển đi làm việc khỏc, người A cựng làm với người B tiếp tục cụng việc cho đến khi hoàn thành. Hỏi người A làm trong mấy giờ? 1 1 Trong 1 giờ mỗi người A, B, C lần lượt làm được (CV ) , (CV ) , 6 8 1 1 1 5 (CV ) , B và C làm được (CV ) 12 8 12 24 5 5 2 giờ B và C làm được  2 (CV ) 24 12 0,5
5 7 A và B làm được 1 (CV ) 12 12 0,5 1 1 7 1 giờ A và B cựng làm được: (CV ) 6 8 24 0,5 7 7 Thời gian A cựng làm với B là: : 2 giờ. 12 24 0,5 b Cho D = 5 + 52 + 53 + 54 + + 519 + 520. Tỡm số dư khi chia D (2đ) cho 31. D + 1 = (1+ 5 + 52 ) + 53(1+ 5 + 52 ) + 56(1+ 5 + 52 ) + + 0,5 518(1+ 5 + 52 ) Do 1 + 5 + 52 = 31 nờn D + 1 chia hết cho 31 0,5 => D chia 31 dư 30. 1 4 a 1930 5 19 31 5 So sỏnh M và N biết M = ; N = (4đ) (2đ) 1931 5 19 32 5 1930 5 19.(1930 5) 1931 95 90 M = nờn 19M = = = 1 + 1931 5 1931 5 1931 5 1931 5 0,5 1931 5 19.(1931 5) 1932 95 90 N = nờn 19N = = = 1 + 0,5 1932 5 1932 5 1932 5 1932 5 90 90 Vỡ > 1931 5 1932 5 90 90 Suy ra 1 + 31 > 1 + 32 0,5 19 5 19 5 Hay 19M > 19N Nờn M > N 0,5 b Thực hiện tớnh: (2đ) 1 1 1 1 E = 1+ 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + + 1 + 2 + + 200 2 3 4 200 n(n 1) Từ 1 2 3 n được: 2 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 200.201 E 1 . . . . 2 2 3 2 4 2 200 2 3 4 5 201 1 0,5 2 2 2 2 1 1 2 3 4 5 201 E 2 2 2 2 2 2 2 0,5 1 1 2 4 201 2 1 1 1 201.202 1 E = 1 2 4 201 . 2 2 2 2 2 0,5 = 10150 0,5 5 a Cho: xã Oy = 1200, xã Oz = 500. Gọi Om là tia phõn của gúc ãyOz . (4đ) (2đ) Tớnh xãOm a, Trường hợp 1 : 2 tia Oy, Oz thuộc cựng một nửa mặt phẳng cú bờ Ox
xã Oz = 500 < 1200 = xã Oy nờn tia Oz nằm giữa Ox và Oy. ãyOz = xã Oy – xã Oz = 1200 – 500 = 0,5 700 ãyOz zãOm = = 350 0,5 2 xãOm = 350 + 500 = 850 b, Trường hợp 2 : 2 tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox. Từ đầu bài ta cú Ox nằm giữa 2 tia Oy 0,5 và Oz. ã 0 0 0 yOz = 120 + 50 = 170 0,5 170 zãOm = 850 2 xãOm = 850 – 500 = 350 b Cho 20 điểm phõn biệt trong đú cú đỳng 7 điểm thẳng hàng, (2đ) ngoài ra khụng cú ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi từ 20 điểm đú vẽ được tất cả bao nhiờu đường thẳng? Nếu trong 20 điểm khụng cú ba điểm nào thẳng hàng thỡ vẽ được 20.(20 1) 190 . (Đường thẳng). 0,5 2 Trong 7 điểm khụng cú ba điểm nào thẳng hàng thỡ tạo thành 7.(7 1) 21 (Đường thẳng). 0,5 2 Vỡ 7 điểm thẳng hàng tạo thành 1 đường thẳng nờn số đường thẳng giảm 21 - 1 = 20 (Đường thẳng). 0,5 Vậy cú 190 – 20 = 170 (Đường thẳng). 0,5 Lưu ý : Mọi cỏch giải khỏc đỳng đều cho điểm tối đa PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ 8 Bài 1: (4.0 điểm) Thực hiện phộp tớnh a) A=1.2.3 9 - 1.2.3 8 - 1.2.3 8.8 2 3.4.216 b) B= 11.213.411 169 131313 131313 131313 c) C = 70.( + + ) 565656 727272 909090
1 1 1 1 d) Thực hiện phộp tớnh: B = 4.9 9.14 14.19 64.69 Bài 2: (4.0 điểm) Tỡm x biết : 1 2 7 a) 2x + = 2 3 3 b) 3x 54 .8 : 4 18 c) 2x 15 5 2x 15 3 d) x + (x + 1) + (x + 2) + + ( x + 2013) = 2035147 Bài 3: (4.0 điểm) a). Tỡm số tự nhiờn nhỏ nhất, biết rằng số đú khi chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2, cũn chia cho 7 thỡ dư 3. b) Tỡm x, y nguyờn biết: x + y + xy = 40 c) Khi chia một số tự nhiờn a cho 4 ta được số dư là 3 cũn khi chia a cho 9 ta được số dư là 5. Tỡm số dư trong phộp chia a cho 36. Bài 4: (6.0 điểm) Cho gúc xBy = 550. Trờn cỏc tia Bx; By lần lượt lấy cỏc điểm A, C sao cho A B; C B. Trờn đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ABD = 300 a. Tớnh độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm. b. Tớnh số đo của DBC . c. Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz = 900. Tớnh số đo ABz . 2 3 4 2016 2017 Bài 5: (2.0 điểm) Cho tổng T = + + + + + 21 22 23 22015 22016 So sỏnh T với 3 - Họ và tờn thớ sinh: ; Số bỏo danh Chỳ ý: Cỏn bộ coi giao lưu khụng được giải thớch gỡ thờm. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 8 Bài 1: Thực hiện phộp tớnh (4.0 a) A = 1.2.3 9- 1.2.3 8- 1.2.3 8.8 điểm) = 1.2.3 8.(9 - 1 - 8) 0,5 = 0 0,5 2 3.4.216 b) B = 11.213.411 169
2 3.22.216 0,25 11.213.222 236 9.236 0,25 11.235 236 9.236 0,25 235. 11 2 0,25 9.236 2 235.9 131313 131313 131313 c) C = 70.( + + ) 565656 727272 909090 0,25 13 13 13 = 70.( + + ) 56 72 90 1 1 1 0,25 = 70.13.( + + ) 7.8 8.9 9.10 1 1 0,25 = 70.13.( - ) 7 10 = 39 0,25 1 1 1 1 d ) B = 4.9 9.14 14.19 64.69 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( ) 0,5 5 4 9 9 14 14 19 64 69 1 1 1 = ( ) 0,25 5 4 69 13 = 0,25 276 Bài 2: 1 2 1 2 1 10 a) 2x + = 4 2x = 4 - 2x = (4.0 2 3 2 3 2 3 0,25 điểm) 1 10 1 10 17 17 TH1: - 2x = 2x = - 2x = x = 2 3 2 3 6 12 0,25 1 10 1 10 23 23 TH2: - 2x = 2x = + 2x = x = 0,25 2 3 2 3 6 12 17 23 Vậy x= ; x = 0,25 12 12 b) 3x 54 .8 : 4 18 3x 54 .8 72 0,25 3x 54 9 3x 63 0,25 0,25 x 21 Vậy x = 21 c) 2x 15 5 2x 15 3 0,25
2x 15 5 2x 15 3 0 2x 15 3 . 2x 15 2 1 0 0,25 2x 15 3 0 2 0,25 2x 15 1 0 *2x 15 0 x 7,5 * 2x 15 2 1 0 2x 15 2 12 0,25 2x 15 1 x 8 2x 15 1 x 7 0,25 Vậy x 7;7,5;8 d) x + (x + 1) + (x + 2) + + ( x + 2013) = 2035147 0,25 0,25 2014x + (1+2+3+ +2013) = 2035147 0,25 2014x + 2027091 = 2035147 2014x = 8056 0,25 x = 4 Vậy x = 4 Bài 3: a) Gọi số tự nhiờn cần tỡm là a (4.0 Vỡ a chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2 nờn a - 2 chia hết cho 3, điểm) cho 4, cho 5, cho 6 do đú a - 2 là BC(3, 4, 5, 6) 0,5 + BCNN(3, 4, 5, 6) = 60 + Lập luận a - 2 0;60;120;180;  a 2;62;122;182;  0,5 Mà a là số tự nhiờn nhỏ nhất và chia cho 7 thỡ dư 3 nờn a = 122 0,5 b) x + y + xy = 40 (y+1)x + y + 1= 41 (x + 1)(y + 1) = 41 0,25 Mà x, y nguyờn => x +1 và y + 1 là ước của 41 0,25 Tớnh được (x, y) 40;0 ; 0;40 ; 2; 42 ; 42; 2  0,5 c) Theo đề bài ta cú: a = 4p+3 = 9q + 5 ( p, q nguyờn) 0,25 Suy ra a + 13 = 4p + 3 + 13 = 4(p + 4) (1) 0,25 a + 13 = 9q + 5 + 13 = 9(q + 2) (2) Từ (1) và (2) ta nhận thấy a + 13 là bội của 4 và 9 mà (4,9) = 1 nờn a 0,5 + 13 là bội của 4.9 = 36 0,25 0,25 Ta cú a + 13 = 36k (k nguyờn) => a = 36k – 13 = 36(k - 1) + 23 Vậy a chia cho 36 dư 23
Bài 4: (6.0 y điểm) z C D B x A z a) Vỡ D thuộc đoạn thẳng AC nờn D nằm giữa A và C 0,75 => AC = AD + CD 0,5 = 4 + 3 = 7(cm) 0,5 Vậy AC = 7cm 0.25 1.0 b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA và BC 0.5 ta cú đẳng thức: ABC = ABD + DBC 0.5 => DBC = ABC - ABD = 550 – 300 = 250 c) Xột hai trường hợp ( Học sinh vẽ hỡnh trong hai trường hợp) - Trường hợp 1: Tia Bz và BA nằm trờn cựng 1 nửa mặt phẳng cú bờ là BD + Lập luận tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD 0.5 0 0 0 Tớnh được ABz = DBz - ABD = 90 30 60 0.5 - Trường hợp 2: Tia Bz, và BA nằm trờn hai nửa mặt phẳng đối nhau cú bờ là BD + Lập luận tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA 0.5 0 0 0 Tớnh được ABz = DBz + ABD = 90 30 120 0.5 Bài 5: 2 3 4 2016 2017 T = + + + + + (2.0 21 22 23 22015 22016 3 4 2016 2017 điểm) 2T = 2 + + + + + 21 22 22014 22015 2T –T= 2 + 3 - 2 + 4 - 3 + .+ 2016 - 2015 + 2017 - 2016 - 2017 21 21 22 22 22014 22014 22015 22015 22016 1 1 1 2017 T= 2+ 1 + 2 + + 2015 - 2016 2 2 2 2 0.75 Đặt N = 1 + 1 + + 1 21 22 22015 Ta cú 2N = 1+ 1 + 1 + + 1 21 22 22014 2N-N= 1- 1 22015 Vậy N < 1 2017 2017 0.5 Nờn T< 2+1- =3- 0.5 22016 22016
Vậy T<3 0.25 Ghi chỳ: - Bài hỡnh khụng cú hỡnh vẽ hoặc hỡnh vẽ sai thỡ khụng chấm điểm. - Học sinh làm cỏch khỏc mà đỳng thỡ vẫn cho điểm tối đa. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ 9 Cõu 1: (4 điểm) Tớnh: a) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2013 2014 2015 2016 2.4.10 4.6.8 14.16.20 b) B 3.6.15 6.9.12 21.24.30 Cõu 2: (6 điểm) 102014 2016 102015 2016 a) So sỏnh A và B 102015 2016 102016 2016 1 1 1 1 119 b) Tỡm x biết: ( ).x 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 720 c) Chứng minh rằng: nếu p và p2+2 là cỏc số nguyờn tố thỡ p3+2 cũng là số nguyờn tố. Cõu 3: (4 điểm) 2n 1 a) Tỡm số tự nhiờn n để phõn số là phõn số rỳt gọn được. n 2 b) Trong đợt tổng kết năm học tại một trường THCS, tổng số học sinh giỏi của ba lớp 6A, 2 1 6B, 6C là 90 em. Biết rằng số học sinh giỏi của lớp 6A bằng số học sinh giỏi của lớp 6B và 5 3 1 bằng số học sinh giỏi của lớp 6C. Tớnh số học sinh giỏi mỗi lớp. 2 Cõu 4: (4 điểm) Cho tam giỏc ABC cú ÃCB 600 , AB=6cm. Trờn cạnh AB lấy điểm D (D khỏc A,B) sao cho AD=2cm. a) Tớnh độ dài đoạn thẳng BD. b) Tớnh số đo của DãCB biết ÃCD 200 . c) Dựng tia Cx sao cho Dã Cx 900 . Tớnh ÃCx . d) Trờn cạnh AC lấy điểm E (E khỏc A,C). Chứng minh hai đoạn thẳng CD và BE cắt nhau. 1 1 1 4 Cõu 5: (2 điểm) Tỡm bộ ba số nguyờn dương a, b, c sao cho: a b c 5
HẾT Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Giỏm thị 1 (Họ tờn và ký) Giỏm thị 2 (Họ tờn và ký) PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 9 Cõu Đỏp ỏn Điểm 1.1 (2.0 Tớnh A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2013 2014 2015 2016 điểm) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2013 2014 2015 2016 Tớnh được số cỏc số hạng của A là (2016 - 1) : 1 + 1 = 2016 số hạng 0,75 Nhúm 4 số hạng liờn tiếp vào một nhúm: A (1 2 3 4) (5 6 7 8) (2013 2014 2015 2016) 0.75 A 1444 44(4 4444)2 4.4 4 44(4 4443) 4.504 2016 cú 504 sụ' 0.5 Vậy A=-2016 1.2 2.4.10 4.6.8 14.16.20 B (2.0 3.6.15 6.9.12 21.24.30 điểm) 2.4.10 4.6.8 14.16.20 8.(1.2.5 2.3.4 7.8.10) 8 B 1.75 3.6.15 6.9.12 21.24.30 27.(1.2.5 2.3.4 7.8.10) 27 8 Vậy B= 0.25 27 2.1 102014 2016 102015 2016 (2.0 So sỏnh A 2015 và B 2016 điểm) 10 2016 10 2016 102014 2016 (102014 2016)(102016 2016) Ta cú A 102015 2016 (102015 2016)(102016 2016) 104030 2016.(102014 102016 ) 20162 0.75 (102015 2016)(102016 2016) 104030 2016.102014.101 20162 (1) (102015 2016)(102016 2016) 102015 2016 (102015 2016)(102015 2016) Ta cú B 102016 2016 (102016 2016)(102015 2016) 104030 2.2016.102015 20162 (102016 2016)(102015 2016) 0.75 104030 20.2016.102014 20162 (2) (102016 2016)(102015 2016) Từ (1) và (2) suy ra A>B 0.25
Vậy A>B 0.25 2.2 1 1 1 1 119 Tỡm x biết: ( ).x (1) (2.0 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 720 điểm) 1 1 1 1 Ta cú: 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 2.3.4 7.8.9 8.9.10 1 1 1 1 119 1,25 ( ) . 3 6 720 3 720 1 119 119 0.5 Nờn từ (1) suy ra: . .x =>x=3 3 720 720 Vậy x=3 0.25 2.3 Chứng minh rằng: nếu p và p2+2 là cỏc số nguyờn tố thỡ p3+2 cũng là số nguyờn tố. (2.0 điểm) Ta nhận xột rằng mọi số nguyờn tố lớn hơn 3 thỡ chia cho 3 đều cú dạng 0.5 p=3k+1 hoặc p=3k+2 ( k N * ) Với p=3k+1 thỡ p2+2=9k2+6k+3 chia hết cho 3. Với p=3k+2 thỡ p2+2=9k2-6k+6 chia hết cho 3 0.5 Vỡ p là nguyờn tố nờn p 2 khi đú trong cả 2 trường hợp trờn thỡ p2+2 đều lớn hơn 3 và chia hết cho 3. Tức là p2+2 là hợp số 0.75 => p2+2 chỉ là nguyờn tố khi p=3 (khi đú p2+2=11 là số nguyờn tố) => p3+2=27+2=29 là số nguyờn tố Vậy nếu p và p2+2 là cỏc số nguyờn tố thỡ p3+2 cũng là số nguyờn tố. 0.25 3.1 2n 1 Tỡm số tự nhiờn n để phõn số là phõn số rỳt gọn được. (2.0 n 2 điểm) Gọi d là ƯCLN(2n+1,n+2) (d N * ) Ta cú 2n+1Md, n+2Md => [(2n+4)-(2n+1)]Md 0.75 => 3Md Vỡ d N * nờn d {1;3} 2n 1 0.75 Để phõn số rỳt gọn được thỡ d=3 n 2 => n+2=3k ( k N * ) * => n=3k-2 ( k N ) 0.5 2n 1 Vậy với n=3k-2 ( k N * ) thỡ phõn số là phõn số rỳt gọn được. n 2 Trong đợt tổng kết năm học tại một trường THCS, tổng số học sinh giỏi của ba lớp 6A, 2 1 3.2 6B, 6C là 90 em. Biết rằng số học sinh giỏi của lớp 6A bằng số học sinh giỏi của (2.0 5 3 điểm) 1 lớp 6B và bằng số học sinh giỏi của lớp 6C. Tớnh số học sinh giỏi mỗi lớp. 2 Số học sinh giỏi của lớp 6B bằng 0.5đ
2 1 6 : ( số học sinh giỏi lớp 6A) 5 3 5 0.5đ Số học sinh giỏi lớp 6C bằng 2 1 4 : ( số học sinh giỏi lớp 6A) 5 2 5 0.5đ Số học sinh giỏi của cả 3 lớp bằng 6 4 1 3 ( số học sinh giỏi lớp 6A) 5 5 0.5đ Vậy số học sinh giỏi lớp 6A là 90: 3 = 30 học sinh, của lớp 6B là 36 học sinh và của lớp 6C là 24 học sinh Cho tam giỏc ABC cú ÃCB 600 , AB=6cm. Trờn cạnh AB lấy điểm D sao cho AD=2cm. 4 a) Tớnh độ dài đoạn thẳng BD. (4.0 ã 0 điểm) b) Tớnh số đo của gúc DCB biết ACD 20 . c) Dựng tia Cx sao cho Dã Cx 900 . Tớnh ÃCx . d) Trờn cạnh AC lấy điểm E. Chứng minh hai đoạn thẳng CD và BE cắt nhau. E E Trường hợp 1 Trường hợp 2 a) D nằm giữa A và B => AD+BD=AB=>BD=6-2=4cm 0.75 KL 0.25 b) Tia CD nằm giữa hai tia CA và tia CB => ãACD DãCB ÃCB 0.75 => DãCB =400 KL 0.25 c) Xột hai trường hợp: - Trường hợp 1: Hai tia CD và Cx nằm về một phớa so với đường thẳng CB Tớnh được gúc ACx = 900- ãACD = 700 0.5 K.L - Trường hợp 2: Hai tia CD và Cx nằm về hai phớa so với đường thẳng CB Tớnh được gúc ACx = 900 + ãACD = 1100 0.5 K.L - Xột đường thẳng CD. Do CD cắt AB nờn đường thẳng CD chia mặt phẳng làm 2 nửa: 1 nửa MP cú bờ CD chứa điểm B và nửa MP bờ CD chứa điểm A => tia CA thuộc nửa MP chứa điểm A.
E thuộc đoạn AC => E thuộc nửa MP bờ CD chứa điểm A 0.5 => E và B ở 2 nửa MP bờ CD => đường thẳng CD cắt đoạn EB - Xột đường thẳng BE. Lập luận tương tự: ta cú đường thẳng EB cắt đoạn CD. 0.5 Vậy 2 đoạn thẳng EB và CD cắt nhau. 5 1 1 1 4 Tỡm bộ ba số nguyờn dương a, b, c sao cho: (1.0 a b c 5 điểm) Khụng làm mất tớnh tổng quỏt, ta giả sử: a b c khi đú ta cú: 3 4 15 , a 0.5 a 5 4 Nếu a=1 thỡ khụng thể được, do đú a= 2 hoặc a=3 1 1 3 Nếu a=2 thỡ b c 10 2 3 20 Suy ra , b b 10 3 0.5 3 1 Suy ra b=4 hoặc b= 5 hoặc b=6 vỡ < 10 3 Suy ra cỏc số a, b, c thỏa món là (a=2,b=4,c=20) và (a=2,b=5,c=10) 1 1 7 Nếu a=3 thỡ b c 15 0.5 2 7 30 từ đú , b suy ra b=3 hoặc b=4. Khụng cú trường hợp nào thỏa món b 15 7 K.L cú 12 bộ số thỏa món là cỏc hoỏn vị của hai bộ ba số (2,4,20) và (2,5,10) 0.5 Điểm toàn bài 20 điểm Ghi chỳ: - Bài hỡnh khụng cú hỡnh vẽ hoặc hỡnh vẽ sai thỡ khụng chấm điểm. - Học sinh làm cỏch khỏc mà đỳng thỡ vẫn cho điểm tối đa. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ 10 Cõu 1(2,0 điểm): Tớnh hợp lớ a) 21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.16 5.415.99 4.320.89 c) 5.29.619 7.229.276 Cõu 2(6,0 điểm): Tỡm x là số tự nhiờn, biết:
2 2 0,4 1 3 x 1 8 a) x : (9 - ) = 9 11 b) = 2 2 8 8 2 x 1 1,6 9 11 c) 52x - 3 – 2.52 = 52.3 d) 2x 7 20 5.( 3) Cõu 3(6,0 điểm): a) Tỡm số nguyờn x và y, biết : xy - x + 2y = 3. b) Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y biết: 2x + 1 . 3y = 12x c) Cho số 155*710* 4*16 cú 12 chữ số. Chứng minh rằng nếu thay cỏc dấu (*) bởi cỏc chữ số khỏc nhau trong ba chữ số 1; 2; 3 một cỏch tuỳ ý thỡ số đú luụn chia hết cho 396. d) Tỡm số tự nhiờn n để biểu thức sau là số tự nhiờn: 2n 2 5n 17 3n B = n 2 n 2 n 2 Cõu 4(5,0 điểm): Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trờn tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM. a) Tớnh BN khi BM = 2cm. b) Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ là đường thẳng AB, vẽ cỏc tia Ax và Ay sao cho Bã Ax 400 , Bã Ay 1100 . Tớnh yã Ax, Nã Ay . c) Xỏc định vị trớ của điểm M trờn đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN cú độ dài lớn nhất. Cõu 5(1,0 điểm): Tỡm số tự nhiờn n và chữ số a biết rằng: 1 + 2 + 3 + .+ n = aaa Hết Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 10 Cõu Nội dung Điểm 1 a) 21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.16 = 72(21 – 11 + 90) + 49.125.16 0.5đ (3,0đ) = 49. 100 + 49. 100. 20 = 49.100(1 + 20) = 49.100.21 0.5đ
15 9 20 9 5.4 .9 4.3 .8 5 .2 3 0.3 1 8 2 2.3 2 0.2 2 7 0.5đ b) = 5.29.619 7.229.276 5 .2 9.2 1 9.3 1 9 7 .2 2 9.3 1 8 229.318 (5.2 32 ) = 2 0.5đ 228.318 (5.3 7.2) 2 2 2 2 0,4 0,4 1 3 0.5đ a) x : (9 - ) = 9 11 x :8 7 11 2 2 8 8 2 2 1,6 4 0,4 9 11 7 11 1 x : 8 = x = 2 .Vậy x = 2 1.0đ 4 x 1 8 b) = (x + 1) 2 = 16 = ( 4)2 0.75đ 2 x 1 2 *) x + 1 = 4 x = 3 (6,0đ) *) x + 1 = - 4 x = - 5 . 0.5đ Do x N nờn x = 3. 0.25đ c) 52x - 3 – 2.52 = 52.3 52x - 3 = 52.3 + 2.52 0.5đ 52x - 3 = 52.5 52x - 3 = 53 0.5đ 2x - 3 = 3 2x = 6 x = 3. Vậy x = 3 0.5đ d) 2x 7 20 5.( 3) 2x 7 5 2x 7 5 0.75đ *) 2x – 7 = 5 2x =12 x = 6 *) 2x – 7 = - 5 2x = 2 x = 1 0.5đ Vậy x 6;1 0.25đ a) Tỡm số nguyờn x và y, biết : xy - x + 2y = 3. xy - x + 2y = 3 ( xy – x) + (2y – 2) = 1 x( y – 1) + 2( y – 1) = 1 (y – 1)( x + 2) = 1 0.75đ y 1 1 y 2 *) x 2 1 x 1 y 1 1 y 0 *) x 2 1 x 3 Vậy x = - 1 ; y = 2 hoặc x = -3 ; y = 0 0.75đ b) 2x + 1 . 3y = 12x 2x + 1 . 3y = (4.3)x = 22x.3x 0.5đ 22x 3y 2x 1 3y x 2x 1 3x 0.5đ Nhận thấy : ( 2, 3) = 1 x – 1 = y - x = 0 x = y = 1 0.5đ 3 (6,0đ) c) Ta thấy, vị trớ của cỏc chữ số thay thế ba dấu sao trong số trờn đều ở hàng chẵn và vỡ ba chữ số đú đụi một khỏc nhau, lấy từ tập hợp 1;2;3 nờn tổng của chỳng luụn bằng 1+ 2+ 3 = 6. Mặt khỏc 396 = 4.9.11 trong đú 4;9;11 đụi một nguyờn tố cựng nhau nờn ta cần chứng minh A = 155*710* 4*16 chia hết cho 4 ; 9 và 11. 0.5đ Thật vậy : *) A  4 vỡ số tạo bởi hai chữ số tận cựng của A là 16 chia hết cho 4 *) A  9 vỡ tổng cỏc chữ số chia hết cho 9 :
1+ 5+ 5 +7+ 1 + 4 + 1+ 6 + (*+*+*) = 30 + 6 = 36 chia hết cho 9 *) A  11 vỡ hiệu số giữa tổng cỏc chữ số hàng chẵn và tổng cỏc chữ số 0.75đ hàng lẻ là 0, chia hết cho 11. {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)} = 18 – 12 – 6 = 0 0.25đ Vậy A  396 2n 2 5n 17 3n 2n 2 5n 17 3n 4n 19 d) B = n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 0,5đ 4n 19 4(n 2) 11 11 B = 4 n 2 n 2 n 2 11 0,5đ Để B là số tự nhiờn thỡ là số tự nhiờn n 2 11  (n+2) n + 2 Ư(11) = 1; 11 Do n + 2 > 1 nờn n + 2 = 11 n = 9 0,5đ Vậy n = 9 thỡ B N Vẽ hỡnh y x 0.5đ 400 ) M N B A a) Vỡ M thuộc AB nờn AM + MB = AB ị AM + 2 = 5 AM = 3 cm Cú AN = AM AN = 3 cm 1.5đ Do N thuộc tia đối của tia AB nờn điểm A nằm giữa N và B 4 BN = AB + AN = 5 + 3 = 8 cm. Vậy BN = 8cm (5.0đ) b) + Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ chứa tia AB cú: Bã Ax Bã Ay(400 1100 ) ị Tia Ax nằm giữa hai tia AB và Ay nờn ta cú: 0.75đ Bã Ax xã Ay Bã Ay hay 400 + xãAy = 1100 ị xãAy = 1100 - 400 = 700 + Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ AB, ta cú Bã Ay và Nã Ay là hai gúc kề bự ị BãAy + Nã Ay = 1800 0.75đ hay 1100 + Nã Ay = 1800 ị Nã Ay = 1800 - 1100 = 700 c) Vỡ BN = AB + AN = 5 + AN BN cú độ dài lớn nhất khi AN cú độ dài lớn nhất Mà AN = AM BN cú độ dài lớn nhất khi AM cú độ dài lớn nhất 1,5đ Cú AM AB AM lớn nhất khi AM = AB khi đú điểm M trựng với điểm B. Vậy khi điểm M trựng với điểm B thỡ BN cú độ dài lớn nhất. (n 1).n Dóy số 1; 2; ; n cú n số hạng 1 + 2 + + n = 2 5 Mà 1 + 2 + 3+ + n = aaa (1.0đ) (n 1).n Suy ra = aaa = a . 111 = a . 3.37 n(n + 1) = 2.3.37.a 2 0.5đ
Vỡ tớch n(n + 1) Chia hết cho số nguyờn tố 37 nờn n  37 hoặc n + 1  37 (n 1).n Vỡ số cú 3 chữ số n+1 < 74 n = 37 hoặc n + 1 = 37 2 37.38 +) Với n = 37 thỡ 703 ( loại) 2 36.37 0.5đ +) Với n + 1 = 37 thỡ 666 ( thoả món) 2 Vậy n = 36 và a = 6. Ta cú: 1+ 2 + 3+ + 36 = 666 Chỳ ý: 1. Thớ sinh cú thể làm bài bằng cỏch khỏc, nếu đỳng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thớ sinh chứng minh bài hỡnh mà khụng vẽ hỡnh thỡ khụng chấm điểm bài hỡnh. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ 11 Cõu 1: (4 điểm). 1) Tỡm tự nhiờn n sao cho 4n – 5 chia hết cho 2n – 1. 2) Cho S = 31 + 33 + 35 + + 32011 + 32013 + 32015. Chứng tỏ: a) S khụng chia hết cho 9 b) S chia hết cho 70. Cõu 2: (5 điểm) a) Tỡm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + . . . + ( x + 100) = 5750.
b) Tỡm số nguyờn x, y biết x2y – x + xy = 6 c) Cho A 1- 5 9 -13 17 - 21 Biết A = 2013. Hỏi A cú bao nhiờu số hạng? Giỏ trị của số hạng cuối cựng là bao nhiờu? Cõu 3: (2 điểm) ab Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của phõn số ( ab là số cú 2 chữ số) a b Cõu 4. (4 điểm) 1 Trong một buổi đi tham quan, số nữ đăng kớ tham gia bằng số nam. Nhưng sau đú một 4 1 bạn nữ xin nghỉ, một bạn nam xin đi thờm nờn số nữ đi tham quan bằng số nam. Tớnh số 5 học sinh nữ và học sinh nam đó đi tham quan. Cõu 5: (5 điểm) 1 Cho xã Oy 1200 , xã Oz xã Oy . Kẻ tia Om là tia phõn giỏc của gúc xOy.Tớnh số đo mã Oz . 3 -Hết-
HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019 – 2020 MễN THI: TOÁN LỚP 6 Cõu Nội dung Điểm 1) 4n – 5 = 4n – 2 – 3 = 2(2n – 1) – 3  2n – 1 0.5đ Vỡ 2(2n – 1)  2n – 1 nờn 3  2n – 1 0.5đ -> 2n – 1 Ư(3) Lớ luận đi đến 2n – 1 1;1;3 0.5đ Kết luận n 0;1;2 0.5đ Cõu 1 2) a) Vỡ 3 khụng chia hết cho 9 0.5đ (4đ) Cỏc hạng tử cũn lại đều chia hết cho 9 Nờn S khụng chia hết cho 9 0.5đ b) Tớnh được số số hạng của tổng S là 1008 số hạng 0.5đ S = (31 + 33 + 35) + (37 + 39 + 311) + + (32011 + 32013 + 32015) S = 3. 91+ 37. 91 + + 32011. 1  91 Kết luận S  7 0.5đ S = (31 + 33) + (35 + 37) + + (32013 + 32015) S = 3. 10+ 35. 10 + + 32013. 10  10 0.5đ Kết luận S  10 Vỡ (10, 7) = 1 nờn S  70 0.5đ a) ( x + 1) + ( x + 2) + . . . + ( x + 100) = 5750. 1 đ Tớnh được 100x + 101. 100 : 2 = 5750 1 đ Kết luận đỳng x = 7 2 Cõu 2 b) x y – x + xy = 6 1 đ (4đ)  (xy – 1)(x + 1) = 5 = 1.5 = (-1)(-5) Xột 4 trường hợp và kết luận (x;y) = (-2;2), (-4;0). 1 đ c) Số số hạng của A là 2013 1 : 4 .2 1 1007 (số hạng) 1 đ Số hạng cuối cựng là: (1007 – 1).4 + 1 = 4025 1 đ 9 ab 10a b 9a 1 Đặt A = = = 1 = b 0.5đ a b a b a b 1 Cõu 3 a
(2đ) b b A Cú GTNN 1 + cú GTLN  Cú GTLN  b = 9 và a = 1 a a 1đ Khi đú số ab = 19 GTNN của A là 1,9 0.5đ Tổng số học sinh nam và nữ dự định đi tham quan và đó đi tham 0.5đ quan là như nhau nờn ta lấy làm đơn vị. 1 1 Số hs nữ đăng kớ đi tham quan bằng số nam nờn bằng tổng số. 4 5 0.5đ 1 Số hs nữ đó đi tham quan bằng số nam đó đi tham quan nờn bằng 5 0.5đ 1 Cõu 4 tổng số. 6 (4đ) 1 1 1 Số nữ dự định đi nhiều hơn số nữ đó đi là: - tổng số hay 5 6 30 1đ 1 học sinh 0.5đ 1 Tổng số hs là 1: = 30 (học sinh) 30 0.5đ Số hs nữ đó đi tham quan là: 30 . 1 = 5 (học sinh) 6 0.5đ Số hs nam đó đi tham quan là: 30 – 25 = 5 (học sinh) Tớnh xã Oz 400 0.5đ 2 trường hợp : 0.5đ a, Trường hợp 1: 2 tia Oy, Oz thuộc cựng một nửa mặt phẳng cú bờ Ox m y z Cõu 4 (5đ) x O 0.5đ Lớ luận để tớnh xãOm 600 Chứng minh tia Oz nằm giữa Ox và Oy. 0.5đ Tớnh đỳng zãOm 200 0.5đ b, Trường hợp 2 : 2 tia Oy và Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox.
m y x O z Chỉ được Ox nằm giữa Om và Oz. 1đ Tinh đỳng zãOm 1000 1đ Chỳ ý: 1. Thớ sinh cú thể làm bài bằng cỏch khỏc, nếu đỳng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thớ sinh chứng minh bài hỡnh mà khụng vẽ hỡnh thỡ khụng chấm điểm bài hỡnh. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ 12 Bài 1( 4 điểm) a, Chứng tỏ 4x + 3y chia hết cho 7 khi 2x + 5y chia hết cho 7 b, Tỡm cỏc số tự nhiờn cú bốn chữ số sao cho khi chia nú cho 130 , cho 150 được cỏc số dư lần lượt là 88 và 108. Bài 2 ( 5,0 điểm) : 7777 77 7777 77 123498766 a) Tớnh A = . 8585 85 16362 162 987661234 b, Tỡm phõn số lớn nhất, khi chia cỏc phõn số 24 và 18 cho nú ta đều được cỏc thương là 7 11 số nguyờn. Bài 3 (2,0 điểm) : 1 1 1 1 91 a, Cho biết S = . Chứng minh rằng < S < 101 102 130 4 330 Bài 4 (4,0 điểm): Tổng bỡnh phương của 3 số tự nhiờn là 2596. Biết rằng tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là 2 , giữa số thứ hai và số thứ ba là 5 . Tỡm ba số đú. 3 6 Bài 5 ( 5,0 điểm) : Cho tia Oz nằm trong gúc vuụng xOy. Vẽ tia Ot sao cho Ox là tia phõn giỏc của gúc tOz. Vẽ tia Om sao cho tia Oy là phõn giỏc của gúc zOm. a, Chứng minh rằng tia Om và tia Ot là hai tia đối nhau . b, Gọi Ox’ là tia đối của tia Ox, biết gúc x’Om bằng 300 . Tớnh gúc tOz . c, Vẽ thờm 2014 tia phõn biệt gốc O (khụng trựng với cỏc tia Ox,Oz,Oy,Om,Ox’ và Ot ). Hỏi trong hỡnh vẽ cú tất cả bao nhiờu gúc ? PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 12 Bài Túm tắt nội dung hướng dẫn Điểm Cõu a ( 2 điểm) Ta cú 4x + 3y  7 4( 4x + 3 y)  7 0,5 đ Bài 1 16x + 12 y  7 (4,0 đ) 14x + 7y + 2x + 5y  7 0,5 đ Mà 14x + 7y = 7(2x + y)  7 0,5 đ Nờn 2x + 5y  7 Vậy 4x + 3y  7 khi 2x + 5y  7 0,5 đ Cõu b ( 2 điểm) Gọi số phải tỡm là a . Ta cú a + 42 chia hết cho 130 và 150 nờn a + 42 là BC(130,150) 0,75đ Tỡm đỳng a = 1908; 3858 ;5808; 7758; 9708 ( mỗi giỏ trị 0,25 đ) 1,25đ Cõu a ( 2,0 điểm) 7777 7777 :101 77 0,5 đ Ta cú 8585 8585:101 85 7777 7777 :101 77 16362 16362 :101 162 0,5 đ Bài 2 75 75 77 77 123498766 0,5 đ A = . 85 85 162 162 987661234 123498766 ( 5,0đ) Vậy A = ( 0 + 0) . = 0 0,5 đ 987661234 Cõu b(3,0 điểm) x 3 1 3 x 1 2x 1 Từ ta cú: (x,y N) 9 y 18 y 9 18 18 0,5 đ 0,5 đ Suy ra: y(2x-1) = 54 do đú y Ư(54) = 1;2;3;6;9;18;27;54, 0,5 đ vỡ 54 là số chẵn mà 2x-1 là số lẻ nờn y là ước chẵn của 54. 0,5 đ Vậy y 2;6;18;54 Ta cú bảng sau:
y 2 6 18 54 0,75 đ 2x-1 27 9 3 1 x 14 5 2 1 Vậy (x;y) (14;2);(5;6);(2;18);(1;54) 0,25 đ * Chứng minh S 110 110 120 120 130 130 0,25 đ 1 1 1 1 1 1 S > 10 10 10 110 120 130 11 12 13 S > 156 143 132 0,25 đ 1716 S > 431 > 429 Hay S > 1 1716 1716 4 Từ (1) và (2) ta cú 1 < S < 91 4 330 0,5 đ
Gọi a, b, c là 3 số tự nhiờn phải tỡm. a 2 b 5 Theo đề bài ta cú: ; ( 1) và a2 b2 c2 2596 (2) 1 đ b 3 c 6 2 6 Từ ( 1) suy ra a b; c b , thay vào (2) ta cú: Bài 4 3 5 (4 đ) 4 36 b2 b2 b2 2596 9 25 1 đ 649 b2 2596 225 b2 900 1 đ 2 6 Tớnh được b = 30, a  30 20; c  30 36 3 5 0,75 đ Vậy 3 số tự nhiờn cần tỡm là: 30; 20; 36 0,25 đ y m z x’ 0,5 đ O x Bài 5 (5,0 đ) t - Bài làm khụng cú hỡnh vẽ khụng cho điểm. - Hỡnh vẽ chớnh xỏc phần a, b được 0,5 điểm Cõu a : 2,0 điểm * Chứng minh gúc tOz + gúc zOm = 1800 Tia Oz nằm trong gúc xOy nờn gúc xOz + gúc zOy = gúc xOy = 0,25 đ 900 Theo giả thiết cú cỏc tia phõn giỏc nờn gúc xOz = 1 gúc tOz 2 gúc zOy = 1 gúc zOm 2 0,25 đ
Từ đú suy ra 1 gúc tOz + 1 gúc zOm = 900 2 2 Hay gúc tOz + gúc zOm = 1800 0,5 đ * Chứng minh gúc tOz và gúc zOm là hai gúc kề nhau: 0,5 đ * Kết luận : Cho 0,5 điểm 0,25 Cõu b : 1,5 điểm Chứng minh gúc tOx = mOx’ = 300 ( Cựng kề bự với gúc mOx) 0,5 đ Gúc tOx = gúc xOz = 300 0,5 đ Gúc tOz = 600 0,5 đ Cõu c : 1,0 điểm Giả sử vẽ thờm n tia phõn biệt gốc O khụng trựng với cỏc tia Ox,Oy,Oz,Ot,Om,Ox’. Tất cả trong hỡnh vẽ cú n+6 tia phõn biệt . Cứ 1 tia trong n+6 tia đú tạo với n+5 tia cũn lại thành n+5 gúc . 0,25 đ Cú n+6 tia nờn tạo thành (n+5)(n+6) gúc , nhưng như thế mỗi gúc n 5 n 6 0,5 đ được tớnh 2 lần . Vậy cú tất cả là gúc 2 Thay = 2014 ta được số gúc cú là 0,25 đ (2014+6)(2014+5) : 2 = 2 039 190 gúc Chỳ ý: 1. Thớ sinh cú thể làm bài bằng cỏch khỏc, nếu đỳng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thớ sinh chứng minh bài hỡnh mà khụng vẽ hỡnh thỡ khụng chấm điểm bài hỡnh. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ 13
Cõu 1: (5 điểm) a) Tỡm x biết (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + + (x + 100) = 5750. b) Tỡm x; y Z biết 2x + 124 = 5y . c) Tỡm kết quả của phộp nhõn A = 666 6 . 999 9 100c / s 100c / s Cõu 2 : (4 điểm) 102014 8 a) Chứng minh rằng : là một số tự nhiờn. 72 b) Cho abc  7. Chứng tỏ rằng 2a + 3b + c  7 c) Cho cỏc số tự nhiờn từ 11 đến 21 được viết theo thứ tự tựy ý, sau đú đem cộng mỗi số đú với số chỉ thứ tự của nú ta được một tổng . Chứng minh rằng trong cỏc tổng nhận được bao giờ cũng tỡm ra hai tổng mà hiệu của chỳng là một số chia hết cho 10. 5 5 5 5 5 Cõu 3 : (2 điểm) Cho S = . Chứng minh rằng 3 < S < 8. 20 21 22 23 49 Cõu 4 : (4 điểm) Tỡm 3 số cú tổng bằng 420, biết rằng 6 số thứ nhất bằng 9 số thứ hai và 7 11 bằng 2 số thứ ba. 3 Cõu 5 : (5 điểm) a) Cho gúc xOy bằng 800, gúc xOz bằng 300 . Tớnh số đo gúc yOz ? b) Cho 4 điểm A; B; C; D khụng nằm trờn đường thẳng a. Chứng minh rằng đường thẳng a hoặc khụng cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong số cỏc đoạn thẳng sau : AB; AC; BC; BD; CD; AD. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 13
Cõu Nội dung Điểm Cõu 1 a) Ta cú (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + + (x + 100) = 5750. (5 điểm) => 100x + 101.50 = 5750 0,75 => 100x = 700 = > x = 7 0,75 b) +) x = 0 => 20 + 124 = 5y => 125 = 5y 0,5 => 53 = 5y => y = 3 0,25 +) x 0 => 2x + 124 là số chẵn => 2x + 124 = 5y là vụ lý 0,5 Vậy x = 0 và y = 5 thỡ thỏa món đề bài. 0,25 c) A = 666 6 . 999 9 = A = 666 6 .(1 00 0 - 1) 0,5 100c / s 100c / s 100c / s 100c / s 0,5 = 666 6 000 0 - 666 6 100c / s 100c / s 100c / s = 666 6 5333 3 4 99c / s 99c / s 1,0 Cõu 2 a) Chứng minh : 102014 + 8  8 0,25 (4 điểm) 102014 + 8  9 0,25 Mà (8; 9) = 1 => 102014 + 8  72 0,25 102014 8 0,25 => là một số tự nhiờn. 72 b) abc 7 => 100a + 10b + c 7 => 98a + 7b + ( 2a + 3b + c) 7 0,25 => 7(14a + b) + ( 2a + 3b + c) 7 0,25 Mà 7(14a + b) 7 => ( 2a + 3b + c) 7 0,5 c) Khi xột 1 số tự nhiờn khi chia cho 10 => Cú thể xảy ra 10 trường hợp về số dư 0;1;2; ;9 (1) 0,5 Mà cỏc số tự nhiờn từ 11 > 21 gồm (21 - ) + 1 = 11 số. Biết mỗi số cộng với đỳng số thứ tự của nú được 1 tổng => Cú 11 tổng , mỗi tổng đều cú giỏ trị là 1 số tự nhiờn (2) 0,5 Từ (1) và (2) => Trong 11 tổng trờn chắc chắn cú 2tổng cú cựng số dư khi chia cho 11 0,5 0,5 => Luụn  hai tổng cú hiệu chia hết cho 10.
5 5 5 5 5 Cõu 3 Xột tổng S = cú 30 số hạng 0,25 (2 điểm) 20 21 22 23 49 5 5 5 5 5 5 5 5 Mà ; ; ; ; 20 50 21 50 22 50 49 50 0,5 5 0,25 => S 30. S 3 (1) 50 5 5 5 5 5 5 5 5 Lại cú : ; ; ; ; 0,5 20 20 21 20 22 20 49 20 5 150 => S S 3 Số thứ nhõt bằng 21 số thứ hai. 0,75 (4 điểm) 22 Số thứ ba bằng 27 số thứ hai. 0,75 22 22 21 27 70 => Tổng của ba số bằng số thứ hai 0,75 22 22 => Số thứ hai là : 420 : 70 = 132 0,75 22 21 => Số thứ nhất là : .132 126 0,5 22 27 => Số thứ nhất là : .132 162 0,5 22 Cõu 5 a) +) TH1: Hai tia Oy và Oz nằm trờn hai nửa mp đối nhau bờ (5 điểm) chứa tia Ox : Lập luận => Tia Ox nằm giữa hai tia Oy và Oz y x O 0,5 z 0,5 => gúc yOz = 800 + 300 = 1100
+) TH2: Hai tia Oy và Oz cựng nằm trờn một nửa mp bờ chứa tia Ox y z x 0,5 O 0,5 Lập luận => Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy . 0,5 => gúc yOz = 800 - 300 = 500 b) +) TH1: Bốn điểm A; B; C; D cựng thuộc một nửa mp bờ là a. 0,5 => Đường thẳng a khụng cắt đoạn thẳng nào trong cỏc đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD 0,5 +) TH2: Trong hai nửa mp đúi nhau bờ a, mỗi nửa mp chứa 2 trong bốn điểm A; B; C; D 0,5 => Đường thẳng a cắt 4 đoạn thẳng trong số 6 đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD. 0,5 +) TH2: Trong hai nửa mp đối nhau bờ a, một nửa mp chứa 1 điểm, nửa mp cũn lại chứa 3 trong số bốn điểm A; B; C; D 0,5 => Đường thẳng a cắt 3 đoạn thẳng trong số 6 đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD. Suy ra điều phải chứng minh . Chỳ ý: 1. Thớ sinh cú thể làm bài bằng cỏch khỏc, nếu đỳng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thớ sinh chứng minh bài hỡnh mà khụng vẽ hỡnh thỡ khụng chấm điểm bài hỡnh. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ 14 Cõu 1: ( 4 điểm) 1) Chứng minh rằng số A = 10n + 18n - 1 chia hết cho 27 ( n là số tự nhiờn)
2) Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiờn n phõn số sau tối giản: 16n 3 12n 2 Cõu 2: (5 điểm) 1) Tỡm cỏc số nguyờn x, y sao cho: (x - 1)(3 - y) = 2 2) Tỡm tập hợp số nguyờn x , biết : 3 6 1 2 1 3 2 3 (1 ) : (1 2 20%) x 1 .1 3 : 2 4 4 5 5 5 4 11 21 1 1 1 2 2013 3) Tỡm số tự nhiờn x biết: 3 6 10 x(x 1) 2015 Cõu3:(2điểm) 1 1 1 Chứng minh rằng : 1 + 1000 2 3 21999 Cõu 4: (4 điểm) Sau buổi biểu diễn văn nghệ, nhà trường tặng cam cho cỏc tiết mục. Lần đầu tiết mục đồng ca hết 5 số cam và 1 quả; lần 2 tặng tiết mục tốp ca hết 6 số cam cũn lại và 1 quả; 6 6 7 7 lần 3 tặng tiết mục đơn ca hết 3 số cam cũn lại lần 2 và 1 quả thỡ vừa hết. Tớnh số cam 4 4 trường đú đó tặng và số cam riờng cho cỏc tiết mục đồng ca, tốp ca và đơn ca. Cõu 5: ( 5 điểm) Cho tia Ox. Trờn hai nửa mặt phẳng đối nhau cú bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho gúc xOy và xOz bằng 1200. Chứng minh rằng: a. xã Oy xã Oz ãyOz b. Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phõn giỏc của gúc hợp bởi hai tia cũn lại. HẾT PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 14 Cõu Nội dung Điểm Cõu 1 1) Ta viết số A dưới dạng sau : (4điểm) 0,5đ A = 10n + 18n - 1 = 10n - 1 - 9n + 27n 0,5đ = 9 9 9 - 9n + 27n = 9( 1 1 1 - n) + 27n n n n là tổng cỏc chữ số của 1 1 1 nờn ( 1 1 1 - n)  3 n n 0,5đ
Từ đú A  27 0,5đ 2) Gọi ƯCLN của tử và mẫu là d (d N, d 1) thỡ 16n + 3  d và 0,5đ 12n + 2  d 3(16n + 3)  d và 4(12n + 2)  d Do đú 3(16n + 3) - 4(12n + 2)  d 0,5đ 48n + 9 - 48n - 8  d 0,5đ 1  d 16n 3 Vậy d = 1 Phõn số là phõn số tối giản. 12n 2 0,5đ Cõu 2 1) Ta cú: (x - 1)(3 - y) = 2 (5điểm) Vỡ 4 cú cỏc ước là - 2; -1; 1; 2 và x; y Z nờn (x - 4), (3 - y) Z .Do đú ta cú: . x 1 1 x 1 1 x 0 + . 0,5đ 3 y 2 y 3 2 y 5 x 1 2 x 2 1 x 1 + 3 y 1 y 3 1 y 4 x 1 2 x 2 1 x 3 + 3 y 1 y 3 1 y 2 0,5đ x 1 1 x 1 1 x 2 + 3 y 2 y 3 2 y 1 Vậy cỏc cặp số nguyờn x; y thỏa món là: 0,5đ (x; y) = (0;5);( 1;4);(3;2);(2;1) 3 6 1 2 1 3 2 3 2) (1 ) : (1 2 20%) x 1 .1 3 : 2 4 4 5 5 5 4 11 21 7 6 1 2 1 12 7 32 245 ( ) : (1 2 ) x . : 0,5đ 4 4 5 5 5 7 4 11 121 1đ 1 4 35 121 5 32 :3 x 3 . x mà x Z nờn x 1;2;3;4 4 5 11 245 76 7 0,5đ 1 1 1 1 1 1 2013 3. Nhõn vào hai vế ta được : . 2 6 12 20 x(x 1) 2 2015 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2013 . 0,5đ 2 3 3 4 4 5 x x 1 2 2015 1 1 1 2013 . 2 x 1 2 2015 x 1 1 2013 . 2(x 1) 2 2015 0,5đ x 1 2013 x 1 2015
2015x 2015 2013x 2013 0,5đ 2x 4028 x 2014 Cõu 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2điểm) 1 1 + + ( ) + ( ) + ( ) + 2 3 21999 2 3 22 5 23 9 24 1 1 +( ) 0,5đ 21998 1 21999 1 1 1 1 1 > 1 + .2 .22 .23 .21998 1đ 2 22 23 24 21999 = 1+ 1 . 1999 = 1000,5 > 1000 ( ĐPCM) 0,5đ 2 1 4 3 1 - Nhận xột : quả cuối cựng chớnh là số cam cũn lại sau Cõu 4 4 4 4 4 (4điểm) lần 3. Vậy bài này phải tớnh ngược từ dưới lờn. 1đ 1 1 1 4 Tiết mục đơn ca được tặng : . = 1 (quả). 4 4 4 1 0,75đ Tương tự trờn, tiết mục đơn ca và tốp ca được tặng : 1 1 ( 1) : = 8 (quả). 0,75đ 7 7 Tương tự số cam của trường đú đó tặng : (8 + 1 ) : 1 = 49 (quả) 0,5đ 6 6 Số cam tặng tiết mục tốp ca : 8 - 1 = 7 (quả) 0,5đ Số cam tặng tiết mục đồng ca : 49 - 8 = 41 (quả). 0,5đ Cõu 5 (5điểm) z, y x, O x 0,5đ z , y a) Kẻ tia Ox, là tia đối của tia Ox Ta cú: xã ,Oy + ãyOx = 1800 (kề bự) 0,5đ xã 'Oy = 1800 - 1200 = 600 0,5đ ã ' 0 Tương tự: x Oz 60 0,5đ Ta cú : xã 'Oy 600 , xã 'Oz 600 và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nờn ãyOz ãyOx' xã 'Oz 1200 vậy xã Oy ãyOz zãOx 1đ ã ' ã ' b) Do tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz và x Oy x Oz 0,5đ nờn Ox’ là tia phõn giỏc của gúc hợp bởi hai tia Oy, Oz. 0,5đ
-Tương tự tia Oy’ (tia đối của Oy) và tia Oz’ (tia đối của tia Oz) là 1đ phõn giỏc của gúc xOz và xOy. Chỳ ý: 1. Thớ sinh cú thể làm bài bằng cỏch khỏc, nếu đỳng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thớ sinh chứng minh bài hỡnh mà khụng vẽ hỡnh thỡ khụng chấm điểm bài hỡnh. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ 15 Bài 1( 4 điểm) a) Cho A = 5 - 52 + 53 - 54 + - 598 + 599 . Tớnh tổng A. b) Chứng tỏ ( 2n + 1).( 2n + 2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiờn. Bài 2 ( 5 điểm) a) Tỡm cỏc số nguyờn x, y biết rằng : (x - 2)2.(y - 3) = - 4 b) Tỡm n ∈ Z để (4n - 3)  (3n – 2) Bài 3 ( 2 điểm) 1 1 1 1 1 1 3 Chứng minh A 1 12 22 32 42 992 1002 4 Bài 4 ( 4 điểm) Trong một buổi đi tham quan, số nữ đăng kớ tham gia bằng 1 số nam. Nhưng sau đú cú một 4 bạn nữ xin nghỉ, một bạn nam xin đi thờm nờn số nữ đi tham quan bằng 1 số nam. Tớnh số 5 học sinh nữ và nam đó đi tham quan. Bài 5: (5 điểm) 1 Cho 4 tia chung gốc theo thứ tự Ox, Oy, Oz, Ot sao cho xOy zOt ; 2 1 yOz xOy , biết số đo gúc zOt bằng 600. 2 a) Tớnh số đo cỏc gúc xOy; yOz; tOx? b) Vẽ tia Om sao cho số đo gúc mOt bằng 200 . Tớnh số đo gúc zOm? c) Vẽ thờm 10 tia phõn biệt chung gốc với cỏc tia Ox, Oy, Oz, Ot, Om. Hỏi cú bao nhiờu gúc tạo thành từ tất cả cỏc tia trờn? Hết PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 15 Bài Nội dung Điểm Cõu a( 2 điểm) A = 5 – 52 + 53 – 54 + - 598 + 599 0,5 đ Bài 1 5A = 52 – 53 + 54 - + 598 – 599 + 5100 1 đ (4điểm) Tớnh và rỳt gọn được 6A = 5 + 5100 5 5100 0,5 đ A 6 Cõu b ( 2 điểm) Ta cú: 2n . ( 2n +1).( 2n + 2) là tớch của 3 số tự nhiờn liờn tiếp nờn 0,75 đ chia hết cho 3. 0,5 đ Mà 2n khụng chia hết cho 3 n n 0,5đ nờn ( 2 + 1).( 2 + 2)  3  n N 0,25đ Cõu a( 3 điểm) Ta cú : -4 = 12.(-4) = 22.(-1) nờn ta cú cỏc trường hợp sau: 0,5 đ Bài 2 TH1: ( x - 2)2 = 12 và y - 3 = -4 0,5 đ (5điểm) x - 2 = 1 ; y = -1 hoặc x - 2 = -1; y = -1 x = 3; y = -1 hoặc x = 1; y = -1 0,5 đ TH2: ( x - 2)2 = 22 và y - 3 = -1 0,5 đ x - 2 = 2 ; y = 2 hoặc x - 2 = -2; y = 2 x = 4; y = 2 hoặc x = 0; y = 2 0,5 đ KL: Vậy ta cú cỏc cặp (x, y) nguyờn thỏa món là: 0,5 đ (3; -1); (1; -1); (4; 2); (0; 2) Cõu b( 2 điểm) Ta cú: 4n – 3 3n – 2 Mà 3n + 2 3n + 2 → 3(4n – 3) – 4(3n – 2) 3n – 2 0,5đ → ( 12n - 9 - 12n + 8 ) 3n – 2 → - 1 3n – 2 → 3n – 2 Ư(-1) 0,75đ +) 3n – 2 = 1 suy ra n = 1 0,25đ +) 3n – 2 = -1 suy ra n = 1/3 0,25đ Kết hợp điều kiện n nguyờn ta được n = 1 0,25đ 1 1 Giữ nguyờn 12 22 1 1 1 1 1 1 Ta cú: ; ; ; Bài 3 32 2.3 42 3.4 1002 99.100 0,25 đ (2điểm)
1 1 1 1 1 1 A 12 22 32 42 992 1002 0,5 đ 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 A' 12 22 2.3 3.4 4.5 99.100 4 1 1 1 1 0,5 đ (A' ) 2.3 3.4 4.5 99.100 1 1 0,75 đ Chứng minh A’ = 2 100 1 1 1 3 1 3 Do đú A 1 1 1 4 2 100 4 100 4 Bài 4 Tổng số học sinh nam và nữ dự định đi tham quan và đó đi tham (4điểm) quan là như nhau, ta lấy làm đơn vị. 0,5 đ Số nữ dự định đi tham quan bằng 1 số nam nờn bằng 1 tổng số 4 5 0,5đ nam và nữ. Số nữ đi tham quan bằng 1 số nam nờn bằng 1 tổng số nam và nữ. 0,5đ 5 6 1 1 1 Số nữ dự định đi nhiều hơn số nữ đó đi là: ( tổng số học 0,5đ 5 6 30 sinh) hay 1 tổng số học sinh tương ứng với 1 học sinh. 30 0,5đ 1 Tổng số học sinh là: 1 : = 30 ( học sinh) 30 0,5đ Số học sinh nữ đó đi tham quan là: 30 . 1 = 5 (học sinh) 6 0,5đ Số học sinh nam đó đi tham quan là: 30 – 5 = 25 ( học sinh) 0,5đ Vậy cú 5 học sinh nữ và 25 học sinh nam đi tham quan. Bài 5 Vẽ hỡnh đỳng cõu a, b được 0,5 điểm ( hs khụng vẽ được hỡnh khụng (5điểm) tớnh điểm bài làm) x y z 600 0,5 đ O t Cõu a ( 1 điểm)
1 1 xOy zOt;yOz xOy Vỡ 2 2 0 Mà zOt 60 nờn 1 1 1 xOy 600 300 ;yOz xOy 300 150 2 2 2 0,5 đ 0 0 0 0 Tớnh được xOt xOy zOy zOt 30 15 60 105 0,5 đ Cõu b ( 2,5 điểm) Ta cú 2 trường hợp: TH1: Tia Om nằm giữa tia Oz và tia Ot x y z 1,25 đ m 200 O t 0 0 0 Tớnh được zOm zOt tOm 60 20 40 TH2: Tia Ot nằm giữa 2 tia Om và Oz x y z 1,25 đ O 200 t m 0 0 0 Tớnh được zOm mOt tOz 20 60 80
Cõu c ( 1 điểm) Từ hai tia chung gốc ta vẽ được 1 gúc. Vẽ thờm 10 tia phõn biệt gốc O khụng trựng với cỏc tia Ox, Oy, Oz, Ot, Om. Tất cả trong hỡnh vẽ cú 15 tia phõn biệt . Cứ 1 tia trong 15 tia đú tạo với 14 tia cũn lại thành 14 gúc . Cú 15 tia nờn tạo thành 15.14 ( gúc) 0,5 đ nhưng như thế mỗi gúc được tớnh 2 lần . nờn cú tất cả số gúc tạo thành từ 15 tia phõn biệt chung gốc là : 15.14 105 gúc 2 0,5 đ Chỳ ý: 1. Thớ sinh cú thể làm bài bằng cỏch khỏc, nếu đỳng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thớ sinh chứng minh bài hỡnh mà khụng vẽ hỡnh thỡ khụng chấm điểm bài hỡnh. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ 16 Bài 1: (4,0 điểm ) , 1. Chứng tỏ rằng: 2x + 3y chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17. 2. Cho C = 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 chứng tỏ C chia hết cho 40. 3. Tỡm cỏc nguyờn tố x, y thỏa món : (x-2)2 .(y-3) = - 4 Bài 2 :(5,0đ) Tỡm x, biết: 1. a) 32x = 81 ; b) 52x-3 – 2.52 = 52.3 5.415.99 4.320.89 2. Tớnh 5.29.619 7.229.276 2 2 2 2 3. Tớnh tổng: B = 1.4 4.7 7.10 97.100 8n 193 4. Tỡm số tự nhiờn n để phõn số A Cú giỏ trị là số tự nhiờn. 4n 3 1 1 1 1 Bài 3: (2,0đ) Chứng minh rằng :  1 22 32 42 1002 Bài 4: ( 4,0 điểm) Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1 ; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang. Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng 2 số trang của 1 quyển vở loại 1. Số trang 3
của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2. Tớnh số trang của mỗi quyển vở mỗi loại. Bài 5: (5,0đ) Cho tam giỏc ABC và BC = 5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3 cm. a. Tỡnh độ dài BM b. Cho biết gúc BAM = 800 , gúc BAC = 600 . Tớnh gúc CAM. c. Vẽ cỏc tia Ax, Ay lần lượt là tia phõn giỏc của gúc BAC và CAM . Tớnh gúc xAy. d. Lấy K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1 cm. Tớnh độ dài BK. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 16 Bài Nội dung Điểm Bài 1 1. Ta cú 4 (2x + 3y ) + ( 9x + 5y ) = 17x + 17y chia hết cho 17 (4điểm) Do vậy ; 2x + 3y chia hết cho 17 4 ( 2x +3y ) chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17 1,0đ. Ngược lại Ta cú 4 ( 2x + 3y ) chia hết cho 17 mà ( 4 ; 17 ) = 1 2x + 3y chia hết cho 17 2. B = (3 + 32 + 33+ 34) + + (397+398+399+3100) = 3 (1 + 3 + 32+33)+ .+ 397(1+3+32+33) = 40. (3 + 35 +39 + +397 ) : 40 0,5đ. 3. Do –4 = 12 . (- 4) = 22.(-1) nờn cú cỏc trường hợp sau: (x 2) 2 1 x 2 1 x 3 0,5đ a. y 3 4 y 1 y 1 x 2 1 x 1 hoặc y 1 y 1 1,0đ. (x 2) 2 2 2 x 2 2 x 4 b. y 3 1 y 2 y 2 x 2 2 x 0 1,0đ hoặc y 2 y 2 Bài 2 1 .a) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = 4 => x = 2 (5điểm) b). 52x-3 – 2.52 = 52.352x: 53 = 52.3 + 2.5252x: 53 = 52.5 0,5đ. 2x 2 3 2x 6 5 = 5 .5.5  5 = 5 0,5đ. => 2x = 6 => x = 3 0,5đ. 5 .2 3 0 .3 1 8 2 2 .3 2 0 .2 2 7 2 2 9 .3 1 8 ( 5 .2 3 ) 2 . 2 1,0đ. 5 .2 9 .2 1 9 .3 1 9 7 .2 2 9 .3 1 8 2 2 8 .3 1 8 ( 5 .3 7 .2 ) 1 1 1 1 2 2 1 1 3. Ta cú ( ) ( ) 1.4 3 1 4 1.4 3 1 4 0,5đ. 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ( ); ( ); ; ( ) 4.7 3 4 7 7.10 3 7 10 97.100 3 99 100 0,5đ.
2 1 1 1 1 1 1 1 1 B= ( ) 3 1 4 4 7 7 10 99 100 2 1 1 2 99 33 B= ( ) . 0,5đ. 3 1 100 3 100 50 8n 193 2(4n 3) 187 187 4. A 2 0,5đ. 4n 3 4n 3 4n 3 Để A N thỡ 187  4n + 3 => 4n +3 17;11;187 + 4n + 3 = 11 -> n = 2 + 4n +3 = 187 > n = 46 0,5đ. + 4n + 3 = 17 -> 4n = 14 -> khụng cú n N Vậy n = 2; 46 Bài 3 Ta cú: 1 1 1 1 1 1 1 1 (2điểm) ; ; 0,5đ. 22 1.2 1 2 32 2.3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; 42 3.4 3 4 1002 99.100 99 100; 0,5đ. 1 1 1 1 1 1 1 1 Vậy   22 32 42 10 02 1.2 2.3 3.4 99.100 0,5đ. 1 1 1 1 1 1 1 1 99 1  1 1. 2 2 3 3 4 99 100 2 100 0,5đ. Vỡ số trang của mỗi quyển vỡ loại 2 bằng 2 số trang của 1 quyển Bài 4 3 0,5đ. (4điểm) loại 1. Nờn số trang của 3 quyển loại 2 bằng số trang của 2 quyển loại 1 Mà số trang của 4 quyển loại 3 bằng 3 quyển loại 2. 1,0đ. Nờ số trang của 2 quyển loại 1 bằng số trang của 4 quyển loại 3 Do đú số trang của 8 quyển loại 1 bằng :4 .8 : 2 = 16 ( quyển loại 3) Số trang của 9 quyển loại 2 bằng9 .4 : 3 = 12 (quỷờn loại 3) 1,0đ. Vậy 1980 chớnh là số trang của 16 + 12+ 5 = 33(quyển loại 3) Suy ra: Số trang 1 quyển vở loại 3 là 1980 : 33 = 60 ( trang) 60.4 Số trang 1 quyển vở loại 2 là 80 (trang) 0,5đ. 3 80.3 1,0đ. Số trang 1 quyển vở loại1 là; 120 ( trang) 2 Bài 5 A (5điểm) 0,75đ B M x C y a. M, B thuộc 2 tia đối nhau CB và CM -> C nằm giữa B và M. -> BM = BC + CM = 8 (cm) 0,5đ. b. C nằm giữa B,M -> Tia AC nằm giữa tia AB, AM ->  CAM =  BAM -  BAC = 200 0,75đ
1 1 c. Cú  xAy =  x AC +  CAy =  BAC +  CAM 2 2 1 1 1 = (  BAC +  CAM) =  BAM = .80 = 400 1,0đ 2 2 2 d. +) Nếu K tia CM -> C nằm giữa B và K1 1,0đ -> BK1 = BC + CK1 = 6 (cm) +)Nếu K tia CB -> K2 nằm giữa B và C 1,0đ -> BK2 = BC = CK2 =4 (cm) Chỳ ý: 1. Thớ sinh cú thể làm bài bằng cỏch khỏc, nếu đỳng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thớ sinh chứng minh bài hỡnh mà khụng vẽ hỡnh thỡ khụng chấm điểm bài hỡnh. 3. Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng cỏc điểm thành phần khụng làm trũn. HềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ 17 Bài 1: (4 điểm): 5 Cho biểu thức A = n 2 a, Tỡm cỏc số nguyờn n để biểu thức A là phõn số. b, Tỡm cỏc số tự nhiờn n để biểu thức A là số nguyờn Bài 2: (5 điểm): 1. Tớnh nhanh A= 3.136.8 + 4. 14.6 -14.150 11 5 4 4 8 B  :  4 9 9 11 33 2. Tỡm x biết a/ 3 + 2x -1 = 24 – [42 – (22 - 1)] b/ x 5 = 18 + 2.(-8) Bài 3: (5 điểm) 1.Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M,N thứ tự là trung điểm của OA, OB. d) Chứng tỏ rằng OA < OB. e) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm cũn lại ? 2. Cho gúc AOB và gúc BOC là hai gúc kề bự . Biết gúc BOC bằng năm lần gúc AOB. a) Tớnh số đo Ã OB,Bã OC . b) Gọi OD là tia phõn giỏc của gúc BOC. Tớnh số đo gúc AOD. Bài 4. (4 điểm): Bạn An nghĩ ra một số cú 3 chữ số, nếu bớt số đú đi 8 đơn vị thỡ được một số chia hết cho 7, nếu bớt số đú đi 9 đơn vị thỡ được một số chia hết cho 8, nếu bớt số đú đi 10 đơn vị thỡ được 1 số chia hết cho 9. Hỏi bạn An nghĩ ra số nào? Bài 5. (2 điểm) : 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng 1 22 32 42 52 20112 20122
Hết PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 17 BÀI ĐÁP ÁN ĐIỂM a/ n Z và n 2 2 1; 5 1 b/ (n - 2 ) Ư( -5) =  n 2 1 n 1 N Bài 1 n 2 1 n 3 N (4,0điểm) n 2 5 n 3 N 0,5 n 2 5 n 7 N Vậy n = 1;3;7 0,5 1 A= 24.136 + 24.14 - 14.150 = 24.(136 + 14)- 14.150 0,5 = 24.150 - 14.150= 150. (24- 14)=150.10 =150 1 11 5 4 11 8 11 5 4 8 11 8 2 B      1 4 9 9 4 33 4 9 9 33 4 33 3 1 Bài 2 2 a) 3 + 2x-1 = 24 – [42 – (22 - 1)] (5 điểm) 3 + 2x-1 = 24 – 42 + 3 0,5 2x-1 = 24 – 42 = 22 0,5 x -1 = 2 x = 3 0,5 b/ x = 7 hoặc x = 3; 1 0,5 o m a n b 1.( 2điểm) Hai tia AO, AB đối nhau, nờn điểm A nằm giữa hai đ O và B OA< OB. 0,5 Ta cú M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB, nờn : OA OB OM ; ON 2 2 Vỡ OA < OB, nờn OM < ON. 0,5 Bài 3 Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON nờn điểm M nằm giữa hai 0,5 (5đ) điểm O và N. 2.(3 điểm) B D Vẽ hỡnh đỳng 0,5 A O C 0,5 a)Vỡ Ã OB và Bã OC là hai gúc kề bự nờn: Ã OB Bã OC 1800 mà ã ã ã 0 BOC 5.AOB nờn: 6 AOB = 180 0,5
Do đú: Ã OB = 1800 : 6 = 300 ; Bã OC = 5. 300 = 1500 1 0,5 b)Vỡ OD là tia phõn giỏc của Bã OC nờn Bã OD = Dã OC = Bã OC =750. 2 0,5 Vỡ gúc Ã OD và gúc Dã OC là hai gúc kề bự nờn: Ã OD Dã OC 1800 0,25 ã 0 ã 0 0 0 Do đú AOD =180 – DOC = 180 - 75 = 105 0,25 KL: Bài 4 Gọi số bạn An nghĩ ra là A (4,0điểm) Vỡ (A-8) 7 (A-1) - 7  7 (A-1)  7 1 Vỡ (A-9) 8 (A-1) - 8  8 (A-1)  8 0,5 Vỡ (A-10) 9 (A-1) - 9  9 (A-1)  9 0,5 Do đú: (A-1) là bội chung của 7,8,9 và A là số cú 3 chữ số nờn 1 99 < A < 1000 0,5 Từ đú giải và tỡm được A-1 = 504Suy ra :A= 505 0,5 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta cú ; ; ; ; 0,5 22 1.2 32 2.3 42 3.4 20122 2011.2012 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5 Bài 5 22 32 42 20112 20122 1.2 2.3 3.4 2011.2012 (2,0đ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5 22 32 42 20112 20122 1 2 2 3 3 4 2011 2012 1 1 1 1 1 1 1 2011 = < 1 0,5 22 32 42 20112 20122 1 2012 2012 Chỳ ý: 1. Thớ sinh cú thể làm bài bằng cỏch khỏc, nếu đỳng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thớ sinh chứng minh bài hỡnh mà khụng vẽ hỡnh thỡ khụng chấm điểm bài hỡnh. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ 18 Bài 1: ( 2.5 điểm) a. Cho ababab là số cú sỏu chữ số. Chứng tỏ số ababab là bội của 3. b. Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + 52004. Chứng minh S chia hết cho 126 và chia hết cho 65. Bài 2 : (2,0 điểm) Tỡm số tự nhiờn x biết : a. x (x 1) (x 2)  (x 2010) 2029099 b. 2 4 6 8  2x 210 Cõu 3: (2.0 điểm) a. Tỡm tất cả cỏc số nguyờn tố p sao cho p + 11 cũng là số nguyờn tố. b. Tỡm tất cả cỏc số nguyờn tố p để p + 8, p + 10 cũng là cỏc số nguyờn tố. cõu 4 : ( 1.5 điểm) một phộp chia cú thương bằng 5 và số dư là 12. nếu lấy số bị chia chia cho tổng số chia và số dư ta được thương là 3 và số dư là 18. tỡm số bị chia. Cõu 5: (2.0 điểm)
Trờn đoạn thẳng AB = 3 cm lấy điểm M. Trờn tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AM = AN. a. Tớnh độ dài đoạn thẳng BN khi BM = 1 cm. b. Hóy xỏc định vị trớ của M (trờn đoạn thẳng AB) để BN cú độ dài lớn nhất. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 18 Bài 1: ( 2.5 điểm) - ababab = ab .10000 + ab .100 + ab = 10101 ab . 0,50 - Do 10101 chia hết cho 3 nờn ababab chia hết cho 3 hay ababab là bội 0,50 của 3. Cú: 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = 5(1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1 + 53) = 5. 126 + 52.126 + 53.126 0,50 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 chia hết cho 126. S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + + 51998(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56). 0,25 Tổng trờn cú (2004: 6 =) 334 số hạng chia hết cho 126 nờn nú chia hết cho 126. Cú: 5 + 52 + 53 + 54 = 5+ 53 + 5(5 + 53) = 130 + 5. 130. 0,25 5 + 52 + 53 + 54 chia hết cho 130 . S = 5 + 52 + 53 + 54 + 54 (5 + 52 + 53 + 54 ) + + 52000(5 + 52 + 53 + 54 ) 0,25 Tổng trờn cú (2004: 4 =) 501 số hạng chia hết cho 130 nờn nú chia hết cho 130. Cú S chia hết cho 130 nờn chia hết cho 65. 0,25 Bài 2 : (2,0 điểm) - 2011x 1 2  2010 2029099 0,25 2010.2011 - 2011x 2029099 0,25 2 2010.2011 - 2011x 2029099 - 0,25 2 2010.2011 - x 2029099 - : 2011 4 0,25 2 - 2(1 2 3  x) 210 0,25 x(x 1) - 2 210 0,25 2 - x(x 1) 210 0,25 - Giải được x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15) 0,25
Cõu 3: (2.0 điểm) a) - Nếu p lẻ p + 11 là số chẵn lớn hơn 11 nờn khụng là số nguyờn tố. 0,25 - Suy ra p chẵn p = 2. 0,25 b) - Nếu p chia 3 dư 1 thỡ p + 8 là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nờn khụng là số nguyờn tố. 0,25 - Nếu p chia 3 dư 2 thỡ p + 10 là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nờn khụng là số nguyờn tố. 0,25 - Suy ra p chia hết cho 3, p nguyờn tố nờn p = 3. 0,5 Câu4 (1.5 điểm) Gọi số bị chia là a; số chia là b (b 0) 0,5 Phép chia có th-ơng bằng 5 số d- là 12 a = 5b+12 Số bị chia chia cho tổng số chia và số d-đ-ợc th-ơng là 3 và số d- là 18 a = (b +12). 3 + 18 = 3b + 54 0,5 5b + 12 = 3b + 54 b = 21 a = 117 Vậy số bị chia là 117. 0,5 Cõu 5: - Hỡnh vẽ: N A M B Bài 5: Vẽ hỡnh (0,25đ) - M nằm giữa hai điểm A, B nờn MA = AB - MB = 3 - 1 = 2 (cm) 0,25 - AN = AM = 2 (cm) 0,25 - A nằm giữa hai điểm N, B nờn BN = AN + AB = 2 + 3 = 5 (cm). 0,25 - BN = AN + AB, AB khụng đổi nờn BN lớn nhất khi AN lớn nhất. 0,25 - AN lớn nhất khi AM lớn nhất. 0,25 - AM lớn nhất khi AM = AB. 0,25 - Lỳc đú M trựng với B và BN bằng 6(cm). 0,25 CHÚ í : - Nếu HS làm cỏch khỏc mà đỳng thỡ vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đú - Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo biểu điểm của ý đú PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ 19
Cõu 1 (4 điểm). 1 31 1 17 1 1 1 1 1 a. Tớnh giỏ trị của biểu thức A 9 4 31 5 2 2 5 2 6 12 930 b. Tớnh giỏ trị của biểu thức B biết: B2 = c(a-b)- b(a-c) và a = -50, b-c =2. Cõu 2. (4 điểm) a. Tỡm số tự nhiờn x,y biết: (2x+1)(y-3)= 12 b. Tỡm số tự nhiờn x biết: 2 x 2 x 1 2 x 2 2 x 2015 22019 8 c. So sỏnh: 3625 và 2536 Cõu 3. (3 điểm) 6n 5 Cho phõn số: p (n N) 3n 2 a. Chứng minh rằng phõn số p là phõn số tối giản b. Với giỏ trị nào của n thỡ phõn số p cú giỏ trị lớn nhất? tỡm giỏ trị lớn nhất đú. Cõu 4. (7,5 điểm) 1. Cho hai gúc kề bự gúc xOy và gúc yOt, trong đú xOy =40 0. Gọi Om là tia phõn giỏc của gúc yOt. a. Tớnh gúc mOx ? b. Trờn nửa mặt phẳng khụng chứa tia Oy và cú bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ tia On sao cho gúc xOn=700 . Chứng tỏ tia Om và tia On là hai tia đối nhau 2. Vẽ đoạn thẳng AB =6cm. Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho AC+BD= 9cm a. Chứng tỏ D nằm giữa A và C b. Tớnh độ dài đoạn thẳng CD Cõu 5. (1,5 điểm) Tỡm cỏc số nguyờn dương x, y thỏa món : 2x+3y= 14 Hết PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 19 Cõu Nội dung Điểm
Cõu 1 a. 1 31 1 17 1 1 1 1 1 A 9 4 31 5 2 2 5 2 6 12 930 1 31 1 17 1 1 3117 17 21 17 31 21 17 Xet : M 9 4 1 31 5 2 2 5 31 5 2 2 5 31 10 31 1 1 1 1 1 1 1 1 0.5 Xet : N 2 6 12 930 2 2.3 3.4 30.31 0.5 1 1 1 1 1 1 1 1 30 1 2 2 3 3 4 30 31 31 31 0.5 17 30 47 A M N 31 31 31 b. B2= c(a-b)-b(a-c) = ca-cb-ba+bc=ca-ba=a(c-b) 0.5 thay a=-50, b-c=2 vào ta được B2=-50.(-2)=100 0.5 do B N nờn B=10 0.5 Cõu 2 a. (1,5 điểm) (2x+1)(y-3)= 12 Với x, y N 2x+1 là số lẻ. 0.25 Ta cú: 12 =1.12=3.4 0.25 2x+1=1 2x=0 x=0; y-3=12 y=15 0.25 2x+1=3 2x=2 x=1; y-3=1 y=4 0.25 Vậy x=0 và y=1 hoặc x=1 và y=4 0. 5 b. (1,25 điểm) Ta cú : 2 x 2 x 1 2 x 2 2 x 1015 22019 8 x 1 2 2015 2019 0.25 2 1 2 2 2 2 8 Xet : C 1 21 22 22015 2C 2 22 23 22016 2C C 22016 1 C 22016 1 0.25 x 2016 2019 2019 3 3 2016 0.25 2 (2 1) 2 8 2 2 2 (2 1) 0.25 2 x 23 0.25 x 3 c. (1 điểm) 3625 = (18.2)25 =1825 .225 =1825 .26 .219 0.25 2536 =2525.2511= 2525.522= 2525.53.519 0.25 ta cú: 53=125, 26=64, 53>26 2525>1825; 519>219 0.25 Vậy 2525.53.519 >1825 .26 .219 hay 3625 <2536 0. 5 Cõu 3 a. Gọi d là UC của 6n+5 và 3n+2 ta cú: 6n 5d và 3n 2d 0.25 3n 2d 2(3n 2)d hay 6n 4d 0.25 6n 5 - (6n 4)d 1d 0.25 0.25 d 1 6n 5 0.25 Vậy phõn số p (n N) là phõn số tối giản 3n 2
6n 5 6n 4 1 1 0.5 b. Ta cú p 2 3n 2 3n 2 3n 2 1 p đạt giỏ trị lớn nhất khi đạt giỏ trị lớn nhất, khi đú 3n+2 đạt giỏ trị 3n 2 0.5 nhỏ nhất vỡ 3n 2 2 nờn 3n+2 nhỏ nhất bằng 2 khi 3n=0 hay n=0 0.5 Vậy với n=0 thỡ p đạt giỏ trị lớn nhất là 2+1/2=3/2 0.25 Cõu 4 1(4 điểm). Vẽ hỡnh a. Ta cú xOy + yOt=1800 0,5 (Vỡ 2 gúc kề bự) 0.25 Thay xOy = 400 ta cú: 400+yOt= 1800 suy ra yOt=1400 0. 5 1 1 Ta cú: Om là tia phõn giỏc của tOy nờn tOm tOy 1400 700 2 2 Vỡ 2 gúc xOy và yOt kề bự nờn Ox và Ot là hai tia đối nhau 0.25 suy ra tOm và mOx là hai gúc kề bự tOm + mOx = 1800 0. 5 700 + mOx = 1800 mOx = 1800-700= 1100 0.5 b. Ta cú mOx+ xOn = 1100+ 700=1800 mOx và xOn là hai gúc bự nhau (1) - Do Om và Oy cựng thuộc nửa mp cú bờ là đường thẳng chứa tia Ox; - 0.5 Lại cú On và Oy nằm trờn hai nửa mặt phẳng đối nhau cú bờ là đường thẳng chứa tia Ox nờn: Om và On nằm trờn hai nửa mặt phẳng đối nhau cú bờ là đường thẳng chứa tia Ox mOx và xOn là hai gúc kề nhau (2) Từ (1) và (2) suy ra mOx và xOn là hai gúc kề bự. 0.5 0.5 2. (3,5đ) Vẽ A D C B hỡnh 0.5 - Vỡ D nằm giữa A và B nờn: AD+DB=AB Thay AB= 6cm ta cú AD+DB = 6 (cm) 0.25 Lại cú AC+DB=9cm (gt) 0.25 AD+DB< AC+DB hay AD<AC (1) 0.25 - Mà D và C cựng nằm giữa A và B hay D,C cựng thuộc tia AB (2) 0.25 Từ (1) và (2) suy ra D nằm giữa A và C 0.25 b, Vỡ D nằm giữa A và C suy ra: AD+DC= AC 0.5 Lại cú AC+BD= 9 0.25 nờn AD+DC+BD = 9 hay (AD+DB)+DC =9 Thay (AD+DB)=6 0.5 ta cú 6+DC=9 vậy DC= 3(cm) 0.5 Cõu 5 Xột 2x+5y= 14
Ta cú: 142; 2x2 5y2 0.25 0.25 Do (5,2)=1 nờn y2 Ta cú 3y 3) và 2p + 1 cũng là số nguyờn tố. Hỏi 4p + 1 là số nguyờn tố hay hợp số? Vỡ sao? Bài 5 (5,0 điểm)
Cho n đường thẳng trong đú bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, khụng cú ba đường thẳng nào cựng đi qua một điểm. a. Biết rằng số giao điểm của cỏc đường thẳng đú là 1128. Tớnh n. b. Số giao điểm của cỏc đường thẳng đú cú thể là 2017 được khụng? Vỡ sao? Hết PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 20 Bài 1 Hướng dẫn giải Điểm (3,0điểm) A = 1 + 32 + 34 + 36 + + 32008 9A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 32010 1,0 Tớnh được 8A = 32010 - 1 1,0 B = 8A - 32010 = 32010 - 1 - 32010 = -1 1,0 Bài 2 (4,0điểm) a, Tỡm chữ số tận cựng của A (2,0 điểm) - Tỡm được chữ số tận cựng của tớch B = 1.4.7.10 58 là 0 0,75 - Tỡm được chữ số tận cựng của tớch C = 3.12.21.30 174 là 0 0,75 - Tỡm được và kết luận chữ số tận cựng của A là 0 0,5 b, Chứng tỏ rằng A chia hết cho 377 (2,0 điểm) - Nhận xột 377 = 13.29 0,5 - Tỡm được quy luật của cỏc thừa số trong tớch B là cỏc số tự nhiờn chia 3 dư 1, nờn B chứa thừa số 13. Do đú B = 1.4.7.10.13 58 0,5 B = 1.4.7.10.13 29.2 Suy ra B chia hết cho 377 - Tỡm được quy luật của cỏc thừa số trong tớch C là cỏc số tự nhiờn chia 9 dư 3, nờn C chứa thừa số 39. Do đú C = 3.12.21.30.39 174 0,5 C = 3.12.21.30.(3.13) (6.29) Suy ra C chia hết cho 377 - Kết luận A chia hết cho 377 0,5 Bài 3 (4,0điểm) a, x + (x + 1) + (x + 2) + + (x + 99) = 5450. (1,5 điểm) 100x + (1 + 2+ 3+ + 99) = 5450 0,5 Lớ luận tớnh tổng: 1 + 2+ 3+ + 99 = 4950 0,5 khi đú 100x + 4950 = 5450 100x = 500 0,25 x = 5 0,25
b, 3.(5x - 1) - 2 = 70. (1,5 điểm) 3.(5x - 1) = 70 + 2 3.(5x - 1) = 72 0,5 5x - 1 = 72 : 3 5x - 1 = 24 0,5 5x = 25 5x = 52 0,5 x = 2 c, 2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 960 - 2x + 3 (1,0 điểm) 2x (1 + 2 + 22 + 23) = 960 2x .15 = 960 0,5 2x = 960: 15 2x = 64 2x = 26 0,5 x = 6 Bài 4 (4,0điểm) a, Tỡm số tự nhiờn cú hai chữ số khỏc nhau (2,0 điểm) - Gọi số cần tỡm là ab , (điều kiện của a, b ) 0,25 - Theo đề bài ta cú ab .a.b = bbb Suy ra ab .a.b = 111.b 0,75 Hay ab .a = 111 Mà 111 = 3.37 Trong đú: 3 là số nguyờn tố; 7 là số nguyờn tố; 3 7 thỏa món đề bài 0,75 nờn ab = 37 Kết luận số cần tỡm là 37 0,25 b, Cho p là số nguyờn tố (p > 3) và 2p + 1 cũng là số nguyờn tố. Hỏi 4p + 1 (2,0 điểm) là số nguyờn tố hay hợp số? Vỡ sao? Vỡ p là số nguyờn tố lớn hơn 3 nờn p cú dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (với k 0,5 N, k 1) Nếu p = 3k +1 thỡ 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 3(2k + 1) 0,75 và lớ luận chỉ ra 2p + 1 là hợp số, trỏi với đề bài Do đú p = 3k + 2 khi đú 4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 3(4k + 3) 0,75 và lớ luận chỉ ra 4p + 1 là hợp số Kl Bài 5 (5,0điểm) a, Với n đường thẳng trong đú bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, (3,0 điểm) khụng cú ba đường thẳng nào cựng đi qua một điểm. Số giao điểm được xỏc định như sau: Chọn một đường thẳng, đường thẳng này cắt n - 1 đường thẳng cũn lại tạo ra n - 1 giao điểm, làm như vậy với n đường thẳng ta được n.(n - 1) giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm đó được tớnh 2 lần, nờn 1,5 số giao điểm là n.(n - 1):2 giao điểm - Khi số giao điểm là 1128 ta cú: n(n - 1):2= 1128 1,0 - Lý luận tỡm được n = 48 0,5
b, - Giả sử số giao điểm bằng 2017 (2,0 điểm) 1,0 - Áp dụng kết quả cõu a ta cú n(n - 1):2 = 2017 - Lý luận tỡm ra điều vụ lý 1,0 - Kết luận: Số giao điểm khụng thể bằng 2017 Chỳ ý: - Học sinh cú cỏch giải khỏc đỳng cho điểm tương đương. - Nếu bài hỡnh phần trờn sai, thỡ vẫn chấm điểm phần dưới - Bài 2. Cõu a chỉ ra được chữ số tận cựng là cho điểm tối đa - Bài 5. Lớ luận khụng chớnh xỏc thỡ tựy từng ý trừ điểm