Đề cương Ôn tập vào Lớp 10 môn Toán học

73 trang nhatle22 3652

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương Ôn tập vào Lớp 10 môn Toán học", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

de_cuong_on_tap_vao_lop_10_mon_toan_hoc.pdf

Nội dung text: Đề cương Ôn tập vào Lớp 10 môn Toán học

Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT TỔNG HỢP TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 ĐẦY ĐỦ CÓ ĐỀ THI + ĐÁP ÁN CÁC TRƯỜNG TRONG CẢ NƯỚC Chñ ®Ò I rót gän biÓu thøc Cã chøa c¨n thøc bËc hai CĂN BẬC HAI A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Khái niệm x là căn bậc hai của số không âm a x2 = a. Kí hiệu: x a . 2.Điều kiện xác định của biểu thức A Biểu thức A xác định A 0. 3.Hằng đẳng thức căn bậc hai A khi A 0 AA2 A khi A 0 4.Các phép biến đổi căn thức +) A.B A.B A 0;B 0 AA +) A 0; B 0 B B +) A2 B A B B 0 A 1 +) A.B A.B 0; B 0 BB m. A B m 2 +) 2 B 0; A B AB AB n n. A B +) A 0; B 0; A B AB AB 2 +) A2B m2m.nn m n m n Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT m n A với m.n B BµI TËP Bµi 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1) 2 5 125 80 605 ; 12) 4 10 2 5 4 10 2 5 ; 10 2 10 8 2) ; 13) 526 49206 526 ; 5 2 1 5 1 1 3) 15 216 33 12 6 ; 14) ; 2 2 3 2 2 3 2 8 12 5 27 4) ; 6 4 2 6 4 2 18 48 30 162 15) ; 2 6 4 2 2 6 4 2 2 3 2 3 5) ; 2 5 2 8 5 2 3 2 3 16) ; 16 1 4 2 5 4 6) 2 3 6 ; 3 27 75 17) 14 8 3 24 12 3 ; 4 3 4 1 6 7) 2 27 6 75 ; 18) ; 3 5 3 1 3 2 3 3 3 3 3 5. 3 5 19) 2 1 2 1 8) 10 2 3 3 20) . 9) 8 3 2 25 12 4 192 ; 1 3 1 1 3 1 10) 2 3 5 2 ; 11) 3 5 3 5 ; x 1 x x x x Bµi 2: Cho biÓu thøc A = 2 2 x x 1 x 1 a) Rót gän biÓu thøc A; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > - 6. x 1 1 C©u I(2,5®): HN Cho biÓu thøc A = , víi x ≥ 0 vµ x ≠ 4. x 4 x 2 x 2 1/ Rót gän biÓu thøc A. 2/ TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x = 25. 3/ T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = -1/3. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT 1 1 x x x C©u I: (1,5®) C Tho Cho biÓu thøc A = x x 1 x x 1 1 x 1/ Rót gän biÓu thøc A. 2/ T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0. C©u III: HCM Thu gän c¸c biÓu thøc sau: 4 8 15 A = 3 5 1 5 5 x y x y x xy B = : 1 xy 1 xy 1 xy Bµi 1: (2,0®) KH (Kh«ng dïng m¸y tÝnh cÇm tay) a. Cho biÕt A = 5 + 15 vµ B = 5 - 15 h·y so s¸nh tæng A + B vµ tÝch A.B. Bài 2:Cho biểu thức: Hà Tĩnh x x x 2 1 P 2 với x >0 x 1 x x x x 1.Rút gọn biểu thức P 2.Tìm giá trị của x để P = 0 Bài 1: (1,5 điểm) BÌNH ĐỊNH x 2 x 1 x 1 Cho P x x 1 x x 1 x 1 a. Rút gọn P b. Chứng minh P <1/3 với và x#1 Bài 1 (2.0 điểm ) QUẢNG NAM 1. Tìm x để mỗi biểu thức sau có nghĩa 1 a) x b) x 1 2. Trục căn thức ở mẫu 3 1 a) b) 2 3 1 Bµi 2 (2,0 ®iÓm) nam ®Þnh 1) T×m x biÕt : (2x 1)2 1 9 4 2) Rót gän biÓu thøc : M = 12 3 5 3) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña biÓu thøc: A = x2 6 x 9 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT x x 1 x 1 C©u I: (3,0®). NghÖ An Cho biÓu thøc A = x 1 x 1 1. Nªu ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh vµ rót gän biÓu thøc A. 2. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A khi x = 9/4. 3. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó A 0 và x 1 x -1 x - x Bài 1 (2,5 điểm) THÁI BÌNH x 1 1 Cho biểu thức A = + + , với x≥0; x ≠ 4 x- 4 x-2 x + 2 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của biểu thức A khi x=25. 1 3) Tìm giá trị của x để A = - . 3 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT Bài 1. (2,0 điểm) THÁI BÌNH 3 13 6 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) 2 3 4 3 3 x y y x x y b) với x>0; y>0; x y xy x y Câu 6: VĨNH PHÚC 2 Rút gọn biểu thức: A 2 48 75 (1 3) Bài 1. ( 3 điểm ) ĐÀ NẲNG a 1 1 2 Cho biểu thức K: a 1 a a a 1 a 1 a) Rút gọn biểu thức K. b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 2 c) Tìm các giá trị của a sao cho K 3 2 a/ Rút gọn biểu thức A. b/ Tìm x sao cho A có giá trị bằng 7. Bài 3 (1,5 điểm). QUẢNG TRỊ 1 1 a 1 a 2 Rút gọn biểu thức: P = : với a > 0, a 1, a 4 . a 1 a a 2 a 1 Câu 1 (2,0 điểm) QUẢNG TRỊ 1. Rút gọn (không dùng máy tính cầm tay) các biểu thức: a) 12 27 4 3 . 2 b) 1 5 2 5 1) Rót gän biÓu thøc: H¶i d Ư¬ng 1 1 x 1 A: víi x > 0 vµ x 1 x x x 1 x 2 x 1 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT Câu 2:(2.0 điểm) H¶i D¬ng chÝnh thøc 2( x 2) x a) Rút gọn biểu thức: A = với x 0 và x 4. x 4 x 2 1 1 1 Bµi 2(2,0 ®iÓm): Hµ Giang Cho biÓu thøc : M = 1 1 a 1 a a a, Rót gän biÓu thøc M. b, TÝnh gi¸ trÞ cña M khi a = 1 9 Bài 3: (2điểm) BÌNH THUẬN Rút gọn các biểu thức: 4 15 4 15 1/ A 4 15 4 15 a a a 2 a 2/ B 1 1 1 a 2 a Câu 1: (2đ) Rút gọn biểu thức Long An 1 a/ A 28 327 128 300 2 Câu2: (2đ) Long An a2 a2 a a Cho biểu thức P 1 (với a>0) a a 1 a a/Rút gọn P. b/Tìm giá trị nhỏ nhất của P. C©u 3: (2 ®iÓm) B¾c Ninh 2x x 1 3 11 x Cho biÓu thøc: A = x 3 3 x x2 9 a/ Rót gän biÓu thøc A. b/ T×m x ®Ó A < 2. c/ T×m x nguyªn ®Ó A nguyªn. B C©u III: (1,0 ®iÓm) B¾c giang x x x x Rót gän: A 1 1 Víi x 0; x 1 x 1 x 1 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT Bài 2: (2,0 điểm) ĐĂK LĂK 1/ Rút gọn biểu thức A ( 3 2)2 ( 3 2) 2 x 2 x 1 3 x 1 1 B : 1 2/ Cho biểu thức x1 x3(x1)(x3) x1 A. Rút gọn biểu thức B. B. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên . Bµi 1 (2,0 ®iÓm): Qu¶ng B×nh Cho biÓu thøc: n 1 n 1 N= ; víi n 0, n 1. n 1 n 1 a. Rót gän biÓu thøc N. b. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña n ®Ó biÓu thøc N nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bài 3: (1,0 di m) ÐẠI HỌC TÂY NGUYÊN y x x x y y Rút g n bi u th c P (x 0; y 0) . xy 1 x 2 1 10 x B = : x 2 µi 3: Cho biÓu thøc x 4 2 x x 2 x 2 a) Rót gän biÓu thøc B; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0. 1 3 1 Bµi 4: Cho biÓu thøc C = x 1 x x 1 x x 1 a) Rót gän biÓu thøc C; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó C < 1. Bµi 5: Rót gän biÓu thøc : x 2 x2 4 x 2 x 2 4 1 x 1 Q = : a) D = ; c) 2 ; x 2 x2 4 x 2 x 2 4 x x x x x x x x x x x 1 2 x 2 b) P = 1 1 ; d) H = x 1 x 1 x 2 1 1 1 a 1 Bµi 6: Cho biÓu thøc M = : a a a 1 a 2 a 1 a) Rót gän biÓu thøc M; b) So s¸nh M víi 1. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT 2x 3 x 2 x3 x 2x 2 Bµi 7: Cho c¸c biÓu thøc P = vµ Q = x 2 x 2 a) Rót gän biÓu thøc P vµ Q; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = Q. 2x 2 x x 1 x x 1 Bµi 8: Cho biÓu thøc P = x x x x x a) Rót gän biÓu thøc P b) So s¸nh P víi 5. c) Víi mäi gi¸ trÞ cña x lµm P cã nghÜa, chøng minh biÓu thøc 8 chØ nhËn ®óng mét P gi¸ trÞ nguyªn. 3x 9x 3 1 1 1 P = : Bµi 9: Cho biÓu thøc x x 2 x 1 x 2 x 1 a) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa, rót gän biÓu thøc P; b) T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ó 1 lµ sè tù nhiªn; P c) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 – 2 3 . x 2 x 3 x 2 x Bµi 10: Cho biÓu thøc : P = : 2 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 a) Rót gän biÓu thøc P; 1 5 b) T×m x ®Ó . P 2 Chñ ®Ò II HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I Tính chất của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠0) -Đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi a < 0. -Đồ thị là đường thẳng nên khi vẽ chỉ cần xác định hai điểm thuộc đồ thị. +Trong trường hợp b = 0, đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ. +Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số luôn cắt trục tung tại điểm b. -Đồ thị hàm số luôn tạo với trục hoành một góc , mà tg a . -Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA) khi và chỉ khi yA = axA + b. II.Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA). Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4). Giải: Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4= a.22 a = 1 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y = -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không? Giải: Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d) III.Quan hệ giữa hai đường thẳng. Xét hai đường thẳng: (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2 với a1 ≠ 0; a2 ≠ 0. -Hai đường thẳng song song khi a1 = a2 và b1 ≠ b2. -Hai đường thẳng trùng nhau khi a1 = a2 và b1 = b2. -Hai đường thẳng cắt nhau khi a1 ≠ a2. +Nếu b1 = b2 thì chúng cắt nhau tại b1 trên trục tung. +Nếu a1.a2 = -1 thì chúng vuông góc với nhau. IV.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x). Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (II) Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ giao điểm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên. V.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui. Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y). Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số . VI.Tính chất của hàm số bậc hai y = ax2 (a ≠ 0) -Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0. Nếu a 0. -Đồ thị hàm số là một Parabol luôn đi qua gốc tọa độ: +) Nếu a > 0 thì parabol có điểm thấp nhất là gốc tọa độ. +) Nếu a < 0 thì Parabol có điểm cao nhất là gốc tọa độ. 2 -Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA) khi và chỉ khi yA = axA . VII.Vị trí của đường thẳng và parabol -Xét đường thẳng x = m và parabol y = ax2: +) luôn có giao điểm có tọa độ là (m; am2). -Xét đường thẳng y = m và parabol y = ax2: +) Nếu m = 0 thì có 1 giao điểm là gốc tọa độ. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT m +) Nếu am > 0 thì có hai giao điểm có hoành độ là x = a +) Nếu am < 0 thì không có giao điểm. VIII.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P). Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: cx2= ax + b (V) Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = cx2 để tìm tung độ giao điểm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (V) là số giao điểm của (d) và (P). IV.Tìm điều kiện để (d) và (P). a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt. b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (V) có nghiệm kép. c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (V) vô nghiệm . X.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết. 1.Quan hệ về hệ số góc và đi qua điểm A(x0;y0) Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc tìm hệ số a. Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0;y0 vào công thức y = ax + b để tìm b. 2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2). Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình tìm a,b. 2 3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x0;y0) và tiếp xúc với (P): y = cx (c 0). +) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình : y0 = ax0 + b (3.1) +) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = cx 2 (c 0) nên: Pt: cx2 = ax + b có nghiệm kép (3.2) +) Giải hệ gồm hai phương trình trên để tìm a,b. XI.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m). +) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x0;y0 vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đúng với mọi m. +) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x0;y0. XII.Một số ứng dụng của đồ thị hàm số. 1.Ứng dụng vào phương trình. 2.Ứng dụng vào bài toán cực trị. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT bµi tËp vÒ hµm sè. C©u IV: (1,5®) C tho Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho hµm sè y = ax2 cã ®å thÞ (P). 1. T×m a, biÕt r»ng (P) c¾t ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh y = -x - 3 t¹i ®iÓm A cã 2 hoµnh ®é b»ng 3. VÏ ®å thÞ (P) øng víi a võa t×m ®îc. 2. T×m to¹ ®é giao ®iÓm thø hai B (B kh¸c A) cña (P) vµ (d). Bµi 2: (2,25®) hue a) Cho hµm sè y = ax + b. T×m a, b biÕt r»ng ®å thÞ cña hµm sè ®· cho song song víi ®êng th¼ng y = -3x + 5 vµ ®i qua ®iÓm A thuéc Parabol (P): y = 1 x2 cã hoµng ®é b»ng -2. 2 b) Kh«ng cÇn gi¶i, chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh ( 3 1)x2 - 2x - 3 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ tÝnh tæng c¸c b×nh ph¬ng hai nghiÖm ®ã. C©u II: HCM x2 a) VÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè y = vµ ®uêng th¼ng (d): y = x + 4 trªn cïng mét hÖ 2 trôc to¹ ®é. b) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) b»ng phÐp tÝnh. Baøi 2: (2,50 ñieåm) KH Cho Parabol (P) : y = x2 vaø ñöôøng thaúng (d): y = mx – 2 (m laø tham soá, m ≠ 0 ) a. Veõ ñoà thò (P) treân maët phaúng Oxy. b. Khi m = 3, tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa (p) vaø (d). c. Goïi A(xA; yA), B(xB; yB) laø hai giao ñieåm phaân bieät cuûa (P) vaø (d). tìm caùc giaù trò cuûa m sao cho yA + yB = 2(xA + xB) – 1 Bàì 1: Hà Tĩnh 1. Trong hệ trục toạ độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + 3 đi qua điểm M(-2;2). Tìm hệ số a Baøi 2: (2,0 ñieåm) BÌNH ÑÒNH Ñeà chính thöùc 1. Cho haøm soá y = ax + b. tìm a, b bieát ñoà thò haøm soá ñaã cho ñi qua hai ñieåm A(-2; 5) vaø B(1; -4). 2. Cho haøm soá y = (2m – 1)x + m + 2 a. tìm ñieàu kieän cuûa m ñeå haøm soá luoân nghòch bieán. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT b. Tìm giaù trò m ñeå ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi ñieåm coù hoaønh ñoä 2 baèng 3 Bài 2 (3.0 điểm ) QUẢNG NAM Cho hàm số y = x2 và y = x + 2 a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính c) Tính diện tích tam giác OAB Bµi 3. (1,5 ®iÓm) QUẢNG NINH 1 Cho hµm sè : y = (2m – 1)x + m + 1 víi m lµ tham sè vµ m # . H·y x¸c ®Þnh m trong mçi trêng 2 h¬p sau : a) §å thÞ hµm sè ®i qua ®iÓm M ( -1;1 ) b) §å thÞ hµm sè c¾t trôc tung, trôc hoµnh lÇn lît t¹i A , B sao cho tam gi¸c OAB c©n. 3 HẢI PHÒNG Tìm m để đường thẳng y = 3x – 6 và đường thẳng y x m cắt nhau tại một 2 điểm trên trục hoành Bài 3: (3,0 điểm) KIÊN GIANG a) Cho hàm số y = -x2 và hàm số y = x – 2. Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm của hai đô thị trên bằng phương pháp đại số . x2 3 b) Cho parabol (P) : y và đường thẳng (D) : y = mx - m – 1. Tìm m để (D) tiếp 4 2 xúc với (P) . Chứng minh rằng hai đường thẳng (D1) và (D2) tiếp xúc với (P) và hai đường thẳng ấy vuông góc với nhau . Bài 2: (1,5 điểm) AN GIANG 1/. Cho hai đường thẳng d1 : y = (m+1) x + 5 ; d2 : y = 2x + n. Với giá trị nào của m, n thì d1 trùng vớid2 ? x2 2/.Trên cùng mặt phẳng tọa độ , cho hai đồ thị (P): y ; d: y = 6 x . Tìm tọa độ 3 giao điểm của (P) và d bằng phép toán . Bài 2 (2 điểm) THÁI BÌNH Cho Parabol (P) : y= x2 và đường thẳng (d): y = mx-2 (m là tham số m 0) a/ Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng toạ độ xOy. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT b/ Khi m = 3, hãy tìm toạ độ giao điểm (P) và (d) . c/ Gọi A(xA; yA), B(xA; yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và ( d). Tìm các giá trị của m sao cho : yA + yB = 2(xA + xB ) -1 . Bài 3. (2,0 điểm) THÁI BÌNH Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y k 1 x 4 (k là tham số) và parabol (P): y x 2 . 1. Khi k 2 , hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P); 2. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt; 3. Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm k sao cho: y1 y 2 y 1 y 2 . Bài 2 (1,5 điểm) QUẢNG TRỊ Cho hàm số y = ax + b. Tìm a, b biết đồ thị của hàm số đi qua điểm (2, -1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 . 2 Bài 3 (2,5 điểm) THANH HÓA Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và điểm B(0;1) 1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm B(0;1) và có hệ số k. 2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt E và F với mọi k. . 3. Gọi hoành độ của E và F lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng x1 x2 = - 1, từ đó suy ra tam giác EOF là tam giác vuông. Bµi 2: (1,5 ®iÓm) Hưng Yên Cho hµm số bậc nhất y = mx + 2 (1) a) VÏ đồ thị hµm sỉ khi m = 2 b) T×m m ®Ó ®ơ thÞ hµm sỉ (1) c¾t trôc Ox vµ trôc Oy lÌn lît t¹i A vµ B sao cho tam gi¸c AOB c©n. Câu 2 (1,5 điểm) QUẢNG TRỊ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hàm số y = -2x + 4 có đồ thị là đường thẳng (d). a) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) với hai trục toạ độ b) Tìm trên (d) điểm có hoành độ bằng tung độ. C©u II : (2,0 ®iÓm) H¶i d Ư¬ng 1 2 1 1) Cho hµm sè y = f(x) = x . TÝnh f(0); f 2 ; f ; f 2 2 2 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT Bài 1: (2điểm) BÌNH THUẬN Cho hai hàm số y = x – 1 và y = –2x + 5 1/ Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ đồ thị của hai hàm số đã cho. 2/ Bằng phép tính hãy tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị trên. 2. B¾c giang Hµm sè y=2009x+2010 ®ßng biÕn hay nghÞch biÕn trªn R? V× sao 2. B¾c giang Cho hµm sè y = x -1. T¹i x = 4 th× y cã gi¸ trÞ lµ bao nhiªu? Bµi 2 (1,5 ®iÓm): qu¶ng b×nh Cho ba ®êng th¼ng (d1): -x + y = 2; (d2): 3x - y = 4 vµ (d3): nx - y = n - 1; n lµ tham sè. a) T×m täa ®é giao ®iÓm N cña hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2). b) T×m n ®Ó ®êng th¼ng (d3) ®i qua N. Bài 2: (3,0 điểm) ÐẠI HỌC TÂY NGUYÊN Cho hàm số : y x 2 có đồ thị (P) và hàm số y = 2x + m có đồ thị (d) . 1/ Khi m = 1. Vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ. 2/ Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) toạ độ và bằng phép toán khi m = 1. 3/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(xAA ; y ) và 1 1 B(xBB ; y ) sao cho 2 2 6 xAB x Bµi tËp 1. cho parabol y= 2x2. (p) a. t×m hoµnh ®é giao ®iÓm cña (p) víi ®êng th¼ng y= 3x-1. b. t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (p) víi ®êng th¼ng y=6x-9/2. c. t×m gi¸ trÞ cña a,b sao cho ®êng th¼ng y=ax+b tiÕp xóc víi (p) vµ ®i qua A(0;-2). d. t×m ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng tiÕp xóc víi (p) t¹i B(1;2). e. biÖn luËn sè giao ®iÓm cña (p) víi ®êng th¼ng y=2m+1. ( b»ng hai ph¬ng ph¸p ®å thÞ vµ ®¹i sè). f. cho ®êng th¼ng (d): y=mx-2. T×m m ®Ó +(p) kh«ng c¾t (d). +(p)tiÕp xóc víi (d). t×m to¹ ®é ®iÓm tiÕp xóc ®ã? + (p) c¾t (d) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. +(p) c¾t (d). Bµi tËp 2. cho hµm sè (p): y=x2 vµ hai ®iÓm A(0;1) ; B(1;3). a. viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB. t×m to¹ ®é giao ®iÓm AB víi (P) ®· cho. b. viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P). c. viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d1 vu«ng gãc víi AB vµ tiÕp xóc víi (P). Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT d. chøng tá r»ng qua ®iÓm A chØ cã duy nhÊt mét ®êng th¼ng c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt C,D sao cho CD=2. Bµi tËp 3. Cho (P): y=x2 vµ hai ®êng th¼ng a,b cã ph¬ng tr×nh lÇn lît lµ y= 2x-5 y=2x+m a. chøng tá r»ng ®êng th¼ng a kh«ng c¾t (P). b. t×m m ®Ó ®êng th¼ng b tiÕp xóc víi (P), víi m t×m ®îc h·y: + Chøng minh c¸c ®êng th¼ng a,b song song víi nhau. + t×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm A cña (P) víi b. + lËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®i qua A vµ cã hÖ sè gãc b»ng -1/2. t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (a) vµ (d). Bµi tËp 4. 1 cho hµm sè y x (P) 2 a. vÏ ®å thÞ hµm sè (P). b. víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®êng th¼ng y=2x+m (d) c¾t ®å thÞ (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A,B. khi ®ã h·y t×m to¹ ®é hai ®iÓm A vµ B. c. tÝnh tæng tung ®é cña c¸c hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) theo m. Bµi tËp5. cho hµm sè y=2x2 (P) vµ y=3x+m (d) a. khi m=1, t×m to¹ ®é c¸c giao ®iÓm cña (P) vµ (d). b. tÝnh tæng b×nh ph¬ng c¸c hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) theo m. c. t×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) ®éc lËp víi m. Bµi tËp 6. cho hµm sè y=-x2 (P) vµ ®êng th¼ng (d) ®I qua N(-1;-2) cã hÖ sè gãc k. a. chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña k th× ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t ®å thÞ (P) t¹i hai ®iÓm A,B. t×m k cho A,B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung. b. gäi (x1;y1); (x2;y2) lµ to¹ ®é cña c¸c ®iÓm A,B nãi trªn, t×m k cho tæng S=x1+y1+x2+y2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi tËp7. cho hµm sè y= x a. t×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè. b. t×m y biÕt: + x=4 + x=(1- 2 )2 + x=m2-m+1 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT + x=(m-n)2 c. c¸c ®iÓm A(16;4) vµ B(16;-4), ®iÓm nµo thuéc ®å thÞ hµm sè, ®iÓm nµo kh«ng thuéc ®å thÞ hµm sè? t¹i sao. d. kh«ng vÏ ®å thÞ h·y t×m hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè ®· cho víi ®å thÞ hµm sè y= x-6 Bµi tËp 8. cho hµm sè y=x2 (P) vµ y=2mx-m2+4 (d) a.t×m hoµnh ®é cña c¸c ®iÓm thuéc (P) biÕt tung ®é cña chóng y=(1- 2 )2. b.chøng minh r»ng (P) víi (d) lu«n c¾t nhau t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt. t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña chóng. víi gi¸ trÞ nµo cña m th× tæng c¸c tung ®é cña chóng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi tËp 9. cho hµm sè y= mx-m+1 (d). a. chøng tá r»ng khi m thay ®æi th× ®êng th¼ng (d) lu«n ®I qua ®iÓm cè ®Þnh. t×m ®iÓm cè ®Þnh Êy. b. t×m m ®Ó (d) c¾t (P) y=x2 t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A vµ B, sao cho AB= 3 . Bµi tËp 10. trªn hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho c¸c ®iÓm M(2;1); N(5;-1/2) vµ ®êng th¼ng (d) y=ax+b. a. t×m a vµ b ®Ó ®êng th¼ng (d) ®I qua c¸c ®iÓm M, N. b. x¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng MN víi c¸c trôc Ox, Oy. Bµi tËp 11. cho hµm sè y=x2 (P) vµ y=3x+m2 (d). a. chøng minh víi bÊt kú gi¸ trÞ nµo cña m ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt. b. gäi y1, y2 kµ c¸c tung ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d) vµ (P) t×m m ®Ó cã biÓu thøc y1+y2= 11y1.y2 bµi tËp 12. cho hµm sè y=x2 (P). a. vÏ ®å thÞ hµm sè (P). b. trªn (P) lÊy 2 ®iÓm A, B cã hoµnh ®é lÇn lît lµ 1 vµ 3. h·y viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB. c. lËp ph¬ng tr×nh ®êng trung trùc (d) cña ®o¹n th¼ng AB. d. t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P). Bµi tËp 13 a. viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng tiÕp xóc víi (P) y=2x2 t¹i ®iÓm A(-1;2). b. cho hµm sè y=x2 (P) vµ B(3;0), t×m ph¬ng tr×nh tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tiÕp xóc víi (P) vµ ®i qua B. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT c. cho (P) y=x2. lËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(1;0) vµ tiÕp xóc víi (P). d. cho (P) y=x2 . lËp ph¬ng tr×nh d song song víi ®êng th¼ng y=2x vµ tiÕp xóc víi (P). e. viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng song song víi ®êng th¼ng y=-x+2 vµ c¾t (P) y=x2 t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng (-1). f. viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc víi (d) y=x+1 vµ c¾t (P) y=x2 t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 9. Chñ ®Ò III §5.PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Bậc nhất) A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Phương trình bậc nhất một ẩn -Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0) b -Nghiệm duy nhất là x a 2.Phương trình chứa ẩn ở mẫu -Tìm ĐKXĐ của phương trình. -Quy đồng và khử mẫu. -Giải phương trình vừa tìm được. -So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận. 3.Phương trình tích Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó. Chẳng hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0 A x 0 B x 0 C x 0 4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình) Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị cụ thể của a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình. b -Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x . a -Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm. -Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm. 5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT A khi A 0 A A khi A 0 6.Hệ phương trình bậc nhất Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương pháp đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương trình. 7.Bất phương trình bậc nhất Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình. BµI TËP HÖ ph¬ng tr×nh Baøi 1: : Gi¶i c¸c HPT sau: 1.1. 2x y 3 2x 3 y 2 a. b. 3x y 7 5x 2 y 6 Gi¶i: 2x y 3 y 2 x 3 y 2 x 3 x 2 x 2 a. Dïng PP thÕ: 3x y 7 3x 2 x 3 7 5 x 10 y 2.2 3 y 1 x 2 Vaäy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: y 1 2x y 3 5x 10 x 2 x 2 Dïng PP céng: 3x y 7 3x y 7 3.2 y 7 y 1 x 2 Vaäy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: y 1 - §Ó gi¶I lo¹i HPT nµy ta thêng sö dông PP céng cho thuËn lîi. 2x 3 y 2 10x 15 y 10 11 y 22 y 2 x 2 5x 2 y 6 10x 4 y 12 5 x 2 y 6 5 x 2.( 2 6) y 2 x 2 Vaäy HPT cã nghiÖm lµ y 2 - §èi víi HPT ë d¹ng nµy ta cã thÓ sö dông hai c¸ch gi¶I sau ®©y: Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT 2 3 1 x 1 y 1.2. 2 5 1 x 1 y + C¸ch 1: Sö dông PP céng. §K: x 1, y 0 . 2 3 2 1 2 y 1 y 1 1 3 x 1 y y x 1 x 2 5 2 2 2 2 5 2 5 1 4 1 1 x 1 1 x 1 y 1 y 1 x 1 y x 1 y 3 x Vaäy HPT cã nghiÖm lµ 2 y 1 + C¸ch 2: Sö dông PP ®Æt Èn phô. §K: x 1, y 0 . 1 1 §Æt a ; b . HPT ®· cho trë thµnh: x 1 y 1 2 3 2a 3 b 1 2 a 5 b 1 2 a 5.1 1 a 2 x 1 x 2 (TM§K) 2a 5 b 1 2 b 2 b 1 b 1 1 1 y 1 y 3 x Vaäy HPT cã nghiÖm lµ 2 y 1 Lu ý: - NhiÒu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy. - Cã thÓ thö l¹i nghiÖm cña HPT võa gi¶i. Baøi 2: Giaûi caùc heä phöông trình sau (baèng pp theá) x y 3 7x 3 y 5 1.1: a) b) 3x 4 y 2 4x y 2 x 2 2 y 5 2 1 x y 2 1.2. a) b) x2 y 2 x 2 1 y 1 Baøi 3: Giaûi caùc heä phöông trình sau (baèng pp coäng ñaïi soá) 3x 2 y 10 3x y 3 4x 3 y 6 2.1. a) b) c) 2 1 2x y 7 2x y 4 x y 3 3 3 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT x2 3 y 1 5x 3 y 2 2 2.2. a) b) 2x y 2 2 x6 y 2 2 Baøi 4: x 3 y 1 Giaûi heä phöông trình 2 trong moãi tröôøng hôïp sau (m 1) x 6 y 2 m a) m = -1 b) m = 0 c) m = 1 Baøi 5: 2x by 4 a) Xaùc ñònh heä soá avaøb, bieát raèng heä phöông trình coù nghieäm laø (1; - bx ay 5 2) b) Cuõng hoûi nhö vaäy neáu heä phöông trình coù nghieäm 2 1; 2 2x y 2 Baøi 6: Giaûi heä phöông trình sau: x 3 y 1 2m n 2 m 1 n 1 a) Töø ñoù suy ra nghieäm cuûa heä phöông trình m3 n 1 m 1 n 1 Baøi 7: Giaûi caùc heä phöông trình sau: 2x y 4 x y 1 x 2 y 5 3x y 5 0 0, 2x 3 y 2 ; ; ; ; ; 3x y 1 3x 2 y 3 3x y 1 x y 3 0 x 15 y 10 y 2x 3 y 6 2x y 5 x 3 2 y 3x y 2 x 5 ; ; 2 ; 5 5 ; 3 3 15 2x 4 y 2007 3y 9 x 6 x y 5 x y 2x y 6 3 2 2 4 2 2x ay b Bµi 8: Cho hÖ ph¬ng tr×nh ax by 1 a) Gi¶i hÖ khi a=3 ; b=-2 b) T×m a;b ®Ó hÖ cã nghiÖm lµ (x;y)=( 2; 3) Bµi 9: Gi¶I c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau 1 2 2 x y x y 3 x 4 y 8 3 x 2 4 y 2 3 a) b) c) (®k x;y 2 ) 5 4 3 2 x y 2 2 x 2 y 2 1 x y x y Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT 6x 6 y 5 xy x 3 y 5 y 2 x 1 3 (x y )( x 2 y ) 0 2x 3 y 5 ; ; 4 3 ; ; x y 1 x 2 y 5 1 x 5 y 3 2 2 3 3 5 x y 3x 3 y 3 2 3 (x 1) 2( y 2) 5 (x 5)( y 2) ( x 2)( y 1) ; ; . 2x 3 y 6 2 3(x 1) ( y 2) 1 (x 4)( y 7) ( x 3)( y 4) (x 1)( y 2) ( x 1)( y 3) 4 3(x y ) 5( x y ) 12 ; ; (x 3)( y 1) ( x 3)( y 5) 1 5(x y ) 2( x y ) 11 1 1 4 1 2 1 5 5 7 5 2 4,5 x y 5 x y x y 2x 3 y 3 x y 8 x y 2 x y 1 ; ; ; 1 1 1 5 4 3 5 3 3 2 3 4 x y 5 x y x y 2x 3 y 3 x y 8 x y 2 x y 1 Chñ ®Ò IV Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ ph¬ng tr×nh. II, LÝ thuyÕt cÇn nhí: * Bíc 1: + LËp HPT - Chän Èn, t×m ®¬n vÞ vµ §K cho Èn. - BiÓu diÔn mèi quan hÖ cßn l¹i qua Èn vµ c¸c ®¹i lîng ®· biÕt. - LËp HPT. * Bíc 2: Gi¶i HPT. * Bíc 3: §èi chiÕu víi §K ®Ó tr¶ lêi. III, Bµi tËp vµ híng dÉn: Bµi 1. Hai « t« cïng khëi hµnh mét lóc tõ hai tØnh A vµ B c¸ch nhau 160 km, ®i ngîc chiÒu nhau vµ gÆp nhau sau 2 giê. T×m vËn tèc cña mçi « t« biÕt r»ng nÕu « t« ®i tõ A t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h sÏ b»ng hai lÇn vËn tèc «t« ®i tõ B. Bµi 2. Mét ngêi ®i xe m¸y ®i tõ A ®Õn B trong mét thêi gian dù ®Þnh. NÕu vËn tèc t¨ng14 km/h th× ®Õn B sím h¬n 2 giê. nÕu vËn tèc gi¶m 2 km/h th× ®Õn B muén 1 giê. TÝnh qu·ng ®êng AB, vËn tèc vµ thêi gian dù ®Þnh. Bµi 3. Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ hai bÕn A, B c¸ch nhau 85 km , ®i ngîc chiÒu nhau vµ gÆp nhau sau 1 giê 40 phót.TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n« biÕt r»ng vËn tèc cña ca n« xu«i dßng lín h¬n vËn tèc cña ca n« ngîc dßng lµ 9 km/h (cã c¶ vËn tèc dßng níc) vµ vËn tèc dßng níc lµ 3 km/h. Bµi 4. Mét ca n« xu«i dßng 108 km vµ ngîc dßng 63 km hÕt 7 giê. Mét lÇn kh¸c ca n« xu«i dßng 81 km vµ ngîc dßng 84 km còng hÕt 7 giê. TÝnh vËn tèc cña dßng níc vµ vËn tèc thËt cña ca n«. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT Bµi 5. Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B dµi 120 km. §i ®îc nöa qu·ng ®êng xe nghØ 30 phót nªn ®Ó ®Õn n¬i ®óng giê xe ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h n÷a trªn qu·ng ®êng cßn l¹i. TÝnh thêi gian xe ch¹y. Bµi 6. Hai ngêi ®i ngîc chiÒu vÒ phÝa nhau.M ®i tõ A lóc 6 giê s¸ng vÒ phÝa B. N ®i tõ B lóc 7 giê s¸ng vÒ phÝa A. Hä gÆp nhau lóc 8 giê s¸ng. TÝnh thêi gian mçi ngêi ®i hÕt qu·ng ®êng AB. BiÕt M ®Õn B tríc N ®Õn A lµ 1 giê 20 phót. 2 1 1 x y HPT: 1 y x 3 Bµi 7. Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B ngîc chiÒu vÒ phÝa nhau. TÝnh qu·ng ®êng AB vµ vËn tèc cña mçi xe. BiÕt r»ng sau 2 giê hai xe gÆp nhau t¹i mét ®iÓm c¸ch chÝnh gi÷a qu·ng ®êng AB lµ 10 km vµ xe ®i chËm t¨ng vËn tèc gÊp ®«i th× hai xe gÆp nhau sau 1 giê 24 phót. x y 10 HPT: 2 1 (x 2 y ) 2( x y ) 5 Bµi 8. Hai líp 9A vµ 9B cã tæng céng 70 HS. nÕu chuyÓn 5 HS tõ líp 9A sang líp 9B th× sè HS ë hai líp b»ng nhau. TÝnh sè HS mçi líp. Bµi 9. Hai trêng A, B cã 250 HS líp 9 dù thi vµo líp 10, kÕt qu¶ cã 210 HS ®· tróng tuyÓn. TÝnh riªng tØ lÖ ®ç th× trêng A ®¹t 80%, trêng B ®¹t 90%. Hái mçi trêng cã bao nhiªu HS líp 9 dù thi vµo líp 10. Bµi 10. Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ kh«ng cã níc sau 2 giê 55 phót th× ®Çy bÓ. NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt cÇn Ýt thêi gian h¬n vßi thø hai lµ 2 giê. TÝnh thêi gian ®Ó mçi vßi ch¶y riªng th× ®Çy bÓ. Bµi 11. Hai tæ cïng lµm chung mét c«ng viÖc hoµn thµnh sau 15 giê. nÕu tæ mét lµm trong 5 giê, tæ hai lµm trong 3 giê th× ®îc 30% c«ng viÖc. Hái nÕu lµm riªng th× mçi tæ hoµn thµnh trong bao l©u. Bµi 12. Mét thöa ruéng cã chu vi 200m . nÕu t¨ng chiÒu dµi thªm 5m, gi¶m chiÒu réng ®i 5m th× diÖn tÝch gi¶m ®i 75 m2 . TÝnh diÖn tÝch thöa ruéng ®ã. Bµi 13. Mét phßng häp cã 360 ghÕ ®îc xÕp thµnh tõng hµng vµ mçi hµng cã sè ghÕ ngåi b»ng nhau. Nhng do sè ngêi ®Õn häp lµ 400 nªn ph¶i kª thªm 1 hµng vµ mçi hµng ph¶i kª thªm 1 ghÕ míi ®ñ chç. TÝnh xem lóc ®Çu phßng häp cã bao nhiªu hµng ghÕ vµ mçi hµng cã bao nhiªu ghÕ. C©u II (2,5®):HN Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh: Hai tæ s¶n xuÊt cïng may mét lo¹i ¸o. NÕu tæ thø nhÊt may trong 3 ngµy, tæ thø hai may trong 5 ngµy th× c¶ hai tæ may ®îc 1310 chiÕc ¸o. BiÕt r»ng trong mét ngµy tæ thø nhÊt Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT may ®îc nhiÒu h¬n tæ thø hai lµ 10 chiÕc ¸o. Hái mçi tæ trong mét ngµy may ®îc bao nhiªu chiÕc ¸o? C©u III: (1,0®) C tho T×m hai sè a, b sao cho 7a + 4b = -4 vµ ®êng th¼ng ax + by = -1 ®i qua ®iÓm A(-2;-1). Bµi 3: (1,5®) hue Hai m¸y ñi lµm viÖc trong vßng 12 giê th× san lÊp ®îc 1 khu ®Êt. Nõu m¸y ñi thø nhÊt lµm 10 mét m×nh trong 42 giê råi nghØ vµ sau ®ã m¸y ñi thø hai lµm mét m×nh trong 22 giê th× c¶ hai m¸y ñi san lÊp ®îc 25% khu ®Êt ®ã. Hái nÕu lµm mét m×nh th× mçi m¸y ñi san lÊp xong khu ®Êt ®· cho trong bao l©u. Baøi 3: (1,50 ñieåm) KH Moät maûnh ñaát hình chöõ nhaät coù chieàu daøi hôn chieàu roäng 6(m) vaø bình phöông ñoä daøi ñöôøng cheùo gaáp 5 laàn chu vi. Xaùc ñònh chieàu daøi vaø chieàu roäng maûnh ñaát ñoù. Bài 3: Hà Tĩnh Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì 1 xe phải điều đi làm công việc khác, nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định. Hỏi thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển. (biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau) Câu 3: (2,5 điểm) BÌNH ĐỊNH Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể không có nước trong 6 giờ thì đầy bể. Nếu để riêng vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 3 giờ nữa thì được 2/5 bể. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu? Baøi 3: (2,0 ñieåm) BÌNH ÑÒNH Ñeà chính thöùc Moät ngöôøi ñi xe maùy khôûi haønh töø Hoaøi AÂn ñi Quy Nhôn. Sau ñoù 75 phuùt, treân cuøng tuyeán ñöôøng ñoù moät oâtoâ khôûi haønh töø Quy Nhôn ñi Hoaøi AÂn vôùi vaän toác lôùn hôn vaän toác cuûa xe maùy laø 20 km/giôø. Hai xe gaëp nhau taïi Phuø Caùt. Tính vaän toác cuûa moãi xe, giaû thieát raèng Quy Nhôn caùch Hoaøi AÂn 100 km vaø Quy Nhôn caùch Phuø Caùt 30 km. C©u III: (1,5®). NghÖ An Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu réng ng¾n h¬n chiÒu dµi 45m. TÝnh diÖn tÝch thöa ruéng, biÕt r»ng nÕu chiÒu dµi gi¶m ®i 2 lÇn vµ chiÒu réng t¨ng 3 lÇn th× chu vi thöa ruéng kh«ng thay ®æi. Bµi 4. QUẢNG NINH (2,0 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh: Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT Mét ca n« chuyÓn ®éng xu«i dßng tõ bÕn A ®Õn bÕn B sau ®ã chuyÓn ®éng ngîc dßng tõ B vÒ A hÕt tæng thêi gian lµ 5 giê . BiÕt qu·ng ®êng s«ng tõ A ®Õn B dµi 60 Km vµ vËn tèc dßng níc lµ 5 Km/h . TÝnh vËn tèc thùc cña ca n« (( VËn tèc cña ca n« khi níc ®øng yªn ) Câu 7 VĨNH PHÚC (1,5 điểm) Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc 4 km/h, rồi đi ô tô từ B đến C với vận tốc 40 km/h. Lúc về anh ta đi xe đạp trên cả quãng đường CA với vận tốc 16 km/h. Biết rằng quãng đường AB ngắn hơn quãng đường BC là 24 km, và thời gian lúc đi bằng thời gian lúc về. Tính quãng đường AC. Câu 2 : PHÚ YÊN ( 2.0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một đội xe cần phải chuyên chở 150 tấn hàng . Hôm làm việc có 5 xe được điều đi làm nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 5 tấn . Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc ? ( biết rằng mỗi xe chở số hàng như nhau ) Bµi 3: (1,0 ®iÓm) hƯng yªn Mét ®éi xe cÇn chë 480 tÊn hµng. Khi s¾p khëi hµnh ®éi ®îc ®iÒu thªm 3 xe n÷a nªn mçi xe chë Ýt h¬n dù ®Þnh 8 tÊn. Hái lóc ®Çu ®éi xe cã bao nhiªu chiÕc? BiÕt r»ng c¸c xe chë nh nhau. Câu 4 (1,5 điểm) QUẢNG TRỊ Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720m2, nếu tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng đi 4m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính kích thước (chiều dài và chiều rộng) của mảnh vườn 2) H¶i d Ư¬ng Hai « t« cïng xuÊt ph¸t tõ A ®Õn B, « t« thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai mçi giê 10 km nªn ®Õn B sím h¬n « t« thø hai 1 giê. TÝnh vËn tèc hai xe « t«, biÕt qu·ng ®êng AB lµ 300 km. b) H¶I D¬NG CHÝNH THØC Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 2 cm và diện tích của nó là 15 cm2. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó. Bµi 3 Hµ Giang ( 2,0 ®iÓm): Mét ngêi ®i xe ®¹p ph¶i ®i trong qu·ng ®êng dµi 150 km víi vËn tèc kh«ng ®æi trong mét thêi gian ®· ®Þnh. NÕu mçi giê ®i nhanh h¬n 5km th× ngêi Êy sÏ ®Õn sím h¬n thêi gian dù ®Þnh 2,5 giê. TÝnh thêi gian dù ®Þnh ®i cña ngêi Êy. Câu 3: (2đ) Long An Hai người đi xe đạp cùng xuất phát một lúc từ A đến B với vận tốc hơn kém nhau 3km/h. Nên đến B sớm ,mộn hơn kém nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi người .Biết quàng đường AB dài 30 km. C©u 4: (1,5 ®iÓm) B¾c Ninh Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT Hai gi¸ s¸ch cã chøa 450 cuèn. NÕu chuyÓn 50 cuèn tõ gi¸ thø nhÊt sang gi¸ thø hai th× sè s¸ch ë gi¸ thø hai sÏ b»ng 4 sè s¸ch ë gi¸ thø nhÊt. TÝnh sè s¸ch lóc ®Çu trong mçi 5 gi¸ s¸ch. C©u IV(1,5 ®iÓm) B¾c giang Mét «t« kh¸ch vµ mét «t« t¶i cïng xuÊt ph¸t tõ ®Þa ®iÓm A ®i ®Õn ®Þa ®iÓm B ®êng dµi 180 km do vËn tèc cña «t« kh¸ch lín h¬n «t« t¶i 10 km/h nªn «t« kh¸ch ®Õn B tríc «t« t¶i 36 phót.TÝnh vËn tèc cña mçi «t«. BiÕt r»ng trong qu¸ tr×nh ®i tõ A ®Õn B vËn tèc cña mçi «t« kh«ng ®æi. Bài 3: (1,5 điểm) ĐĂK LĂK Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 8m . Nếu tăng một cạnh góc vuông của tam giác lên 2 lần và giảm cạnh góc vuông còn lại xuống 3 lần thì được một tam giác vuông mới có diện tích là 51m2 . Tính độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông ban đầu. Bµi 2: (2,0 ®iÓm) B×NH D¦¥NG Mét h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 160m vµ diÖn tÝch lµ 1500m2. TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng h×nh ch÷ nhËt Êy . Chñ ®Ò V Ph¬ng tr×nh bËc hai+hÖ thøc vi-Ðt Tãm t¾t lÝ thuyÕt: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1) *Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở thành bậc nhất một ẩn (§5). A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Các dạng và cách giải Dạng 1: c = 0 khi đó x 0 2 1 ax bx 0 xax+b 0 b x a Dạng 2: b = 0 khi đó c 1 ax2 c 0 x 2 a Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT c c -Nếu 0 thì x . a a c -Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm. a Dạng 3: Tổng quát CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN b2 4ac ' b'2 ac 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt ' 0: phương trình có 2 nghiệm phân biệt b b b' ' b' ' x ; x x ; x 12a 2 2a 1a 2 a 0 : phương trình có nghiệm kép ' 0: phương trình có nghiệm kép b b' x x x x 1 2 2a 1 2 a 0 : phương trình vô nghiệm ' 0 : phương trình vô nghiệm Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn dạng chứa ẩn ở mẫu và dạng tích đã nói ở §5. 3.Hệ thức Viet và ứng dụng 2 -Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì: b S x x 1 2 a c P x x 1 2 a u v S -Nếu có hai số u và v sao cho S2 4P thì u, v là hai nghiệm của uv P phương trình x2 – Sx + P = 0. c -Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = . a c -Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = -1; x2 = . a 4.Điều kiện có nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) -(1) có 2 nghiệm 0 ; có 2 nghiệm phân biệt 0 . 0 -(1) có 2 nghiệm cùng dấu . P 0 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT 0 -(1) có 2 nghiệm dương P 0 S 0 0 -(1) có 2 nghiệm âm P 0 S 0 -(1) có 2 nghiệm trái dấu ac 0 thì A lớn nhất khi B nhỏ nhất; A nhỏ nhất khi B lớn nhất. -Nếu mB < 0 (giả sử m < 0) thì A lớn nhất khi B lớn nhất; A nhỏ nhất khi B nhỏ nhất. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT B 2.2.2. Phân thức A = , trong đó B có bậc cao hơn hoặc bằng bậc của C. C Khi đó ta dùng phương pháp tách ra giá trị nguyên để tách thành m D A n ; A n trong đó m, n là hằng số; D là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc C. CC B 2.2.3. Phân thức A = , trong đó C có bậc cao hơn bậc của B. C 1 Cần chú ý tính chất: nếu A có giá trị lớn nhất thì có giá trị nhỏ nhất và ngược lại. A 2.3. Biểu thức A có chứa dấu giá trị tuyệt đối, chứa căn thức bậc hai: -Chia khoảng giá trị để xét. -Đặt ẩn phụ đưa về bậc hai. -Sử dụng các tính chất của giá trị tyệt đối: a b a b ; a b a b  a,b . Dấu “=” xảy ra khi ab 0 . -Sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc. 1 Bất đẳng thức Côsi: a,a, ,a 0 a a a n aa a dấu 1 2 nn 1 2 n 1 2 n “=” xảy ra khi a1 = a2 = = an. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski: a1 ,a 2 , ,a n ;b 1 ,b 2 , ,b n 2 2 2 2 2 2 2 có a12 a a n12 b b b n ab 1122 ab ab nn dấu “=” xảy ra khi a a a 1 2 n . b1 b 2 b n Bµi tËp 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai sau TT C¸c ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo TT C¸c ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo ' 1. 6 x2 - 25x - 25 = 0 1. x2 - 4x + 2 = 0 2. 6x2 - 5x + 1 = 0 2. 9x2 - 6x + 1 = 0 3. 7x2 - 13x + 2 = 0 3. -3x2 + 2x + 8 = 0 4. 3x2 + 5x + 60 = 0 4. x2 - 6x + 5 = 0 5. 2x2 + 5x + 1 = 0 5. 3x2 - 6x + 5 = 0 6. 5x2 - x + 2 = 0 6. 3x2 - 12x + 1 = 0 7. x2 - 3x -7 = 0 7. 5x2 - 6x - 1 = 0 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT 8. x2 - 3 x - 10 = 0 8. 3x2 + 14x + 8 = 0 9. 4x2 - 5x - 9 = 0 9. -7x2 + 6x = - 6 10. 2x2 - x - 21 = 0 10. x2 - 12x + 32 = 0 11. 6x2 + 13x - 5 = 0 11. x2 - 6x + 8 = 0 12. 56x2 + 9x - 2 = 0 12. 9x2 - 38x - 35 = 0 2 2 13. 10x + 17x + 3 = 0 13. x - 2 3 x + 2 = 0 2 2 14. 7x + 5x - 3 = 0 14. 4 2 x - 6x - 2 = 0 2 2 15. x + 17x + 3 = 0 15. 2x - 2 2 x + 1 = 0 Bµi tËp 2: BiÕn ®æi c¸c ph¬ng tr×nh sau thµnh ph¬ng tr×nh bËc hai råi gi¶i a) 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) - 15 b) x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1 c) 2x2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3 d) 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2 e) -6x2 + x - 3 = -3x(x - 1) - 11 f) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5 g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1 h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7 i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2) k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1 C©u III (1,0®): HN Cho ph¬ng tr×nh (Èn x): x2 – 2(m+1)x + m2 +2 = 0 1/ Gi¶i ph¬ng tr×nh ®· cho khi m = 1. 2 2/ T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tho¶ m·n hÖ thøc x1 2 + x2 = 10. Bài 3: (2,0 điểm) AN GIANG Cho phương trình x2 +2 (m+3) x +m2 +3 = 0 1/ Tìm m để phương trình có nghiệm kép ? Hãy tính nghiệm kép đó. 2/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1 – x2 = 2 ? Bài 4 : (1,5 điểm) AN GIANG Giải các phương trình sau : 1 3 1/ 2 2/ x4 + 3x2 – 4 = 0 x 2 6 x 4 2. THÁI BÌNH Giải phương trình: x 3 . x 2 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT C©u II: (2,0®) C tho Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh vµ c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1. 6 - 3x ≥ -9 2. 2 x +1 = x - 5 3 2x2 3 x 2 3. 36x4 - 97x2 + 36 = 0 4. 3 2x 1 Bµi 1: (2,25®) hue Kh«ng sö dông m¸y tÝnh bá tói, h·y gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 2 4 2 3x 4 y 17 a) 5x + 13x - 6=0 b) 4x - 7x - 2 = 0 c) 5x 2 y 11 C©u I: HCM Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh sau: a) 8x2 - 2x - 1 = 0 2x 3 y 3 b) 5x 6 y 12 c) x4 - 2x2 - 3 = 0 d) 3x2 - 2 6 x + 2 = 0 Bài 2: (2,0 điểm) BÌNH ĐỊNH Cho phương trình: (1) a. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt. b. Gọi là 2 nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức c. Tìm hệ thức giữa và không phụ thuộc vào m. Bµi 2 nam ®Þnh (1,5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x2 + (3 - m)x + 2(m - 5) = 0 (1), víi m lµ tham sè. 1) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm x1 = 2. 2) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x2 = 1 + 2 2 C©uII: (2,5®). NghÖ An Cho ph¬ng tr×nh bËc hai, víi tham sè m: 2x2 – (m+3)x + m = 0 (1). 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m = 2. 2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n: x1 + x = 5 x x . 2 2 1 2 3. Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = x1 x 2 Bài 2 ( 2 điểm) HẢI PHÒNG Cho phương trình x2 + mx + n = 0 ( 1) 1.Giải phương trình (1) khi m =3 và n = 2 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT x1 x 2 3 2.Xác định m ,n biết phương trình (1) có hai nghiệm x1.x2 thoả mãn 3 3 x1 x 2 9 Bài 3 (1,5 điểm THÁI BÌNH)Cho phương trình: x2-2( m + 1) x + m 2 + 2 = 0 (ẩn x) 1) Giải phương trình đã cho với m =1. 2) Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ 2 2 thức: x1+ x 2 = 10 . Bài 2. (2,0 điểm) THÁI BÌNH m 1 x y 2 Cho hệ phương trình: (m là tham số) mx y m 1 1. Giải hệ phương trình khi m 2 ; 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn: 2 x + y 3 . Câu 5( 2,5 điểm). VĨNH PHÚC mx 2 y 1 Cho hệ phương trình ( m là tham số có giá trị thực) (1) 2x 4 y 3 a, Giải hệ (1) với m = 1 b, Tìm tất cả các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm duy nhất Bài 1 (1,5 điểm) THANH HÓA Cho phương trình: x2 – 4x + n = 0 (1) với n là tham số. 1.Giải phương trình (1) khi n = 3. 2. Tìm n để phương trình (1) có nghiệm. Bài 2 (1,5 điểm) THANH HÓA x 2 y 5 Giải hệ phương trình: 2x y 7 mx y 1 Bài 2. ĐÀ NẲNG ( 2 điểm ) Cho hệ phương trình: x y 334 2 3 a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1. b) Tìm giá trị của m để phương trình vô nghiệm. Câu 3 : PHÚ YÊN ( 2,5 điểm ) Cho phương trình x2 – 4x – m2 + 6m – 5 = 0 với m là tham số Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT a) Giải phương trình với m = 2 b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm c) Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 , hãy tìm giá trị bé nhất của biểu thức 3 3 P x1 x 2 Bài 4 (2 điểm). QUẢNG TRỊ Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0. (1) a/ Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Tìm m để 3( x1 + x2 ) = 5x1x2. Câu 3 (1,5 điểm). QUẢNG TRỊ Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m-1)x + 2m – 3 = 0. (1) a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu. 2) H¶i d Ư¬ng Cho ph¬ng tr×nh (Èn x): x2 2(m 1)x m 2 1 0 . T×m gi¸ trÞ 2 2 cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ,x 2 tháa m·n x1 x 2 x 1 x 2 8 . C©u IV: HCM Cho ph¬ng tr×nh x2 - (5m - 1)x + 6m2 - 2m = 0 (m lµ tham sè) a) Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m. 2 2 b) Gäi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. T×m m ®Ó x1 + x2 =1. Bài 3 (1.0 điểm ) QUẢNG NAM 2 2 Cho phương trình x – 2mx + m – m + 3 có hai nghiệm x1 ; x 2 (với m là 2 2 tham số ) . Tìm m để biểu thức x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 3: (2,0 điểm) H¶i D¬ng chÝnh thøc Cho phương trình: x2- 2x + (m – 3) = 0 (ẩn x) a) Giải phương trình với m = 3. b) Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và 2 thỏa mãn điều kiện: x1 – 2x2 + x1x2 = - 12 C©u 5: (1,5 ®iÓm) B¾c Ninh Cho ph¬ng tr×nh: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m lµ tham sè) a/ Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = 3. b/ T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tháa m·n 1 1 3 x1 x 2 2 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT C©u III: (1,0 ®iÓm) B¾c giang LËp ph¬ng tr×nh bËc hai nhËn hai sè 3 vµ 4 lµ nghiÖm? Bµi 3: (1,5 ®iÓm) B×NH D¦¥NG Cho ph¬ng tr×nh x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 = 0 (víi x lµ Èn sè, m lµ tham sè ) a) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt . b) §Æt A = x1.x2 – 2(x1 + x2) víi x1, x2 lµ hai nghiÖm ph©n biÖt cña ph¬ng tr×nh trªn. Chøng minh : A = m2 + 8m + 7 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng . Bµi 3 (1,5 ®iÓm): qu¶ng b×nh Cho ph¬ng tr×nh: (n + 1)x2 - 2(n - 1)x + n - 3 = 0 (1), víi n lµ tham sè. a) T×m n ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x = 3. b) Chøng minh r»ng, víi mäi n - 1 th× ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Bµi tËp 3: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(3m + 2)x + 2m2 - 3m + 5 = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m lÇn lît b»ng c¸c gi¸ trÞ: m = 2; m = - 2; m = 5; m = -5; m = 3; m = 7; m = - 4 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x lÇn lît b»ng x = 3; x = -3; x = 2; x = 5; x = 6; x = -1 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp. Bµi tËp 4: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 2)x + m2 - 3m + 5 = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m lÇn lît b»ng c¸c gi¸ trÞ: m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = - 8 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x lÇn lît b»ng x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp. Bµi tËp 5: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 2)x + 2m2 + 3m = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m lÇn lît b»ng c¸c gi¸ trÞ: m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = - 8 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x lÇn lît b»ng x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp. Bµi tËp 6: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -1vµ m = 3 b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = 4 c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt d) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = x2 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT Bµi tËp 7: Cho ph¬ng tr×nh : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - 1 = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -2 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm d) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = 2x2 Bµi tËp 8: Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 - 6x + (m +7) = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -3 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 4 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt d) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm e) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = - 2x2 Bµi tËp 9: Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 4 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm d) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = 3x2 Bµi tËp 10: BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m + 1 )x + m2 + 5m - 2 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm x = 1. T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 11: BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x2 - 2(3m + 1 )x + 2m2 - 2m - 5 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm x = -1 . T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 12: BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x2 - (6m + 1 )x - 3m2 + 7 m - 2 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm x = 1. T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 13: Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m + 1 )x + m2 - 3m + 3 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm x = -1. T×m nghiÖm cßn l¹i. Bµi tËp 14: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - mx + 2m - 3 = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = - 5 b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu d)T×m hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo m e) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt Bµi tËp 15: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 3 b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 2 c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m e) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt f) Khi ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -1 t×m gi¸ trÞ cña m vµ t×m nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 16:Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = - 2 b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 2. T×m nghiÖm cßn l¹i c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2 2 d) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 vµ x2 th¶o m·n: x1 + x2 = 8 2 2 e) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x1 + x2 Bµi tËp 17: Cho ph¬ng tr×nh: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0 a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hiÖu hai nghiÖm b»ng 2 d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1vµ x2 kh«ng phô thuéc m Bµi tËp 18: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña a b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo a 2 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhËt cña biÓu thøc A = x1 + x2 Bµi tËp 19: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2 2 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x1. x2 - x1 - x2 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT GI ẢI 16x+16 9x+9 4x+4 16- x+1 Bµi tËp 20: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m+4)x + m2 - 8 = 0 a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2 2 b) T×m m ®Ó A = x1 + x2 - x1 - x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt c) T×m m ®Ó B = x1 + x2 - 3x1x2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt 2 2 d) T×m m ®Ó C = x1 + x2 - x1x2 Bµi tËp 21: Cho ph¬ng tr×nh: ( m - 1) x2 + 2mx + m + 1 = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 4 b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu 2 2 c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 vµ x2 tho¶ m·n: A = x1 x2 + x2 x1 d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m Bµi tËp 22: T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó c¸c nghiÖm x1, x2 cña ph¬ng tr×nh 2 2 2 mx - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x1 x2 1 Bµi tËp 23: Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 1 1 x1 x2 nghiÖm x1, x2 ph©n biÖt tho¶ m·n x1 x2 5 Bµi tËp 24: Cho ph¬ng tr×nh: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m lµ tham sè). a) X¸c ®Þnh m ®Ó c¸c nghiÖm x1; x2 cña ph¬ng tr×nh tho¶ m·n x1 + 4x2 = 3 b) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1; x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m Bµi tËp 25: Cho ph¬ng tr×nh x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1) T×m gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh cã (1) cã nghiÖm x1 = 2x2. Bµi tËp 26: Cho ph¬ng tr×nh mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. Khi ®ã trong hai nghiÖm, nghiÖm nµo cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n? c) X¸c ®Þnh m ®Ó c¸c nghiÖm x1; x2 cña ph¬ng tr×nh tho¶ m·n: x1 + 4x2 = 3. d) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m. Bµi tËp 27: a) Víi gi¸ trÞ nµo m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhËt mét nghiÖm chung. T×m nghiÖm chung ®ã? x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2) b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) vµ ngîc l¹i. Bµi tËp 28: Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0 2 2 T×m m ®Ó x1 x2 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi tËp 29: Gäi x1; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 Bµi tËp 30: Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0 2 2 T×m m ®Ó x1 x2 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi tËp 31: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - m + (m - 2)2 = 0 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT Bµi tËp 32: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m lµ tham sè). T×m m sao cho 2 2 2 nghiÖm x1; x2 cña ph¬ng tr×nh tho¶ m·n 10x1x2 + x1 x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã. Chñ ®Ò VI HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Định lý Pitago ABC vuông tại A AB2 AC 2 BC 2 2.Hệ thức lượng trong tam giác vuông Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT A B C H 1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC 2) AB.AC = AH.BC 3) AH2 = BH.HC 1 1 1 4) AH2 AB 2 AC 2 Kết quả: a 3 a2 3 -Với tam giác đều cạnh là a, ta có: h ; S 2 4 3.Tỉ số lượng giác của góc nhọn Đặt ACB ;  ABC  khi đó: AB AH AC HC AB AH AC HC sin ;cos ;tg ;cotg BC AC BC AC AC HC AB AH b asinB acosC ctgB ccotgC c acosB asinC bctgB btgC Kết quả suy ra: 1)sin  cos; cos  sin; tg cotg;  cotg  tg sin cos 2) 0 sin 1; 0 cos AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh: BC2 a) AB2 AC 2 2AM 2 2 b) AB2 AC 2 2BC.MH VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT a) Chứng minh AC vuông góc với BD. b) Tính diện tích hình thang. VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ADC=700. C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C trên BD, H là hình chiếu của I trên AC. Chứng minh: AH = 3HI. 2.Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và cắt đường thẳng DC ở F. 1 1 1 Chứng minh: AE2 AF 2 a 2 3.Cho tam giác cân ABC có đáy BC = a; BAC = 2 ; 450 . Kẻ các đường cao AE, BF. a) Tính các cạnh của tam giác BFC theo a và tỉ số lượng giác của góc . b) Tính theo a, theo các tỉ số lượng giác của góc và 2 , các cạnh của tam giác ABF, BFC. c) Từ các kết quả trên, chứng minh các đẳng thức sau: 2tg 1) sin 2 2sin cos ; 2) cos2 =cos2 sin 2 ; 3) tg2 1 tg2 Chñ ®Ò VII §6.CHỨNG MINH BẰNG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tam giác bằng nhau A  A';B   B';C   C' a) Khái niệm: ABC A'B'C' khi AB A'B';BC B'C';AC A'C' b) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: c.c.c; c.g.c; g.c.g. c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh huyền và một cạnh góc vuông; cạnh huyền và một góc nhọn. d) Hệ quả: Hai tam giác bằng nhau thì các đường cao; các đường phân giác; các đường trung tuyến tương ứng bằng nhau. 2.Chứng minh hai góc bằng nhau -Dùng hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng, hai góc của tam giác cân, đều; hai góc của hình thang cân, hình bình hành, Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT -Dùng quan hệ giữa các góc trung gian với các góc cần chứng minh. -Dùng quan hệ các góc tạo bởi các đường thẳng song song, đối đỉnh. -Dùng mối quan hệ của các góc với đường tròn.(Chứng minh 2 góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau của một đường tròn, ) 3.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau -Dùng đoạn thẳng trung gian. -Dùng hai tam giác bằng nhau. -Ứng dụng tính chất đặc biệt của tam giác cân, tam giác đều, trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, hình thang cân, hình chữ nhật, -Sử dụng các yếu tố của đường tròn: hai dây cung của hai cung bằng nhau, hai đường kính của một đường tròn, -Dùng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, 4.Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng song song -Dùng mối quan hệ giữa các góc: So le bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau, -Dùng mối quan hệ cùng song song, vuông góc với đường thẳng thứ ba. -Áp dụng định lý đảo của định lý Talet. -Áp dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt, đường trung bình của tam giác. -Dùng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau của một đường tròn. 5.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc -Chứng minh chúng song song với hai đường vuông góc khác. -Dùng tính chất: đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. -Dùng tính chất của đường cao và cạnh đối diện trong một tam giác. -Đường kính đi qua trung điểm của dây. -Phân giác của hai góc kề bù nhau. 6.Chứng minh ba điểm thẳng hàng -Dùng tiên đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d thì A, B, C thẳng hàng. -Áp dụng tính chất các điểm đặc biệt trong tam giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, -Chứng minh 2 tia tạo bởi ba điểm tạo thành góc bẹt: Nếu góc ABC bằng 1800 thì A, B, C thẳng hàng. -Áp dụng tính chất: Hai góc bằng nhau có hai cạnh nằm trên một đường thẳng và hai cạnh kia nằm trên hai nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng trên. -Chứng minh AC là đường kính của đường tròn tâm B. 7.Chứng minh các đường thẳng đồng quy -Áp dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác. -Chứng minh các đường thẳng cùng đi qua một điểm: Ta chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm và chứng minh đường thẳng còn lại đi qua điểm đó. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT -Dùng định lý đảo của định lý Talet Chñ ®Ò VII §8.CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG HỆ THỨC HÌNH HỌC A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tam giác đồng dạng A  A';B   B';C   C' -Khái niệm: ABC A'B'C' khi AB AC BC A'B' A'C' B'C' -Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g. -Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền - cạnh góc vuông *Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng. 2.Phương pháp chứng minh hệ thức hình học -Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD -Chứng minh hai tam giác MAC và MDB đồng dạng hoặc hai tam giác MAD và MCB. -Trong trường hợp 5 điểm đó cùng nằm trên một đường thẳng thì cần chứng minh các tích trên cùng bằng tích thứ ba. Nếu cần chứng minh MT2 = MA.MB thì chứng minh hai tam giác MTA và MBT đồng dạng hoặc so sánh với tích thứ ba. Ngoài ra cần chú ý đến việc sử dụng các hệ thức trong tam giác vuông; phương tích của một điểm với đường tròn. Chñ ®Ò §10.CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương pháp chứng minh -Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm. -Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau. -Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau. -Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với góc trong đối diện bù nhau. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT -Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nột tiếp. (Trong đó M AB  CD;N AD  BC ) -Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp. (Trong đó P AC  BD ) -Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta có thể chứng minh lần lượt 4 điểm một lúc. Song cần chú ý tính chất “Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một đường tròn” D¹ng V Bµi tËp H×nh tæng hîp C©u IV(3,5®): HN Cho ®êng trßn (O;R) vµ ®iÓm A n»m bªn ngoµi ®êng trßn. KÎ tiÕp tuyÕn AB, AC víi ®êng trßn (B, C lµ c¸c tiÕp ®iÓm). 1/ Chøng minh ABOC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2/ Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC vµ OA. Chøng minh BE vu«ng gãc víi OA vµ OE.OA = R2. 3/ Trªn cung nhá BC cña ®êng trßn (O;R) lÊy ®iÓm K bÊt kú (K kh¸c B vµ C). TiÕp tuyÕn t¹i K cña ®êng trßn (O;R) c¾t AB, AC theo thø tù t¹i P, Q. Chøng minh tam gi¸c APQ cã chu vi kh«ng ®æi khi K chuyÓn ®éng trªn cung nhá BC. 4/ §êng th¼ng qua O vµ vu«ng gãc víi OA c¾t c¸c ®êng th¼ng AB, AC theo thø tù t¹i c¸c ®iÓm M, N. Chøng minh PM + QN ≥ MN. C©u V: (4,0®) C tho Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, cã AB = 14, BC = 50. §êng ph©n gi¸c cña gãc ABC vµ ®êng trung trùc cña c¹nh AC c¾t nhau t¹i E. 1. Chøng minh tø gi¸c ABCE néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. X¸c ®Þnh t©m O cña ®êng trßn nµy. 2. TÝnh BE. 3. VÏ ®êng kÝnh EF cña ®êng trßn t©m (O). AE vµ BF c¾t nhau t¹i P. Chøng minh c¸c ®êng th¼ng BE, PO, AF ®ång quy. 4. TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn t©m (O) n»m ngoµi ngò gi¸c ABFCE. Bµi 4: (2,75®) hue Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R. VÏ tiÕp tuyÕn d víi ®êng trßn (O) t¹i B. Gäi C vµ D lµ hai ®iÓm tuú ý trªn tiÕp tuyÕn d sao cho B n»m gi÷a C vµ D. C¸c tia AC vµ AD c¾t (O) lÇn lît t¹i E vµ F (E, F kh¸c A). 1. Chøng minh: CB2 = CA.CE 2. Chøng minh: tø gi¸c CEFD néi tiÕp trong ®êng trßn t©m (O’). 3. Chøng minh: c¸c tÝch AC.AE vµ AD.AF cïng b»ng mét sè kh«ng ®æi. TiÕp tuyÕn cña (O’) kÎ tõ A tiÕp xóc víi (O’) t¹i T. Khi C hoÆc D di ®éng trªn d th× ®iÓm T ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh nµo? Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT C©u V: HCM Cho tam gi¸c ABC (AB<AC) cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O) cã t©m O, b¸n kÝnh R. Gäi H lµ giao ®iÓm cña ba ®êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC. Gäi S lµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC. a) Chóng minh r»ng AEHF vµ AEDB lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn. b) VÏ ®êng kÝnh AK cña ®êng trßn (O). Chøng minh tam gi¸c ABD vµ tam gi¸c AKC ®ång d¹ng víi nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD vµ S = AB BC CA . 4R c) Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh EFDM lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn. d) Chøngminh r»ng OC vu«ng gãc víi DE vµ (DE + EF + FD).R = 2 S. Baøi 4: (4,00 ñieåm) KH Cho ñöôøng troøn (O; R). Töø moät ñieåm M naèm ngoaøi (O; R) veõ hai tieáp tuyeán MA vaø MB (A, B laø hai tieáp ñieåm). Laáy ñieåm C baát kì treân cung nhoû AB (Ckhaùc vôùi A vaø B). Goïi D, E, F laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa C treân AB, AM, BM. a. Chöùng minh AECD laø moät töù giaùc noäi tieáp. b. Chöùng minh: CDE CBA c. Goïi I laø giao ñieåm cuûa AC vaø ED, K laø giao ñieåm cuûa CB vaø DF. Chöùng minh IK//AB. d. Xaùc ñònh vò trí ñieåm C treân cung nhoû AB ñeå (AC2 + CB2) nhoû nhaát. Tính giaù trò nhoû nhaát ñoù khi OM = 2R. Bài 4: Cho đường tròn tâm O có các đường kính CD, IK (IK không trùng CD) 1. Chứng minh tứ giác CIDK là hình chữ nhật 2. Các tia DI, DK cắt tiếp tuyến tại C của đường tròn tâm O thứ tự ở G; H c. Chứng minh 4 điểm G, H, I, K cùng thuộc một đường tròn. d. Khi CD cố định, IK thay đổỉ, tìm vị trí của G và H khi diện tích tam giác DỊJ đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 4: (3 điểm) BÌNH ĐỊNH Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), I là trung điểm của BC, M là 1 điểm trên đoạn CI (M khác C và I). Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD tại P và cắt DC tại Q. a. Chứng minh DM . AI = MP . IB Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT b. Tính tỉ số Baøi 4: (3,0 ñieåm) BÌNH ÑÒNH Ñeà chính thöùc Cho tam giaùc vuoâng ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB. Keùo daøi AC (veà phía C) ñoaïn CD sao cho CD = AC. 1. Chöùng minh tam giaùc ABD caân. 2. Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AC taïi A caét ñöôøng troøn (O) taïi E. Keùo daøi AE (veà phía E) ñoaïn EF sao cho EF = AE. Chöùng minh raèng ba ñieåm D, B, F cuøng naèm treân moät ñöôøng thaúng. 3. Chöùng minh raèng ñöôøng troøn ñi qua ba ñieåm A, D, F tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (O). Bài 4 (4.0 điểm ) QUẢNG NAM Cho đường tròn tâm (O) ,đường kính AC .Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K ( K nằm giữa A và O).Lấy điểm E trên cung nhỏ CD ( E không trùng C và D), AE cắt BD tại H. c) Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp. d) Chứng minh rằng AD2 = AH . AE. e) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi của hình tròn (O). f) Cho góc BCD bằng α . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam giác MBC cân tại M .Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O). Bµi 3. nam ®Þnh ( 3,0 ®iÓm) Cho ®êng trßn (O; R) Vµ ®iÓmA n»m ngoµi (O; R) .§êng trßn ®êng kÝnh AO c¾t ®êng trßn (O; R) T¹i M vµ N. §êng th¼ng d qua A c¾t (O; R) t¹i B vµ C ( d kh«ng ®i qua O; ®iÓm B n»m gi÷a A vµ C). Gäi H nlµ trung ®iÓm cña BC. 1) Chøng minh: AM lµ tiÕp tuyÕn cña (O; R) vµ H thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AO. 2) §êng th¼ng qua B vu«ng gãc víi OM c¾t MN ë D. Chøng minh r»ng: a) Gãc AHN = gãc BDN b) §êng th¼ng DH song song víi ®êng th¼ng MC. c) HB + HD > CD C©u IV: (3,0®). NghÖ An Cho ®êng trßn (O;R), ®êng kÝnh AB cè ®Þnh vµ CD lµ mét ®- êng kÝnh thay ®æi kh«ng trïng víi AB. TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O;R) t¹i B c¾t c¸c ®êng th¼ng AC vµ AD lÇn lît t¹i E vµ F. 1. Chøng minh r»ng BE.BF = 4R2. 2. Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp ®êng trßn. 3. Gäi I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c CEFD. Chøng minh r»ng t©m I lu«n n»m trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh. Bµi 5. (3,0 ®iÓm) QUẢNG NINH Cho ®iÓm M n»m ngoµi ®êng trßn (O;R). Tõ M kÎ hai tiÕp tuyÕn MA , MB ®Õn ®êng trßn (O;R) ( A; B lµ hai tiÕp ®iÓm). Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT a) Chøng minh MAOB lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AMB nÕu cho OM = 5cm vµ R = 3 cm. c) KÎ tia Mx n»m trong gãc AMO c¾t ®êng trßn (O;R) t¹i hai ®iÓm C vµ D ( C n»m gi÷a M vµ D ). Gäi E lµ giao ®iÓm cña AB vµ OM. Chøng minh r»ng EA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED. Bài 3 : (3 điểm) HẢI PHÒNG Cho tam giác ABC vuông tại A .Một đường tròn (O) đi qua B và C cắt các cạnh AB , AC của tam giác ABC lần lượt tại D và E ( BC không là đường kính của đường tròn tâm O).Đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại K . 1.Chứng minh ADE ACB . 2.Chứng minh K là trung điểm của DE. 3.Trường hợp K là trung điểm của AH .Chứng minh rằng đường thẳng DE là tiếp tuyến chung ngoài của đường tròn đường kính BH và đường tròn đường kính CH. Bài 4: (3,5 điểm) KIÊN GIANG Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Trên tia đối của AB lấy điểm C sao cho BC = R, trên đường tròn lấy điểm D sao cho BD = R, đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt tia AD ở M. a) Chứng minh tứ giác BCMD là tứ giác nội tiếp . b) Chứng minh tam giác ABM là tam giác cân . c) Tính tích AM.AD theo R . d) Cung BD của (O) chia tam giác ABM thành hai hần. Tính diện tích phần của tam giác ABM nằm ngoài (O) . Bài 5 : (3,5 điểm) AN GIANG Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB và dây CD vuông góc với nhau (CA < CB). Hai tia BC và DA cắt nhau tại E. Từ E kẻ EH vuông góc với AB tại H ; EH cắt CA ở F. Chứng minh rằng : 1/ Tứ giác CDFE nội tiếp được trong một đường tròn. 2/ Ba điểm B , D , F thẳng hàng. 3/ HC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 4 (3,5 điểm) THÁI BÌNH Cho đường tròn (O; R) và A là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT 1) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp. 2) Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA=R2. 3) Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự tại các điểm P và Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC. 4) Đường thẳng qua O, vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại các điểm M, N. Chứng minh PM + QN ≥ MN. Bài 4. (3,5 điểm) THÁI BÌNH Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và K. 1. Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn; 2. Tính CHK ; 3. Chứng minh KH.KB = KC.KD; 1 1 1 4. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh . AD2 AM 2 AN 2 Câu 8:( 3,0 điểm). VĨNH PHÚC Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm giữa A và B. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P ( P khác I) a, Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp một đường tròn, chỉ rõ đường tròn này. b, Chứng minh CIP PBK . c, Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích tứ giác ABKI lớn nhất. Bài 4 (3,5 điểm) THANH HÓA Cho nửa đương tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia BA lấy điểm G (khác với điểm B) . Từ các điểm G; A; B kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) . Tiếp tuyến kẻ từ G cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A avf B lần lượt tại C và D. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT 1. Gọi N là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác BDNO nội tiếp được. CN DN 2. Chứng minh tam giác BGD đồng dạng với tam giác AGC, từ đó suy ra . CG DG 3. Đặt BOD Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và . Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc R, không phụ thuộc . Bài 3. ( 3,5 điểm ) ĐÀ NẲNG Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I 2 nằm giữa A và O sao cho AI = AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm 3 tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn. b) Chứng minh ∆AME ∆ACM và AM2 = AE.AC. c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2. d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Câu 4 : PHÚ YÊN ( 2,5 điểm ) Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R . Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC a) Chứng minh tứ giác : CBMD nội tiếp được b) Chứng minh rằng : DB.DC = DN.AC c) Xác định vị trí của điểm D để diện tích hình bình hành ABCD có diện tích lớn nhất và tính diện tích trong trường hợp này Bµi 4: (3,0 ®iÓm) hƯng yªn Cho A lµ mét ®iÓm trªn ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R. Gäi B lµ ®iÓm ®èi xøng víi O qua A. KÎ ®êng th¼ng d ®i qua B c¾t ®êng trßn (O) t¹i C vµ D (d kh«ng ®i qua O, BC < BD). C¸c tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) t¹i C vµ D c¾t nhau t¹i E. Gäi M lµ giao ®iÓm cña OE vµ CD. KÎ EH vu«ng gãc víi OB (H thuéc OB). Chøng minh r»ng: a) Bèn ®iÓm B, H,M, E cïng thuéc mét ®êng trßn. b) OM.OE = R2 c) H lµ trung ®iÓm cña OA. Bài 5 (3,5 điểm). QUẢNG TRỊ Cho tam giác ABC có góc A bằng 600, các góc B, C nhọn. vẽ các đường cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE. a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. b/ Chứng minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB. DE c/ Tính tỉ số . BC d/ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA vuông góc với DE. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT Câu 5 (3,5 điểm) QUẢNG TRỊ Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R. Từ A kẻ đường thẳng (d) không đi qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại B và C ( B nằm giữa A và C). Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D. Từ D kẻ DH vuông góc với AO (H nằm trên AO), DH cắt cung nhỏ BC tại M. Gọi I là giao điểm của DO và BC. 1. Chứng minh OHDC là tứ giác nội tiếp được. 2. Chứng minh OH.OA = OI.OD. 3. Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn (O). 4. Cho OA = 2R. Tính theo R diện tích của phần tam giác OAM nằm ngoài đường tròn (O). C©u IV : (3,0 ®iÓm) H¶i d Ư¬ng Cho ®êng trßn (O), d©y AB kh«ng ®i qua t©m. Trªn cung nhá AB lÊy ®iÓm M (M kh«ng trïng víi A, B). KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i H. KÎ MK vu«ng gãc víi AN K AN . 1) Chøng minh: Bèn ®iÓm A, M, H, K thuéc mét ®êng trßn. 2) Chøng minh: MN lµ ph©n gi¸c cña gãc BMK. 3) Khi M di chuyÓn trªn cung nhá AB. Gäi E lµ giao ®iÓm cña HK vµ BN. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó (MK.AN + ME.NB) cã gi¸ trÞ lín nhÊt. Câu 4:(3 điểm) H¶i D¬ng chÝnh thøc Cho tam giác MNP cân tại M có cậnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn ( O;R). Tiếp tuyến tại N và P của đường tròn lần lượt cắt tia MP và tia MN tại E và D. a) Chứng minh: NE2 = EP.EM b) Chứng minh tứ giác DEPN kà tứ giác nội tiếp. c) Qua P kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt đường tròn (O) tại K ( K không trùng với P). Chứng minh rằng: MN2 + NK2 = 4R2. Bµi 4: Hµ Giang (3,0 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp trong ®êng trßn t©m O, ba ®êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC c¾t nhau ë H. KÐo dµi AO c¾t ®êng trßn t¹i M, AD c¾t ®êng trßn O ë K ( K kh¸c A, M kh¸c A). Chøng minh r»ng : a, MK song song BC. b, DH = DK. c, HM ®i qua trung ®iÓm I cña BC. Bài 4: (3 điểm) BÌNH THUẬN Cho tam giác ABC vuông tại A có các cạnh AB = 4,5 cm; AC = 6 cm. 1/ Tính độ dài đường cao AH và diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2/ Trên cạnh AC lấy điểm M và vẽ đường tròn (O) đường kính MC, BM cắt (O) tại D; DA cắt (O) tại S; (O) cắt BC tại N. Chứng minh: a/ Các tứ giác ABCD, ABNM nội tiếp. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT b/ CA là phân giác góc SCB. Câu 4: (3đ) Long An Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt (O) tại P,Q.Tiếp tuyến tại D trên cung nhỏ BP, cắt PQ ở E; AD cắt PQ tại F .Chứng minh: a/ Tứ giác BCFD là tứ giác nội tiếp. b/ED=EF c/ED2=EP.EQ C©u 6: (3,0 ®iÓm) B¾c Ninh Cho nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB. Tõ ®iÓm M trªn tiÕp tuyÕn Ax cña nöa ®- êng trßn vÏ tuyÕp tuyÕn thø hai MC(C lµ tiÕp ®iÓm). H¹ CH vu«ng gãc víi AB, ®êng th¼ng MB c¾t ®êng trßn (O) t¹i Q vµ c¾t CH t¹i N. Gäi giao ®iÓm cña MO vµ AC lµ I. Chøng minh r»ng: a/ Tø gi¸c AMQI néi tiÕp. b/ AQI ACO c/ CN = NH. C©u V:(3,0 ®iÓm) B¾c giang 1/ Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp ®êng trßn t©m O. C¸c ®êng cao BH vµ CK tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i ®iÓm I. KÎ ®êng kÝnh AD cña ®êng trßn t©m O, c¸c ®o¹n th¼ng DI vµ BC c¾t nhau t¹i M.Chøng minh r»ng. a/Tø gi¸c AHIK néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. b/OM  BC. 2/Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A,c¸c ®êng ph©n gi¸c trong cña go¸c B vµ gãc C c¾t c¸c c¹nh AC vµ AB lÇn lît t¹i D vµ E. Gäi H lµ giao ®iÓm cña BD vµ CE, biÕt AD=2cm, DC= 4 cm tÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng HB. C©u V:(3,0 ®iÓm) B¾c giang Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB cè ®Þnh. H thuéc ®o¹n th¼ng OA( H kh¸c A;O vµ trung ®iÓm cña OA). KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i H. MN c¾t AK t¹i E. 1. Chøng minh tø gi¸c HEKB néi tiÕp. 2. Chøng minh tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c AKM. 3. Cho ®iÓm H cè ®Þnh, x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña K ®Ó kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MKE nhá nhÊt. Bài 4: (3,5 điểm) ĐĂK LĂK Cho tam giác vuông cân ADB ( DA = DB) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Dựng hình bình hành ABCD ; Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AC ; K là giao điểm của AC với đường tròn (O). Chứng minh rằng: Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT 1/ HBCD là một tứ giác nội tiếp. 2/ DOK 2.BDH 3/ CK. CA 2.BD2 Bµi 4 (3,5®iÓm) B×NH D¦¥NG Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB cã b¸n kÝnh R, tiÕp tuyÕn Ax. Trªn tiÕp tuyÕn Ax lÊy ®iÓm F sao cho BF c¾t ®êng trßn t¹i C, tia ph©n gi¸c cña gãc ABF c¾t Ax t¹i E vµ c¾t ®êng trßn t¹i D . a) Chøng minh OD // BC . b) Chøng minh hÖ thøc : BD.BE = BC.BF . c) Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp. d) X¸c ®Þnh sè ®o cña gãc ABC ®Ó tø gi¸c AOCD lµ h×nh thoi. TÝnh diÖn tÝch h×nh thoi AOCD theo R . Bµi 4 (3,0 ®iÓm): qu¶ng b×nh Cho tam gi¸c PQR vu«ng c©n t¹i P. Trong gãc PQR kÎ tia Qx bÊt kú c¾t PR t¹i D (D kh«ng trïng víi P vµ D kh«ng trïng víi R). Qua R kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi Qx t¹i E. Gäi F lµ giao ®iÓm cña PQ vµ RE. d) Chøng minh tø gi¸c QPER néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. e) Chøng minh tia EP lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DEF f) TÝnh sè ®o gãc QFD. g) Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng QE. Chøng minh r»ng ®iÓm M lu«n n»m trªn cung trßn cè ®Þnh khi tia Qx thay ®æi vÞ trÝ n»m gi÷a hai tia QP vµ QR Bài 4: (4,0 điểm) ÐẠI HỌC TÂY NGUYÊN Cho tam giác ABC ( AB  CEH +  CDH = 1800 2. Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. 5. X¸c ®Þnh t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. Lêi gi¶i: XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT A N 1 E P F 1 2 O H - 1 ( B D 2 ( C - M Mµ  CEH vµ  CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®êng cao => BE  AC => BEC = 900. CF lµ ®êng cao => CF  AB => BFC = 900. Nh vËy E vµ F cïng nh×n BC díi mét gãc 900 => E vµ F cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC. VËy bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn. XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã:  AEH =  ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung AE AH => AEH  ADC => => AE.AC = AH.AD. AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã:  BEC =  ADC = 900 ; C lµ gãc chung BE BC => BEC  ADC => => AD.BC = BE.AC. AD AC 4. Ta cã C1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC) C2 = A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => C1 =  C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB  HM => CHM c©n t¹i C => CB còng lµ ®¬ng trung trùc cña HM vËy H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. 5. Theo chøng minh trªn bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn => C1 = E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp C1 = E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD) E1 = E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED. Chøng minh t¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t nhau t¹i H do ®ã H lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE.  CEH = 900 ( V× BE lµ ®êng cao) 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . 2. Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 1 3. Chøng minh ED = BC. 2 4. Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O). 5. TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Lêi gi¶i: XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT A 1 O 1 2 E H 3 B 1 D C  CDH = 900 ( V× AD lµ ®êng cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mµ  CEH vµ  CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2. Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®êng cao => BE  AC => BEA = 900. AD lµ ®êng cao => AD  BC => BDA = 900. Nh vËy E vµ D cïng nh×n AB díi mét gãc 900 => E vµ D cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AB. VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 3. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®êng cao nªn còng lµ ®êng trung tuyÕn => D lµ trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã BEC = 900 . 1 VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE = BC. 2 V× O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iÓm cña AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => E1 = A1 (1). 1 Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => E = B (2) 2 3 1 Mµ B1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 0 0 Mµ E1 + E2 = BEA = 90 => E2 + E3 = 90 = OED => DE  OE t¹i E. VËy DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) t¹i E. 5. Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32  ED = 4cm Bµi 3 Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn lît ë C vµ D. C¸c ®êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i N. 1. Chøng minh AC + BD = CD. y 0 2. Chøng minh COD = 90 . x D 2 AB / 3. Chøng minh AC. BD = . I 4 M 4. Chøng minh OC // BM / 5. Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®êng kÝnh CD. C N 6. Chøng minh MN  AB. 7. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Lêi gi¶i: A O B Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ AOM vµ BOM lµ hai gãc kÒ bï => COD = 900. Theo trªn COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM  CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM. DM, AB2 Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = . 4 Theo trªn COD = 900 nªn OC  OD .(1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cña BM => BM  OD .(2). Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD). Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD ta cã I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c COD ®êng kÝnh CD cã IO lµ b¸n kÝnh. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC  AB; BD  AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang. L¹i cã I lµ trung ®iÓm cña CD; O lµ trung ®iÓm cña AB => IO lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang ACDB => IO // AC , mµ AC  AB => IO  AB t¹i O => AB lµ tiÕp tuyÕn t¹i O cña ®êng trßn ®êng kÝnh CD CN AC CN CM 6. Theo trªn AC // BD => , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy ra BN BD BN DM => MN // BD mµ BD  AB => MN  AB. 7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy ra chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mµ AB kh«ng ®æi nªn chu vi tø gi¸c ACDB nhá nhÊt khi CD nhá nhÊt , mµ CD nhá nhÊt khi CD lµ kho¶ng c¸ch gi÷ Ax vµ By tøc lµ CD vu«ng gãc víi Ax vµ By. Khi ®ã CD // AB => M ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AB. Bµi 4 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK. A 1. Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 2. Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O). 3. TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Lêi gi¶i: (HD) 1. V× I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp I gãc A nªn BI vµ BK lµ hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï ®Ønh B 1 0 1 Do ®ã BI  BK hayIBK = 90 . B 2 C H 0 T¬ng tù ta còng cã ICK = 90 nh vËy B vµ C cïng n»m trªn o ®êng trßn ®êng kÝnh IK do ®ã B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn. Ta cã C1 = C2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cña gãc ACH. 0 0 K C2 + I1 = 90 (2) ( v× IHC = 90 ). I1 =  ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O) 0 Tõ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 90 hay AC  OC. VËy AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O). Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. AH2 = AC2 – HC2 => AH = 20 2 12 2 = 16 ( cm) CH 2 122 CH2 = AH.OH => OH = = 9 (cm) AH 16 OC = OH 2 HC 2 92 122 225 = 15 (cm) Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT Bµi 5 Cho ®êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB. 1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. d 2. Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét A P ®êng trßn . K D 2 2 3. Chøng minh OI.OM = R ; OI. IM = IA . N 4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. H O M 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng. I 6. T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®êng th¼ng d Lêi gi¶i: C (HS tù lµm). V× K lµ trung ®iÓm NP nªn OK  NP ( quan hÖ ®êng kÝnh B Vµ d©y cung) => OKM = 900. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900; OBM = 900. nh vËy K, A, B cïng nh×n OM díi mét gãc 900 nªn cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OM. VËy n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cña AB => OM  AB t¹i I . Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ ®êng cao. ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; vµ OI. IM = IA2. 4. Ta cã OB  MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA  MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi. 5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH  AB; còng theo trªn OM  AB => O, H, M th¼ng hµng( V× qua O chØ cã mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB). 6. (HD) Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng di ®éng nhng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®êng th¼ng d lµ nöa ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH = R Bµi 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH. VÏ ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i D c¾t CA ë E. 1. Chøng minh tam gi¸c BEC c©n. E D 2. Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH. 3. Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (A; AH). 4. Chøng minh BE = BH + DE. A Lêi gi¶i: (HD) I AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2). 1 V× AB CE (gt), do ®ã AB võa lµ ®êng cao võa lµ ®êng trung tuyÕn 2 B H C cña BEC => BEC lµ tam gi¸c c©n. => B1 = B2 2. Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH. 3. AI = AH vµ BE  AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I. 4. DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bµi 7 Cho ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M. X 1. Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn. N J P 2. Chøng minh BM // OP. 1 3. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng I minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. M 4. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng. K Lêi gi¶i: (HS tù lµm). 2 A 1 ( 1 ( Ta cã  ABM néi tiÕp ch¾n cung AM;  AOM lµ gãc ë t©m O B AOM ch¾n cung AM =>  ABM = (1) OP lµ tia ph©n gi¸c  AOM 2 AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) =>  AOP = (2) 2 Tõ (1) vµ (2) =>  ABM =  AOP (3) Mµ  ABM vµ  AOP lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra BM // OP. (4) XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); NOB = 900 (gt NOAB). => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Tõ (4) vµ (5) => OBNP lµ h×nh b×nh hµnh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau). Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON  AB => ON  PJ Ta còng cã PM  OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c POJ. (6) DÔ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã PAO = AON = ONP = 900 => K lµ trung ®iÓm cña PO ( t/c ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt). (6) AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => APO =  NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c APM => APO = MPO (8). Tõ (7) vµ (8) => IPO c©n t¹i I cã IK lµ trung tuyÕn ®«ng thêi lµ ®êng cao => IK  PO. (9) Tõ (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng. Bµi 8 Cho nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K. 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. X 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB. I 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. F 5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn. Lêi gi¶i: M 1. Ta cã : AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => KMF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). H E 0 AEB = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) K => KEF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). 1 2 2 0 => KMF + KEF = 180 . Mµ KMF vµ KEF lµ hai gãc ®èi 1 cña tø gi¸c EFMK do ®ã EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. A O B Ta cã IAB = 900 ( v× AI lµ tiÕp tuyÕn ) => AIB vu«ng t¹i A cã AM  IB ( theo trªn). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao => AI2 = IM . IB. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lÝ do ) => ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF. (1) Theo trªn ta cã AEB = 900 => BE  AF hay BE lµ ®êng cao cña tam gi¸c ABF (2). Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B . BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B cã BE lµ ®êng cao nªn ®ång thêi lµ ®¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña AF. (3) Tõ BE  AF => AF  HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c HAK (5) Tõ (4) vµ (5) => HAK lµ tam gi¸c c©n. t¹i A cã AE lµ ®êng cao nªn ®ång thêi lµ ®¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña HK. (6). Tõ (3) , (4) vµ (6) => AKFH lµ h×nh thoi ( v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng). (HD). Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FH hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang. §Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn th× AKFI ph¶i lµ h×nh thang c©n. AKFI lµ h×nh thang c©n khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB. ThËt vËy: M lµ trung ®iÓm cña cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ). (7) Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ABI = 450 => AIB = 450 .(8) Tõ (7) vµ (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI lµ h×nh thang c©n (h×nh thang cã hai gãc ®¸y b»ng nhau). VËy khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB th× tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn. Bµi 9 Cho nöa ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx vµ lÊy hai ®iÓm C vµ D thuéc nöa ®êng trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E). 1. Chøng minh AC. AE kh«ng ®æi. 2. Chøng minh  ABD =  DFB. 3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Lêi gi¶i: X C thuéc nöa ®êng trßn nªn ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng E trßn ) => BC  AE. ABE = 900 ( Bx lµ tiÕp tuyÕn ) => tam gi¸c ABE vu«ng t¹i B cã BC lµ ®êng cao => AC. AE = AB2 (hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao ), mµ AB lµ ®êng kÝnh nªn AB = 2R kh«ng ®æi do ®ã AC. AE kh«ng ®æi. C ADB cã ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ). D F => ABD + BAD = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800)(1) ABF cã ABF = 900 ( BF lµ tiÕp tuyÕn ). => AFB + BAF = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800) (2) Tõ (1) vµ (2) => ABD = DFB ( cïng phô víi BAD) A O B Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ABD + ACD = 1800 . ECD + ACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) => ECD = ABD ( cïng bï víi ACD). Theo trªn ABD = DFB => ECD = DFB. Mµ EFD + DFB = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) nªn suy ra ECD + EFD = 1800, mÆt kh¸c ECD vµ EFD lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CDFE do ®ã tø gi¸c CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi 10 Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®êng trßn sao cho AM < MB. Gäi M’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua AB vµ S lµ giao ®iÓm cña hai tia BM, M’A. Gäi P lµ ch©n ®¬ng vu«ng gãc tõ S ®Õn AB. Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT 1. Chøng minh bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn S 2. Gäi S’ lµ giao ®iÓm cña MA vµ SP. Chøng minh r»ng tam gi¸c 1 PS’M c©n. M 3. Chøng minh PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn . 1 2 3 Lêi gi¶i: 0 0 4 ( ) 1 1 1. Ta cã SP  AB (gt) => SPA = 90 ; AMB = 90 ( néi tiÕp ch¾n P ) B 3 ( 2 H O nöa ®êng trßn ) => AMS = 900 . Nh vËy P vµ M cïng nh×n AS A díi mét gãc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AS. VËy bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn. M' 2. V× M’®èi xøng M qua AB mµ M n»m trªn ®êng trßn nªn M’ còng 1 n»m trªn ®êng trßn => hai cung AM vµ AM’ cã sè ®o b»ng nhau S' => AMM’ = AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1) Còng v× M’®èi xøng M qua AB nªn MM’  AB t¹i H => MM’// SS’ ( cïng vu«ng gãc víi AB) => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (v× so le trong) (2). => Tõ (1) vµ (2) => AS’S = ASS’. Theo trªn bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn => ASP=AMP (néi tiÕp cïng ch¾n AP ) => AS’P = AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P. 3. Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => B1 = S’1 (cïng phô víi S). (3) Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => S’1 = M1 (4) Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => B1 = M3 (5). 0 Tõ (3), (4) vµ (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 mµ M3 + M2 = AMB = 90 nªn suy 0 ra M1 + M2 = PMO = 90 => PM  OM t¹i M => PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i M Bµi 11. Cho tam gi¸c ABC (AB = AC). C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i c¸c ®iÓm D, E, F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh : 1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. BD BM 2. DF // BC. 3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp. 4. CB CF Lêi gi¶i: A 1. (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ADF = AFD s® cung DF DEF => DF // BC. AB AC I 3. DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã  B = C (v× tam gi¸c ABC c©n) => BDFC lµ h×nh thang c©n do ®ã BDFC néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn . B M E C 4. XÐt hai tam gi¸c BDM vµ CBF Ta cã  DBM = BCF ( hai gãc ®¸y cña tam gi¸c c©n). BDM = BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI);  CBF = BFD (v× so le) => BDM = CBF . BD BM => BDM  CBF => CB CF Bµi 12 Cho ®êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất