›
›
›

Đề cương Ôn tập môn Hình học không gian Lớp 11

docx 30 trang nhatle22 1840
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương Ôn tập môn Hình học không gian Lớp 11", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxde_cuong_on_tap_mon_hinh_hoc_khong_gian_lop_11.docx

Nội dung text: Đề cương Ôn tập môn Hình học không gian Lớp 11

  1. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 Hỡnh Học Khụng Gian 11. Cõu 1: (3,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh bằng a và SA  (ABCD). a) Chứng minh BD  SC. b) Chứng minh (SAB)  (SBC). a 6 c) Cho SA = . Tớnh gúc giữa SC và mặt phẳng (ABCD). 3 1 S 0,25 B A O D C ABCD là hỡnh vuụng nờn AC  BD (1) 0,25 SA  (ABCD) SA  BD (2) 0,25 Từ (1) và (2) BD  (SAC) BD  SC 0,25 b) BC  AB (ABCD là hỡnh vuụng) (3) 0,25 SA  (ABCD) SA  BC (4) 0,25 Từ (3) và (4) BC  (SAB) 0,25 (SAB)  (SBC) 0,25 c) SA  (ABCD) hỡnh chiếu của SC trờn (ABCD) là AC 0,25 Gúc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là Sã CA 0,25 a 6 SA 3 0,25 tan SC,(ABCD) tan Sã CA 3 AC a 2 3 Sã CA 300 0,25 Cõu 2: (3,0 điểm) Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A B C cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại C, CA = a, CB = b, mặt bờn AA B B là hỡnh vuụng. Từ C kẻ CH  AB , HK // A B (H AB , K AA ). a) Chứng minh rằng: BC  CK, AB  (CHK). b) Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng (AA B B) và (CHK). c) Tớnh khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (CHK).
  2. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 2 a) Chứng minh rằng: BC  CK, AB  (CHK). BC  AC, BC  AA BC  (AA C C) BC  CK AB  A B, KH P A'B KH  AB',CH  AB' AB'  (CHK) b) Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng (AA B B) và (CHK). Cú AB'  (CHK), AB'  (AA'B'B) (AA'B'B)  (CHK) ((AA'B'B),(CHK)) 900 c) Tớnh khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (CHK). Ta đó cú AB'  (CHK)(cmt) tại H nờn d(A,(CHK)) AH AC  BC(gt),CC '  AC(gt : lt) AC  (CC 'B'B) AC  CB' AB AC2 BC2 a2 b2 , AB' AB 2 2a2 2b2 Trong ACB’ vuụng tại C: CH  AB AC2 AH.AB AC2 a2 a2 AH AB' AB 2 2(a2 b2 ) Cõu 3: (3,0 điểm) Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A B C cú AB = BC = a, AC = a 2 . a) Chứng minh rằng: BC  AB . b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh (BC M)  (ACC A ). c) Tớnh khoảng cỏch giữa BB và AC . 3 A B M C 0,25 A’ B’ C’
  3. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 a) Tam giỏc ABC cú AABCB2 BvuụngC2 2 tạia2 B (a 2)2 AC2 0,25 BC  AB,BC  BB'(gt) BC  (AA'B'B) BC  AB' 0,50 b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh (BC M)  (ACC A ). *) Tam giỏc ABC cõn tại B, MA = MC 0,50 BM  AC,BM  CC '(CC '  (ABC)) BM  (AA'C 'C) BM  (BC ' M) (BC ' M)  (ACC ' A') 0,50 c) Tớnh khoảng cỏch giữa BB và AC . 0,50 BB // (AA C C) d(BB , AC ) d(BB ,(AA C C)) d(B,(AA C C)) AC a 2 BM  (AA C C) d(B,(AA C C)) BM 0,50 2 2 Cõu 4: (3,0 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD và tam giỏc đều SAB cạnh bằng a, nằm trong hai mặt phẳng vuụng gúc với nhau. Gọi I là trung điểm của AB. a) Chứng minh tam giỏc SAD vuụng. b) Xỏc định và tớnh độ dài đoạn vuụng gúc chung của SD và BC. c) Gọi F là trung điểm của AD. Chứng minh (SID)  (SFC). Tớnh khoảng cỏch từ I đến (SFC). 4 a) Chứng minh tam giỏc SAD vuụng. (SAB)  (ABCD),(SAB)(ABCD) AB, SI  AB SI  (ABCD) AD  AB AD  (SAB) AD  SA SAD vuụng tại A AD  SI b) Xỏc định và tớnh độ dài đoạn vuụng gúc chung của SD và BC. *) BC P AD BC P (SAD) MN,BQ AD P *) Gọi M,N,Q lần lượt là trung điểm cỏc cạnh SA, SD, BC 1 MN BQ AD 2 MNQB là hỡnh bỡnh hành NQ P MB AD  (SAB) AD  MB mà BC//AD, NQ//MB nờn BC  NQ AD  MB , MB  SA MB  (SAD) MB  SD NQ  SD Vậy NQ là đoạn vuụng gúc chung của BC và SD
  4. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 a 3 a 3 Tam giỏc SAB đều cạnh a (gt) nờn MB = d(BC,SD) NQ 2 2 c) Gọi F là trung điểm của AD. Chứng minh (SID)  (SFC). Tớnh khoảng cỏch từ I đến (SFC). a 3 Tam giỏc SAB đều cạnh a nờn SI 2 ả à à à 0 ả à 0 AID DFC (cgc) D1 C1 ,C1 F1 90 D1 F1 90 ID  CF mặt khỏc CF  SI CF  (SIK) (SID)  (SFC) Hạ IH  SK d(I,(SFC)) IH AD.FD a 5 a 5 a 5 3a 5 KFD : AID KD ,IK ID KD ID 5 2 5 10 1 100 1 1 1 4 20 32 IK 2 45a2 IH 2 SI 2 IK 2 3a2 9a2 9a2 9a2 3a 32 IH 2 IH 32 32 Cõu 5: (3,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, SA  (ABCD). a) Chứng minh: (SAB)  (SBC). b) Chứng minh: BD  (SAC). a 6 c) Cho SA = . Tớnh gúc giữa SC và mặt phẳng (ABCD). 3
  5. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 5 a) Chứng minh: (SAB)  (SBC). BC  AB, BC  SA BC  (SAB) BC  (SBC) (SBC)  (SAB) b) Chứng minh: BD  (SAC) BD  AC, BD  SA BD  (SAC) c) a 6 Cho SA = . Tớnh gúc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) 3 Vỡ SA  (ABCD) AC là hỡnh chiếu của SC trờn (ABCD) ãSC,(ABCD) ãSC, AC Sã CA SA a 6 1 tan Sã CA ãSC,(ABCD) Sã CA 300 AC 3a 2 3 Cõu 6: (3,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, SA vuụng gúc với đỏy, SA = a 2 . a) Chứng minh rằng cỏc mặt bờn hỡnh chúp là những tam giỏc vuụng. b) Chứng minh rằng: (SAC)  (SBD) . 3) Tớnh gúc giữa SC và mp (SAB) . 6
  6. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 a) Chứng minh rằng cỏc mặt bờn hỡnh chúp là những tam giỏc vuụng. SA  AB SA  (ABCD) cỏc tam giỏc SAD và SAB đều vuụng tại A SA  AD CD  AD CD  SD SDC vuụng tại D CD  SA BC  AB BC  SB SBC vuụng tại B BC  SA b) Chứng minh rằng: (SAC)  (SBD) . BD  AC BD  (SAC) BD  SA BD  (SBD), BD  (SAC) (SAC)  (SBD) c) Tớnh gúc giữa SC và mp (SAB) . SA  (ABCD) hỡnh chiếu của SC trờn (ABCD) là AC (ãSC,(ABCD)) (ãSC, AC) Sã CA SAC vuụng tại A nờn , AC = a 2,SA a 2 gt Sã CA 450 Cõu 7: (3,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật, AB = a, AD = a 3 , SD=a 7 và SA  (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. a) Chứng minh rằng cỏc mặt bờn của hỡnh chúp là cỏc tam giỏc vuụng. b) Tớnh gúc hợp bởi cỏc mặt phẳng (SCD) và (ABCD). c) Tớnh khoảng cỏch từ S đến mặt phẳng (MND). Cõu 7: (3,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật, AB = a, AD = a 3 , SD=a 7 và SA  (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. 0,25 a) Chứng minh rằng cỏc mặt bờn của hỡnh chúp là cỏc tam giỏc vuụng. SA  AB 0,25 SA  ABCD cỏc tam giỏc SAB, SAD vuụng tại A SA  AD
  7. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 BC  AB BC  SB SBC vuụng tại B 0,25 BC  SA CD  AD CD  SD SDC vuụng tại D 0,25 CD  SA b) Tớnh gúc hợp bởi cỏc mặt phẳng (SCD) và (ABCD). (SCD)(ABCD) CD 0,50 AD  (ABCD), AD  CD , SD  (SCD), SD  CD AD a 3 21 (SCD),(ABCD) Sã DA; cosSã DA 0,50 SD a 7 7 c) Tớnh khoảng cỏch từ S đến mặt phẳng (MND). AB  SA 0,25 AB  (SAD), MN P AB MN  (SAD) AB  AD (MND)  (SAD), (MND)(SAD) DM, SH  DM SH  (MND) 0,25 d(S,(MND)) SH SA AD a 3 SA2 SD2 AD2 7a2 3a2 4a2 MA a tan SãMH 3 2 AM a 0,25 Ã MH 600 a 3 SHM : SãHM 900 SH SM.sin SãMH 0,25 2 Cõu 8: (3,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng ABCD cạnh a, tõm O. Cạnh SA = a và SA (ABCD). Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn cỏc cạnh SB và SD. a) Chứng minh BC  (SAB), CD  (SAD). b) Chứng minh (AEF)  (SAC). c) Tớnh tan với là gúc giữa cạnh SC với (ABCD). 8 a) Vỡ SA  (ABCD) SA  BC, BC  AB BC  (SAB) 0,50 SA  (ABCD) SA  CD, CD  AD CD  (SAD) 0,50 b) SA  (ABCD), SA a , cỏc tam giỏc SAB, SAD vuụng cõn FE là 0,25 đường trung bỡnh tam giỏc SBD FE P BD
  8. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 BD  AC FE  AC,SA  (ABCD) BD  SA FE  SA 0,50 FE  (SAC), FE  (AEF) (SAC)  (AEF) 0,25 c) SA  (ABCD) nờn AC là hỡnh chiếu của SC trờn (ABCD) Sã CA 0,50 SA a 1 tan 450 0,50 AC a 2 2 Cõu 9: (3,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a; SA  (ABCD), SA a 2 . Gọi M và N lần lượt là hỡnh chiếu của điểm A trờn cỏc đường thẳng SB và SD. a) Chứng minh rằng MN // BD và SC  (AMN). b) Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giỏc AMKN cú hai đường chộo vuụng gúc. c) Tớnh gúc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD). 9 a) SN SM SAD SAB , AN  SD, AM  SB MN P BD 0,25 SD SB                SC.AN AC AS .AN AD AB AS .AN AD.AN AB.AN AS.AN      0,25 AD AS .AN SD.AN 0 SC  AN                SC.AM AC AS .AM AD AB AS .AM AD.AM AB.AM AS.AM      0,25 AB AS .AM SD.AM 0 SB  AM Vậy SC  (AMN) 0,25 b) SA  (ABCD) SA  BD, AC  BD BD  (SAC) BD  AK  (SAC) 0,50 AK  (AMN) ,MN // BD MN  AK 0,50 c) SA  (ABCD) AC là hỡnh chiếu của SC trờn (ABCD) SC,(ABCD) ãSCA 0,50 SA a 2 tanãSCA 1 SC,(ABCD) 450 0,50 AC a 2 Cõu 10: (3,0 điểm) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy bằng 2a, đường cao SO = a 3 . Gọi I là trung điểm của SO. a) Tớnh khoảng cỏch từ I đến mặt phẳng (SCD). b) Tớnh gúc giữa cỏc mặt phẳng (SBC) và (SCD). c) Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AC và SD.
  9. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 10 0,25 a) Gọi M, N lõn lượt là trung điểm của CD và CB. S.ABCD là hỡnh chúp tứ giỏc đều nờn cú: OM  CD, SM  CD CD  0,25 (SOM) Vẽ OK  SM OK  CD OK (SCD) (*) I là trung điểm SO, H là trung điểm SK IH // OK IH  (SCD) ( ) 0,25 OK Từ (*) và ( ) ta suy ra IH = 2 1 1 1 4 a 3 a 3 OK d(I,(SCD)) IH 0,25 OK 2 OM 2 SO2 3a2 2 4 b) SMC SNC (c.c.c) MQ  SC NQ  SC 0,25 (SCD)(SCB) SC ((SCD),(SCB)) Mã QN 0,25 SM 2 OM 2 SO2 a2 3a2 4a2 1 1 1 1 1 5 4a2 0,25 SMC : MQ2 MQ2 MS2 MC2 4a2 a2 4a2 5 MQ2 NQ2 MN 2 1 cos Mã QN = Mã QN 1200 0,25 MQ.NQ 2 c) AC  BD, AC SO  (SBD) (do SO(ABCD)) AC(SBD). 0,50 Trong SOD hạ OP  SD thỡ cũng cú OP AC 1 1 1 1 1 5 a 30 d(AC,BD) OP 0,50 OP2 SO2 OD2 3a2 2a2 6a2 5 Cõu 11: (3,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh bằng a, SA  (ABC), SA = a 3 . a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC  (SAM). b) Tớnh gúc giữa cỏc mặt phẳng (SBC) và (ABC). c) Tớnh khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (SBC).
  10. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 11 0,25 a) Tam giỏc ABC đều, M BC, MB MC AM  BC (1) 0,25 SAC SAB c.g.c SBC cõn tại S SM  BC (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra BC  (SAM) 0,25 b) (SBC) (ABC) = BC, SM  BC cmt , AM  BC 0,50 ((SBC),(ABC)) SãMA 0,25 a 3 SA AM = ,SA a 3 gt tan SãMA 2 0,25 2 AM c) Vỡ BC  (SAM) (SBC)  (SAM) 0,25 (SBC)(SAM) SM, AH  (SAM), AH  SM AH  (SBC) 0,25 d(A,(SBC)) AH, 0,25 2 2 3a 2 2 3a . 1 1 1 SA .AM a 3 AH 2 AH 4 0,25 AH 2 SA2 AM 2 SA2 AM 2 3a2 5 3a2 4 Cõu 12: (3,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B, SA vuụng gúc với đỏy. a) Chứng minh tam giỏc SBC vuụng. b) Gọi H là chõn đường cao vẽ từ B của tam giỏc ABC. Chứng minh (SAC)  (SBH). c) Cho AB = a, BC = 2a. Tớnh khoảng cỏch từ B đến mặt phẳng (SAC).
  11. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 12 0,25 a) SA  (ABC) BC  SA, BC  AB (gt) BC  (SAB) BC  SB 0,50 Vậy tam giỏc SBC vuụng tại B 0,25 b) SA  (ABC) BH  SA, mặt khỏc BH  AC (gt) nờn BH  (SAC) 0,50 BH  (SBH) (SBH)  (SAC) 0,50 c) Từ cõu b) ta cú BH  (SAC) d(B,(SAC)) BH 1 1 1 0,50 BH 2 AB2 BC2 AB2BC2 2 10 BH 2 BH 0,50 AB2 BC2 5 5 Cõu 13: (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD cú AB, AC, AD đụi một vuụng gúc với nhau. Gọi H là chõn đường cao vẽ từ A của tam giỏc ACD. a) Chứng minh: CD  BH. b) Gọi K là chõn đường cao vẽ từ A của tam giỏc ABH. Chứng minh AK  (BCD). c) Cho AB = AC = AD = a. Tớnh cosin của gúc giữa (BCD) và (ACD). 13 a) 0,25
  12. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 a) AB  AC, AB  AD AB  (ACD) AB  CD (1) 0,25 AH  CD (2). Từ (1) và (2) CD  (AHB) CD  BH 0,50 b) AK BH, AK  CD (do CD  (AHB) (cmt) 0,50 AK (BCD) 0,50 c) Ta cú AH  CD, BH  CD (BCD),(ACD) ãAHB 0,25 CD a 2 Khi AB = AC = AD = a thỡ AH = 0,25 2 2 a2 a 6 BH = AB2 AH 2 a2 0,25 2 2 ã AH 1 cos AHB 0,25 BH 3 Cõu 14: (3,0 điểm) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC. a) Chứng minh AC  SD. b) Chứng minh MN  (SBD). c) Cho AB = SA = a. Tớnh cosin của gúc giữa (SBC) và (ABCD). 14 0,25 a) ABCD là hỡnh vuụng ACBD (1) 0,50
  13. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 S.ABCD là chúp đều nờn SO(ABCD) SO  AC (2) Từ (1) và (2) AC  (SBD) AC  SD 0,25 b) Từ giả thiết M, N là trung điểm cỏc cạnh SA, SC nờn MN // AC (3) 0,50 AC  (SBD) (4). Từ (3) và (4) MN  (SBD) 0,50 c) Vỡ S.ABCD là hỡnh chúp tứ giỏc đều và AB = SA = a nờn SBC đều cạnh 0,25 a. Gọi K là trung điểm BC OK  BC và SK  BC (SBC),(ABCD) ãSKO 0,25 a a 3 Tam giỏc vuụng SOK cú OK = , SK = 0,25 2 2 a ã OK 2 1 cos cosSKO 0,25 SK a 3 3 2 Cõu 15: (3,0 điểm) Cho tam giỏc đều ABC cạnh bằng a. Trờn đường thẳng vuụng gúc với mặt phẳng (ABC) tại B, ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng AI  (MBC). b) (1,0 điểm) Tớnh gúc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC). c) (1,0 điểm) Tớnh khoảng cỏch từ điểm B đến mặt phẳng (MAI). 15 a) M H I B C A a Tam giỏc ABC đều cạnh a , IB = IC = AI  BC (1) 2 BM  (ABC) BM AI (2) Từ (1) và (2) ta cú AI  (MBC) b) BM  (ABC) BI là hỡnh chiếu của MI trờn (ABC) MB ãMI,(ABC) Mã IB, tan Mã IB 4 IB c) AI (MBC) (cmt) nờn (MAI)  (MBC) MI (MAI)(MBC) BH  MI BH  (MAI) d(B,(MAI)) BH
  14. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 1 1 1 1 4 17 2a 17 BH BH 2 MB2 BI 2 4a2 a2 4a2 17 Cõu 16: (3 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng tõm O cạnh a, SA = SB = SC = SD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SO. Kẻ OP vuụng gúc với SA. a) CMR: SO  (ABCD), SA  (PBD). b) CMR: MN  AD. c) Tớnh gúc giữa SA và mp (ABCD). d) CMR: 3 vec tơ BD, SC, MN đồng phẳng. Cõu 16: a) CMR: SO  (ABCD), SA  (PBD). S SO  AC, SO  BD SO  (ABCD). BD  AC, BD  SO BD  (SAC) BD  SA (1) E OP  SA, OP  (PBD) (2) D N F Từ (1) và (2) ta suy ra SA  (PBD). P C b) CMR: MN  AD. Đỏy ABCD là hỡnh vuụng nờn OB = OC, mà OB và OC lần lượt là hỡnh chiếu của NB và NC trờn O M (ABCD) NB = NC NBC cõn tại N, lại cú M là trung điểm BC (gt) A B MN  BC MN  AD (vỡ AD // BC) c) Tớnh gúc giữa SA và mp (ABCD). SO  (ABCD) nờn AO là hỡnh chiếu của SA trờn (ABCD) Vậy gúc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) là ãSAO . a 2 AO 2 cosãSAO 2 SA  2a 4 d) CMR: 3 vec tơ BD, SC, MN đồng phẳng. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SD và DC, dễ thấy EN, FM, FE lần lượt là cỏc đường trung bỡnh của cỏc tam giỏc SDO, CBD, DSC nờn đồng thời cú EN // BD, FM// BD, FE // SC và cũng từ đú ta cú M, M, E, F đồng phẳng.    MN  (MNEF), BD // (MNEF), SC // (MNEF) BD,SC, MN đồng phẳng. Cõu 17: (3 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng ABCD cạnh bằng a, a 6 SA  (ABCD) , SA . 2 1) Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAB) vuụng gúc với mặt phẳng (SBC). 2) Tớnh khoảng cỏch từ A đến đường thẳng SC. 3) Tớnh gúc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD). Cõu 17:
  15. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 S 1) CMR: (SAB)  (SBC). SA  (ABCD) SA  BC, BC  AB BC  (SAB), BC  (SBC) (SAB) (SBC) 2) Tớnh khoảng cỏch từ A đến đường thẳng SC. H Trong tam giỏc SAC cú AH  SC 1 1 1 2 2 8 B d A,SC AH A AH 2 SA2 OA2 3a2 a2 3a2 O a 6 AH D C 4 3) Tớnh gúc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD). Vỡ ABCD là hỡnh vuụng nờn AO  BD, SO  BD (SBD)(ABCD) BD ((SBD),(ABCD)) Sã OA a 6 SA Tam giỏc SOA vuụng tại A tan Sã OA 2 3 (SBD),(ABCD) 600 OA a 2 2 BC  AB ( ABC vuụng tại B) 4.a BC  SA (SA  (ABC)) (1đ) BC  (SAB) AB là hỡnh chiếu của SB trờn (ABC) ãSB,(ABC) ãSB, AB ãSBA 4.b SA a 3 (1đ) tanãSBA 3 ãSBA 600 AB a Kết luận: ãSB,(ABC) 600 AM  SB (AM là đường cao tam giỏc SAB) 4.c AM  BC (BC  (SAB)) (1đ) AM  (SBC) (AMN)  (SBC) Bài 18: Cho hỡnh chúp S.ABC cú cỏc mặt bờn (SAB), (SAC) cựng vuụng gúc với (ABC), tam giỏc ABC vuụng cõn tại C. AC = a, SA = x. a) Xỏc định và tớnh gúc giữa SB và (ABC), SB và (SAC). b) Chứng minh (SAC)  (SBC) . Tớnh khoảng cỏch từ A đến (SBC). c) Tinh khoảng cỏch từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB). d) Xỏc định đường vuụng gúc chung của SB và AC Bài 18: a) Xỏc định và tớnh gúc giữa SB và (ABC), SB và (SAC). (SAB)  (ABC) và SAC)  (ABC) nờn SA (ABC) AB là hỡnh chiếu của SB trờn (ABC)
  16. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 SA x ã SB,(ABC) ã SB, AB ãSBA tanãSBA AB a 2 BC  AC, BC  SA nờn BC  (SAC) SC là hỡnh chiếu của SB trờn (SAC) BC a ã SB,(SAC) ã SB,SC ãBSC tanãBSC SC a2 x2 b) Chứng minh (SAC)  (SBC) . Tớnh khoảng cỏch từ A đến (SBC). Theo chứng minh trờn ta cú BC  (SAC) (SBC)  (SAC) Hạ AH  SC AH  BC (do BC  (SAC). Vậy AH  (SBC) d(A,(SBC)) AH . 1 1 1 1 1 ax AH 2 2 2 2 2 AH SA AC x a x2 a2 c) Tớnh khoảng cỏch từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB). AH Gọi K là trung điểm của BH OK // AH OK  (SBC) và OK = 2 ax d(O,(SBC) OK . 2 x2 a2 S S P H K A O B A B Q C C d) Xỏc định đường vuụng gúc chung của SB và AC Dựng mặt phẳng ( ) đi qua AC và vuụng gúc với SB tại P CP SB và AP  SB. Trong tam giỏc PAC hạ PQ  AC PQ  SB vỡ SB  ( PAC). Như vậy PQ là đường vuụng gúc chung của SB và AC. Bài 19: Cho tứ diện ABCD cú tam giỏc ABC là tam giỏc đều cạnh a, AD vuụng gúc với BC, AD = a và khoảng cỏch từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH. 1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuụng gúc với mặt phẳng (ADH) và DH = a. 2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuụng gúc với D mặt phẳng (ABC). 3) Tớnh khoảng cỏch giữa AD và BC. Bài 19: 1) CMR: BC  (ADH) và DH = a. ABC đều, H là trung điểm BC nờn AH  BC, AD  BC K BC  (ADH) BC  DH DH = d(D, BC) = a A B I H C
  17. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 2) CMR: DI  (ABC). AD = a, DH = a DAH cõn tại D, mặt khỏc I là trung điểm AH nờn DI  AH BC  (ADH) BC  DI DI  (ABC) 3) Tớnh khoảng cỏch giữa AD và BC. Trong ADH vẽ đường cao HK tức là HK  AD (1) Mặt khỏc BC  (ADH) nờn BC  HK (2) Từ (1) và (2) ta suy ra d(AD,BC) HK Xột DIA vuụng tại I ta cú: 2 a 3 a2 a DI AD2 AI 2 a2 2 4 2 1 1 Xột DAH ta cú: S = AH .DI = AD. H K 2 2 a 3 a . AH.DI a 3 d(AD,BC) HK 2 2 AD a 4 Bài 20: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi tõm O cạnh a, ãBAD 600 , SO  (ABCD), a 13 SB SD . Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE. 4 a) Chứng minh: (SOF) vuụng gúc (SBC). b) Tớnh khoảng cỏch từ O và A đến (SBC). c) Gọi ( ) là mặt phẳng qua AD và vuụng gúc (SBC). Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp bị cắt bởi ( ). Tớnh gúc giữa ( ) và (ABCD). Bài 20: S a) Chứng minh: (SOF) vuụng gúc (SBC). CBD đều, E là trung điểm BC nờn DE  BC C' BED cú OF là đường trung bỡnh nờn OF//DE, DE  BC OF  BC (1) B' SO  (ABCD) SO  BC (2) Từ (1) và (2) BC  (SOF) Mà BC  (SBC) nờn (SOF) (SBC). D K H C b) Tớnh khoảng cỏch từ O và A đến (SBC). Vẽ OH  SF; (SOF)  (SBC), (SOF)(SBC) SF, OH  SF O E OH  (SBC) d(O,(SBC)) OH F A B
  18. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 1 3 a 3 3a OF = . a , SO2 SB2 OB2 SO 2 2 4 4 1 1 1 3a OH OH 2 SO2 OF2 8 Trong mặt phẳng (ACH), vẽ AK// OH với K CH AK  (SBC) d(A,(SBC)) AK 3a 3a AK 2OH AK d(A,(SBC)) 4 4 c) AD  ( ), ( )  (SBC) ( )  (AKD) Xỏc định thiết diện Dễ thấy K ( ),K (SBC) K ( )  (SBC). Mặt khỏc AD // BC, AD  (SBC) nờn ( )(SBC) K , P BC Gọi B' B C  //S BCB,C ' B C S//C AD Vậy thiết diện của hỡnh chúp S.ABCD bị cắt bời ( ) là hỡnh thang AB’C’D SO  (ABCD), OF là hỡnh chiếu của SF trờn (ABCD) nờn SF  BC SF  AD (*) SF  OH, OH P AK SF  AK ( ) Từ (*) và ( ) ta cú SF  ( ) SF  ( ), SO  (ABCD) ã ( ),(ABCD) ã(SF,SO) ãOSF a 3 OF 1 tanãOSF 4 ã ( ),(ABCD) 300 SO 3a 3 4 3 Bài 21: Cho tứ diện S.ABC cú ABC đều cạnh a, SA  (ABC), SA a . Gọi I là trung điểm 2 BC. a) Chứng minh: (SBC) vuụng gúc (SAI). b) Tớnh khoảng cỏch từ A đến (SBC). c) Tớnh gúc giữa (SBC) và (ABC). Bài 21: S a) Chứng minh: (SBC) vuụng gúc (SAI). SA  (ABC) SA  BC, AI BC BC  (SAI) (SBC)  (SAI) b) Tớnh khoảng cỏch từ A đến (SBC). H Vẽ AH  SI (1) . BC  (SAI) BC  AH (2) Từ (1) và (2) AH  (SBC) nờn d( A,(SBC)) = AH A B I 1 1 1 4 4 16 3a C AH AH 2 AI 2 SA2 9a2 3a2 9a2 4 c) Tớnh gúc giữa (SBC) và (ABC).
  19. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 (SBC)(ABC) BC, AI  BC , SI  BC ã (SBC),(ABC) ảSIA 3 a SA tanảSIA 2 3 ảSIA 600 IA a 3 2 a 3 Bài 22: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi tõm O cạnh a, OB , 3 SO  (ABCD), SB a . a) Chứng minh: SAC vuụng và SC vuụng gúc với BD. b) Chứng minh: (SAD)  (SAB), (SCB)  (SCD). c) Tớnh khoảng cỏch giữa SA và BD. Bài 22: S a) Chứng minh: S vuụngAC + 3a2 6a2 a 6 SO2 SB2 OB2 a2 SO2 SO 9 9 3 H . I 3a2 a 6 + OA OC BC2 OB2 a2 SO K 9 3 A . tam giỏc SAC vuụng tại S. B Chứng minh SC  BD O BD  SO, BD  AC BD  (SAC) BD D C  SC. b) Chứng minh: (SAD)  (SAB), (SCB)  (SCD). Gọi H là trung điểm của SA. 2a 3 SA a 3 SA OA 2 OH 3 2 3 OH OB OD HBD vuụng tại H DH  BH (1) SOA vuụng cõn tại O, H là trung điểm của SA OH  SA (2) SO  (ABCD) SO  BD, mặt khỏc AC  BD BD  (SAC) SA  BD (3) Từ (2) và (3) ta suy ra SA  (HBD) SA  HD (4) Từ (1) và (4) ta suy ra DH  (SAB), mà DH (SAD) nờn (SAD)  (SAB) Gọi I là trung điểm của SC dễ thấy OI = OH = OB = OD IBD vuụng tại I ID  BI (5)
  20. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 6a2 3a2 SD SO2 OD2 a CD DSC cõn tại D, IS = IC nờn ID  SC 9 9 (6) Từ (5) và (6) ta suy ra ID  (SBC), mà ID  (SCD) nờn (SBC)  (SCD). c) Tớnh khoảng cỏch giữa SA và BD. a 3 OH  SA, OH  BD nờn d(SA,BD) OH . 3 Bài 23: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, SA = a, SA vuụng gúc với (ABCD). Gọi I, K là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn SB, SD. a) Chứng minh cỏc mặt bờn hỡnh chúp là cỏc tam giỏc vuụng. b) Chứng minh: (SAC) vuụng gúc (AIK). c) Tớnh gúc giữa SC và (SAB). d) Tớnh khoảng cỏch từ A đến (SBD). Bài 23: a) Chứng minh cỏc mặt bờn hỡnh chúp là cỏc tam giỏc S vuụng. SA (ABCD) nờn SA BC, AB  BC (gt) BC  (SAB) BC  SB SBC vuụng tại I B. SA  (ABCD) SA  CD, CD  AD (gt) K H CD  (SAD) CD  SD SCD vuụng B tại D A SA  (ABCD) nờn SA  AB, SA  AD O cỏc tam giỏc SAB và SAD đều vuụng tại A. D C b) Chứng minh: (SAC) vuụng gúc (AIK). SA  (ABCD) SA  BD, BD  AC BD  (SAC) SAB và SAD vuụng cõn tại A, AK  SA và AI  SB nờn I và K là cỏc trung điểm của AB và AD IK//BD mà BD  (SAC) nờn IK  (SAC) (AIK)  (SAC) c) Tớnh gúc giữa SC và (SAB). CB  AB (từ gt),CB  SA (SA  (ABCD)) nờn CB  (SAB) hỡnh chiếu của SC trờn (SAB) là SB SC,(SAB) SC,SB ãCSB BC Tam giỏc SAB vuụng cõn cú AB = SA = a SB a 2 tanãCSB 2 SB d) Tớnh khoảng cỏch từ A đến (SBD). Hạ AH  SO , AH  BD do BD  (SAC) AH  (SBD) 1 1 1 1 2 3 a AH AH 2 SA2 AO2 a2 a2 a2 3
  21. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 a 3 d A, SBD 3 Cõu 24: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, SA  (ABCD) và SA a 6 . 1) Chứng minh : BD  SC, (SBD)  (SAC) . 2) Tớnh khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (SBD). 3) Tớnh gúc giữa SC và (ABCD) Cõu 24: a) Chứng minh : BD  SC,(SBD)  (SAC) . ABCD là hỡnh vuụng nờn BD  AC, BD SA (SA  (ABCD)) BD  (SAC) BD SC (SBD) chứa BD  (SAC) nờn (SBD)  (SAC) b) Tớnh d(A,(SBD)) Trong SAO hạ AH  SO, AH  BD (BD (SAC)) nờn AH  (SBD) a 2 AO , SA = a 6 gt và SAO S 2 vuụng tại A nờn 1 1 1 1 2 13 AH 2 SA2 AO2 6a2 a2 6a2 2 2 6a a 78 H AH AH B 13 13 A c) Tớnh gúc giữa SC và (ABCD) Dế thấy do SA (ABCD) nờn hỡnh O chiếu của SC trờn (ABCD) là AC gúc giữa ã D C SC và (ABCD) là SCA . Vậy ta cú: SA a 6 tanãSCA 3 ãSCA 600 AC a 2 Cõu 25: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA  (ABCD) và ABCD là hỡnh thang vuụng tại A, B . AB = BC = a, ãADC 450 ,SA a 2 . a) Chứng minh cỏc mặt bờn của hỡnh chúp là cỏc tam giỏc vuụng. b) Tớnh gúc giữa (SBC) và (ABCD). c) Tớnh khoảng cỏch giữa AD và SC. Cõu25 : a) CM cỏc mặt bờn là cỏc tam giỏc vuụng. SA  AB SA  ABCD SA  AD SAB và SAD vuụng tại A. BC  AB, BC  SA BC (SAB) BC  SB
  22. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 SBC vuụng tại B 2 2 2 2 2 2 SB SA AB 2a a 3a SC2 SB2 BC2 3a2 a2 4a2 hạ CE  AD CDE vuụng cõn tại E nờn EC = ED = AB = a CD a 2 AD AE ED BC ED 2a SD2 SA2 AD2 6a2 SC2 CD2 4a2 2a2 6a2 SD2 nờn tam giỏc SDC vuụng tại C. b) Tớnh gúc giữa (SBC) và (ABCD) (SBC)(ABCD) BC, SB  BC, AB  BC SA ã(SBC),(ABCD) ãSBA tanãSBA 2. AB c) Tớnh khoảng cỏch giữa AD và SC Ta cú SC  (SBC),BC P AD d(AD,SC) d(A,(SBC)) 1 1 1 AB2.SA2 2a4 6a2 a 6 Hạ AH  SB AH 2 AH . AH 2 AB2 SA2 AB2 SA2 3a2 9 3 a 6 Vậy d AD,SC 3 Bài 26: Cho tứ diện OABC cú OA = OB = OC = a, Ã OB Ã OC 600 , Bã OC 900 . a) Chứng minh rằng ABC là tam giỏc vuụng. b) Chứng minh OA vuụng gúc BC. c) Gọi I, J là trung điểm OA và BC. Chứng minh IJ là đoạn vuụng gúc chung OA và BC. Bài 26: a) CMR: ABC vuụng. O OA = OB = OC = a, ãAOB ãAOC 600 nờn AOB và AOC đều cạnh a (1) I Cú ãBOC 900 BOC vuụng tại O và BC a 2 (2) ABC cú A C 2 AB2 AC2 a2 a2 2a2 a 2 BC2 J tam giỏc ABC vuụng tại A B b) CM: OA vuụng gúc BC. J là trung điểm BC, ABC vuụng cõn tại A nờn AJ  BC . OBC vuụng cõn tại O nờn OJ  BC BC  OAJ OA  BC c) Từ cõu b) ta cú IJ  BC ABC OBC (c.c.c) AJ OJ (3) Từ (3) ta cú tam giỏc JOA cõn tại J, IA = IO (gt) nờn IJ  OA (4) Từ (3) và (4) ta cú IJ là đoạn vuụng gúc chung của OA và BC.
  23. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 Bài 27: Cho tứ diện ABCD cú tam giỏc ABC là tam giỏc đều cạnh a, AD vuụng gúc với BC, AD = a và khoảng cỏch từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH. 1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuụng gúc với mặt phẳng (ADH) và DH = a. 2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuụng gúc với mặt phẳng (ABC). 3) Tớnh khoảng cỏch giữa AD và BC. Bài 27: D 1) CMR: BC  (ADH) và DH = a. ABC đều, H là trung điểm BC nờn AH  BC, AD  BC BC  (ADH) BC  DH DH = d(D, BC) = a 2) CMR: DI  (ABC). K AD = a, DH = a DAH cõn tại D, mặt khỏc I là trung điểm AH nờn DI  AH BC  (ADH) BC  DI A B DI  (ABC) I 3) Tớnh khoảng cỏch giữa AD và BC. H Trong ADH vẽ đường cao HK tức là HK  AD C (1) Mặt khỏc BC  (ADH) nờn BC  HK (2) Từ (1) và (2) ta suy ra d(AD,BC) HK Xột DIA vuụng tại I ta cú: 2 a 3 a2 a DI AD2 AI 2 a2 2 4 2 1 1 Xột DAH ta cú: S = AH .DI = AD. H K 2 2 a 3 a . AH.DI a 3 d(AD,BC) HK 2 2 AD a 4 Cõu 28 (2,5 điểm) : Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi tõm O cạnh a, ãBAD 600 , đường cao SO = a. a) Gọi K là hỡnh chiếu của O lờn BC. Chứng minh rằng: BC (SOK) b) Tớnh gúc giữa SK và mp(ABCD). c) Tớnh khoảng cỏch giữa AD và SB. Cõu 28: ã 0 S a) AB = AD = a, BAD 60 BđềuAD BD a BC  OK, BC  SO BC  (SOK). b) Tớnh gúc của SK và mp(ABCD) SO  (ABCD) ã SK,(ABCD) ãSKO H F D C 600 O K A B
  24. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 a a 3 BOC cú OB ,OC 2 2 1 1 1 a 3 SO 4 3 OK tanãSKO OK2 OB2 OC2 4 OK 3 c) Tớnh khoảng cỏch giữa AD và SB AD // BC AD // (SBC) d(AD,SB) d(A,(SBC)) Vẽ OF  SK OF  (SBC) Vẽ AH // OF, H CF AH  (SBC) d(AD,SB) d(A,(SBC)) AH . CAH cú OF là đường trung bỡnh nờn AH = 2.OF a 3 1 1 1 a 57 SOK cú OK = , OS = a OF 4 OF2 OS2 OK2 19 2a 57 AH 2OF 19 Cõu 29 (1,5 điểm): Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng tõm O, cạnh a; SA = a 5 SB = SC = SD = . Gọi I và J lần lượt là trung điểm BC và AD. 2 a) Chứng minh rằng: SO (ABCD). b) Chứng minh rằng: (SIJ)  (ABCD). Xỏc định gúc giữa (SIJ) và (SBC). c) Tớnh khoảng cỏch từ O đến (SBC). Cõu 29: a) Vỡ SA = SC nờn SO  AC, SB = SD nờn SO  BD S SO  (ABCD). b) I, J, O thẳng hàng SO  (ABCD). a 5 SO  (ABCD) (SIJ)  (ABCD) 2 BC  IJ, BC  SI BC  (SIJ) (SBC)  (SIJ) H ã 0 A B (SBC),(SIJ) 90 c) Vẽ OH  SI OH  (SBC) d(O,(SBC)) OH J I O a 5 a 2 SOB cú SB , OB D a C 2 2 3a2 1 1 1 SO2 SB2 OB2 SOI cú 4 OH 2 SO2 OI 2 3a2 a 3 OH 2 OH 16 4 Cõu 30: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại B, AB = BC= a 2 , I là trung điểm cạnh AC, AM là đường cao của SAB. Trờn đường thẳng Ix vuụng gúc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a. a) Chứng minh AC  SB, SB  (AMC).
  25. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 b) Xỏc định gúc giữa đường thẳng SB và mp(ABC). c) Xỏc định gúc giữa đường thẳng SC và mp(AMC). Cõu 30: a) AC  BI, AC  SI AC  SB. S SB  AM, SB  AC SB  (AMC) b) SI  (ABC) ãSB,(ABC) ãSBI M AC = 2a BI = a = SI SBI vuụng cõn ãSBI 450 c) SB  (AMC) ã SC,(AMC) ãSCM A I C Tớnh được SB = SC = a 2 = BC SBC đều M là trung điểm của SB ãSCM 300 B Cõu 31: Cho hỡnh chúp đều S.ABCD cú cạnh đỏy bằng a và cạnh bờn bằng 2a. Gọi O là tõm của đỏy ABCD. a) Chứng minh rằng (SAC)  (SBD), (SBD)  (ABCD). b) Tớnh khoảng cỏch từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC). c) Dựng đường vuụng gúc chung và tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau BD và SC. Cõu 31: S SO  (ABCD) a) Vỡ S.ABCD là chúp tứ giỏc đều nờn K AC  BD SO  BD BD  (SAC) (SAC)  (SBD) H AC  BD D C SO  (ABCD) (SBD)  (ABCD) O M SO  (SBD) A B b) Tớnh d(S,(ABCD)) SO  (ABCD) d(S,(ABCD)) SO a 2 7a2 a 14 Xột tam giỏc SOB cú OB ,SB 2a SO2 SA2 OB2 SO 2 2 2 Tớnh d(O,(SBC)) Lấy M là trung điểm BC OM  BC, SM  BC BC  (SOM) (SBC)  (SOM). Trong SOM, vẽ OH  SM OH  (SBC) d(O,(SBC)) OH Tớnh OH: SOM cú a 14 SO 2 2 2 1 1 1 2 OM .OS 7a a 210 2 OH OH a 2 2 2 2 2 30 30 OM OH OM OS OM OS 2 c) Tớnh d(BD,SC)
  26. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 Trong SOC, vẽ OK  SC. Ta cú BD  (SAC) BD  OK OK là đường vuụng gúc chung của BD và SC d(BD,SC) OK . Tớnh OK: a 14 SO 2 2 2 1 1 1 2 OC .OS 7a a 7 SOC cú 2 OK OK a 2 OK2 OC2 OS2 OC2 OS2 16 4 OC 2 Bài 32: Cho hỡnh chúp S. ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a, ãBAD 600 và SA = SB = SD = a. a) Chứng minh (SAC) vuụng gúc với (ABCD). b) Chứng minh tam giỏc SAC vuụng. c) Tớnh khoảng cỏch từ S đến (ABCD). Bài 32: a) Vẽ SH  (ABCD). Vỡ SA = SB = SC = a nờn HA = S HB = HD H là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABD Mặt khỏc ABD cú AB = AD và ãBAD 600 nờn ABD đều. A Do đú H là trọng tõm tam giỏc ABD nờn H D H AO H AC O SH  (SAC) Như vậy, (SAC)  (ABCD) B C SH  (ABCD) b) Ta cú ABD đều cạnh a nờn cú a 3 AO AC a 3 2 Tam giỏc SAC cú SA = a, AC = a 3 2 1 a 3 a2 Trong ABC, ta cú: AH AO AC AH 2 3 3 3 3 a2 2a2 Tam giỏc SHA vuụng tại H cú SH 2 SA2 AH 2 a2 3 3 2 2a 3 4a2 4a2 2a2 HC AC HC2 SC2 HC2 SH 2 2a2 3 3 3 3 3 SA2 SC2 a2 2a2 3a2 AC2 tam giỏc SCA vuụng tại S. a 6 c) SH  (ABCD) d(S,(ABCD)) SH 3 ` Bài 33. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, SA  (ABCD) và SA = 2a. 1) Chứng minh (SAC)  (SBD) ; (SCD)  (SAD) 2) Tớnh gúc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).
  27. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 3) Tớnh d(A, (SCD)); d(B,(SAC)) Bài 33: S 1) BD  AC, BD  SA BD  (SAC) (SBD)  (SAC) CD  AD, CD  SA CD  (SAD) (DCS) H  (SAD) 2) Tỡm gúc giữa SD và mặt phẳng (ABCD) A B SA  (ABCD) ã SD,(ABCD) ãSDA SA 2a O tanãSDA 2 D C AD a Tỡm gúc giữa SB và mặt phẳng (SAD) AB  (ABCD) ãSB,(SAD) ãBSA AB a 1 tanãBSA SA 2a 2 Tỡm gúc giữa SB và mặt phẳng (SAC). BO (SAC) ãSB,(SAC) ãBSO . a 2 3a 2 OB 1 OB , SO tanãBSO 2 2 OS 3 3) Tớnh khoảng cỏch từ A đến (SCD) Trong SAD, vẽ đường cao AH. Ta cú: AH  SD, AH  CD AH  (SCD) d(A,(SCD)) = AH. 1 1 1 1 1 2a 5 2a 5 AH d(A,(SCD)) AH 2 SA2 AD2 4a2 a2 5 5 Tớnh khoảng cỏch từ B đến (SAC) a 2 BO  (SAC) d(B,(SAC)) = BO = 2 Bài 34. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ABC vuụng tại A, gúc àB = 600 , AB = a; hai mặt bờn (SAB) và (SBC) vuụng gúc với đỏy; SB = a. Hạ BH  SA (H SA); BK  SC (K SC). 1) Chứng minh: SB  (ABC) 2) Chứng minh: mp(BHK)  SC. 3) Chứng minh: BHK vuụng . 4) Tớnh cosin của gúc tạo bởi SA và (BHK). Bài 34: S 1) K H B C 600 A
  28. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 SAB  ABC  SBC  ABC  SB  ABC SAB  SBC SB 2) CA  AB, CA  SB CA  (SAB) CA  BH Mặt khỏc: BH  SA BH  (SAC) BH  SC Mà BK  SC SC  (BHK) 3) Từ cõu 2), BH  (SAC) BH  HK BHK vuụng tại H. 4) Vỡ SC  (BHK) nờn KH là hỡnh chiếu của SA trờn (BHK) ãSA,(BHK) ãSA,KH ãSHK Trong ABC, cú: AC AB tanàB a 3; BC2 AB2 AC2 a2 3a2 4a2 SB2 a 5 Trong SBC, cú: SC2 SB2 BC2 a2 4a2 5a2 SC a 5 ; SK SC 5 SB2 a 2 Trong SAB, cú: SH SA 2 3a2 a 30 Trong BHK, cú: HK2 SH 2 SK2 HK 10 10 HK 60 15 cos ãSA,(BHK) cosãBHK SH 10 5 Bài 35. Cho tứ diện OABC cú OA, OB, OC, đụi một vuụng gúc và OA = OB = OC = a, I là trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI)  (ABC). 2) Chứng minh rằng: BC  (AOI). 3) Tớnh gúc giữa AB và mặt phẳng (AOI). 4) Tớnh gúc giữa cỏc đường thẳng AI và OB . Bài 35: 1) OA  OB, OA  OC OA  BC (1) A OBC cõn tại O, I là trung điểm của BC OI  BC (2) Từ (1) và (2) BC  (OAI) (ABC)  (OAI) 2) Từ cõu 1) BC  (OAI) K O ã ã C 3) BC  (OAI) AB,(AOI) BAI BC a 2 I BI B 2 2 BC 3 a 2 3 a 6 ABC đều AI 2 2 2 AI 3 ABI vuụng tại I cosãBAI ãBAI 300 ãAB,(AOI) 300 AB 2 4) Gọi K là trung điểm của OC IK // OB ãAI,OB ãAI,IK ãAIK
  29. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 5a2 AOK vuụng tại O AK2 OA2 OK2 4 6a2 a2 IK 1 A I 2 AIK vuụng tại K IK 2 cosãAIK 4 4 AI 6 Bài 36. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, SA vuụng gúc với đỏy, SA = a 2 . 1) Chứng minh rằng cỏc mặt bờn hỡnh chúp là những tam giỏc vuụng. 2) Chứng minh rằng: (SAC)  (SBD) . 3) Tớnh gúc giữa SC và mp (SAB) . 4) Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) Bài 36. 1) SA  (ABCD) SA  AB, SA  AD S Cỏc tam giỏc SAB, SAD vuụng tại A. BC  SA, BC  AB BC  SB SBC vuụng tại B. CD  SA, CD  AD CD  SD SCD vuụng tại D. A 2) BD  AC, BD  SA BD  (SAC) (SBD)  D (SAC). O 3) BC  (SAB) ãSC,(SAB) ãBSC B C SAB vuụng tại A SB2 SA2 AB2 3a2 SB = a 3 BC 1 SBC vuụng tại B tanãBSC ãBSC 600 SB 3 4) Gọi O là tõm của hỡnh vuụng ABCD. Ta cú: (SBD)(ABCD) BD , SO  BD, AO  BD ã (SBD),(ABCD) ãSOA SA SAO vuụng tại A tanãSOA 2 AO Cõu 37 (1,5 điểm): Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều, SA  (ABC), SA= a. M là một điểm trờn cạnh AB, ãACM , hạ SH  CM. a) Tỡm quỹ tớch điểm H khi M di động trờn đoạn AB. b) Hạ AK  SH. Tớnh SK và AH theo a và . S Cõu 37: a) Tỡm quỹ tớch điểm H khi M di động trờn AB SA  (ABC) AH là hỡnh chiều của SH trờn (ABC). Mà CH  SH nờn CH  AH. AC cố định, ãAHC 900 H nằm trờn đường trũn A K đường kớnh AC nằm trong mp(ABC). C H E M B
  30. Lemanhkt4@gmail.com 0986 116606/ 0945 116606 Mặt khỏc: + Khi M A thỡ H  A + Khi M B thỡ H  E (E là trung điểm của BC). Vậy quĩ tớch cỏc điểm H là cung ẳAHE của đường trũn đường kớnh AC nằm trong mp(ABC). b) Tớnh SK và AH theo a và AHC vuụng tại H nờn AH = AC.sinãACM asin SH 2 SA2 AH 2 a2 a2 sin2 SH a 1 sin2 SA2 a SAH vuụng tại A cú SA2 SK.SH SK SK SH 1 sin2