Đề chọn học sinh giỏi Thị xã môn Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Thị xã Hoàng Mai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề chọn học sinh giỏi Thị xã môn Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Thị xã Hoàng Mai (Có đáp án)

1. UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2022-2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (4,0 điểm) 1. Tính giá trị biểu thức: 1 3 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 , ( + )3 3 3 ( + )4 2 2 ( + )5 Với a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện ab = 1; (a + b) ≠ 0. 2 x x 3x 3 2 x 2 2. Cho biểu thức: A ( ) : ( 1) x 3 x 3 9 x x 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Câu 2. (3,5 điểm) 1. Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3, gồm: ; + ; + 2 . Chứng minh rằng chia hết cho 6. 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x + 7y - 2xy = 17 Câu 3. (4,0 điểm) Giải các phương trình sau: 1. 2 ―6 + 26 = 6 2 + 1 2. ( 2 + 3 ― 4)2 +3( 2 + 3 ― 4) = + 4 Câu 4. (7,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. AD a) Chứng minh: AD.DH DB.DC và tanB.tanC = HD b) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng: sin2 ≤ 2 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và M là điểm di động trên đường thẳng BC (M khác B, C). Hình chiếu của M trên các đường thẳng AB và AC tương ứng là H và K. Gọi I là giao điểm các đường thẳng CH và BK. Chứng minh rằng các đường thẳng MI luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5. (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c sao cho thỏa mãn hệ thức 20 + 11 + 1982 = 2022. 1993 2002 31 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. = ― + ― + ― (trong đó, p là nửa chu vi tam giác ABC) Hết (Thí sinh không dùng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9 Năm học 2022-2023 (Đáp án gồm 04 trang) Môn: TOÁN Câu Nội dung Điểm Câu 1 Ta có 3 + 3 3( 2 + 2) 6 푃 = 3 + 4 + 4 (do a.b = 1) ( + ) ( + ) ( + ) 0,5đ 1.1 ( 3 + 3)( + ) + 3( 2 + 2) + 6 = (2,0 4 ( + ) 0,5đ điểm) ( + )3 ― 3 ( + ) ( + ) + 3 ( + )2 ― 2 + 6 = = 1 ( + )4 0,75 ( 표 = 1) Vậy P = 1 0,25 ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 9 0,25 2 3 + 3 2 ― 2 = ( + + ):( ― 1) + 3 ― 3 9 ― ― 3 3 0,75 1.2 A (2,0 Rút gọn được: x 3 0,5 3 3 ―3 điểm) Với x ≥ 0, ta có: +3 ≥ 3⇒ + 3 ≤ 3 = 1⇒ = + 3 ≥ ―1 0,5 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0 (TMĐK) Vậy GTNN của A là -1 khi x = 0. (Nếu HS sai hoặc thiếu điều kiện trừ 0,25đ) Câu 2 Ta có + ― = là số tự nhiên chẵn, do đó chia hết cho 2. 0,5đ Giả sử không chia hết cho 3. Khi đó = 3푛 + 1 hoặc = 3푛 + 2 (n ∈ ). Vì a là số nguyên tố lớn hơn 3 nên hoặc = 3푡 + 1 hoặc = 3푡 + 2 (푡 ∈ ∗). 0,5đ + Với = 3푡 + 1 (푡 ∈ ∗). Nếu = 3푛 + 1 thì + 2 = 3푡 + 6푛 + 3⋮3, và + 2 > 3 nên + 2 không 2.1 là số nguyên tố (trái gt). (2,0 Nếu = 3푛 + 2 thì + = 3푡 + 3푛 + 3⋮3 và + > 3 nên + không là số điểm) nguyên tố (trái gt). + Với = 3푡 + 2 (푡 ∈ ∗). Nếu = 3푛 + 1 thì + = 3푡 + 3푛 + 3⋮3 và + > 3 nên + không là số nguyên tố (trái gt). Nếu = 3푛 + 2 thì + 2 = 3푡 + 6푛 + 6⋮3 và + 2 > 3 nên + 2 không 0,75đ là số nguyên tố (trái gt). Chứng tỏ chia hết cho 3 và chia hết cho 2 nên chia hết cho 6 0,25đ 2.2 4x 7y 2xy 17 (1,5 (2 y)(2x 7) 3 1,0 điểm) Do x,y nguyên nên có 4 cặp (x,y) thỏa mãn là: (4;-1); (5;1); (2;3); (3;5). 0,5 Câu 3
3. Giải phương trình: 2 ―6 + 26 = 6 2 + 1 1 0,25 ĐK: ≥ ― 2 ↔ ( 2 ― 8 + 16) + (2 + 1 ― 6 2 + 1 + 9) = 0 3.1 0,5 2 2 + 1 2 (2,0 ↔( ― 4) + ( ― 3) = 0 (1) 0,5 2 2 + 1 2 1 điểm) Vì ( ― 4) ≥ 0 푣ớ푖 ọ푖 ; ( ― 3) ≥ 0 푣ớ푖 ọ푖 ≥ ― 2 0.5 ― 4 = 0 (1) ↔ ↔ x = 4 (T/M) 2 + 1 = 3 Vậy S = {4} 0,25 Viết phương trình về dạng 3.2 ( 2 + 3 ― 4)2 +4( 2 + 3 ― 4) = 2 +4 0,5 (2,0 ( 2 + 3 ― 4)2 ― 2 +4 ( 2 + 3 ― 4) ― = 0 điểm) ( 2 + 2 ― 4)( 2 + 4 ) = 0 0,5 ∈ { ―1 ± 5;0; ― 4} 1 Câu 4 A E 0,5 H M C B D F N 1 a) Xét 2 tam giác vuông ADC và BDH có góc DAC = DBH (vì cùng phụ AD.DH DB.DC 0,5 với góc C) nên ta có : 훥 ∼ 훥 ⇒ = (*) AD AD AD2 BD DC BD.DC Ta có tanB = ; tanC = tanB.tanC = (1) 0,5 4.1 2 AD AD (4,0 Từ (*) BD.DC HD (2) 0,5 điểm) AD Từ (1) và (2) tanB.tanC = HD b) Gọi AF là tia phân giác góc A; kẻ BM, CN lần lượt vuông góc với AF A 0,5 BM c.sin Ta có: 2 A A CN b.sin BM CN (b c).sin 0,5 Tương tự 2 do đó 2 Mặt khác ta luôn có: BM CN BF FC BC a A A a a (b c).sin a sin Nên 2 2 b c 2 b.c Dấu “=” xảy ra khi: BM = CN hay tam giác ABC cân tại A. A a sin Vậy: 2 2 bc 4.2 Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. Đường thẳng DI cắt KH tại N. Gọi P là 0,5
4. (3,0 giao điểm của hai đường thẳng HM và DC. điểm) Chứng minh được ∆ = ∆ 퐾 ( . . ) 0,5 Vì ( = , = = 900, = = 퐾) do đó = 퐾 suy ra BK vuông góc với HD (tại E). 0,5 Tương tự ta chứng minh được CH vuông góc KD (tại F). Nên I là trực tâm tam giác HDK, do đó DI vuông góc với KH tại N (1) 0,5 Mặt khác: ∆푃 = ∆ 퐾( . . ) 0,5 Vì ( 푃 = 퐾, 푃 = = 900, 푃 = = ) Do đó 푃 = 퐾 suy ra MD vuông góc với KH (2) Từ (1) và (2) suy ra M, I, D thẳng hàng, nghĩa là đường thẳng MI luôn đi qua 0,5 điểm D cố định. K A C F B D I N M E P H Câu 5 Hs chứng minh được BĐT: với x, y là các số thực dương thì: 1 1 4 + ≥ + 0,5 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = 1993 2002 31 Ta có: = ― + ― + ― = 1982 1 + 1 +11 1 + 1 +20 1 + 1 0,5 ― ― ― ― ― ― 4 4 4 ≥ 1982. + 11. + 20. (1,5 ― + ― ― + ― ― + ― điểm) 1982 11 20 1982 + 11 + 20 2022 = 4 + + = 4. = 4. = 8088 ― = ― = ― Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 20 + 11 + 1982 = 2022 671 Hay là: = = = 674 671 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 8088 đạt được khi = = = 674 0,5 Hết Chú ý: Học sinh có cách trình bày khác hợp lý, kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm thành phần giám khảo tự phân chia, thống nhất trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án.