Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9: Phương trình vô tỉ

Nội dung text: Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9: Phương trình vô tỉ

1. Trường THCS Hàn Thuyên – Lương Tài Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ A.LÝ THUYẾT. I. Định nghĩa. Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn trong các dấu căn. II.Các bước giải phương trình vô tỉ Bước 1: Tìm ĐKXĐ Bước 2: Lựa chọn phương pháp giải phù hợp Bước 3: Đối chiếu với điều kiện xác định và kết luận nghiệm. III. Các kiến thức liên quan. 1. Các phép biến đổi tương đương phương trình, các phép biến đổi hệ quả phương trình. 2.Các phép biến đổi căn thức. 3.Các dạng phương trình đã học -Phương trình bậc nhất -Phương trình tích. -Phương trình chứa ẩn ở mẫu. -Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. -Phương trình bậc 2, pt bậc cao. 4.Các phương pháp đánh giá giá trị của biểu thức. B.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I.Phương pháp nâng lên lũy thừa Dạng 1: f(x) g(x) f(x) g(x) 0 Dạng 2: f(x) g(x) g(x) 0 2 f(x) (g(x)) Dạng 3: f(x) g(x) h(x) f(x) 0 g(x) 0 f(x) g(x) 2 f(x).g(x) h(x) Ví dụ: Giải các phương trình sau: a)3 2x 3 x 1
2. b) x 4 1 x 1 2x c) 3 2x 1 3 x 1 Giải: a) ĐKXĐ: x ≥ 3/2 3 2x 3 x 2x 3 x 3 Khi x ≥ 3 bình phương 2 vế không âm ta có: 2x – 3 = x2 – 6x +9 x2 – 8x + 12 = 0 (x – 2)(x – 6) = 0 x1 = 2 ( Không thỏa mãn ĐK) x2 = 6 ( thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 6. b) x 4 1 x 1 2x x 4 1 2x 1 x Với ĐKXĐ: -4≤ x ≤ 1/2 ta có: x + 4 = 2 – 3x + 2 1 2x. 1 x 2x + 1 = 1 2x. 1 x Khi x ≥ - ½ bình phương 2 vế không âm ta có: (2x + 1)2 = (1 – x)(1 – 2x) 2x2+7x = 0 x 1 = 0; x2 = - 7/2 thử lại các điều kiện ta được x = 0. Vậy phương trình có nghiệm x = 0 c) 3 2x 1 3 x 1 3x 1 33 2x 1. 3 x( 3 2x 1 3 x) 1 thay 3 2x 1 3 x 1 ta có: 3x 1 33 2x 1. 3 x 1 3 2x 1. 3 x x (2x 1)x x3 x(x 1)2 0 x1 0;x2 1 Thử lại chỉ có x = 0 thỏa mãn Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình đã cho. Nhận xét: Nếu dùng phép biến hệ quả thì sau khi tìm được x ta phải thử lại rồi mới kết luận nghiệm. II.Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ: Giải phương trình : x 2 x 1 x 2 x 1 2 Giải: ĐKXĐ: x ≥ 1 2
3. x 2 x 1 x 2 x 1 2 x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1 2 ( x 1 1)2 ( x 1 1)2 2 x 1 1 x 1 1 2 +) Nếu x > 2 ta có phương trình: x 1 1 x 2 không thỏa mãn. +) nếu 1≤ x ≤ 2 ta có phương trình: 2 = 2 luôn đúng với 1≤ x ≤ 2 Vậy: 1≤ x ≤ 2 III.Phương pháp đặt ẩn phụ. 1.Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình tích Ví dụ 1: Giải phương trình: x 1 x3 x2 x 1 1 x4 1 Giải: Điều kiện x ≥ 1 Đặt:a x 1;b x3 x2 x 1 a.b x4 1 với a ≥ 0; b ≥ 0 phương trình đã cho thành: a + b = 1 + ab (a -1)(b – 1) =0 a= 1 hoặc b = 1. +) nếu a = 1 ta có: x 1 =1 x = 2 thỏa mãn đk. +) nếu b = 1 ta có: x3 x2 x 1 = 1 x3 + x2 + x = 0 x(x2 + x + 1) = 0 x 0 (Không thỏa mãn) 2 x x 1 0 (Phương trình vô nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 2.Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình với ẩn phụ. 2.1.Nếu bài toán có chứa f(x) và f(x) ta đặt t = f(x) ( t ≥ 0) khi đó f(x) = t2. 2.2.Nếu bài toán có chứa f(x); g(x) và f(x).g(x) k ( k là hằng số) khi đó: k Đặt t = f(x) ( t ≥ 0) thì g(x) t 2.3.Nếu bài toán có chứa f(x) g(x); f(x).g(x) mà f(x)+g(x)=k khi đó: t2 k Đặt t = f(x) g(x) thì f(x).g(x) 2 Ví dụ: Cho phương trình: 2(x2- 2x) + x2 2x 3 - 9 = 0 Giải: ĐKXĐ: x ≥ 3 ; x ≤ -1 Đặt t = x2 2x 3 với t ≥ 0 ta có phương trình: 2t2 + t – 3 = 0 t1 = 1 ( thỏa mãn); t2 = - 3/2 ( không thỏa mãn). 3
4. Với t = 1 thì x2 2x 3 =1 x2 – 2x -3 =1 ( x - 1)2 = 5 x = 1 5 ( thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm là: x = 1 5 3.Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai với ẩn phụ và tham số là x. (Áp dụng khi ∆ là một bình phương) Ví dụ: Giải phương trình: x2 1 2x x2 2x : Đkxđ: x ≤ 0 ; x ≥ 2. Đặt t = x2 2x với t ≥ 0 ta có pt: x2 – 2tx – 1 = 0 có ∆’ = t2 +1 =( x-1)2 do đó x = t±(x – 1) ta có 2 trường hợp sau : +) trường hợp 1 : x = x2 2x + (x – 1) x2 2x =1 x2 – 2x -1= 0 x = 1 5 ( thỏa mã điều kiện) +) trường hợp 2 : x = x2 2x - (x – 1) x2 2x = 2x -1 Với x ≥ 1/ 2 ta có : 3x2 – 2x + 1 = 0 có ∆’ = -2 nên pt này vô nghiệm. KL : Vậy pt đã cho có nghiệm là : x = 1 5 4.Đặt ẩn phụ để đưa phương trình ban đầu về hpt với 1 ẩn phụ và một ẩn x Ví dụ 1: Giải phương trình: x2 x 5 5 Giải: ĐK: x ≥ -5 đặt x 5 =a ( a ≥ 0) suy ra x + 5 = a2 a2 – x = 5. Ta có hệ phương trình sau: x2 a 5 (1) 2 a - x 5 (2) Trừ 2 vế của (1) cho (2) ta có : x2 a a2 + x 0 (x a)(x a 1) 0 x a x a 1 +) Với x = a ta có: x 5 = x Khi x ≥ 0 bình phương hai vế ta có: x2 – x -5 = 0 ∆ = 21 phương trình có nghiệm : 1 21 x ( Không thỏa mãn đk) 1 2 1 21 x ( Thỏa mãn đk) 2 2 +) Với x = -a – 1 ta có : 4
5. x= - x 5 - 1 x 5 = -x – 1 Khi x ≤ -1 bình phương 2 vế ta được x + 5 = x2 + 2x + 1 x2 + x – 4 = 0 ∆ = 17 phương trình có nghiệm : 1 17 x ( Không thỏa mãn đk) 1 2 1 17 x ( Thỏa mãn đk) 2 2 1 21 1 17 KL : Vậy phương trình có hai nghiệm : x ; x 1 2 2 2 5.Đặt ẩn phụ để đưa phương trình ban đầu về hpt với ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình 8 x 5 x 5 Giải: ĐKXĐ: 0 ≤ x ≤ 25 đặt 8 x a (a 2 2); 5 x b (b 0) ta có hpt: a b 5 a b 5 a b 5 2 2 2 a b 13 (a b) 2ab 13 ab 6 Vậy a, b là nghiệm của phương trình: X2 – 5X + 6 = 0 X1 = 2, X2 = 3 vậy (a;b) {(2;3);(3;2)} đối chiếu với điều kiện a 2 2 Suy ra a = 3; b =2 ta có hệ: 8 x 3 x 1 x 1 (Thỏa mãn ĐKXĐ) 5 x 2 x 1 Vậy phương trình có nghiệm x = 0. IV.Phương pháp nhân liên hợp 3x Ví dụ 1: Giải phương trình: ( 3x 1 1) (1) 3x 10 1 Giải:ĐK x 3 x 0 3x (1) ( 3x 1 1) 3x 3x 1 1 3x 10 1 (2) 3x 10 (2) 3x 1 1 3x 10 3x 1 4 x 5 Đối chiếu với ĐKXĐ suy ra phương trình có 2 nghiệm là : x = 0 ; x=5. Ví dụ 2: Giải phương trình: 4 1 5 x x 2x (2) x x x 5
6. x 0 1 Đk: x 0 x 5 2x 0 x (2) được biến đổi thành 4 5 1 x 2x x x x x 4 5 1 5 1 5 1 x . 2x x 2x x . 2x x x x x x x x x 4 5 1 4 x . 2x x x x x x x 4 5 1 x . 2x x 1 0 x x x 4 5 1 x 0 (do 2x x 1 0) x x x x 2 Đối chiếu với điều kiện xác định suy ra x = 2 là nghiệm của phương trình. Nhận xét: ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp khi pt có dạng: h(x)(f(x) – g(x)) = f(x) g(x) V.Phương pháp đánh giá. 2x 1 2x Ví dụ 1: Giải phương trình : 2 1 2x 2x Giải: 1 ĐKXĐ: x > 0 ; x < 2 2x 1 2x 2 1 2x 2x Áp dụng BĐT Cô si suy ra VT ≥ 2 1 Dấu “=” xảy ra khi 4x2 = 4x2 + 4x + 1 x không thỏa mãn ĐKXĐ 4 Vậy pt vô nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: x x 1 1 6
7. ( Sách bài tập toán 9 tập 1) Giải: ĐKXĐ: x ≥ 0 Với x ≥ 0 phương trình có VT ≥ 1 dấu “ =” xảy ra khi x = 0 Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 Ví dụ 3:Giải phương trình: x2 + x 1- 2x + 1= 0 Giải: ĐKXĐ: x ≥ -1 phương trình được biến đổi thành 2 (x 1) 0 x 1 (x – 1)2 + x 1=0 không tìm được x. x 1 0 x 1 KL: Phương trình vô nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình 3 2x 1 3 x 1 (Tính đơn điệu của hàm số) Giải: Ta thấy vế trái của phương trình là hàm số đồng biến Với x 0 Thì VT > VP Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình. VI.Phương pháp điều kiện cần và đủ. Áp dụng với bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm duy nhất hoặc vô số nghiệm. Dựa vào tính chất của hàm số Ví dụ 1: Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất: 2 3 2 1 x 2 1 x m (nếu pt có nghiệm x0 thì cũng có nghiệm –x0) Gải: Ta thấy nếu pt có nghiệm x0 thì cũng có nghiệm –x0 Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất thì x0 = - x0 x0 = 0 Thay x0 = 0 vào phương trình suy ra m = 3 Thử lại: Với m = 3 ta có phương trình: 1 x2 2 3 1 x2 3 ĐK 1- x2 ≥ 0 Ta thấy: 1 x2 1; 3 1 x2 1 1 x2 2 3 1 x2 3 1 x2 1 Do đó pt có nghiệm khi và chỉ khi: x 0 (đúng) 3 2 1 x 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m = 3. Ví dụ 2: Tìm m để pt sau nghiệm đúng với mọi x ≥ 0 x2 2x m2 2m 4 x m 2 Giải: Nếu pt có nghiệm đúng với mọi x ≥ 0 thì cũng có nghiệm x = 0 nên ta có: 7
8. m2 2m 4 m 2 khi m ≥ 2 bình phương 2 vế ta có: -m2 + 2m + 4 = m2 – 4m + 4 2m( m – 3) = 0 do m ≥ 2 suy ra m = 3 Thử lại: Với m = 3 ta có phương trình: x2 2x 1 x 1 x 1 x 1 dox 0 x 1 x 1 (Luôn đúng) Vậy với m = 3 thì phương trình có nghiệm đúng với mọi x ≥ 0 VII. Một số bài toán khác Ví dụ 1:Giải phương trình x(3x 1) x(x 1) 2 x2 Giải: Đkxđ: x ≤ -1/3; x = 0; x ≥ 1 +) x = 0 là một nghiệm của phương trình đã cho. +) khi x ≤ -1/3 phương được biến đổi thành: x( 3x 1) x( x 1) 2 ( x)2 ( 3x 1) ( x 1) 2 x (do x 0) ( 3x 1) 2 x ( x 1) 4 x(x 1) 2x 2 vì VT > 0 mà VP < 0 suy ra phương trình này vô nghiệm. +)Khi x ≥ 1 chia cả 2 vế cho x ta có: 3x 1 x 1 2 x 3x 1 2 x x 1 1 x 2 x. x 1 Do x ≥ 1 thì VP ≥ 0; VT ≤ 0 nên phương trình có nghiệm khi 1 x 0 x 1 ( thỏa mãn đk) 2 x. x 1 0 KL: Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0; x = 1. Ví dụ 2: Giải phương trình 4 x 1 x2 5x 14 (1) Giải: ĐKXĐ: x ≥ -1 1 x2 5x 14 4 x 1 0 x2 6x 9 x 1 4 x 1 4 0 (x 3)2 ( x 1 2)2 0 2 (x 3) 0 x 3 0 x 3 (Thỏa mãn Đkxđ) 2 ( x 1 2) 0 x 1 2 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3 Ví dụ 3: Giải phương trình : x 4 20 x 4 8
9. Giải: ĐK: 0 ≤ x ≤ 20 Đặt t= 4 20 x ( t ≥ 0) suy ra x = 20 –t4 Phương trình trở thành : 20 t4 t 4 20 t4 4 t Đk: t ≤ 4 bình phương 2 vế ta có: 20 – t4 = 16 – 8t + t2 t4 + t2 – 8t – 4 = 0 (t – 2)(t3 + 2t2 + 5t + 2) = 0 do t ≥ 0 Suy ra t = 2 4 20 x 2 20 x 16 x 4 ( thỏa mãn đk) Vậy phương trình có nghiệm x = 2. C.CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Giải các phương trình sau: a) x 3 x 4 1 b) 15 x 3 x 6 c) 4x 1 3x 4 1 d) 3 x 1 3 x 1 3 5x Bài 2: Giải các phương trình sau: a) x 2 x 1 x 1 1 b) x 2x 1 x 2x 1 2 c) x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2 d) x 6x 9 x 6x 9 6 Bài 3: Giải các phương trình sau: a) x2 3x 2 x 3 x 2 x2 2x 3 b)( x 5 x 2)(1 x2 7x 10) 3 c) x 1 3x 2x 1 d) x 4 x 3 2 3 2x 11 e) 2 x 2 x 4 x2 2 Bài 4: Giải các phương trình sau: a) x2 3x 3 x2 3x 6 3 b) 25 x2 9 x2 2 c) x2 3x 2 2 2x2 6x 2 2 d) 3 2 x 1 x 1 Bài 5: Giải các phương trình sau: a)x2 x 2004 2004 b)x 4 x 3 2 3 2x 11 c) x2 4x 2 2x2 8x 5 2 3 d) 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2 Bài 6: Giải các phương trình sau: 1 a) x x 1 x 9
10. b) x 1 3x 2x 1 c) 3x2 7x 3 x2 2 3x2 5x 1 x2 3x 4 d) x4 x 3 2x4 2011x 2011 Bài 7: Giải các phương trình sau: a) (x2 1)3 2 x2 1 2x2 1 0 b) (4x 1) x3 1 2x3 2x 1 Bài 7: Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất 4 x 4 2 x x 2 x m x 1 Bài 9:Cho phương trình: (x – 3)(x + 1) + 4(x – 3) m x 3 a) Giải phương trình với m = -3. b) Tìm m để phương trình có nghiệm. 10