›
›
›

Các phương pháp giải bài tập về lũy thừa của một số hữu tỉ - Chuyên đề Đại số Lớp 7

doc 35 trang Kiều Nga 03/07/2023 2690
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các phương pháp giải bài tập về lũy thừa của một số hữu tỉ - Chuyên đề Đại số Lớp 7", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doccac_phuong_phap_giai_bai_tap_ve_luy_thua_cua_mot_so_huu_ti_c.doc

Nội dung text: Các phương pháp giải bài tập về lũy thừa của một số hữu tỉ - Chuyên đề Đại số Lớp 7

  1. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ CHUYÊN ĐỂ TOÁN LŨY THỪA I. NỘI DUNG CHÍNH 1. Hệ thống hóa kiến thức cơ bản 2. Kiến thức mở rộng, nâng cao 3. Một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải 3.1. Dạng1: Tìm số chưa biết 3.1.1. Tìm cơ số, thành phần trong cơ số của luỹ thừa 3.1.2. Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của luỹ thừa 3.1.3. Một số trường hợp khác 3.2. Dạng 2. Tìm chữ số tận cùng của giá trị luỹ thừa 3.2.1. Tìm một chữ số tận cùng 3.2.2. Tìm hai chữ số tận cùng 3.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên 3.3. Dạng 3. So sánh hai luỹ thừa 3.4. Dạng 4. Tính toán trên các luỹ thừa 3.5. Dạng 5. Toán đố với luỹ thừ II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Hệ thống hóa kiến thức cơ bản Muốn học tốt kiến thức toán lũy thừa, các em học sinh cần phải hiểu, nhớ các công thức lũy thừa cơ bản, rồi từ đó vận dụng để giải quyết các bài tập từ cơ bản đến nâng cao. a) Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên: n * a = a.a a (n N ) n thừa số b) Một số tính chất: Với a, b, m, n N ▪a m. an = am+n, ▪a m : an = am-n (a ≠ 0, m > n) 1
  2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ ▪ (a.b)m = am. bm (m ≠ 0) ▪ (am)n = am.n (m,n ≠ 0) ▪a m. an . ap = am+n+p (p N) Quy ước: ▪a 1 = a ▪a 0 = 1 (a ≠ 0) Với : x, y Q; m, n N; a, b Z n * •x = x.x x (x N ) n thừa số n a a n • (b ≠ 0, n ≠ 0) b b n •x o = 1 •x m . xn = xm+n xm • xm n (x ≠ 0) xn •x -n = 1 (x ≠ 0) x n • (xm)n = xm.n • (x.y)m = xm. ym n n x x • n (y ≠ 0) y y 2. Kiến thức mở rộng, nâng cao Đây là các kiến thức không được giới thiệu trong sách giáo khoa toán 7 nhưng khi giải các bài tập nâng cao thì cần phải có những kiến thức này. Với mọi x, y, z Q: • x x + z 0 thì: x x . z x . z > y . z Với x Q, n N: 2
  3. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ • (-x)2n = x2n; (-x)2n+1 = - x2n+1 Với a, b Q: • a > b > 0 => an > bn • a > b a2n +1 > b2n + 1 • a > 1, m > n > 0 => am > an • 0 n > 0 => am < an 3. Một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải 3.1. Dạng 1: Tìm số chưa biết 3.1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa Phương pháp chung: Đưa về hai lũy thừa cùng số mũ. Bài 1. Tìm x biết rằng: a) x3 = -27 b) (2x – 1)3 = 8 c) (x – 2)2 = 16 d) (2x – 3)2 = 9 Phương pháp giải Đối với những bài toán dạng này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản là có thể dễ dàng làm được, lưu ý đối câu a) và câu b), biểu thức có số mũ lẻ thì ta áp dụng công thức tổng quát: A2n + 1 = B2n + 1  A = B a) x3 = -27 b) (2x – 1)3 = 8  x3 = (-3)3  (2x – 1)3 = 23  x = -3  2x – 1 = 2 Vậy x = - 3  2x = 2 + 1  2x = 3 3  x = 2 3 Vậy x = 2 3
  4. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Còn đối với câu c) và câu d) thì biểu thức có số mũ chẵn nên ta áp dụng công thức tổng quát: A2n = B2n  A = B hoặc A = -B c) (2x – 3)2 = 9 => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32 2x 3 3 x 3 . Vậy x = 3 hoặc x = 0. 2x 3 3 x 0 d) (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42 x 2 4 x 2 . Vậy x = -2 hoặc x = 6 x 2 4 x 6 Bài 2. Tìm số hữu tỉ x biết: x2 = x5 Phương pháp giải Nếu ở bài 1 học sinh làm thấy nhẹ nhàng thì đến bài 2 này không tránh khỏi băn khoăn, lúng túng: hai lũy thừa đã cùng cơ số chưa biết, số mũ đã biết lại khác nhau. Vậy phải làm cách nào đây? Nhiều học sinh sẽ “tìm mò” được x = 0 hoặc x = 1, nhưng cách này sẽ không thuyết phục lắm bởi biết đâu còn số x thỏa mãn đề bài thì sao ? Giáo viên có thể gợi ý: x 2 0 x 0 x 0 x2 = x5  x5 – x2 = 0  x2.(x3 - 1) = 0 => => => 3 3 x 1 0 x 1 x 1 Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau: Bài 3. Tìm số hữu tỉ y biết: (3y - 1)10 = (3y - 1)20 (*) Phương pháp giải Hướng dẫn: Đặt 3y – 1 = x. Khi đó (*) trở thành: x10 = x20 x 0 x10 0 x 0 Giải tương tự bài 2 ở trên ta được: => => x 1 10 10 x 1 0 x 1 x 1 Rất có thể học sinh dừng lại ở đây, vì đã tìm được x. Nhưng đề bài yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y. 4
  5. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ • Với x = 0 ta có : 3y -1 = 0  3y = 1  y = 1 3 • Với x = 1 ta có : 3y -1 = 1  3y = 2  y = 2 3 • Với x = -1 ta có : 3y – 1 = -1  3y = 0  y = 0 Vậy y = 1 ; 2 ; 0 3 3 Bài 3. Tìm x biết: (x - 5)2 = (1 – 3x)2 Phương pháp giải Bài này ngược với bài trên, hai lũy thừa đã có số mũ đã biết giống nhau nhưng cơ số chưa biết lại khác nhau. Lúc này ta cần sử dụng tính chất: bình phương của hai lũy thừa bằng nhau khi hai cơ số bằng nhau hoặc đối nhau. 3 x 5 1 3x x 2 2 Ta có: (x - 5) = (1 – 3x) 2 x 5 3x 1 x 2 Bài 4. Tìm x và y biết: (3x - 5)100 + (2y + 1)200 0 (*) Phương pháp giải Với bài toán này, cơ số và số mũ của hai lũy thừa không giống nhau, lại phải tìm hai số x và y bên cạnh đó là dấu “ ”, thật là khó! Lúc này chỉ cần gợi ý nhỏ của giáo viên là các em có thể giải quyết được vấn đề: hãy so sánh (3x - 5)100 và (2y +1)200 với 0. Ta thấy: (3x - 5)100 0, x Q (2y +1)200 0, x Q => Biểu thức (*) chỉ có thể bằng 0, không thể nhỏ hơn 0. Vậy: (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = 0 khi (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 0 => 3x – 5 = 2y + 1 = 0  x = 5 và y = 1 3 2 Bài 5. Tìm các số nguyên x và y sao cho: (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < 3 Phương pháp giải Theo bài 3, học sinh sẽ nhận ra ngay: (x + 2)2 0,  x Z (1) 5
  6. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 2(y – 3)2 0,  x Z (2) Nhưng nảy sinh vấn đề ở “ < 3 ”, học sinh không biết làm thế nào. Giáo viên có thể gợi ý: Từ (1) và (2) suy ra, để: (x + 2) 2 + 2(y – 3)2 < 3 thì chỉ có thể xảy ra những trường hợp sau: x 2 •Trường hợp 1: (x + 2) 2 = 0 và (y – 3)2 = 0 y 3 x 2 •Trường hợp 2: (x + 2) 2 = 0 và (y – 3)2 = 1 y 4 y 2 x 1 2 2 •Trường hợp 3: (x + 2) = 1 và (y – 3) = 0 x 3 y 3 x 1 x 3 •Trường hợp 4: (x + 2) 2 = 1 và (y – 3)2 = 1 y 4 y 2 Vậy ta có bảng giá trị tương ứng của x và y thỏa mãn đề bài là : x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 y 3 4 2 3 3 4 2 Thật là một bài toán phức tạp! Nếu không cẩn thận sẽ xét thiếu trường hợp, bỏ sót những cặp giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện đề bài. Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tương tự sau: 1) Tìm x biết: a) (2x – 1)4 = 81 b) (x -2)2 = 1 c) (x - 1)5 = - 32 d) (4x - 3)3 = -125 2) Tìm y biết : a) y200 = y b) y2008 = y2010 c) (2y - 1)50 = 2y – 1 d) ( y -5 )2000 = ( y -5 )2008 3 3 6
  7. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 3) Tìm a, b, c biết : a) (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 0 b) (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 0 c) (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 0 d) (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 0 3.1.2 Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa. Phương pháp chung: đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số Bài 1. Tìm n N, biết: a) 2008n = 1 c) 32-n. 16n = 1024 b) 5n + 5n+2 = 650 d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Phương pháp giải Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a. a) 2008n = 1  2008n = 20080  n = 0 Nhưng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn: tổng của hai lũy thừa có cùng cơ số nhưng không cùng số mũ. Lúc này rất cần có gợi ý của giáo viên: b) 5n + 5n+2 = 650  5n + 5n.52 = 650  5n.(1 + 25) = 650  5n = 650 : 26  5n = 25 = 52  n = 2 Theo hướng làm câu b) học sinh biết ngay cách làm câu c) và d). c) 32-n. 16n = 1024  (25)-n. (24)n = 1024  2-5n. 24n = 210  2-n = 210  n = -10 d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162  3n-1 + 5 . 3n-1 = 162  6 . 3n - 1 = 162 7
  8. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ  3n-1 = 27 = 33  n – 1 = 3  n = 4 Bài 2. Tìm hai số tự nhiên m, n biết: 2m + 2n = 2m+n Phương pháp giải Học sinh thực sự thấy khó khi gặp bài này, không biết phải làm như thế nào để tìm được hai số mũ m và n. Giáo viên gợi ý : 2m + 2n = 2m+n  2m+n – 2m – 2n = 0  2m.2n - 2m - 2n + 1 = 1  2m(2n - 1) – (2n - 1) = 1  (2m - 1)(2n - 1) = 1 (*) Vì 2m 1, 2n 1,  m, n N 2m 1 1 2m 2 m 1 Nên từ (*) => => => . Vậy: m = n = 1 n n 2 1 1 2 2 n 1 Bài 3. Tìm các số tự nhiên n sao cho: a) 3 n 2;3;4;5 b) 8.16 2n 4  23.24 2n 22  27 2n 22 => n 2;3;4;5;6;7 Bài 4. Tìm số tự nhiên n biết rằng: 415 . 915 n = 31 8
  9. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Bây giờ, học sinh không những biết làm các bài toán tương tự mà còn có thể tự ra các bài toán dạng tương tự. 1) Tìm các số nguyên n sao cho: a) 9 . 27n = 35 b) (23 : 4) . 2n = 4 c) 3-2. 34. 3n = 37 d) 2-1 . 2n + 4. 2n = 9. 25 2) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: a) 125.5 5n 5.25 b) (n54)2 = n c) 243 3n 9.27 d) 2n+3. 2n =144 3) Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng: a) 2x+1 . 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y 4) Tìm số tự nhiên n biết rằng : a) 411 . 2511 2n. 5n 2012.512 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 b) . 2n 35 35 35 25 25 Phương pháp giải 3) a) 2x+1 . 3y = 12x 2x+1 . 3y = 22x.3x 3 y 22x  3x 2 x 1 3y-x = 2x-1  y - x = x - 1 = 0  y = x = 1 b) 10x : 5y = 20y 10x = 20y . 5y 10x = 100y 10x = 102y  x = 2y 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 4) b) . 2n 35 35 35 25 25 4.45 6.65  . 2n 3.35 2.25 9
  10. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 46 66  . 2n 36 26  46 = 2n  212 = 2n  n = 12 3.1.3. Một số trường hợp khác Bài 1. Tìm x biết: (x - 1) x+2 = (x - 1) x+4 (1) Phương pháp giải Thoạt nhìn ta thấy đây là một bài toán rất phức tạp, vì số cần tìm có mặt cả trong số mũ và cơ số. Vì thế, học sinh rất khó xác định cách giải. Nhưng chúng ta có thể đưa về bài toán quen thuộc bằng một phép biến đổi sau: Đặt x - 1 = y ta có: x + 2 = y + 3  x + 4 = y + 5 Khi đó (1) trở thành: yy+3 = yy+5  y y+5 - yy+3 = 0  y y+3(y2 – 1) = 0 yy 3 0  2 y 1 0 * Nếu: yy+3 = 0 => y = 0 Khi đó: x – 1 = 0  x = 1. 2 2 2 y 1 * Nếu: y – 1 = 0  y = (±1) y 1 Với y = 1 ta có: x – 1 = 1  x = 2 Với y = -1 ta có: x – 1 = -1  x = 0 Vậy: x 0;1;2 Bài 2. Tìm x biết: x(6 - x)2003 = (6 - x)2003 Phương pháp giải Với bài này, x xuất hiện cả trong cơ số và cả ở ngoài (không phải ở trong số mũ như bài trên). Học sinh sẽ lúng túng và gặp khó khăn khi tìm lời giải, khi đó giáo viên hướng dẫn. x. (6 - x)2003 = (6 - x)2003  x. (6 - x)2003 - (6 - x)2003 = 0  (6 - x)2003 (x - 1) = 0 10
  11. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 6 x 2003 0  x 1 0 Nếu (6 - x)2003 = 0  (6 - x) = 0  x = 6 Nếu (x - 1) = 0  x = 1 Vậy: x 1;6 Bài 3. Tìm các số tự nhiên a, b biết: a) 2a + 124 = 5b b) 10a + 168 = b2 Phương pháp giải Với bài toán này, nếu học sinh sử dụng các cách làm ở trên sẽ đi vào con đường bế tắc không có lời giải. Vậy phải làm bằng cách nào và làm như thế nào ? Ta cần dựa vào tính chất đặc biệt của lũy thừa và tính chất chia hết của một tổng để giải bài toán này: a) 2a + 124 = 5b (1) Xét a = 0, khi đó (1) trở thành: 20 + 124 = 5b  5b = 125  5b = 53 Do đó a = 0 và b = 3 Xét a 1. Ta thấy vế trái của (1) luôn là số chẵn và vế phải của (1) luôn là số lẻ với mọi a 1, a, b N, điều này vô lí. Kết luận: Vậy a = 0 và b = 3. b) 10a + 168 = b2 (2) Tương tự câu a. Xét a = 0: khi đó (2) trở thành: 100 + 168 = b2 169 = b2 2 2  (±13) = b => b = 13 (vì b N) Do đó a = 0 và b = 13. Xét a 1: 11
  12. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Chúng ta đều biết với mọi số tự nhiên a 1 thì 10a có chữ số tận cùng là 0 nên suy ra 10a + 168 có chữ số tận cùng là 8, theo (2) thì b2 có chữ số tận cùng là 8. Điều này vô lý. Vậy: a = 0 và b = 13. Giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau: Tìm các số tự nhiên a, b để: a) 3a + 9b = 183 b) 5a + 323 = b2 c) 2a + 342 = 7b d) 2a + 80 = 3b 3.2. Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa 3.2.1 Tìm một chữ số tận cùng Phương pháp chung: cần nhớ một số nhận xét sau: • Tất cả các số có chữ số tận cùng là: 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó. • Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số tận cùng là một trong các chữ số đó. • Lưu ý: những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4, những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9. • Chú ý: 24 = 16; 74 = 2401; 34 = 81; 84 = 4096 CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài 1. Tìm chữ số tận cùng của các số: 20002008; 11112008; 987654321; 204681012 Dựa vào những nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng tìm được đáp án: • 20002008 có chữ số tận cùng là chữ số 0 • 11112008 có chữ số tận cùng là chữ số 1 • 987654321 có chữ số tận cùng là chữ số 5 12
  13. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ • 204681012 có chữ số tận cùng là chữ số 6. Bài 2. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 20072008; 1358 2008; 23456; 5235; 204208; 20032005; 9 7 99 ; 4 56 ; 996; 81975; 20072007; 10231024. Phương pháp giải Đưa các lũy thừa trên về dạng các lũy thừa của số có chữ số tận cùng là: 0; 1; 5; 6. • 20072008 = (20074)502 = ( 1)502 = 1 nên 20072008 chữ số tận cùng là 1. • 135725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = 1. 1357 = 7 =>13 5725 có chữ số tận cùng là 7. • 20072007 = 20072004. 20073 = (20074)501. 3 = ( 1)501. 3 = 1. 3 => 20072007 có chữ số tận cùng là 3. •2 3456 = (24)864 = 16864 = 6 => 23456 có chữ số tận cùng là 6 . • 5235 = 5232. 523 = (524)8. 8 = ( 6 )8 . 8 = 6 . 8 = 8 => 5235 có chữ số tận cùng là 8. • 10231024 = (10234)256 = ( 1)256 = 1 =>10231024 có chữ số tận cùng là 1. • 20032005 = 20032004. 2003 = (20034)501. 2003 = ( 1)501. 2003 = 1 . 2003 => 20032005 có chữ số tận cùng là 3. • 204208 = (2042)104 = ( 6 )104 = 6 => 204208 có chữ số tận cùng là 6. 7 67 Ta thấy 56 là một số lẻ nên 45 có chữ số tận cùng là 4. • 1358 2008 = (13584)502 = ( 6 )502 = 6 => 1358 2008 có chữ số tận cùng là 6. •8 1975 = 81972. 83 = (84)493. 2 = 6 . 2 => 81975 có chữ số tận cùng là 2. •9 96 = (94)24 =( 1)24 = 1 => 996 có chữ số tận cùng là 1. 9 Ta thấy 99 là một số lẻ nên 99 có chữ số tận cùng là 9. Bài 3. Cho A = 172008 – 112008 – 32008. Tìm chữ số hàng đơn vị của A. Phương pháp giải Đây là dạng toán tìm chữ số tận cùng của một tổng, ta phải tìm chữ số tận cùng của tong số hạng, rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại. Tìm chữ số tận cùng của 172008; 112008; 32008 ta có: 13
  14. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ A = 172008 – 112008 – 32008 = 1 - 1 - 1= 0 - 1 = 9 Vậy A có chữ số tận cùng là 9. Bài 4 : Cho M = 1725 + 244 – 1321. Chứng tỏ rằng: M  10 Phương pháp giải Ta thấy một số chia hết cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng tỏ M  10 ta chứng tỏ M có chữ số tận cùng là 0. 1725 = 1724.17 = (174)6. 17 = ( 1)6.17 = 1.17 = 7 244 = (242)2 = 5762 = 6 1321 = (134)5.13 = ( 1)5.13 = 1 . 13 = 3 Vậy M = 7 + 6 - 3 = 0 => M  10 Đến đây, sau khi làm bài 2) bài 3) giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tổng quát sau: Bài 5. Tìm chữ số tận cùng của các số có dạng: 4n a) A = 2 – 5 (n N, n ≥ 1) 4n + 2 b) B = 2 + 1 (n N) 4n c) C = 7 – 1 (n N) Hướng dẫn: a) Ta có: 24n = (24)n = 16n có chữ số tận cùng bằng 6. => 24n – 5 có chữ số tận cùng bằng 1. 4n + 2 b) B = 2 + 1 (n N) Ta có 24n + 2 = 22 . 24n = 4. 16n có chữ số tận cùng là 4. => B = 24n + 2 + 1 có chữ số tận cùng là 5. c) C = 74n – 1 Ta có 74n = (74)n = (2401)n có chữ số tận cùng là 1. Vậy 74n – 1 có chữ số tận cùng bằng 0. Bài 6. Chứng tỏ rằng, các số có dạng: 2n a) A = 2 1chia hết cho 5 (n N, n ≥ 2) 4n b) B = 2 4 chia hết cho 10 (n N, n ≥ 1) 14
  15. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 2n c) H = 9 3 chia hết cho 2 (n N, n ≥ 1) Phương pháp giải Với dạng bài này, học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho cả 2 và 5. Đọc đầu bài, học sinh sẽ định hướng được phải tìm chữ số tận cùng như bài 5, n n n nhưng khi bắt tay vào làm thì gặp khó khăn lớn với các lũy thừa 22 , 24 , 92 học n sinh không biết phải tính như thế nào, rất có thể học sinh sẽ nhầm: 22 22n ; n n 24 24n ; 92 92n Khi đó giáo viên hướng dẫn như sau: a) Với n N, n ≥ 2, ta có : n 2 n 2 2n 2 n 2 22 = 22 .2 24 162 có chữ số tận cùng là 6. n => A = 22 1 có chữ số tận cùng là 5. Vậy A  5 b) Với n N, n ≥ 1, ta có : n n 1 4n 1 n 1 24 = 24 .4 24 164 có chữ số tận cùng là 6. n => B =24 4 có chữ số tận cùng là 0. Vậy B  10 c) Với n N, n ≥ 1, ta có : n n 1 2n 1 n 1 92 = 92 .2 92 812 có chữ số tận cùng là 1 n => H = 92 3 có tận cùng là 4. Vậy H  2 Bài tập luyện tập : 1) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 22222003; 20082004; 20052005; 20062006 ; 9992003; 20042004; 77772005; 1112006; 20002000; 20032005. 2) Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n a) 34n + 1 + 2 chia hết cho 5 b) 24n + 1 + 3 chia hết cho 5 c) 92n + 1 + 1 chia hết cho 10 3) Chứng tỏ rằng các số có dạng: 2n a) 2 + 1 có chữ số tận cùng bằng 7 (n N, n ≥ 2) 4n b) 2 1 có chữ số tận cùng bằng 7 (n N, n ≥ 1) 15
  16. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 2n c) 3 + 4 chia hết cho 5 (n N, n ≥ 2) 4n d) 3 - 1 chia hết cho 10 (n N, n ≥ 1) 4) Tìm chữ số hàng đơn vị của: a) A = 66661111 + 11111111 - 665555 b) B = 10n + 555n + 666n 2n 2n+1 n * c) H = 9999 + 999 + 10 (n N ) 4n 4n 4n * d) E = 2008 + 2009 + 2007 (n N ) 5) Trong các số sau số nào chia hết cho 2, cho 5, cho 10? 4n+1 a) 3 + 1 (n N) 4n+1 b) 2 - 2 (n N) 2n c) 2 + 4 (n N, n ≥ 2) 4n d) 9 - 6 (n N, n ≥ 1) 6) Tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên a để a2 + 1  5 7) Tìm số tự nhiên n để n10 + 1  10 8) Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n thì: a) 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n  10 (n > 1) b) 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2  6 Phương pháp giải 6) a2 + 1  5 => a2 + 1 phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. => a2 phải có chữ số tận cùng là 9 hoặc 4. => a phải có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7 hoặc 2 hoặc 8. 7) n10 + 1  10 => n10 + 1 phải có chữ số tận cùng là 0. => n10 = (n2)5 phải có chữ số tận cùng là 9. => n2 phải có chữ số tận cùng là 9. => n phải có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7. 8) a) 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = 3n. (32 + 1) – 2n-1.( 23 + 2) = 3n. 10 – 2n-1. 10 = 10 . (3n – 2n-1)  10,  n N 16
  17. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ b) 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 = 3n. (33 + 3) + 2n+1.( 22 + 2) = 3n. 30 + 2n+1. 6 = 6. (5.3n + 2n+1)  6, n N 3.2.2 Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa. Phương pháp: Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần chú ý những số đặc biệt sau: • Các số có tận cùng là 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng chính nó. • Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76. • Các số 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76. • Các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01. n • Số 26 (n N, n >1). Bài 1: Tìm hai chữ số tận cùng của: 2100 ; 3100 Dựa vào nhận xét ở trên học sinh có thể dễ dàng làm được bài này : 2100 = (220)5 = ( 76 )5 = 76 3100 = (320)5= ( 01)5 = 01 Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của: a) 5151 b) 9999 c) 6666 d) 14101.16101 Phương pháp giải Đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76. a) 5151 = (512)25.51 = ( 01)25.51 = 01.51 = 51 => 5151 có 2 chữ số tận cùng là 51. Tương tự: b) 9999 = (992)49.99 = ( 01)49.99 = 01.99 = 99 c) 6666 = (65)133.6 = ( 76 )133.6 = 76 .6 = 56 d) 14101.16101 = (14.16)101 = 224101 = (2242)50.224 = ( 76 )50.224 = 76 .224 = 24 Từ bài toán 2, cho học sinh làm bài toán tổng quát: Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của: 17
  18. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 2k 2k+1 * a) 51 ; 51 (k N ) 2n 2n+1 9999 * b) 99 ; 99 ; 99 (n N ) 5n 5n+1 6666 * c) 6 ; 6 ; 6 (n N ) Phương pháp giải a) 512k = (512)k = ( 01)k => 512k+1 = 51. (512)k = 51.( 01)k b) 992n = (992)n = ( 01)n => 992n+1 = 99. (992)n = 99.( 01)n 9999 99 9999 2n+1 => 99 , ta có 99 là một số lẻ => 99 có dạng 99 (Với n N, n > 1) 9999 2 n n => 99 = 99.(99 ) = 99 . ( 01) (Với n N, n > 1) c) 65n = ( 65)n = ( 76 )n => 65n+1 = 6 . ( 65)n = 6. ( 76 )n 6666 66 6666 5n+1 Xét 6 , ta có 66 là một số có tận cùng là 6, => 6 có dạng 6 (n N, n > 1) 66 => 666 = 6.( 76 )n Bài tập luyện tập: 1) Tìm hai chữ số tận cùng của: 9 a) 72003 b) 99 c) 742003 d) 182004 e) 682005 f) 742004 2) Tìm hai chữ số tận cùng của: 2n 2n+1 a) 49 ; 49 (n N) 4n 8n b) 2 . 3 (n N) 3n n 3n+3 n+1 c) 2 . 3 ; 2 . 3 (n N) 2n 2n+1 d) 74 ; 74 (n N) 3) Chứng tỏ rằng: 2n a) A = 26 - 26  5 và  10 (n N, n > 1) 2n+1 b) B = 24 + 76  100 (Với n N) c) M = 512000.742000.992000 có 2 chữ số tận cùng là 76. 3.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên. Phương pháp: Chú ý một số điểm sau: 18
  19. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ • Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng chính số đó. • Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng 0625. Bài 1. Tìm 3 chữ số tận cùng, 4 chữ số tận cùng của 52000. Học sinh có thể làm phần này không mấy khó khăn nhờ kĩ năng đã có từ các phần trước. 52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500 Vậy: 52000 có ba chữ số tận cùng là 625 có bốn chữ số tận cùng là 0625. Bài 2. Tìm ba chữ số tận cùng của: 3n n * a) 2 . 47 (n N ) 3n+3 n+2 b) 2 . 47 (n N) Phương pháp giải Để tìm được ba chữ số cuối của một lũy thừa đã là khó với học sinh, bài này lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối của một tích các lũy thừa thì quả thật là rất khó. Đối với học sinh khá, giỏi cũng cần tới sự gợi ý của giáo viên. a) 23n . 47n = (23)n . 47n = (8 . 47)n = 376n 376n có tận cùng là 376 => 23n . 47n có tận cùng là 376. b) 23n+3. 47n+2. Dù đã làm được câu a, đến câu b học sinh cũng không tránh khỏi lúng túng ở số mũ. Giáo viên có thể hướng dẫn: 23n+3 . 47n+2 = 23(n+1) . 47n+1 . 47 = (23)(n+1) . 47n+1 . 47 = (8.47)n+1 . 47 = 47. 376n+1 Ta có: 376n+1 có các chữ số tận cùng là 376 => 47 . 376n+1 có chữ số tận cùng là 672. Bài 3. Chứng tỏ rằng: 4n a) 5 + 375  1000 (n N, n ≥ 1) 2n b) 5 - 25  100 (n N, n ≥ 2) 19
  20. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ c) 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng bằng 002. Phương pháp giải Nếu học sinh làm tốt các phần trước thì khi gặp bài này sẽ không gặp nhiều khó khăn, tuy nhiên, rất cần đến sự tư duy logic, liên hệ đến kiến thức liên quan và kĩ năng biến đổi. 4n 4.4n 1 4n 1 a) Ta có: 5 = 5 = 625 tận cùng là 625 ( n N, n ≥ 1) n n => 54 + 375 có tận cùng 000. Vậy: 54 + 375  1000 n 2 n 2 n 2 n 2 2 2 .2 4 2 2 b) Ta có 5 = 5 = 5 = 625 (n N, n ≥ 2) n n Vậy 52 - 25 có 2 chữ số tận cùng là 00. Do đó : 52 - 25  100 c) 2001n + 23n . 47n + 252n Ta thấy: 2001n có tận cùng là 001. 23n . 47n = (8 . 47 )n = 376n có tận cùng là 376 252n = (252)n = 625n có tận cùng là 625 Vậy: 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng là 002. 3.3 Dạng 3: So sánh hai lũy thừa Phương pháp chung: để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh). Lưu ý một số tính chất sau: • Với a, b, m, n N, ta có: a > b  an > bn,  n N* m > n  am > an, (a > 1) a = 0 hoặc a = 1 thì am = an (m.n 0) • Với A, B là các biểu thức ta có: An > Bn  A > B > 0 Am > An  m > n và A > 1, hay m < n và 0 < A < 1 Bài 1. So sánh a) 33317 và 33323 b) 200710 và 200810 20
  21. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ c) (2008 - 2007)2009 và (1998 - 1997)1999 Phương pháp giải Với bài này học sinh có thể nhìn ngay ra cách giải vì các lũy thừa đã có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ. a) Vì 1 85 < 3.47 d) Ta có: 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 21
  22. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202 e) Ta thấy: 992 (992)10 1010 527 và 263 263 > 527 (1) Lại có: 263 = (29)7 = 5127 và 528 = (54)7 = 6257 => 263 527 7275 = (8. 9)75 = 2225. 3150 (2) Từ (1) và (2) => 10750 < 2100. 3150 < 2225. 3150 < 7375. Vậy 10750 < 7375. 22
  23. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ b) 291 > 290 = (25)18 = 3218 và 535 291 > 3218 > 2518 > 535. Vậy 291 > 535. Bài 5. So sánh a) (-32)9 và (-16)13 b) (-5)30 và (-3)50 c) (-32)9 và (-18)13 d) ( 1 )100 và ( 1 )500 16 2 Phương pháp giải Đưa về so sánh hai lũy thừa tự nhiên. a) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 (-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 2 52 Vì 245 - 252. Vậy (-32)9 > (-16)13. b) (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510 (-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10. Vì 12510 - 245 > -1813 = (-18)13. Vậy (-32)9 > (-18)13. 1100 ( 1)500 d) Ta có: ( 1 )100 = = 1 = 1 và ( 1 )500 = = 1 16 16100 16100 2400 2 2500 2500 Vì 2400 1 2400 2500 Vậy ( 1 )100 > ( 1 )500. 16 2 20082008 1 20082007 1 Bài 6. So sánh A và B biết: A = ; B = 20082009 1 20082008 1 Phương pháp giải Trước khi tìm lời giải bài này giáo viên có thể cung cấp cho học sinh tính chất sau: Với mọi số tự nhiên a, b, c khác 0, ta chứng minh được: a a a c • Nếu 1 thì b b b c a a a c • Nếu 1 thì b b b c 23
  24. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Áp dụng tính chất trên vào bài 6, ta có: 20082008 1 Vì A = 20082008+1 nên 2007 A 20082007 +1 nên 2007 2008 - 2007 > 2008 - 2007 20082008 1 20082007 1 Vậy 1 > 1 => A 0) A B 100100 1 100101 1 Bài 7. So sánh M và N biết: M = ; N = 10099 1 100100 1 Phương pháp giải 24
  25. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 100101 1 Cách 1: N = > 1 100100 1 100101 1 100101 1 99 100101 100 100 100100 1 => N = > = = (100 1).100 = = M 100100 1 100100 1 99 100100 100 (10099 1).100 10099 1 Vậy M 99 10099 1 100 100 1 => 100 - 99 < 100 - 99 10099 1 100 100 1 Vậy M < N. Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau: 1. So sánh: a) 528 và 2614 b) 521 và 12410 c) 3111 và 1714 d) 421 và 647 e) 291 và 535 g) 544 và 2112 2. So sánh: a) 1 và 1 b) 1 và 1 2300 3200 5199 3300 8 5 15 20 1 1 1 3 c) và d) và 4 8 10 10 3. So sánh: 1315 1 1316 1 a) A = và B = 1316 1 1317 1 19991999 1 19992000 1 b) A = và B = 19991998 1 19991999 1 100100 1 10069 1 c) A = và B = 10099 1 10068 1 Phương pháp giải 25
  26. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 100100 1 10069 1 c) A = và B = 10099 1 10068 1 Bài này không giống bài 7 và bài 8. Học sinh sẽ lúng túng khi bắt tay làm bài, giáo viên cần hướng dẫn: quy đồng mẫu A và B, ta có: 100 68 69 99 A = (100 1).(100 1) và B = (100 1).(100 1) (10099 1).(10068 1) (10068 1).(10099 1) Để so sánh A và B lúc này ta có thể so sánh tử số của A và tử số của B. Xét hiệu tử số của A trừ tử số của B: (100100 + 1). (10068 + 1) - (10069 + 1). (10099 + 1) = 100168 + 100100 + 10068 + 1 - 100168 – 10099 – 10069 – 1 = 100100 – 10099 – 10069 + 10068 = 100 . 10099 – 10099 – 100.10068 + 10068 = 99.10099 - 99.10068 = 99 . (10099 - 10068) > 0 (vì 10099 > 10068). Vậy A > B. 3.4. Dạng 4: Tính toán trên các lũy thừa. Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy thừa để tính cho hợp lí và nhanh. Biết kết hợp hài hòa một số phương pháp trong tính toán khi biến đổi. Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau: 230.57 213.527 a) A = 227.57 210.527 ( x 5) ( x 6)( x 6) b) M = x 4 (x 5) , với x = 7 Phương pháp giải Với bài này, học sinh không nên tính giá trị của từng lũy thừa rồi thực hiện các phép tính khác theo thứ tự thực hiện phép tính, mà nếu làm như vậy thì rất khó có thể đưa ra đáp án đúng. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm thừa số chung và đưa ra ngoài ngoặc ở cả tử và mẫu số, sau đó thực hiện việc rút gọn thì việc tìm kết quả của bài toán nhanh đến bất ngờ. 230.57 213.527 13 7 17 20 a) A = = 2 .5 (2 .5 ) = 23 = 8 227.57 210.527 210.57 (217 520 ) 26
  27. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ ( x 5) ( x 6)( x 6) b) M = x 4 (x 5) Học sinh dễ phát hoảng khi nhìn thấy câu b vì số mũ của lũy thừa cứ cao dần mà số lại chưa cụ thể. Nhưng khi thay giá trị của x vào thì M lại tìm được một cách dễ dàng. ( x 5) (7 5) ( x 6)( x 6) (7 6)(7 6) M = x 4 (x 5) = 7 4 (7 5) 12 113 1 M = 32 = 32 = 32 = 9 Bài 2. Chứng tỏ rằng: a) A = 102008 + 125 45 b) B = 52008 + 52007 + 52006  31 c) M = 88 + 220 17 d) H = 3135. 299 – 3136. 36 7 Phương pháp giải Với bài toán này, học sinh phải huy động kiến thức về dấu hiệu chia hết, kĩ năng và phương pháp biến đổi, lưu ý rằng: nếu a  m, a n, (m; n) = 1 thì a m.n (a, m, n N*) a) A = 102008 + 125 Ta có: 102008 + 125 = 100 0 + 125 = 100 0125 2008 số 0 2005 số 0 A có tận cùng là 5 => A 5 Tổng các chữ số của A là: 1+1+2+5 = 9 => A 9. Mà (5;9) = 1 => A 5.9 hay A 45 b) B = 52008 + 52007 + 52006 Ta không thể tính giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện phép cộng. Giáo viên có thể gợi ý đặt thừa số chung. B = 52008 + 52007 + 52006 B = 52006. (52 + 51 + 1) B = 52006. 31 31 c) M = 88 + 220 27
  28. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Cách làm tương tự như câu b, nhưng trước tiên phải đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số: M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220 M = 220 (24 + 1) = 220 (16 + 1) = 220.17 17 d) H = 3135. 299 – 3136. 36 Với câu này, học sinh cũng phải nhận ra cần đặt thừa số chung, nhưng đặt thừa số chung nào lại là một vấn đề. Nếu đặt 313 5 làm thừa số chung thì buộc phải tính kết quả trong ngoặc, và như vậy thì rất lâu và dễ nhầm. Khi đó, giáo viên có thể hướng dẫn. H = 3135 . 299 – 3136 . 36 H = 3135 . 299 – 3136 - 35. 3136 H = 3135 . (299 – 313) - 35. 3136 H = 3135 . 14 - 35. 3136 H = 7. (3135 . 2 – 5. 3136 ) 7 Bài 3. Cho A = 2 + 22 + 23 + + 260. Chứng tỏ rằng: A 3, A 7, A 5 Phương pháp giải Với bài này, giáo viên hãy hướng dẫn các em đi nhóm các lũy thừa thành từng nhóm 2; 3; 4 lũy thừa sao cho sau khi đặt thừa số chung ở mỗi nhóm thì xuất hiện số cần chứng tỏ A chia hết cho nó. Ví dụ: A = 2 + 22 + 23 + + 260 = (2 + 22) + (23 + 24) + (25 + 26) + + (257 + 258) + (259 + 260) = 2.(1 + 2) + 23.(1 + 2) + 25.(1 + 2) + + 257.(1 + 2) + 259.(1 + 2) = (1 + 2).(2 + 23 + 25 + + 257 + 259) = 3.(2+23+25+ +257+259) => A 3 Tương tự, ta có: A = (2 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + + (258 + 259 + 260 ) = 2.(1 + 2 + 22) + 24.(1 + 2 + 22) + + 258.(1 + 2 + 22) = (1 + 2 + 22).(2 + 24 + 27 + + 258) = 7.(2 + 24 + 27 + + 258) => A 7 A = (2 + 23) + (22 + 24) + + (257 + 259) + (258 + 260) 28
  29. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ A = 2(1 + 22) +22(1 + 22) + + 257(1 + 22) + 258(1 + 22) = (1 + 22).(2 + 22 + 25 + 26 + + 257 + 258) = 5. (2 + 22 + 25 + 26 + + 257 + 258 => A 5 Bài 4. Chứng tỏ rằng: a) D = 3 + 32 + 33 + 34 + + 32007 13 b) E = 71 + 72 + 73 + 74 + + 74n-1 + 74n  400 Phương pháp giải a) Ta thấy: 13 = 1 + 3 + 32 nên ta sẽ nhóm 3 số hạng liên tiếp của tổng thành một nhóm như sau: D = (3 + 32 + 33) + (34 +35 + 36) + + (32005 + 32006.+ 32007) = 3.(1 + 3 + 32) +34.(1 + 3 + 32) + + 32005.(1 + 3 + 32) = 3.13 + 34.13 + + 32005.13 = (3 + 34 + + 32005). 13 => D 13 b) Tương tự câu a, có : 400 = 1 + 7 + 72 + 73 nên: E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74. (71 + 72 + 73 + 74) + + 74n-4. (71 + 72 + 73 + 74) = (71 + 72 + 73 + 74).(1+74 + 78 + + 74n-4) = 7.(1 + 71 + 72 + 73).(1+74 + 78 + + 74n-4) = 7.(1 + 7 + 49 + 343).(1+74 + 78 + + 74n-4) = 7.400.(1+74 + 78 + +74n-4) 400 => E 400 2 n Bài 5. a) Tính tổng: Sn = 1 + a + a + + a b) Áp dụng tính các tổng sau: A = 1 + 3 + 32+ + 32008 B = 1 + 2 + 22 + 23 + + 21982 C = 71 + 72 + 73 + 74 + + 7n-1 + 7n Phương pháp giải a) Đây là một bài toán tổng quát, giáo viên có thể gợi ý trực tiếp cho học sinh cách làm để thu gọn các tổng lũy thừa này, ta nhân cả hai vế của biểu thức với cơ số của các lũy thừa. 29
  30. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 2 n * Xét a = 1, ta có: Sn = 1 + 1 + 1 + + 1 =(n +1).1 = n +1 * Xét a ≠ 1, ta có: 2 n Sn = 1 + a + a + + a 2 n+1 => a. Sn = a + a + + a n+1 => a. Sn - Sn = a – 1 a n 1 1 => Sn = a 1 b) Học sinh dễ dàng tính được tổng A, B, C nhờ công thức Sn 32009 1 A = 1 + 3 + 32 + + 32008 = 2 B = 1 + 2 + 22 + 23 + + 21982 = 21983 - 1 7 n 1 7 C = 71 + 72 + 73 + 74 + + 7n-1 + 7n = 6 Bài 6. Thu gọn tổng sau: M = 1 - 2 + 22 - 23 + + 22008 Phương pháp giải Mặc dù đã có công thức tính tổng các lũy thừa viết theo quy luật ở bài 4 nhưng khi tính tổng M thì học sinh không tránh khỏi sự lúng túng với những dấu ‘+’, ‘-‘ xen kẽ. Nếu vận dụng máy móc cách tính tổng B ở câu b, bài 4: lấy 2M - M thì sẽ không thu gọn được tổng M. Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu được: câu b) bài 4, ta tính hiệu hai biểu thức vì hai biểu thức có những số hạng giống nhau; còn bài 5 này hai tổng 2M và M lại có những số hạng đối nhau nên ta sẽ xét tổng của chúng: M = 1 - 2 + 22- 23 + + 22008 => 2M = 2 - 22 + 23 – 24 + + 22009 => 2M + M = 22009 + 1 22009 1 => M = 3 Bài 7. Tính: 1 1 1 1 a) A = 2 22 23 2100 1 1 1 1 b) B = 1+ 5 52 53 5500 Phương pháp giải Làm tương tự bài 4 30
  31. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 1 1 1 1 1 a) A = 2 22 23 299 2100 1 1 1 1 => 2A = 1+ 2 22 23 299 1 1 1 1 1 1 1 1 => 2A – A = (1+ ) – ( ) 2 22 23 299 2 22 23 2100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 => A = 1+ => A = 1 - 2 2 22 22 23 23 299 299 2100 2100 1 1 1 1 b) B = 1+ 5 52 53 5500 1 1 1 1 => 5B = 5+1+ 5 52 53 5499 1 1 1 1 1 1 1 1 => 5B – B = (5+1+ ) – (1+ ) 5 52 53 5499 5 52 53 5499 1 1 1 1 1 1 1 1 1  4B = 5+1-1+ 5 5 52 52 53 53 5499 5499 5500  4B = 5 - 1 5500  B = (5 - 1 ) : 4 5500 Bài 8. Tính: B = 1002 - 992 + 982 – 972 + + 22 - 1 Phương pháp giải Với bài này rất có thể học sinh nghĩ tới việc nhóm các số 100 2, 982, 22 thành một nhóm và các số còn lại thành một nhóm. Nhưng nếu nhóm như vậy thì sẽ không tính được nhanh. Để làm bài này giáo viên có thể cho học sinh chứng tỏ đẳng thức sau: Với mọi số tự nhiên a và b, ta có: (a - b).(a + b) = a2 - b2 Thật vậy, ta có: (a - b).(a + b) = (a - b).a + (a - b).b = a2 – ab + ab - b2 = a2 - b2 Vậy: (a - b).(a + b) = a2 - b2 Áp dụng đẳng thức trên vào bài 6 ta được: B = 1002 - 992 + 982 – 972 + + 22 – 1 = (100 - 99).(100 + 99) + (98 - 97).(98 + 97) + + (2 - 1).(2 + 1) 31
  32. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ = 100 + 99 + 98 + 97 + + 2 + 1 = 100.(100 + 1) : 2 = 5050 Bài 9. Chứng tỏ rằng. 1 1 1 1 1 a) H = 1 22 32 42 20072 20082 1 1 1 1 1 1 1 1 b) K = 22 42 62 82 102 122 142 2 Phương pháp giải Để làm được câu a, học sinh phải nắm được các kiến thức liên quan. Những bài toán dạng này thực sự rất khó với học sinh. Để học sinh hiểu được phụ thuộc hoàn toàn vào sự dẫn dắt, gợi mở của giáo viên. 1 1 1 Lưu ý: (n N*) n.(n 1) n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) Ta có: ; ; ; ; 22 1.2 32 2.3 42 3.4 20082 2007.2008 1 1 1 1 1 1 1 1 => H = (*) 22 32 42 20072 20082 1.2 2.3 2007.2008 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Mà 1 1 1 1.2 2.3 2007.2008 2 2 3 3 4 2007 2008 2008 Nên, từ (*) => H < 1 Qua bài toán trên, giáo viên có thể cho học sinh làm bài toán tổng quát sau: Bài 10. Chứng tỏ: 1 1 1 1 1 a) H = 1 (n N * ,n 1) 22 32 42 20032 n2 1 1 1 1 1 1 1 1 b) K = < 22 42 62 82 102 122 142 2 Phương pháp giải 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) H < = 1 1 1 1.2 2.3 (n 1).n 2 2 3 3 4 n 1 n n Nên H < 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) K = (1 ) < (1+1) = .2 = 2 2 22 32 42 52 62 7 2 2 2 2 2 2 32
  33. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 1 1 1 1 1 1 (Vì theo câu a, 1) 22 32 42 52 62 7 2 Vậy K < 1 . 2 Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập luyện tập sau: 1) Chứng tỏ rằng các biểu thức sau đều viết được dưới dạng số chính phương: M = 13+23 Q = 13+23+33+43+53 N = 13+23+33 R = 13+23+33+43+53+63 P = 13+23+33+43 K = 13+23+33+43+53+63+73 2) Tính A và B bằng hai cách trở lên: A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + + 2n (n N*) B = 70 + 71 + 72 + 73 + 74 + + 7n+1 (n N) 3) Viết tổng sau dưới dạng một lũy thừa của 2 T = 22+ 22 + 23 +24+25+ + 22008 4) So sánh: a) A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + + 22008 và B = 22009 – 1 b) P = 1 + 3 + 32 + + 3200 và Q = 3201 c) E = 1 + x + x2+ + x2008 và F = x2009 (x N*) 5) Chứng tỏ rằng: a) 13 + 33 + 53 + 73  23 b) 3 + 33 + 35 + 37 + + 32n+1  30 (n N*) c) 1 + 5 + 52 + 53 + + 5403 + 5404  31 d) 1 + 4 + 42 + 43 + 44 + + 499 và B = 4100 6) Tìm số dư khi chia A cho 7, biết rằng A = 1 + 2 + 22 + 23 + + 22008 + 22002 7) Tính: a) 3S – 22003 biết S = 1 – 2 + 22 - 23 + + 22002 b) E = 2100 – 299 – 298 – 297 - - 22 - 2 – 1 c) H – K biết: H = 1 + 3 + 32 + 33 + + 320 K = 321 : 2 8) Tìm: 33
  34. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ a) Số tự nhiên n biết: 2A + 3 = 3n. Với A = 3 + 32 + 33 + + 3100 b) Chữ số tận cùng của M biết: M = 2 + 22 + 23 + + 220 9) Chứng tỏ rằng: a) 87 – 218  14 h) 122n+1 + 11n+2  133 c) 817 – 279 - 913  405 i) 70 + 71 + 72 + 73 + +7101  8 b) 106 – 57  59 k) 4 + 42 + 43 + 44 + + 416  5 d) 1099 + 23  9 l) 439 + 440 + 441  28 e) 1028 + 8  72 m) 3 + 35 + 37 + + 31991  13 và  41 10) Chứng tỏ rằng: 1 1 1 1 1 a) 22 42 62 1002 2 1 1 1 1 1 1 b) 6 52 62 72 1002 4 1 5 52 59 1 3 32 39 c) A > B với: A = ; B = 1 5 52 58 1 3 32 38 3.5. Dạng 5: Toán đố với lũy thừa Dạng toán đố với lũy thừa có một số bài chủ yếu liên quan đến số chính phương. (Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên). Phương pháp: Cần hiểu một số kiến thức sau. • Số chính phương chỉ có thể có số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 và không thể có số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. • Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ. • Số lượng các ước của một số chính phương là một số lẻ. Ngược lại một số có số lượng các ước là một số lẻ thì số đó là số chính phương. Bài 1. Trong buổi họp mặt đầu xuân Tân Mùi 1991, bạn Thủy đố các bạn điền các chữ số vào dòng chữ sau để được phép tính đúng. MÙI . MÙI = TÂN MÙI (*) Bạn hãy trả lời giúp. 34
  35. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Phương pháp giải Đề bài rất hay, nhưng khi tìm câu trả lời thì thật là khó. Ta phải tìm câu trả lời thích hợp thay cho dòng chữ (*) MÙI là số có 3 chữ số Theo (*) thì (MÙI)2 có tận cùng là mùi và có 6 chữ số. Đi tìm đáp án: Gọi MÙI = a. Ta có: a2 = 1000. TÂN + a hay a2 – a = 1000. TÂN => a.(a - 1)  1000 Ta thấy a - 1 và a là hai số liên tiếp 1000 = 125. 8 với (125 ; 8) = 1 Vậy có thể xảy ra: • a  125 và a – 1  8 => a = 625 • a  8 và a - 1  125 => a = 376 Do đó: 625. 625 = 390625 (thỏa mãn) 376. 376 = 141376 (không thỏa mãn, vì chữ T khác chữ N) Vậy MÙI. MÙI = TÂN MÙI chính là 625. 625 = 390625. Bài 2. Đố bạn số chính phương nào có 4 chữ số được viết bởi các chữ số: 3; 6; 8; 8. Phương pháp giải Với bài toán này, ta phải sử dụng phương pháp loại trừ để tìm ra đáp án: Gọi số chính phương phải tìm là n2 Số chính phương không tận cùng bằng 3, 8 nên n2 có tận cùng là 6. Số tận cùng là 86 thì chia hết cho 2, không chia hết cho 4 nên không phải là số chính phương. Vậy n2 có tận cùng là 36. Do đó số chính phương cần tìm là 8836 . 35