Bộ đề thi môn Toán Lớp 8 - Học kì II (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bộ đề thi môn Toán Lớp 8 - Học kì II (Kèm đáp án)

1. Đề 1 Bài 1: (2,5 điểm) Giải các phương trình sau: x 2 1 2 a) 3x + 6 = 0 b) c) 5- x 3 x 2 x x(x 2) Bài 2: (1,5 điểm) Giải các bất phương trình sau: 2x 2 x 2 a) 3x + 5 < 5x – 1 b) 2 3 2 Bài 3: (1,5 điểm) (giải bài toán bằng cách lập phương trình) Một người khởi hành từ A lúc 7 giờ sáng và dự định tới B lúc 11 giờ 30 phút cùng ngày. Do đường chưa tốt, nên người ấy đã đi với vận tốc chậm hơn dự định 5km/h. Vì thế phải 12 giờ người ấy mới đến B. Tính quãng đường AB. Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH cắt đường phân giác BD tại I. Chứng minh rằng: HI AD a) IA.BH = IH.BA b) AB2 = HB.BC c) IA DC Bài 5: (1 điểm) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật, biết độ dài hai đáy là 12 cm và 16 cm, chiều cao là 25 cm. 2 Bài 6: (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 6x 5 9x2 Đề 2 Bµi 1: ( 1,5 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: x 2x a) 3x - 4 = 5 b) 0 x 1 x2 1 Bµi 2: ( 1 ®iÓm) Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh sau vµ biÓu diÔn tËp nghiÖm trªn trôc sè. 3x 5 x 2 1 x 2 3 Bµi 3: ( 1,5 ®iÓm) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh. Hai thïng dÇu A vµ B cã tÊt c¶ 100 lÝt. NÕu chuyÓn 18 lÝt dÇu tõ thïng A sang thïng B th× sè l­îng dÇu ë hai thïng b»ng nhau. TÝnh sè l­îng dÇu ë mçi thïng lóc ®Çu. Bµi 4: ( 3,5 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, AB = 2cm, AC = 4cm. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M sao cho ·ABM ·ACB . a) Chøng minh : ABM ∽ ACB. b) TÝnh AM. c) Tõ A kÎ AH  BC, AK  BM . Chøng minh: AB.AK = AM. AH d) Chøng minh r»ng : SAHB = 4 SAKM 1 1 1 Bµi 5: ( 0,5 ®iÓm) Cho 3 sè d­¬ng a, b, c vµ a + b + c =1. Chøng minh r»ng : 9 a b c
2. Đề 3 Câu 1. (3,0 điểm) 1. Giải các phương trình sau: 2x 3 5 4 a.8x 13 5x 6 b. (x 2)(x 2) x 2 x 2 2. Giải phương trình3 2x 4x 1 . Câu 2. (2,0 điểm) 1. Cho a .2020 2019a 2018 2019b 2. Giải bất phương trình12 3x(1 x) 3x2 6x . Câu 3. (1,5 điểm)Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc trung bình 60 km/h. Lúc trở về vẫn trên quãng đường đó, ô tô từ B về A đi với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi 20 km/h nên thời gian lúc trở về hết nhiều hơn lúc đi là 30 phút. Tính độ dài quãng đường AB. Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Kẻ DK vuông góc với AC (K thuộc AC). 1. Chứng minh ABC đồng dạng HAC . 2. Giả sử AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính độ dài đoạn BD. 3. Chứng minh AC.AD = 2 AB.CK. Câu 5. (0,5 điểm) Cho ba số x, y và z thỏa mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2). Đề 4 Câu 1: (1,5 điểm) Giải phương trình : a) 3x = 2x + 5 ;b) │2x+1│-3x+1=2 2x 1 1 Câu 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: x x 1 x Câu 3: (1,5 điểm) a) Giải bất phương trình 5x 10 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số. b) Cho m > n. Chứng minh -8m + 1 =1/3 Câu 4: (1,5 điểm) Hai công nhân được giao làm một số sản phẩm, người thứ nhất phải làm ít hơn người thứ hai 10 sản phẩm. Người thứ nhất làm trong 3 giờ 20 phút , người thứ hai làm trong 2 giờ, biết rằng mỗi giờ người thứ nhất làm ít hơn người thứ hai là 17 sản phẩm . Tính số sản phẩm người thứ nhất làm được trong một giờ? Câu 5: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm, BC = 10cm và đường phân giác BD ( D thuộc cạnh AC). Kẻ DH vuông góc với BC ( H thuộc cạnh BC). AD a) Tính tỉ số CD b) Hãy nêu hai cặp tam giác đồng dạng trên hình. c) Chứng minh: AB.DC = HD.BC Câu 6: (1,0 điểm) a) Viết công thức tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng. Giải thích các kí hiệu. b) Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng với CA = 3cm, AB = 4cm; BB’ = 7cm (hình vẽ bên)
3. Đề 1 Bài Đáp án Điểm a) 3x + 6 = 0 3x = - 6 x = - 2 Vây phương trình có tập nghiệm S = {-2} 0,5đ x 2 1 2 b) 1 x 2 x x(x 2) ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ 2 0,25đ QĐ – KM ta được: x2 + 2x = x – 2 + 2 x2 + x = 0 x(x + 1) = 0 0,25đ x 0(KTMDK) x 1(TMDK) 0,5đ Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-1} c) |5 - |x|| = 3 5 - |x| = ± 3 0,25đ +) 5 - |x| = 3 -|x| = -2 |x| = 2 x = ±2 0,25đ +) 5 - |x| = -3 -|x| = -8 |x| = 8 x = ±8 0,25đ Vậy phương trình có tập nghiệm S = {±2;±8} 0,25đ a) 3x + 5 3 Vậy bất phương trình có nghiệm x > 3 0,75đ 2x 2 x 2 b) 2 3 2 2 0,25đ 2(2x 2) 12 3(x 2) 4x 4 12 3x 6 4x 3x 12 6 4 0,25đ x 2 0,25đ Vậy bất phương trình có nghiệm x 3 Gọi x (km) là độ dài quảng đường AB (x > 0) 0,25đ 9 2x Vận tốc ô tô dự định đi là x : = (km/h) 2 9 x 0,25đ Vận tốc thực tế ô tô đã đi là (km/h) 5 3 Vì vận tốc thực tế chậm hơn vận tốc dự định 5 km/h nên ta có phương trình: 0,25đ x 2x + 5 = 5 9 0,5đ Giải phương trình suy ra nghiệm x = 225(TMĐK) 0,25đ Vậy quảng đường AB dài 225 km
4. A 0,5đ D I B H C AB IA a) Trong BAH có BI là phân giác góc B suy ra: 0,5đ BH IH 0,25đ IA.BH=AB.IH (t/c tia phân giác của tam giác) b) ABC và HBA có B· AC = B· HA = 900 ; gócB chung AB BC 0,5đ ABC ~ HBA (g.g) 4 HB AB 0,25đ AB2 = HB.BC c) Áp dụng t/c tia phân giác của tam giác cho tam giác ABC ta có: 0,25đ AD BA DC BC 0,25đ BA HB mà (chứng minh trên) 0,25đ BC AB HB IH và (chứng minh trên) 0,25đ AB IA AD IH (tính chất bắc cầu) DC IA 5 +) Tính được diện tích toàn phần là: 2 Stp = Sxq + 2Sđ = 2(12 + 16). 25 + 12.16 = 1592 (cm ) 0,5đ +) Tính được thể tích V = 12 . 16 . 25 = 4800 (cm3) 0,5đ 6 Ta có: 2 2 2 A 6x 5 9x2 9x2 6x 5 (3x 1)2 4 Ta thấy: (3x - 1)2 + 4 4, do đó: 1 1 2 2 1 2 => 2 A (3x 1) 4 4 (3x 1) 4 4 2 1 1 0,5đ Min A = 3x – 1 = 0 x = 2 3
5. Bµi §¸p ¸n §iÓm a) ( 0,75 ®iÓm) 3x – 4 = 5 3x = 5 + 4 3x =9 x = 3 0,5 VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã tËp nghiÖm lµ S = { 3} 0,25 b) ( 0,75 ®iÓm) x 2x 0 §K: x ≠ 1 vµ x ≠ -1 x 1 x2 1 1 x(x 1) 2x (1,5 ®iÓm) 0 x2 1 x2 1 x( x+1) -2x = 0 (1) x2 +x – 2x = 0 0,25 x2 –x = 0 x( x -1) =0 x = 0 hoÆc x – 1 = 0 1) x = 0 ( TM§K) 2) x – 1 = 0 x = 1 ( Kh«ng TM§K) 0,25 VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã tËp nghiÖm lµ S = { 0} 0,25 (1,0 ®iÓm) 3x 5 x 2 1 x 2 3 3(3x+5) – 6 2( x+2) +6x 0,25 9x +15 – 6 2x + 4 +6x 2 9x + 9 8x + 4 ( 1,0 ®iÓm) 9x – 8x 4 – 9 x -5 0,25 VËy bÊt ph­¬ng tr×nh ®· cho cã tËp nghiÖm lµ { x/ x -5} 0,25 BiÓu diÔn ®óng tËp nghiÖm trªn trôc sè. 0,25 -5 0 Gäi sè l­îng dÇu ë thïng A lóc ®Çu lµ x (lÝt) ( x >18) Th× sè l­îng dÇu ë thïng B lóc ®Çu lµ 100 – x ( lÝt) Sè lÝt dÇu lóc sau cña thïng A lµ : x – 18 ( lÝt) Sè lÝt dÇu cña thïng B lóc sau lµ : 100 – x +18 ( lÝt) Theo ®Ò bµi ta cã ph­¬ng tr×nh: x – 18 = 100 – x + 18 0,75 3 ( 1,5 ®iÓm) x +x = 100 + 18 + 18 2x = 136 x = 68 ( tho¶ m·n §K cña Èn) 0,5 VËy sè l­îng dÇu ë thïng A lóc ®Çu lµ 68 ( lÝt), sè l­îng dÇu ë thïng 0,25 B lóc ®Çu lµ 100 – 68 = 32 ( lÝt) VÏ h×nh ®óng cho c©u a) ®­îc 0,5 ®iÓm
6. Bµi §¸p ¸n §iÓm A M 2 4 K B C H a) (1,0 ®iÓm) XÐt ABM vµ ACB cã: 0,5 µA : chung ·ABM ·ACB ( gt) Do ®ã ABM ∽ ACB( g.g) 0,5 b) ( 0,75 ®iÓm) V× ABM ∽ ACB ( cmt) AB AM vµ ( §/n hai tam gi¸c ®ång d¹ng) 0,25 AC AB 4 AB2 22 0,5 AM 1(cm) ( 4.0 ®iÓm) AC 4 c) ( 0,75 ®iÓm) V× ABM ∽ ACB ( cmt) ·AMB ·ABC (§/n hai tam gi¸c ®ång d¹ng) ·AMK ·ABH ( V× K BM, H BC) XÐt AHB vµ AKM cã: ·AHB ·AKM = 900 ( V× AH  BC, AK  BM) · · ABH AMK ( cmt) 0,5 Do ®ã AHB ∽ AKM ( g.g) AH AB Suy ra ( §/n hai tam gi¸c ®ång d¹ng) AK AM AH.AM = AB. AK ( §PCM) 0,25 d) (0,5 ®iÓm) Cã AHB ∽ AKM ( cmt) 2 2 SAHB AB 2 4 ( T/c hai tam gi¸c ®ång d¹ng) 0,25 SAKM AM 1 Suy ra SAHB= 4 SAKM 0,25 V× a + b + c =1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Nªn xÐt = 1. = ( a +b +c) a b c a b c a b c a a b b c c = 1 1 1 5 b c a c a b ( 0,5 ®iÓm) a b b c a c 0,25 = 3 + b a c b c a V× a, b, c lµ c¸c sè d­¬ng nªn theo B§T C«si ta cã: a b a b 2 . 2 b a b a
7. Bµi §¸p ¸n §iÓm b c a c T­¬ng tù ta còng cã: 2 ; 2 c b c a 1 1 1 Suy ra 3 + 2+2 +2 = 9 a b c 1 1 1 VËy ≥ 9 a b c 0,25 1 DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c = 3 Đề 3 Hướng dẫn giải Điểm Câu 1 (3 điểm) a)Ta có: 8x 13 5x 6 8x 5x 6 13 0,25 7 3x 7 x 0,5 3 7 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x . 0,25 3 b) ĐKXĐ: x 2 2x 3 5 4 (x 2)(x 2) x 2 x 2 1 0,25 2x 3 5(x 2) 4(x 2) (2 điểm) (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) (x 2) x 2 2x 3 5x 10 4x 8 0,25 2x 5x 4x 8 3 10 7x 1 1 0,25 x 7 Đối chiếu điều kiện 0,25 KL: . Xét phương trình: 3 2x 4x 1 (1) 3 +) Với 3 2x 0 x Thì 3 2x 3 2x 2 0,25 Khi đó phương trình (1) trở thành: .3 2x 4x 1 2x 4x 1 3 2 (1 điểm) 6x 2 0,25 1 3 x ( Thỏa mãn x ) 3 2 3 +) Với 3 2x 0 x Thì 3 2x 3 2x 2 0,25 Khi đó phương trình (1) trở thành: 3 2x 4x 1
8. 2x 4x 1 3 2x 4 3 x 2 (Không thỏa mãn x ) 0,25 2 1 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  3 Câu 2 (2 điểm) Ta có: a 2020 2019a 2018 2019b 0,25 12 3x(1 x) 3x2 6x 0,25 12 3x 3x2 3x2 6x 2 (1 điểm) 3x 12 0,5 x 4 Kết luận: 0,25 Câu 3 (1,5 điểm) Gọi độ dài quãng đường AB là x( km); ĐK: x > 0 0,25 x Thời gian ô tô đi từ A đến B là: (giờ) 0,25 60 A Thời gian F E lúc từ B về B H D C x Vì từ B về A ô tô đi với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi 20 km/h nên vận tốc A là: lúc về là 40 km/h. 40 (1,5 điểm) (giờ ) 0,25 1 Vì thời gian lúc về nhiều hơn thời gian lúc đi 30 phút ( giờ) nên ta có 2 0,25 x x 1 phương trình: - 40 60 2 Giải phương trình tìm được x = 60 (thoả mãn ĐK) 0,5 kết luận : . Câu 4 (3 điểm) Hình vẽ: A K B H D C
9. Do Δ ABC vuông tại A nên B· AC = 900 · 0 AH là đường cao trong Δ ABC => AHC = 90 a Xét Δ ABC và Δ HAC có: (1 điểm) B· AC = A· HC = 900 0,75 Cµ chung Do đó: Δ (g.g)ABC Δ HAC 0,25 Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông ABC tại A, ta có: 0,25 BC2 = AB2 + AC2 . Thay số tính được BC = 10 (cm ) Gọi độ dài cạnh BD là: x ( cm ) Khi đó: DC= 10 – x (cm) b Áp dụng tính chất đường phân giác AD trong Δ ABC 0,5 (1 điểm) BD DC x 10 x Ta có: Hay AB AC 6 8 30 Giải phương trình tìm được x = ( cm ) 7 0,25 30 Vậy BD = ( cm ) 7 Ta có : DK // AB ( Cùng vuông góc với AC) Áp dụng định lý Ta lét vào Δ ABC có DK // AB 0,25 DK CK Ta được : (1) AB AC c Chứng minh được Δ ADK vuông cân tại K => AK = DK (2) Áp dụng định lý Pitago vàoΔ ADK vuông cân tại K. (1 điểm) 0,5 AD Suy ra : AD = 2 .DK DK (3) 2 AD CK Thay (3) vào (1) ta được : 2AB AC 0,25 AD.A C 2AB.CK Câu 5 (0,5 điểm) Vì x + y + z = 0 x + y = -z (x + y)3 = -z3 x3 + y3 + 3xy(x + y) = -z3 3xyz = x3 + y3 + z3 Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) 5 5 5 3 2 2 3 2 2 3 2 2 (0,5 điểm) = x + y + z + x (y + z )+ y (z + x ) +z (x + y ) 0,25 Mà x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = z2 - 2xy ( vì x + y = -z). Tương tự : y2 + z2 = x2 - 2yz ; z2 + x2 = y2 -2zx. Vì vậy : 0,25 3xyz ( x2 + y2+ z2) = x5+ y5+ z5+ x3(x2 - 2yz)+ y3(y2- 2zx) +z3(z2 - 2xy)
10. = 2(x5 + y5 + z5) -2xyz(x2 + y2 + z2) Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (đpcm) Tổng điểm 10 Đề 4 Câu Đáp án Điểm Câu 1 3x – 2 = 2x + 5 3x 2x 5 2 0,5 x 7 0,25 Vậy phương trình có tập nghiệm S= 7 0,25 Câu 2 a. ĐKXĐ : x 0 ; x -1 0,5 b. 2x 1 1 x x 1 x 2x 1 x 1 x(x 1) x(x 1) 2x 1 x 1 0,25 2x x 1 1 0,25 x 2(TMĐM) 0,25 Vậy phương trình có tập nghiệm S= 2 0,25 Câu 3 a 5x 10 0 5x 10 0,25 10 x 5 0,25 x 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x / x 2 0,25 0,25 b Ta có: m > n - 8m 0) 0,25 Khi đó tàu khách đã chạy được một quãng đường là 48.x (km) 0,25 Vì tàu hàng chạy trước tàu khách 2 giờ, nên khi đó tàu khách đã 0,25 chạy được quãng đường là 36(x+ 2) km. 0,25 Theo đề bài : 48x = 36(x + 2) 48x – 36x = 72 72 0,25 x = 6 (TMĐK) 12 0,25 Tàu khách đi được 6 giờ thì đuổi kịp tàu hàng.
11. Câu 5 a. Vì BD là đường phân giác của góc ABC nên: 0,5 AD AB 6 3 0,25-0,25 DC BC 10 5 b Hai cặp tam giác đồng dạng: ABD và HBD 0,75 ABC và HDC 0,75 c Xét tam giác ABC và tam giác HDC, ta có: BAˆC DHˆC 900 Cˆ chung 0,25 Vậy ABC HDC (g-g) 0,25 Vì ABC HDC nên: AB BC HD DC 0,25 0,25 AB.DC BC.HD Câu 6 a. Sxq = 2p.h 0,5 ( p: nửa chu đáy, h: chiều cao ) 0,5 b Áp dụng định lí Py – ta – go cho tam giác ABC vuông tại A, ta có: BC 2 AB 2 AC 2 32 42 9 16 25 0,25 BC 5cm Sxq = 2.(AB +AC + BC).BB’ = 2(3 + 4+ 5).7 = 168 (cm2) 0,25