Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Trường hợp đồng dạng thứ ba (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Trường hợp đồng dạng thứ ba (Có đáp án)

1. 7. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA I. KIẾN THỨC CƠ BẢN  Định lý: Nếu hai gúc của tam giỏc này lần lượt bằng hai gúc của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú đồng dạng. A DABC,DA 'B 'C ' GT à àà ả A = A',B = B ' A' KL DABC ” DA 'B 'C ' B C B' C' II. BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giỏc ABC cú đường phõn giỏc trong AD. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt tia AD tại E. Chứng minh: a) DABD ” DECD; b) ACE cõn tại C. à ã Bài 2: Cho hỡnh thang ABCD cú AB//CD, AB = 4cm , DB = 6cm và A = CBD . Tớnh độ dài CD. Bài 3: Cho D ABC vuụng tại A cú AK là đường cao AB = 12cm, AC = 16cm. a) Chứng minh: D ABK ∽ D CBA. Tớnh độ dài đoạn thẳng BC, AK. b) Chứng minh: DABK ” DCAK c) Chứng minh: DCAK ” DCBA Bài 4: Cho tam giỏc ABC. Trờn cỏc cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt cỏc điểm M, N, P sao cho AM, BN, CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ cỏc đường thẳng song song với BO cắt CO, OA lần lượt ở E và F. a) Chứng minh: DFCM” DOBM và DPAE ” DPBO MB NC PA b) Chứng minh: . . = 1. MC NA PB Bài 5: Cho ABC cú 3 gúc nhọn, cỏc đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H . Chứng minh: a) AD.BC BE.AC CF.AB b) AD.HD DB.DC và suy ra cỏc hệ thức tương tự c) ABH ” EDH và suy ra cỏc kết quả tương tự d) AEF : ABC và BDF : EDC
2. e) AHB : AFD và suy ra cỏc kết quả tương tự. f) Điểm H cỏch đều 3 cạnh của DEF Bài 6: Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chộo AC và BD. a) Chứng minh OA.OD = OB.OC. OH AB b) Đường thẳng qua O, vuụng gúc với AB, CD theo thứ tự tại H, K. Chứng minh OK CD à à Bài 7: Cho tam giỏc ABC cú B 2.C , AB = 4 cm, AC = 8 cm, Tớnh độ dài cạnh BC ? BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho D ABC nhọn cú ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh: BH.BE= BD.BC. b) Chứng minh: CH.CF = CD.CB . c) Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC 2 . Bài 2: Cho tam giỏc ABC và d là đường thẳng tựy ý qua B. Qua E là điểm bất kỡ trờn AC, vẽ đường thẳng song song với AB và BC, lần lượt cắt d tại M và N. Gọi D là giao điểm của ME và BC. Đường thẳng NE cắt AB và MC lần lượt tại F và K. Chứng minh: a) AFN ∽ MDC; b) AN PMK. KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ A Bài 1: a) Do AB/ / CE nờn Bã AD Dã EC . Chứng minh được B C ABD ~ ECD(g  g) D b) Chứng minh được Cã AD Cã ED( Bã AD) nờn ACE cõn tại C. E Bài 2: Xột ABD và BDC: A B À Cã BD; Ã BD Bã DC (so le trong) ị VABD ” DBDC (g – g) AB BD BD2 62 D C = ị CD = = = 9cm BD CD AB 4
3. Bài 3: a) Chứng minh: D ABK ∽ D CBA. Tớnh độ dài đoạn thẳng BC, AK. ỡ ã ã 0 ã ù ABK = CBA(= 90 - BAK ) DABK ,CBA : ớù ị DABK ” DCBA ã ã 0 ù AKB = CAB(= 90 ) ợù A ΔABC vuụng tại A: BC = AB 2 + AC 2 = 20cm 1 1 BA.AC C S = AK .BC = AB.AC ị AK = = 8,6cm B ABC 2 2 BC K ỡ ã ã 0 ã ù ABK = KAC(= 90 - BAK ) b) DABK ,CAK : ớù ị DABK ” DCAK ù ÃKB = CãKA(= 900) ợù ỡ ù DABK ” DCAK c) ớ ị DCAK ” DCBA (cỏch khỏc g-g) ù DABK ” DCBA ợù Bài 4: Fã CM Oã BM (OB / /CF) a) FCM ,OBM : FCM ~ OBM ã ã FMC OMB ỡ ã ã ù PAE = PBO (OB/ / AE) DPAE,PBO : ớù ị DPAE” DPBO ù EãPA = OãPB ợù MB OB FCM ” OBM MC FC MB PA AE b) . PA AE MC PB FC PAE” PBO PB BO N AC AE AC AEC : ON / / AE, O EC ON NC AE AN O FA ON AN FC NC AFC : ON / /CF, O AC FC AC MB NC PA AE FC Từ cỏc kết quả trờn suy ra đpcm: . . = . = 1 MC NA PB FC AE Bài 5: a) Vỡ AD, BE, CF là đường cao của ABC AD  BC; CF  AB; BE  AC Cã FA Bã EA 90  Xột CFA và BEA cú:  CFA : BEA(g g) à A chung  CF AC AC.BE CF.AB (1) BE AB
4. Xột CFB và ADB cú: Cã FB ãADB 90   CFB : ADB(g g) à A B chung  CF CB E Fã CB Dã AB và AD.BC CF.AB (2) AD AB F Từ (1) và (2) suy ra: AD.BC BE.AC CF.AB H B b) Xột CDH và ADB cú: D Cã DH ãADB 90  C  CDH : ADB(g g) ã ã HCD BAD(cmt)  HD CD CH AD.HD CD.BD; AB.HD CH.BD;CD.AB CH.AD BD AD AB ãAEH Bã DH 90  AH EH c) Xột AEH và BDH cú:  AHE” BDH (g g) ã ã AHE BHD(dd)  BH DH AH EH  (cmt) Xột AHB và EHD cú: BH DH  AHB” EDH (c g c) ã ã AHB EHD(dd) Tương tự ta cú: AHC : FHD; BHC : FHE FA AC d) Vỡ CFA” BEA EA AB FA AC  (cmt) Xột AEF và ABC cú: AE AB  AEF” ABC(c g c) à A(chung)  BDF” BAC Chứng minh tương tự ta cú  BDF” EDC (t/c ) BAC” EDC ã ã e) Vỡ DBDF ” DBAC ị BDF = BAC ãADF ãABH (cựng phụ với Bã DF Bã AC ) ãABH ãADF  Xột AHB và AFD cú:  AHB” AFD(g g) à A(chung)  Tương tự ta cú: AED : AHC f)
5. ã ã ùỹ DAHB” DAFD đ ABH = FDA ù ã ã ýù ị FDA = EDH DH là tia phõn giỏc Fã DE (3) DAHB” DEHD đ ÃBH = EãDH ù ỵù Lại cú: Fã EB Fã AD (cựng phụ với ãAEF Fã DB ) Mà: Hã AB Hã ED(cmt) Fã EB Hã ED EH là tia phõn giỏc Fã ED (4) Từ (3) và (4) suy ra: H là giao điểm của 3 đường phõn giỏc trong tam giỏc FED hay H cỏch đều 3 cạnh của tam giỏc FED Bài 6: ãAOB Cã OD OA OB a) OAB” OCD ã ã OAB OCD (AB//CD) OC OD đpcm ã ã 0 AHO CKO( 90 ) OA OH b) OAH ” OCK ã ã OC OK OAH OCK AB//CD OA AB OH AB Mà OAB” OCD nờn OC CD OK CD Bài 7: A Kẻ đường phõn giỏc BD của tam giỏc ABC. D Xột ∆ABC và ∆ADB cú À chung, ổ ã ử ã ã ỗ ABC ữ ACB = ABDỗ= ữ suy ra ∆ABC ∽ ∆ADB (g.g) ỗ ữ ốỗ 2 ứữ B C AB AC AB2 42 AD 2 (cm) AD AB AC 8 CD = 6 (cm). BC CD AB.CD 4.6 ∆ABC cú BD là đường phõn giỏc nờn BC 12 (cm). AB AD AD 2