Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Hình lăng trụ đứng (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Hình lăng trụ đứng (Có đáp án)

1. 2. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Hình lăng trụ đứng Hình bên là hình lăng trụ đứng. Trong hình này: - A,B,C,D, A1; B1;C1; D1 là các đỉnh. - Các mặt ABB1 A1; BCC1B1;.là các hình chữ nhật. Chúng được gọi là các mặt bên. - Hai mặt ABCD; A1B1C1D1 là hai đáy.  Hình lăng trụ đứng trên có hai đáy là tứ giác nên gọi là lăng trụ đứng tứ giác, kí hiệu ABCD  A1B1C1D1 Hình lăng trụ đứng tứ giác  Hình hộp chữ nhật, hình lập phương cũng là những hình lăng trụ đứng.  Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.  Lăng trụ đứng có hai đáy là tam giác, tứ giác , ngũ giác thì hình lăng trụ đứng tương ứng được gọi là lăng trụ đứng tam giác, lăng trụ đứng tứ giác, lăng trụ đứng ngũ giác. (hình 1) (hình 1) 2) Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng  Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích các mặt bên. Ta có công thức Sxq 2 ph ( p là nữa chu vi đáy, h là chiều cao).  Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy Stp = Sxq + 2Sday 3) Thể tích của hình lăng trụ đứng  Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao  Công thức V = S.h ( S là diện tích đáy, h là chiều cao)
2. III. BÀI TẬP Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A 'B 'C '. a) Những cặp mặt phẳng nào song song với nhau? b) Những cặp mặt phẳng nào vuông góc với nhau? Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.DEF. Trong các phát biểu sau phát biểu nào đúng ? a) Các cạnh bên AB và AD vuông góc với nhau. b) Các cạnh bên BE và EF vuông góc với nhau. c) Các cạnh bên AC và DF vuông góc với nhau. d) Các cạnh bên AC và DF song song với nhau. e) Hai mặt phẳng (ABC ) và (DEF ) song song với nhau. f) Hai mặt phẳng (ACFD) và(BCFE) song song với nhau. g) Hai mặt phẳng (ABED) và (DEF ) vuông góc với nhau. Bài 3: Cho một hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' a) Những cặp mặt phẳng nào song song với nhau. b) Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với những mặt phẳng nào. Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A 'B 'C ' có hai đáy là hai tam giác vuông tại A,A ' . Chứng minh a) AB  mp AA'C 'C b) mp AA 'C 'C  mp AA ' B ' B Bài 5: Một khối gỗ hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ', có cạnh bằng a. Người ta cắt khối gỗ theo mặt (ACC’A’) được hai hình lăng trụ đứng bằng nhau. Tính diện tích xung quanh của mỗi hình lăng trụ đó. Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng tam giácABC.A 'B 'C ' , có đáy là tam giác ABC cân tại C, D là trung điểm của cạnh AB. Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ. Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B vớiBA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 60° . Tính thể tích lăng trụ. Bài 8: Cho hình lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a. Tính chiều cao (theo a) của hình 1 lăng trụ, biết diện tích xung quanh bằng diện tích toàn phần. 2
3. Bài 9: Tính diện tích toàn phần (tổng diện tích các mặt) và thể tích của hình sau * Tính diện tích toàn phần hình lăng trụ HFG.JIK Bài 10: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A 'B 'C ' có đáy là tam giác ABC cân tại A có các kích thước như hình vẽ. Tính thể tích của hình lăng trụ. Bài 11 : Một bình thủy tinh hình lăng trụ đứng ABC.A 'B 'C ' , đáy là tam giác cân ABC có kích thước như 2 hình vẽ. Mực nước hiện tại trong bình bằng chiều cao của lăng 3 trụ. Bây giờ ta đậy bình lại và lật đứng lên sao cho mặt (BCC 'B ') là mặt đáy. Tính chiều cao của mực nước khi đó. Bài 12: Tính thể tích của khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác và các mặt bên là các hình vuông cạnh bằng a. Bài 13: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A 'B 'C ' có đáy là tam giác ABC cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và B 'C ' a) Chứng minh AMNA ' là hình chữ nhật b) Tính diện tích hình chữ nhật AMNA ' biết thể tích của hình lăng trụ bằng V và BC = a . Bài 14: Một bình thủy tinh hình lăng trụ đứng ABC.A 'B 'C ' , đáy là tam giác ABC có AB = 6cm , BC = 10cm , AC = 8cm , chiều cao CC ' = 12cm . Mực nước trong 2 bình hiện tại bằng chiều cao của hình lăng trụ. Bây giờ ta đậy bình lại và lật đứng lên 3 sao cho mặt (ACC 'A ') là mặt đáy. Tính chiều cao của mực nước khi đó. Bài 15: Một bình thủy tinh hình lăng trụ đứng ABC.A 'B 'C ' , đáy là tam giác ABC có AB = 6cm , BC = 10cm , AC = 8cm , chiều cao CC ' = 12cm . Mực nước trong 2 bình hiện tại bằng chiều cao của hình lăng trụ. Bây giờ ta đậy bình lại và lật đứng lên 3 sao cho mặt (BCC 'B ') là mặt đáy. Tính chiều cao của mực nước khi đó. Bài 16: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A 'B 'C ' là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a 2 và biết A 'B = 3a . Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 17: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A 'B 'C 'D ' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này.
4. TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.D EF có ABC vuông tại A. a) Những cặp mặt phẳng nào song song với với nhau? b) Những cặp mặt phẳng nào vuông góc với nhau? c) Cho biết DF 2cm; AB 3cm, AD 5cm . Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ. d) Gọi M là trung điểm của EF . Tính độ dài các đoạn thẳng BM , AM . Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng tam giác MNP.QRS . (Mỗi câu sau đây có giả thiết riêng) a) Nếu MPN vuông tại P có PN 2cm;PS 5cm và thể tích V 15cm3 .Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ. b) Nếu MPN cân ở M có MN 15cm; PN 8cm; PS 22cm . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ. c) Nếu MPN đều có cạnh là a(cm) . Gọi H là trung điểm của cạnh SR và M· HQ 600 . Tính độ dài MQ , diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích của hình lăng trụ theo a. Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.EFGH , đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B . a) Hãy kể tên các cạnh song song với cạnh AD , song song với cạnh AB, các đường thẳng song song với mp EFGH ;các đường thẳng song song với mp DCGH . b) Cho biết AB AD 4 cm ; BC 2AD và A· FE 450 .Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ đứng. Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A 'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a cm và ·ADC 600 và DD' a cm . a) Chứng minh mp CB'D' // mp A 'DB b) Chứng minh mp AA 'C'C // mp DD'B'B . c) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ. Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có cạnh đáy AB = AC = 10cm và BC = 12cm . Gọi M là trung điểm của B'C'. a) Chứng minh rằng B¢C¢ ^ mp(AA ¢M) b) Cho biết AM = 17cm , tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ.
5. Bài 6: Một hình lăng trụ đều có tổng số mặt, số đỉnh và số cạnh là 26. Biết thể tích của hình lăng trụ là 540cm3, diện tích xung quanh là 360cm2. Tính chiều cao của hình lăng trụ đó. Bài 7: Hình hộp đứng ABCD.A 'B 'C 'D ' có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, góc nhọn 30o. Cho biết diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng hai lần diện tích xung quanh của nó. Tính chiều cao của hình lăng trụ đứng. Bài 8: Hình lăng trụ đứng ABC.A 'B 'C ' có AB = 5cm , AC = 12cm và chiều cao AA ' = 10cm . Biết diện tích xung quanh của hình lăng trụ là 300cm2, tính thể tích của nó. Bài 9: Một hình lăng trụ đứng có đáy là hình thoi với các đường chéo bằng 16cm và 30cm. Diện tích toàn phần của hình lăng trụ này là 2680cm2 , tính thể tích của nó. Bài 10: Hình lăng trụ ngũ giác đều ABCDE.A 'B 'C 'D 'E ' có cạnh đáy bằng a. Biết hiệu giữa các diện tích xung quanh của hai hình lăng trụ đứng ABCE.A 'B 'C 'E ' và CDE.C 'D 'E ' là 4a2 . Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho.
6. KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ Bài 1: a) Những cặp mặt phẳng song song là: mp(ABC )/ / mp(A’B’C’) b) Những cặp mặt phẳng vuông góc nhau là: mp(ABC) ^ mp(AA¢B ¢B) mp(ABC) ^ mp(BB ¢C ¢C ) mp(ABC) ^ mp(AA¢C ¢C ) mp(A¢B ¢C ¢) ^ mp(BB ¢C ¢C ) mp(A¢B ¢C ¢) ^ mp(AA¢C ¢C ) mp(A¢B ¢C ¢) ^ mp(AA¢B ¢B) Bài 2: a) Sai vì AB và AD không phải là các cạnh bên. b) Sai vì BE và EF không phải là các cạnh bên. c) Sai vì AC và DF không phải là các cạnh bên. d) Sai vì AC và DF không phải là các cạnh bên. e) Đúng f) Sai vì Hai mặt phẳng (ACFD) và (BCFE ) vuông góc nhau g) Đúng Bài 3: Bài giải a) Những mặt phẳng song song với nhau là: mp(ABCD)/ / mp(A 'B 'C 'D '); mp(AA 'D 'D)/ / mp(BB 'C 'C ); mp(DCC 'D ')/ / mp(AA 'B 'B) b) mp(ABCD) ^ mp(AA¢B ¢B) mp(ABCD) ^ mp(BCC ¢B ¢) mp(ABCD) ^ mp(AA¢D ¢D) Bài 4: a) AB  AC ( ABC vuông tại A) AB  AA (AA 'B 'B là hình chữ nhật) nên AB vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AC và AA ' của mặt phẳng (AA 'C 'C ). Suy ra AB  mp AA 'C 'C
7. b) mp(AA 'B 'B) chứa AB, mà AB vuông góc với mp(AA 'C 'C ) nên mp AA 'C 'C  mp AA ' B ' B Bài 5: HD: Ta có AC a a2 a 2cm Chu vi đáy hình lăng trụ a a a 2 (2 2)a Diện tích xung quanh của hình lăng trụ 2(2 2)a a S 2 ph (2 2)a2 ( cm2 ) xq 2 Bài 6: D là trung điểm AB, suy ra CD là chiều cao tam giác đáy Vậy nên DB 52 42 25 16 9 3cm BB¢ ^ AB , áp dụng định lí py-ta-go, ta có BB 52 32 25 9 16 4cm Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là æ1 ö ç ÷ Stp = Sxq + 2Sd = (5 + 5 + 6) ×4 + 2ç ×4.6÷ èç2 ø÷ 2 Stp = 64 + 24 = 88cm Bài 7: Ta có A A  (ABC) A A  AB và AB là hình chiếu của A 'B trên đáy ABC và A· BA' 60 Trong VABA' ta có AA AB tan 60 a 3 1 a2 S = BA ×BC = ABC 2 2 a3 3 Vậy V = S ×AA' = ABC 2
8. Bài 8: Diện tích xung quanh hình trụ Sxq 2(a a)h (cm) Diện tích toàn phần của hình trụ 2 Stp Sxq 2Sd 2(a a)h 2a.a Stp 4ah 2a 2a(2h a) 1 Theo đề ta có S S xq 2 tp 1 a Hay 4ah 2a(a 2h) 4h a 2h 2h a h 2 2 a Vậy chiều cao của hình trụ là (cm) 2 Bài 9: Độ dài đường chéo của tam giác đáy là JK HG 32 42 25 5cm 1 Diện tích tam giác đáy S S 3.4 6cm2 HFG TIK 2 Diện tích toàn phần hình lăng trụ HFG.JIK æ3 + 4 + 5ö ç ÷ 2 Stp1 = Sxq + 2Sday = 2ç ÷×3 + 2.6 = 48cm èç 2 ø÷ * Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật ABCD.EFII ' (I’ là điểm phía dưới) 2 Stp2 Sxq 2Sd 2(1 3).5 2.1.3 46cm 2 * SJIFH 3.3 9cm * Diện tích toàn phần của hình đã cho là 2 Stp Stp1 Stp2 SMFH 48 46 9 85cm 3 Thể tích hình lăng trụ V1 Sd h 6.3 18cm 3 Thể tích hình hộp chữ nhật V2 Sd h 3.5 15cm 3 Thể tích của hình đã cho là V V1 V2 18 15 33cm Bài 10: Chiều cao của tam giác đáy h' 133 52 169 25 h' 144 12cm 1 1 Diện tích tam giác ABC là S h'.BC 12.10 60cm2 2 2
9. 3 Thể tích của hình lăng trụ ABC.A 'B 'C ' là V Sd h 60.12 720cm Bài 11 : Chiều cao của tam giác đáy h' 133 52 169 25 h' 144 12cm 1 1 Diện tích tam giác ABC là S h'.BC 12.10 60cm2 2 2 2 Thể tích nước hiện tại trong hình lăng trụ là V 60. .12 480cm3 3 2 Nếu chọn đáy là (BCC 'B ') thì Sd 10.12 120cm V 480 Chiều cao mực nước mới là h' h' 4cm Sd 120 Vậy chiều cao mực nước mới là 4cm. Bài 12: Hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh a, đường cao tam giác đáy là a 3 h cm 2 1 a 3 a2 3 Diện tích tam giác đáy là S a 2 2 4 a2 3 a3 3 Thể tích hình lăng trụ là V S.h a cm3 4 4 Bài 13: a) Ta có A’N / / AM và A 'N = AM nên A 'NMA là hình bình hành. Mặt khác A¢N ^ mp(CC 'B 'B) nên A ' N ^ NM Vậy AMNA ' là hình chữ nhật 1 b) V S h AMBC AA' d 2 mà AA ' = MN nên diện tích hình chữ nhật AMNA ' là 1 V S AM.AA ' cm2 2 a
10. 1 Bài 14: Diện tích tam giác đáy là S 8.6 24cm2 2 2 Thể tích nước hiện tại trong hình lăng trụ là V 24. 12 192cm3 3 2 Nếu chọn đáy là (ACC 'A ') thì Sd 8.12 96cm V 192 Chiều cao mực nước mới là h h 2cm Sd 96 Vậy chiều cao mực nước mới là 2cm. Bài 15: 1 Diện tích tam giác đáy là S 8.6 24cm2 2 2 Thể tích nước hiện tại trong hình lăng trụ là V 24. 12 192cm3 3 2 Nếu chọn đáy là (BCC 'B ') thì Sd 6.12 72cm V 192 Chiều cao mực nước mới là h h 2,7cm Sd 72 Vậy chiều cao mực nước mới là 2,7cm. Bài 16: Ta có ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a ¢ ABC.A 'B 'C ' là lăng trụ đứng Þ AA ^ AB DAA ¢B Þ AA ¢2 = A ¢B2 - AB2 = 8a2 AA 2a 2 ¢ 3 Vậy V = B ×h = SABC ×AA = a 2 Bài 17: ABCD.A 'B 'C 'D ' là lăng trụ đứng nên BD2 = BD¢2 - DD¢2 = 9a2 Þ BD = 3a C' 3a D' ABCD là hình vuông AB 2 A' B' 4a 9a2 5a Suy ra B = S = D C ABCD 4 ¢ 3 A B Vậy V = B ×h = SABCD.AA = 9a