Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Định lý Talet đảo và hệ quả của định lý Talet (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Định lý Talet đảo và hệ quả của định lý Talet (Có đáp án)

1. 2. ĐỊNH Lí TALET ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH Lí TALET I. KIẾN THỨC CƠ BẢN Định lý Ta – lột đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giỏc và định ra trờn hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thỡ đường thẳng đú song song với cạnh cũn lại của tam giỏc. A DABC : D ẻ AB,E ẻ AC GT AD AE và = BD EC D E KL DE PBC B C • Hệ quả của định lý Ta – lột: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giỏc và song song với cạnh cũn lại thỡ tạo thành một tam giỏc mới cú ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giỏc đó cho. A DABC : DE/ / BC GT (D ẻ AB,E ẻ AC) AD AE DE D E KL = = AB AC BC B C • Chỳ ý: Hệ quả trờn vẫn đỳng cho trường hợp đường thẳng d song song với một cạnh AD AE DE của tam giỏc và cắt phần kộo dài của hai cạnh cũn lại: = = . AB AC BC III. BÀI TẬP Bài 1: Tỡm x trong hỡnh M 3 N A 2 12 O 24 16 M N x x y 5,2 B C P Q Biết MN / / PQ Hỡnh 2 Hỡnh 3 Hỡnh 1
2. Bài 2: Cho tam giỏc ABC, điểm I nằm trong tam giỏc, cỏc tia AI, BI, CI cắt cỏc cạnh BC, AC, AB theo thứ tự ở D, E, F. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia CI tại H và cắt tia BI tại K. Chứng minh: AK HA AF AE AI a) = ; b) + = . BD DC BF CE ID Bài 3: Tam giỏc ABC cú đường cao AH. Đường thẳng d song song với BC cắt cỏc cạnh AB, AC và đường cao AH lần lượt tại B’, C’ và H’. AH ' B'C ' a) Chứng minh rằng AH BC AH Áp dụng: Cho biết AH ' = và diện tớch tam giỏc ABC là 67,5cm2. Hóy tớnh diện tớch 3 tam giỏc AB 'C ' . Bài 4: Cho tam giỏc ABC, điểm I thuộc cạnh AB, điểm K thuộc cạnh AC. Kẻ IM song song với BK (M thuộc AC), kẻ KN song song với CI (N thuộc AB).Chứng minh MN song song với BC. Bài 5: (Định lý Cộva) Trờn ba cạnh BC, CA, AB của tam giỏc ABC lấy tương ứng ba điểm PB QC RA P, Q, R. Chứng minh nếu AP, BQ, CR đồng quy thỡ . . = 1. PC QA RB Bài 6: Cho tứ giỏc ABCD. Qua E AD kẻ đường thẳng song song với DC cắt AC ở G. Qua G kẻ đường thẳng song song với CB cắt AB tại H. Chứng minh rằng: a) HE/ / BD b) Qua B kẻ đường thẳng song song với CD, cắt đường thẳng Ac tại I. Qua C kẻ đường thẳng song song với BA, cắt BD tại F. Chứng minh IF / / AD . Bài 7: Cho hỡnh thang ABCD (AB/ / CD). M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC. a) Chứng minh IK / / AB b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh rằng EI = IK = KF. Bài 8: Cho ABC cú AD là trung tuyến. Từ một điểm M bất kỳ trờn cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh : a) ME + MF = 2AD b) ADMI là hỡnh hỡnh hành
3. Bài tập tự luyện Bài 1: Cho ABC vuụng ở A, đường cao AH. Từ điểm D nằm giữa H và C, vẽ DE  DC E AC ; DK  AC K AC . Chứng minh BE // HK Bài 2: Cho tam giỏc ABC, trung tuyến AD cú G là trọng tõm. Vẽ đường thẳng d qua G cắt cạnh AB; AC lần lượt tại E;F. Chứng minh AB AC BE CE a) 3 b) 1 AE AF AE AF Bài 3: Cho tam giỏc AOB cú AB 18cm,OA 12cm,OB 9cm. Trờn tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OD 3cm . Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt tia AO ở C. Gọi F là giao điểm của AD và BC. Tớnh: FD a) Độ dài OC, CD; b) Tỉ số . FA Bài 4: Cho hỡnh thang ABCD cú hai đỏy là AB và CD, M là trung điểm của AB, O là giao điểm của AD và BC. OM cắt CD tại N. Chứng minh N là trung điểm của CD. Bài 5: Cho tam giỏc nhọn ABC, hai đường cao BD và CE. Qua D kẻ DF vuụng gúc với AB (F thuộc AB); qua E kẻ EG vuụng gúc với AC. Chứng minh: a) AD.AE AB.AG AC.AF; b) FG song song với BC. KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
4. Bài 1: OP PQ Hỡnh 1. Trong tam giỏc ABC, OPQ, MN / /PQ ta cú: ( hệ quả của định lớ Ta-let) ON MN x 5,2 5,2.2 52 x cm 2 3 3 15 Hỡnh 2. Ta cú: EF  AB; EF  QD Suy ra AB / /QD . OF FQ Trong OQF,QF / /EB suy ra: ( hệ quả của định lớ Ta-let) OE EB x 3,5 3.3,5 x 5,25 cm 3 2 2 Hỡnh 3.Áp dụng định lớ Pytago trong AMN, àA 900 ta cú: MN 2 AM 2 AN 2 162 122 MN 400 20 cm AM AN Trong AMN, MN / /BC suy ra: ( hệ quả của định lớ Ta-let) AB AC 16 12 24.12 AC 18 cm ; NC 18 12 6 cm 24 AC 16 AM MN Trong AMN, MN / /BC suy ra: ( hệ quả của định lớ Ta-let) AB BC 16 20 24.20 BC 30 cm 24 BC 16 AI AK Bài 2: a) AK / /BD ID BD A AI AH H K Từ AH / /DC ID DC F AK AH Do đú E BD DC I AK AH AK AH HK AI b) Ta cú: BD DC BD DC BC ID Ta chứng minh AF AH AE AK C (2); (3) B D BF BC CE BC AE AF AI Từ (1), (2), (3) ta cú (đpcm) CE BF ID
5. Bài 3: A d B' H' C' B H C AH ' AB ' a) Trong ABH, B ' H '/ /BH suy ra (hệ quả của định lớ Ta-let) (1) AH AB AH ' AC ' Trong ACH,C ' H '/ /CH suy ra ( hệ quả của định lớ Ta-let) (2) AH AC AB ' AC ' Trong ABC, B 'C '/ /BC suy ra ( hệ quả của định lớ Ta-let) (3) AB AC AH ' B'C ' Từ (1), (2) và (3) suy ra: AH BC AH ' B'C ' B 'C ' 1 1 b) Ta cú: ( cõu a); B 'C ' BC AH BC BC 3 3 1 S AH '.B 'C ' AB 'C ' 2 AH ' B 'C ' 1 1 67,5 2 Từ đú suy ra: = = . = ị SAB 'C ' = SABC = = 9,5(cm ) S 1 AH BC 9 9 9 ABC AH.BC 2 AI AM Bài 4: Từ IM / / BK và KN / / IC ta suy ra A AB AK AN AK N M và . AI AC K I AN AM Do đú MN / / BC . AB AC B C
6. Bài 5: M A N R Q B P C Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BQ và CR lần lượt tại N và M. QC BC Ta chứng minh được: (1) AQ AN RA AM BP AN (2) ; (3) BR BC CP AM PB QC RA Từ (1), (2), (3) suy ra   1 (đpcm) PC QA RB Bài 6: AE AG ùỹ I B EG/ / DC ị = ù ù AE AH A AD AC ýù ị = ị EH / / BD H a) AG AH ù AD AB GH / / BC ị = ù AC AB ỵù O E b) Gọi O là giao điểm của AC và BD G D C OI OB ùỹ BI/ / DC ị = ù ù OI OF OC OD ýù ị = ị AD / IF OC OF ù OA OD F AB/ /CF ị = ù OA OB ỵù Bài 7: A B IM MD ùỹ AB/ / DMị = ù ù IM MK a) IA AB ýù ị = ị IK / / AB MK MC ù IA KB AB/ / MC ị = ù E F KB AB ỵù I K b) Ta cú: D M C
7. IE ID ùỹ AB/ / EI ị = ù AB DB ù IK IM ù IE IK AB/ / IK ị = ýù ị = ị EI = IK AB MA ù AB AB DI IM DI IM ù AB/ / DM ị = ị = ù BI IA BD AM ỵù Tương tự IK = KF . Do đú EI = IK = KF . MF CM Bài 8: a) MF / / AD AD CD ME BM AD/ / ME AD BD MF ME CM BM mà CD = BD (gt) AD AD CD BD MF + ME CM + BM BC ị = = = 2 ị ME + MF = 2AD AD CD CD (đpcm) b) ME + MF = 2AD (cmt) Mà ME + MF = FE + MF + MF = FE + 2MF = 2IF + 2MF = 2IM AD IM   ADIM là hỡnh bỡnh hành AD / /IM 