Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Định lí Talet trong tam giác (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Định lí Talet trong tam giác (Có đáp án)

1. 1. ĐỊNH LÍ TALET TRONG TAM GIÁC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Đoạn thẳng tỉ lệ AB A 'B ' Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A'B' và C 'D' nếu = CD C 'D ' AB CD (hoặc = ). A 'B ' C 'D ' 2. Định lý Ta – lột Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giỏc và cắt hai cạnh cũn lại thỡ đường thẳng định ra trờn hai cạnh đú những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. DABC : DE/ / BC A GT (D ẻ AB,E ẻ AC) AD AE = D E AB AC AD AE KL = DB EC DB EC B C = AB AC Chỳ ý: Định lý Ta – lột vẫn đỳng trong trường hợp đường thẳng song song với một cạnh của tam giỏc và cắt phần kộo dài của hai cạnh cũn lại. A E D a A B C B C D a E III. BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giỏc ABC , cỏc trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau tại G . AE AG a) Tớnh b) Tớnh AC GD b) Kể hai cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG và GD .
2. AM MB Bài 2: Cho đoạn thẳng AM , M là một điểm trờn đoạn AB . Tớnh cỏc tỉ số và AB AB nếu: MA 1 MA 7 MA m a) = b) = c) = MB 2 MB 4 MB n Bài 3: Cho gúc xOy . Trờn tia Ox , lấy theo thứ tự 2 điểm A,B sao cho OA 2cm,AB 3cm. Trờn tia Oy , lấy điểm C với OC 3cm . Từ B , kẻ đường thẳng song song với AC cắt Oy tại D . Tớnh độ dài CD . Bài 4: Cho tam giỏc ACE cú AC 11cm. Lấy điểm B trờn cạnh AC sao cho BC 6cm . Lấy điểm D trờn cạnh AE sao cho DB PEC . Giả sử AE ED 25,5cm . Hóy tớnh: DE a) Tỉ số ; AE b) Độ dài cỏc đoạn thẳng AE,DE và AD. BD 3 Bài 5: Cho tam giỏc ABC và điểm D trờn cạnh BC sao cho = , điểm E trờn đoạn AD BC 4 AE 1 AK sao cho . Gọi K là giao điểm của BE và AC. Tớnh tỉ số . AD 3 KC Bài 6: Cho tam giỏc ABC cú AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K. Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở F. Chứng minh CF DK. Bài 7: Cho ABC . Từ D trờn cạnh AB , kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E . Trờn tia đối của tia CA , lấy điểm F sao cho CF DB. Gọi M là giao điểm của DF và BC . DM AC Chứng minh MF AB Bài 8: Cho tam giỏc ABC cú đường cao AH. Trờn AH, lấy cỏc điểm K, I sao cho AK = KI = IH . Qua I, K lần lượt vẽ cỏc đường thẳng EF / / BC , MN / / BC ( E, M AB, F, N AC). MN EF a) Tớnh và . BC BC b) Cho biết diện tớch của tam giỏc ABC là 90 cm2. Tớnh diện tớch tứ giỏc MNFE . Tự luyện: Bài 1: Cho 5 điểm A,B,C,D,E theo thứ tự trờn một đường thẳng. Biết AB 6cm,BC 9cm AB CD CD = 4cm và = . Tớnh AE. BC DE
3. AB CB 2 Bài 2: Cho 4 điểm A,B,C,D theo thứ tự trờn một đường thẳng và = = . AD CD 3 a) Nếu BD 10cm , tớnh CB;DA. 3AB + 2AD b) Chứng minh rằng AC = 5 c) Gọi O là trung điểm của BD . Chứng minh rằng OB 2 = OA.OC DB 1 Bài 3: Cho ABC cú AB 7,5cm . Trờn AB lấy điểm D với = DA 2 a) Tớnh DA,DB. DH b) Gọi DH,BK lần lượt là khoảng cỏch từ D,B đến cạnh AC . Tớnh . BK c) Cho biết AK = 4,5cm . Tớnh HK. Bài 4: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Gọi E là một điểm bất kỳ trờn cạnh AB. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC ở F và kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD ở H. Đường thẳng kẻ qua F song song với BD cắt CD ở G. Chứng minh AH.CD AD.CG. AH AE CF CG HD: AD AB CB CD Bài 5: Cho ABC cú AD là đường trung tuyến, G là trọng tõm. Qua G kẻ đường thẳng d cắt AB, AC thứ tự tại M , N. Chứng minh: AB AC BM CN a) 3; ; b) 1.; AM AN AM AN Bài 6: Cho tam giỏc ABC AB AC , đường phõn giỏc AD . Qua điểm M là trung điểm của BC kẻ đường thẳng song song với AD , cắt AB và AC lần lượt tại E và K . Chứng minh: a) AE AK . b) BE CK .
4. KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ Bài 1: a) Cú E là trung điểm của AC (vỡ BE là trung tuyến) AE 1 (tớnh chất trung điểm của đoạn thẳng) A AC 2 b) ABC cú cỏc trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau tại G F E G là trọng tõm ABC G AG 2 2 ( G là trọng tõm ABC) GD 1 B D C AG BG CG c) G là trọng tõm ABC GD GE GF BG và GE là cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG và GD . CG và GF là cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG và GD . Bài 2: A M B MA 1 MA MB MA + MB AB MA 1 MB 2 a) = ị = = = ị = ; = MB 2 1 2 1+ 2 3 AB 3 AB 3 MA 7 MA MB MA + MB AB MA 7 MB 4 b) Cú = ị = = = ị = ; = MB 4 7 4 7 + 4 11 AB 11 AB 11 MA m MA MB MA + MB AB MA m MB n c) = ị = = = ị = ; = MB n m n m + n m + n AB m + n AB m + n y Bài 3: D Xột OBD cú: AC / /BD (gt) AO OC ị = (định lớ Ta-let trong tam giỏc) AB CD C AB.OC 3.3 ị CD = = = 4,5(cm) OA 2 O x A B Bài 4: DE BC DE 6 a) Theo định lý Ta-lột trong ACE , ta cú: . AE AC AE 11
5. DE AE 17 b) Cỏch 1. Theo tớnh chất của tỉ lệ thức ta cú: AE 11 Từ đú tớnh được AE 16,5cm; DE 9cm và AD 7,5cm . Cỏch 2. Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau DE 6 Cỏch 3. Thay DE 25,5 AE vào AE 11 Bài 5: Kẻ DM / /BK(M AC) A Áp dụng định lý Ta-lột trong CBK , ta cú: KM BD KM 3 K (1) E KC BC KC 4 AK 1 Tương tự với ADM ADM , ta cú: (2) M KM 2 AK 3 C Từ (1) và (2), tỡm được: B D KC 8 Bài 6: Cho tam giỏc ABC cú AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K. Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở F. Chứng minh CF DK. Hướng dẫn giải Chứng minh được ADEF là hỡnh bỡnh hành, từ đú: EF = AD (1) Kẻ MG/ / AC (G AB), ta được G là trung điểm của A AB. Áp dụng định lý Ta-lột trong ABC , ta cú: CF AC D (2) EF AB G Tương tự với AGM và ABC , ta cú: F DK MG MG AC (3) AD AG BG AB B C M E Từ (1), (2), (3) ta suy ra CF = DK Bài 7: A Xột ABC cú: DE / /BC AC AB AC EC ị = hay = (định lớ Ta-let trong tam giỏc) 1 EC BD AB BD D E Xột DEF cú: DE / /MC (vỡ DE / /BC ) B C DM EC M ị = (định lớ Ta-let trong tam giỏc) 2 MF CF F
6. DM AC Mà CF = DB (gt) 3 nờn từ 1 , 2 và 3 = MF AB Bài 8: AK AN AN 1 a) +) NK / / CH A AH AC AC 3 MN AN MN 1 M K N MN / / BC BC AC BC 3 AI AF AF 2 E I F +) IF / / CH AH AC AC 3 EF AF EF 2 B H C EF / / BC BC AC BC 3 b) MNFE cú MN / / FE và KI  MN . Do đú MNEF là hỡnh thang cú 2 đỏy MN, FE, chiều cao KI. ổ ử ỗ1 2 ữ 1 ỗ BC + BCữ. AH (MN+ FE).KI ốỗ3 3 ứữ 3 1 ị S = = = .S = 30(cm2) MNEF 2 2 3 ABC