Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Diện tích hình chữ nhật-diện tích tam giác (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Diện tích hình chữ nhật-diện tích tam giác (Có đáp án)

1. 2+3. DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT – DIỆN TÍCH TAM GIÁC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó. Ta có: S a.b với a, b là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật. Diện tích hình vuông bằng bình phưong cạnh của nó. Ta có: S a2 với a là độ dài hai cạnh hình vuông. Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông. 1 Ta có: S a.b với a, b là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. 2 Diện tích tam giác thường bằng nửa diện tích một cạnh và chiều cao hạ xuống cạnh đó:Ta 1 1 1 có: S a.h b.h c.h với a, b, c là độ dài các cạnh tam giác và h , h , h là độ dài 2 a 2 b 2 c a b c đường cao tương ứng hạ xuống cạnh đó. II. BÀI TẬP Bài 1: Một hình chữ nhật có các kích thước 6m và 2m. Một hình tam giác có các cạnh bằng 5m, 5m, 6m. Chứng minh rằng hai hình đó có chu vi bằng nhau và diện tích bằng nhau. Bài 2: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc, AC = 16cm, BD = 10cm.Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tính diện tích tứ giác EFGH. Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm , AD = 6,8 cm . Gọi H, I, E, K là các trung điểm tương ứng của BC, HC, DC, EC. a) Tính diện tích tam giác DBE. b) Tính diện tích tứ giác EHIK . Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có CD = 4cm, BC = 3cm. Gọi H là hình chiếu của C trên BD. Tính diện tích tam giác ADH. Bài 5: Hai hình vuông có hiệu hai cạnh bằng 3m và hiệu diện tích bằng 69m2. Tính cạnh của mỗi hình vuông. Bài 6: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường phân giác BD. Biết AD 3cm,DC 5cm. Tính diện tích tam giác ABC. Bài 7: Trong hình chữ nhật có chu vi 100m, hình nào có diện tích lớn nhất? Tính diện tích đó.
2. Bài 8: Tính diện tích một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 26m, hiệu hai cạnh góc vuông bằng 14m. Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A, BC 15cm, đường cao AH 10cm. Tính đường cao ứng với cạnh bên. Bài 10: Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD, AB 10cm , AC 15cm. Tính diện tích hình vuông có đường chéo là AD. Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB a , AC b , đường cao AH. Ở phía ngoài tam giác vẽ các hình vuông ABDE, ACFG, BCIK. a) Tính diện tích tam giác DBC. b) Chứng minh rằng AK DC . c) Đường thẳng AH cắt KI ở M. Tính diện tích các tứ giác BHMK,CHMI, BCIK . Bài 12: Tam giác ABC có AB 10cm,AC 17cm,BC 21cm. a) Gọi AH là đường vuông góc kẻ từ A đến DC. Tính HC 2 HB2 và HC HB . b) Tính diện tích tam giác ABC. Bài 13: Cho điểm M nằm trong ABC. Các tia AM , BM , CM lần lượt cắt cạnh đối diện tại MD ME MF D, E, F. Chứng minh + + = 1 AD BE CF Tự luyện: Bài 14: Một hình chữ nhật có diện tích 350 cm2 và hai cạnh tỉ lệ với các số 2 và 7. Tính diện tích hình vuông có cùng chu vi với hình chữ nhật. Bài 15: Tính diện tích một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 13 cm và tổng hai cạnh góc vuông bằng 17 cm. Bài 16: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh HD HE HF + + = 1. AD BE CF
3. KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ Bài 1: Chu vi hình chữ nhật và chu vi hình tam giác cùng bằng 16m. Diện tích hình chữ nhật và diện tích hình tam giác cùng bằng 12m2 Bài 2: EFGH là hình chữ nhật, có EF 8cm,EH 5cm. Diện tích hình chữ nhật EFGH bằng 40cm2. 1 1 1 Bài 3: a) ABCD là hình chữ nhật nên S = .S = .AB.AD= .12.6,8 = 40,8cm2. BCD 2 ABCD 2 2 E là trung điểm của CD, suy ra: 1 S = S = .S = 20,4cm2. A B BDE BCE 2 BCD b) H là trung điểm BC 1 1 Þ S = .S = .20,4 = 10,2cm2. H CHE 2 BCE 2 I 1 2 K là trung điểm CE Þ SHKC = .SCHE = 5,1cm . 2 C D E K 1 I là trung điểm CH Þ S = .S = 2,55cm2. CKI 2 HKC 2 A B Vậy SEHIK = SCHE - SCIK = 10,2 - 2,55 = 7,65cm . H Bài 4: Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông BCD , ta có BD2 = BC 2 + CD2 = 32 + 42 = 25 = 52 nên BC = 5cm K C 2S BC ×CD 3.4 D CH = BCD = = = 2,4cm BD BD 5 Xét tam giác vuông CDH, ta có DH 2 = CD2 - CH 2 = 42 - 2,42 = 10,24 = 3.22 nên DH = 3,2cm. Kẻ AK ^ BD . Ta có S ABD = SCBD nên AK = CH = 2,4cm. Vậy 1 1 S = DH ×AK = ×3,2.2,4 = 3,86 (cm2). ADH 2 2 Bài 5: Gọi a và b là cạnh của hình vuông. Ta có a - b = 3 và a2 - b2 = 69, do đó a2 - b2 6 a + b = = = 23 a - b 9
4. Biết tổng a + b = 23 , a - b = 3 ta tính được a = 13;b = 10. µ µ Bài 6: Kẻ DH ^ BC.Ta có DHBD = DABD (cạnh huyền BD chung, góc nhọn B1 B2 )nên DH = AD = 3cm và BH = AB. Áp dụng định lý Py-ta-go vào DHC vuông, ta có HC 2 = DC 2 - DH 2 = 52 - 32 = 42, nên HC = 4cm.Đặt AB = BH = x. Áp dụng định lý Py –ta-go vào ABCvuông, ta có BC 2 = AB2 + AC 2 nên (x + 4)2 = x2 + 82 Þ x = 6. 1 1 Diện tích ABC bằng AB.AC = 6.8 = 24cm2. 2 2 Bài 7: Gọi một kích thước của hình chữ nhật là x(m), kích thước kia là 50 x(m) Diện tích hình chữ nhật bằng: S = x(50- x) = - x2 + 50x = - (x - 25)2 + 625 £ 625. Giá trị lớn nhất của S bằng 625 tại x = 25.Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật bằng 625 m2,khi đó hình chữ nhật là hình vuông có cạnh 25m. Bài 8: Gọi a, b là cách cạnh góc vuông. Ta có a - b = 14 và a2 + b2 = 262 = 676 (1) Từ a b 14 suy ra (a - b)2 = 142, tức là a2 + b2 - 2ab = 196 (2) Từ (1)và (2)suy ra 2ab = 676 - 196 = 480. ab 480 Diện tích tam giác vuông bằng = = 120m2. 2 4 Bài 9: Tam giác ABC cân tại A. Đường cao AH nên A BH HC BC : 2 15: 2 7,5 cm K Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông AHC ta có AC 2 AH 2 HC 2 102 7,52 B C 2 H 156.25 12,5 ; suy ra AC 12,5cm. 1 1 2 SABC BC.AH .15.10 75 cm . 2 2
5. Kẻ BK  AC, ta có BK 2SABC : AC 2.75:12,5 12 cm . Bài 10: Kẻ DH  AB, DK  AC . Điểm D thuộc tia phân giác của góc A nên DH DK . Đặt DH DK x , ta có A SABC SADB SADC 1 1 1 1 K AB.x AC.x .10.x .15.x 12,5x. 1 1 2 2 2 2 2 H 1 1 Mặt khác S AB.AC .10.15 75. 2 B ABC 2 2 D C Từ 1 và 2 suy ra 12,5x 75. Do đó x 75:12,5 6. 2 2 G SAHDK 6 36 cm . E Bài 11: F A 1 a2 D b a) SDBC SADBE 2 2 a B C b) ABK DBC c.g.c AK DC. H 2 C) SBHMK 2SABK 2SDBC a 2 Chứng minh tương tự, SCHMI SACFG b . K M I 2 2 Vậy SBICK a b Lưu ý. Bài toán trên cho ta một cách chứng minh định lý Py-ta-go: Nếu ABC vuông tại A thì BC 2 AB2 AC 2 Bài 12: a) Đặt HC x, HB y . Ta có: A x2 y2 AC 2 AH 2 AB2 AH 2 17 10 2 2 2 2 AC AB 17 10 189 y B x C x2 y2 189 H 21 Do đó: x y 9 . x y 21 b) Biết tổng x y và hiệu x y ta tính được y 6cm , từ đó AH 8cm . 2 Đáp số: SABC 84cm .
6. S MD Bài 13: Ta có: BMD ( BMD và BAD có chung đường cao kẻ từ B) SBAD AD S MD Và CMD ( CMD và CAD có chung đường cao kẻ từ C) SCAD AD MD S S S S S Suy ra: BMD CMD BMD CMD MBC AD SBAD SCAD SBAD SCAD SABC S ME S MF Chứng minh tương tự: MAC ; MAB SBAC BE SCAB CF MD ME MF S + S + S S Suy ra: + + = MBC MAC MAB = ABC = 1 (đpcm) AD BE CF SABC SABC