Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông (Có đáp án)

1. 8. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUễNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN  Áp dụng cỏc trường hợp đồng dạng của tam giỏc vào tam giỏc vuụng Hai tam giỏc vuụng đồng dạng với nhau nếu: - Tam giỏc vuụng này cú một gúc nhọn bằng gúc nhọn của tam giỏc vuụng kia. - Tam giỏc vuụng này cú hai cạnh gúc vuụng tỉ lệ với hai cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng kia.  Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giỏc vuụng đồng dạng Nếu cạnh huyền và một cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng kia thỡ hai tam giỏc vuụng đú đồng dạng.  Tỉ số hai đường cao, trung tuyến, phõn giỏc của hai tam giỏc đồng dạng - Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giỏc đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. - Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giỏc đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. - Tỉ số hai đường phõn giỏc tương ứng của hai tam giỏc đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.  Tỉ số diện tớch của hai tam giỏc đồng dạng Tỉ số diện tớch của hai tam giỏc đồng dạng bằng bỡnh phương tỉ số đồng dạng. III. BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giỏc ABC cú cỏc đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh: a) BEH” CDH; b) EHD” BHC. Bài 2: Cho ABC cú đường cao AH, biết AB = 30cm, BH = 18cm ; AC = 40cm a) Tớnh độ dài AH và chứng minh: ABH ” CAH b) Chứng minh ABH ” CBA à à Bài 3: Cho tam giỏc ABC, cú A = 90° + B , đường cao CH. Chứng minh: a) ãCBA ãACH b) CH 2 = BH .A H Bài 4: Cho hỡnh vuụng ABCD , cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD tại I. Trờn EB lấy điểm M sao cho DM = DA. a) Chứng minh DEMC ~ DECB b) Chứng minh EB .M C = 2a2 . c) Tớnh diện tớch tam giỏc EMC theo a.
2. Bài 5: Cho tam giỏc ABC vuụng ở A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm. a) Tớnh BC. b) Từ trung điểm M của BC, vẽ đường thẳng vuụng gúc với BC, cắt đường thẳng AC tại H và cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh EMB ~ CAB. c) Tớnh EB và EM. d) Chứng minh BH vuụng gúc với EC. e) Chứng minh HA.HC = HM .HE. Bài 6: Cho tứ giỏc ABCD, cú ãDBC 900 , AD 20cm , AB 4cm , DB 6cm , DC 9cm . a) Tớnh gúc ãBAD b) Chứng minh VBAD ” DDBC c) Chứng minh DC/ / AB . Bài 7: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD ( AC > BD) vẽ CE vuụng gúc với AB tại E, vẽ CF vuụng gúc với AD tại F.Chứng minh rằng AB.AE + AD. AF = AC 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hỡnh thang vuụng ABCD (AB // DC, àA àD 900 ). Đường chộo BD vuụng gúc với cạnh bờn BC. Chứng minh BD2 AB.DC . Bài 2: Cho tam giỏc ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E. Gọi G là một điểm trờn cạnh BC. Tớnh diện tớch tứ giỏc ADGE biết diện tớch tam 2 giỏc ABC bằng 16cm , diện tớch tam giỏc ADE bằng 9cm2. Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH, BC 20cm,AH 8cm. Gọi D là hỡnh chiếu của H trờn AC, E là hỡnh chiếu của H trờn AB. a) Chứng minh tam giỏc ADE đồng dạng với tam giỏc ABC. b) Tớnh diện tớch tam giỏc ADE.
3. KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ A Bài 1: D a) BEH ” CDH (g g) E HE HB b) Cú BEH ~ CDH ta suy ra H HD HC Từ đú chứng minh được EHD” BHC(c.g c) B C Bài 2: a) Vỡ AH  BC AHB vuụng tại H, theo định lý Pitago ta cú: AB2 AH 2 BH 2 AH 2 AB2 BH 2 AH 2 302 182 900 324 576 AH 24cm Vỡ AH  BC AHC vuụng tại H, theo định lý Pitago ta cú: AC 2 AH 2 HC 2 HC 2 AC 2 AH 2 A HC 2 402 242 1600 576 1024 HC 32cm AH 24 4ùỹ = = ù ù AH HC Ta lại cú: BH 18 3ýù ị = HC 32 4ù BH AH = = ù B H C AH 24 3ỵù ã ã ỹ AHB = CHA = 90°ù ù ã ã Xột AHB và CHA cú: AH HC ý ị DAHB ” DCHA (c.g.c) ị ABH = CAH = (cmt) ù BH AH ỵù ã ã ã ã b) Ta cú: HBA + BAH = 90° ị CAH + HAB = 90° ãAHB Cã AB 90  Xột ABH và CBA cú:  ABH ” CAB (g g) (đpcm) à B (chung)  Bài 3: a) ãCBA ãACH ãACH 900 Cã AH 900 (1800 Bã AC) 900 Bã AC Cã BA b) CH 2 BH.AH ãACH Cã BH HCA” HBC ã ã 0 CHA BHC 90 HC HA HC 2 HA.HB HB HC
4. Bài 4: a) Chứng minh DEMC ~ DECB 1 Tam giỏc EMC cú trung tuyến MD DA EC nờn là tam giỏc vuụng tại M. 2 Mã EC Cã EB ECB ~ EMC ã ã 0 EMC ECB 90 b) Chứng minh EB .M C = 2a2 . EB BC DECB ” DEMC ị = ị EB.MC = EC.BC = 2a2 EC MC c) Tớnh diện tớch tam giỏc EMC theo a. 2 S ổEC ử EC 2 4a2 4 DECB ” DEMC ị EMC = ỗ ữ = = = ỗ ữ 2 2 2 2 SECB ốEB ứ EC + CB 4a + a 5 1 4 S = EC.BC = a2 ị S = a2 EBC 2 EMC 5 Bài 5: a) BC AB2 AC 2 9cm (Pitago) b) Eã MB Cã AB ( 900 ), Eã BM Cã BA (gúc chung) EMB ~ CAB (g.g)
5. 5 ME AC 6cm ME BE MB 9 : 2 5 6 c) EMB” CAB AC BC AB 5,4 6 5 BE BC 7,5cm 6 d) ΔBEC cú 2 đường cao CA,EM cắt nhau tại H nờn H là trực tõm ΔBEC, BH  EC e) Chứng minh DAHE ” DMHC từ đú suy ra HA.HC = HM .HE. Bài 6: a) Ta cú BD2 AB2 AD2 , suy ra tam giỏc ABD vuụng tại A (Pitago đảo) b) Ta cú BC CD2 BD2 3 5 (Pitago) ổ ử ã ã AB AD ỗ4 20ữ BAD = CBD = 90°, = ỗ = ữị DABD ” DBDC (c.g.c) BD BC ốỗ6 3 5ứữ c) ABD ” BDC ãABD Bã DC AB / /CD Bài 7: Vẽ BH  AC H AC ã ã 0 ã Xột ABH và ACE cú AHB AEC 90 ;BAC E chung . Suy ra DABH ” VACE(gìg) B C AB AH AB.AE AC.AH (1) AC AE ã ã H Xột DCBH và DACF cú BCH CAF(so le trong) A D F Cã HB Cã FA 900 BC CH Suy ra DCBH ” DACF(g.g) ị = ị BC.AF = AC.CH (2) AC AF Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được: AB.AE + BC.AF = AC.AH + AC.CH ị AB.AE + AD.AF = AC (AH + CH ) = AC 2.