Bài tập môn Hình học Lớp 8 - Bài: Hình bình hành (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập môn Hình học Lớp 8 - Bài: Hình bình hành (Có lời giải)

1. 7. HèNH BèNH HÀNH I. KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Hỡnh bỡnh hành là tứ giỏc cú cỏc cặp cạnh đối song song. AB//CD Tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành AD//BC Tớnh chất: Trong hỡnh bỡnh hành: - Cỏc cạnh đối bằng nhau. - Cỏc gúc đối bằng nhau. - Hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Dấu hiệu nhận biết: - Tứ giỏc cú cỏc cạnh đối song song là hỡnh bỡnh hành. - Tứ giỏc cú cỏc cạnh đối bằng nhau là hỡnh bỡnh hành - Tứ giỏc cú hai cạnh đối song song và bằng nhau là hỡnh bỡnh hành. - Tứ giỏc cú cỏc gúc đối bằng nhau là hỡnh bỡnh hành. - Tứ giỏc cú hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hỡnh bỡnh hành. III. BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giỏc ABC, trực tõm H. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC. Đường vuụng gúc với BC tại M và đường vuụng gúc với AC tại N cắt nhau ở O. a) Trờn tia đối của tia OC, lấy điểm K sao cho OK OC . Chứng minh rằng AHBK là hỡnh bỡnh hành. 1 b) Chứng minh OM AH . 2 Bài 2: Cho hỡnh thang cõn ABCD (AB//CD, AB < CD). Trờn tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho CB = CE. Chứng minh AECD là hỡnh bỡnh hành. Bài 3: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD . Gọi H và K theo thứ tự là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A và từ C đến BD . a) Chứng minh rằng AHCK là hỡnh bỡnh hành. b) Gọi M là giao điểm của AK và BC , gọi N là giao điểm của CH và AD. Chứng minh rằng AN CM.
2. c) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh rằng O,M , N thẳng hàng. à Bài 4: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú A = 120° , phõn giỏc gúc D đi qua trung điểm của cạnh AB. Gọi E là trung điểm của CD. Chứng minh: a) AB = 2AD b) DADE đều, DAEC cõn c) AC ^ AD Bài 5: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Hai điểm E, F lần lượt lấy trờn BC, AD sao cho 1 1 BE = BC , DF = DA và EF lần lượt cắt AB, CD tại G, H. Chứng minh rằng: 3 3 a) GE = EF = FH b) Tứ giỏc AECF là hỡnh bỡnh hành. Bài 6: Cho tam giỏc ABC, cỏc đường cao BH và CK cắt nhau tại E. Đường thẳng qua B vuụng gúc với AB và đường thẳng qua C vuụng gúc với AC cắt nhau tại D. Gọi M là trung điểm của BC. a) Tứ giỏc BDCE là hỡnh gỡ? Vỡ sao? b) Chứng minh rằng M là trung điểm của DE. Tam giỏc ABC thỏa món điều kiện gỡ thỡ DE đi qua A? ã ã c) Chứng minh rằng BAC + BDC = 180° . Bài 7: Cho tam giỏc ABC, cỏc đường cao AK và BD cắt nhau tại G. Vẽ cỏc đường trung trực HE, HF của cỏc cạnh AC, BC. Đường thẳng qua A song song với BG cắt đường thẳng qua B song song với AK tại I. Chứng minh rằng: a) BG = AI b) BG = 2HE c) AG = 2HF Bài 8*: Cho tam giỏc ABC cõn ở A . Lấy điểm D trờn cạnh AB , điểm E trờn AC sao cho AD CE . Gọi O là trung điểm của DE , gọi K là giao điểm của AO và BC . Chứng minh rằng ADKE là hỡnh bỡnh hành. Tự luyện. Bài 9: Cho tứ giỏc ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD. a) Tứ giỏc EFGH là hỡnh gỡ? b) Tớnh chu vi của tứ giỏc EFGH biết AD a,BC b . Bài 10: Cho tam giỏc ABC, cỏc đường trung tuyến BD và CE. Vẽ cỏc điểm H và K sao cho E là trung điểm của CH, D là trung điểm của BK. Chứng minh rằng A là trung điểm của HK. 1 Bài 11: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Lấy điểm E trờn cạnh CD sao cho DE DC . Gọi K là 3 1 giao điểm của AE và BD. Chứng minh rằng DK DB . 4
3. KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ Bài 1: a) Tam giỏc KBC cú KO OC,BM MC nờn OM là đường trung bỡnh của DKBC . 1 Suy ra OM//KB,OM KB . Ta lại cú OM//AH (cựng vuụng gúc với BC). 2 A Suy ra KB//AH . K Chứng minh tương tự ta cú: KA//BH . N O Tứ giỏc AHBK cú KB//AH,KA//BH nờn là hỡnh bỡnh hành. H C b) AHBK là hỡnh bỡnh hành nờn KB AH . B M 1 1 Ta lại cú OM KB nờn OM AH . 2 2 ã ã Bài 2: Dễ thấy tam giỏc BCE cõn tại C suy ra CBE = CEB CãBA = DãAB Ta lại cú A B E ã ã ã ã Mà CBA = DAB Nờn CEB + DAB = 180° Suy ra AC/ / ED (2 gúc trong cựng phớa bự nhau) Suy ra AECD là hỡnh bỡnh hành D C
4. Bài 3: a) Cỏch 1 Xột AHD và CKB Hà Kà 90 : AD BC ả à (cạnh đối hỡnh bỡnh hành); D1 B1 (so le trong, AD//BC ). Vậy AHD CKB (trường hợp cạnh huyền và gúc nhọn), suy ra AH CK. Ta lại cú AH //CK (cựng vuụng gúc với BD ). Tứ giỏc AHCK cú AH CK, AH //CK nờn là hỡnh bỡnh hành. Cỏch 2. Chứng minh rằng tứ giỏc AHCK cú cỏc đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. b) Tứ giỏc AHCK là hỡnh bỡnh hành (cõu a) nờn AH //CK , tức là AM //CN. Ta lại cú AN //CM. Tứ giỏc ANCM là hỡnh bỡnh hành (theo định nghĩa) nờn AN CM. c) Hỡnh bỡnh hành AHCK cú O là trung điểm của HK nờn O là trung điểm của AC (tớnh chất đường chộo hỡnh bỡnh hành) Hỡnh bỡnh hành ANCM cú O là trung điểm của AC nờn O là trung điểm của MN. Vậy M , N,O thẳng hàng. Bài 4: ã ã A a) Gọi M là trung điểm của cạnh AB, ta cú AMD = CDM D (1) (so le trong). ã ã Mặt khỏc, DM là phõn giỏc gúc D nờn ADM = CDM (2) M ã ã E (1), (2)ị AMD = ADM , do đú tam giỏc ADM cõn tại A. 1 Vậy AD = AM = AB 2 B C à ° à ° b) Trong hỡnh bỡnh hành ABCD, A = 120 ị D = 60 và 1 AD = DE = CD . Tam giỏc ADE cõn và cú một gúc bằng 600, nờn tam giỏc ADE đều. 2 Theo trờn, tõm giỏc ADE đều nờn AE = ED = EC , suy ra tam giỏc AEC cõn tại E. ã 1 ã c) Vỡ ADE đều và ACE cõn tại E nờn EAC = AED = 30° (gúc ngoài của AEC) 2 ã ã Mặt khỏc EAD = 60° , suy ra CAD = 90° . Vậy AC ^ AD
5. Bài 5: a) Trong DAGF , B trờn cạnh AG, E trờn cạnh FG. H 1 1 Ta cú BE = BC = AF và BE/ / AF suy ra BE 3 2 DAGF A F là đường trung bỡnh trong . Do đú E là D trung điểm của GF (1). Chứng minh tương tự, DF là đường trung bỡnh trong DCHE , nờn F là trung điểm của HE (2). B E C Từ (1) và (2) suy ra GE = EF = FH . 2 2 b) Ta cú AF = AD và EC = BC , suy ra 3 3 G AF = CE . Mặt khỏc AF/ / CE , do vậy tứ giỏc A AECF là hỡnh bỡnh hành. H Bài 6: a) Ta cú: K ỡ ù BE ^ AC E ớ ị BE/ / DC (1) ù DC ^ AC ợù M ỡ B C ù CE ^ AB ớ ị CE/ / BD (2) ù BC ^ AB ợù Từ (1) và (2) suy ra BDCE là hỡnh bỡnh hành. D b) Vỡ BDCE là hỡnh bỡnh hành và M là trung điểm của BC nờn M là trung điểm của DE. DE đi qua A khi và chỉ khi A, E, M thẳng hàng. Vỡ E là giao điểm hai đường cao BH và CK nờn AE là đường cao trong tam giỏc ABC. Vậy AE qua M khi và chỉ khi đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A trựng nhau, hay tam giỏc ABC cõn tại A. à à à à à à à à c) Trong tứ giỏc ABDC: A + B + C + D = 360° , mà B = C = 90° nờn A + D = 180° . ã ã Vậy BAC + BDC = 180° . Bài 7: a) Ta cú AG/ / BI và BG/ / AI nờn tứ giỏc AIBG là hỡnh bỡnh hành, suy ra BG/ / AI ;BG = AI . A b) IB / / AG ị IB ^ BC , mà HF ^ BC , do đú D IB/ / HF. Lại cú F là trung điểm của BC nờn HF đi qua trung G E điểm của IC. I Chứng minh tương tự, HE cũng đi qua trung điểm H của IC. Từ đú ta được H là trung điểm của IC. B K F C Trong DAIC , HE là đường trung bỡnh, do đú
6. 1 1 HE = AI = BG . Vậy BG = 2HE. 2 2 c) Theo chứng minh trờn, HF là đường trung bỡnh trong CBI. 1 1 Suy ra HF = BI = AG (Vỡ AIBG là hỡnh bỡnh hành). Vậy AG = 2HF. 2 2 Bài 8*: Kẻ DH / /BC , OI / /BC ta cú: ãADH Bà , ãACH Cà mà Bà Cà nờn ãADH ãACH ADH cõn => AH AD EC . Chứng minh tiếp HI IE để suy ra AI IC , AO OK Từ đú suy ra ADKE là hỡnh bỡnh hành.