Bài tập môn Hình học Lớp 8 - Bài: Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập môn Hình học Lớp 8 - Bài: Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước (Có lời giải)

1. 10. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là a khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia. h 2. Tập hợp các điểm cách một đường thẳng cố định d một khoảng bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách h a' đường thẳng đó một khoảng bằng h. 3. Đường thẳng song song cách đều: a) Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều. b) Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau. III. BÀI TẬP Bài 1: Xét các hình chữ nhật ABCD có AD cố định. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, I là trung điểm của OA. Điểm I chuyển động trên đường nào? Bài 2: Cho đoạn thẳng AB cố định bằng 6 cm, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tam giác vuông cân AMC, BMD (cạnh huyền AM, BM). Trung điểm I của CD chuyển động trên đường nào? Tổng ôn: µ ° Bài 3: Cho DABC (A = 90 ) có AB < AC . Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ MD vuông góc với AB tại D và ME vuông góc với AC tại E. Vẽ đường cao AH của ABC. a) Chứng minh ADME là hình chữ nhật. b) Chứng minh CMDE là hình bình hành. c) Chứng minh MHDE là hình thang cân. d) Qua A kẻ đường thẳng song song với DH cắt DE tại K. Chứng minh HK ^ AC Bài 4: Cho DABC nhọn, các đường trung tuyến BN và CM cắt nhau tại G. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BG và CG. a) Chứng minh tứ giác MNCB là hình thang. b) Chứng minh tứ giác MNKI là hình bình hành. c) ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác MNKI là hình chữ nhật. d) Tính diện tích ABC biết diện tích của DABN bằng 5cm2.
2. Bài 5: Cho ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AB và E là điểm đối xứng của H qua M. a) Chứng minh AHBE là hình chữ nhật. b) Chứng minh ACHE là hình bình hành. c) Gọi N là trung điểm của AC. Chứng minh ba đường thẳng AH, CE, MN đồng qui. d) CE cắt AB tại K. Chứng minh AB = 3AK . Bài 6*: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D so cho HD = HA , đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh rằng AE = AB. · b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính AHM KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ Bài 1: Kẻ OK  AD . Tam giác ACD có OA OC và OK//CD nên K là A B trung điểm của AD, do đó AK cố định. I Tam giác AOK có KI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên IA IK . Điểm I cách đều hai điểm A và K cố định nên K O chuyển động trên đường trung trực của AK. D C Bài 2: Kẻ CC ,DD ,II vuông góc với AB. Các tam giác ACM, BDM vuông cân có CC', DD' là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên O MA MB AB 6 CC DD 3 cm 2 2 2 2 C II' là đường trung bình của hình thang CDD'C' P I Q CC DD' 3 D nên: II 1,5 cm 2 2 I cách AB cố định một khoảng không đổi là 1,5 cm nên I chuyển động trên đường thẳng song A C' I' M D' B song với AB và cách AB một khoảng 1,5 cm.
3. Giới hạn: Khi M trùng với A thì I trùng P, khi M trùng B thì I trùng Q (P, Q là trung điểm của OA, OB với O là đỉnh của tam giác vuông cân ABO cạnh huyền AB). Điểm I chuyển động trên đoạn thẳng PQ. Bài 3: a) Tứ giác ADME có: µ µ µ A D E 90 nên ADME là hình chữ nhật. B b) MD  AB, AC  AB, suy ra MD // AC. H Vì M là trung điểm của BC nên MD là đường trung M D bình của ABC. Tương tự, ME cũng là đường trung bình của ABC. K Từ đó ta có A, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. C A E Suy ra MD // CE và DE // MC. Vậy CMDE là hình chữ nhật. c) Theo trên thì DE // HM (1). 1 Xét tam giác ABH vuông tại H, có HD là trung tuyến nên HD = AB . 2 1 Mặt khác, trong tam giác ABC, ME là đường trung bình nên ME = AB . 2 Suy ra HD = ME (2). Từ (1) và (2) suy ra MHDE là hình thang cân. d) Xét hai tam giác ADK và DBH, có: DE // BC A· DK D· BH (Hai góc đồng vị). AD = DB (vì D là trung điểm của AB) DH // AK D· AK B· DH (Hai góc đồng vị). Suy ra ADK = DBH AK = DH. Lại có AK // DH, do đó ADHK là hình bình hành, suy ra HK // DA. Vì DA ^ AC nên HK ^ AC A Bài 4: a) M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC, nên MN là đường trung bình trong tam giác ABC, suy ra MN / / BC . Vậy MNCB là hình thang. M N b) Trong DBCG , IK là đường trung bình, suy ra G 1 IK = BC IK / / BC I và (1). K 2 B 1 C Theo trên: MN = BC và MN / / BC (1). 2
4. Từ (1) và (2) suy ra MN = IK và MN / / IK . Vậy MNKI là hình bình hành. c) MNKI là hình chữ nhật khi và chỉ khi MI ^ IK . Vì IK / / BC nên MI ^ IK Û MI ^ BC Trong ABG , MI là đường trung bình nên MI // AG. Do đó MI ^ BC Û AG ^ BC Vì AG là đường trung tuyến trong ABC nên AG ^ BC khi ABC cân tại A. Như vậy MNKI là hình chữ nhật khi và chỉ khi ABC cân tại A. d) Gọi h là khoảng cách từ đỉnh B lên AC. Khi đó ta có: 1 1 1 1 1 S = h ×AC và S = h ×AN = h × AC = S ABC 2 ABN 2 2 2 2 ABC 2 2 Như vậy SABC = 2.SABN . Theo giả thiết SABN = 5cm nên SABC = 10cm . Bài 5: A a) Theo giả thiết thì M là trung điểm của AB và HE. Tứ giác AHBE có E hai đường chéo AB và HE cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn nên K AHBE là hình bình hành. I N 0 M Mặt khác A· HB 90 nên AHBE là hình chữ nhật. b) Vì tam giác ABC cân tại A nên H là trung điểm của BC. Suy ra BH = CH. B H C Ta có AE // CH và AE = BH = CH nên ACHE là hình bình hành. c) HN là đường trung bình trong tam giác ABC, ta có HN // AM và HN = AM nên AMHN là hình bình hành. AEHC và AMHN là hai hình bình hành nên AH,CE,MN đồng qui tại trung điểm I của mỗi đoạn. d) Trong tam giác AEH có AM và EI là hai đường trung tuyến, do đó K là trọng tâm tam 2 1 giác AEH . Suy ra AK = AM = AB . 3 3 Vậy AB = 3AK . Bài 6: a) Dựng AI ^ DE , I thuộc DE. Ta có AHDI là hình chữ nhật. Suy ra AI = HD = AH . D Hai tam giác vuông AIE và AHB có: B H · · · EAI = BAH (cùng phụ với gócIAB ), AI = AH I M Do đó DAIE = VAHB , suy ra AE = AB . C b) Ta có tam giác DBE vuông tại D, tam giác ABE E A vuông tại A. Vì M là trung điểm của BE nên 1 AM = DM = BE . Từ đó dễ dàng thấy được DAMH = DDMH (c-c-c). 2
5. · · suy ra MHA = MHD = 45° .