Bài tập môn Hình học Lớp 7 - Bài: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập môn Hình học Lớp 7 - Bài: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác (Có lời giải)

1.  QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN Định lý 1: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. DABC,AC > AB Þ Bµ> Cµ. A Định lý 2. Trong một tam giác cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. B C DABC,Bµ> CµÞ AC > AB II. BÀI TẬP Bài 1: So sánh các góc của ABC biết: a) AB = 4cm; BC = 6cm; CA = 5cm. b) AB = 9cm; AC = 72cm; BC = 8cm. c) Độ dài các cạnh AB, BC, CA lần lượt tỉ lệ nghịch với2,3,4 . d) ABC vuông ở B và có AC = 6cm; AB = 19cm . µ 0 µ e) Cho DDEF biếtDE = DF 60 > E . 0 µ 0 $ f) Cho DGHI biết IG = IH > GH . Chứng minh 90 > H > 60 > I . Bài 2: So sánh các cạnh của ABC , biết: µ 0 µ 0 a) A = 45 ;B = 55 b) Góc ngoài tại đỉnh A bằng 1200 , Bµ 540 c) ABC cân tại A, µA 600 . d) Số đo các góc A, B,C lần lượt tỉ lệ với 2,3,4 . µ 1 1 e) A = 110° và số đo các góc B,C lần lượt tỉ lệ nghịch với ; 3 4 µ f) A = 40° và số đo các góc B,C tỉ lệ với 3;4 Bài 3: Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D. Chứng minh rằng DB < DC.
2. Bài 4: Cho ABC có góc A tù. Trên cạnh AB lấy điểm D. a) So sánh các đoạn thẳng CA,CD và CB . b) Trên cạnh AC lấy điểm E. So sánh DE và BC. Bài 5: Cho tam giác ABC có AB AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng M· AB M· AC. Bài 6: Cho ABC có AB AC BC . Tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D, tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại E, hai tia phân giác này cắt nhau tại I. So sánh: a) IA và IB b) ·AEB và C· EB c) DB và DC Bài 7: Cho △ ABC có góc A tù. Trên cạnh AB lấy điểm D. a) So sánh các đoạn thẳng CA,CD và CB . b) Trên cạnh AC lấy điểm E. So sánh DE và BC. Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC H BC a. So sánh độ dài BA và BH b. So sánh độ dài DA và DC Bài 9: Cho ABC có AB = AC. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho BD = DE = EC . · · · · Chứng minh rằng trong ba góc: BAD, DAE, EAC thì góc DAE là góc lớn nhất.
3. HDG Bài 1: a) AB = 4cm; BC = 6cm; CA = 5cm. · · · µ µ µ BC CA AB Þ BAC > CBA > ACB hay A > B > C (Định lý 1) b) AB = 9cm; AC = 72cm » 8,5cm; BC = 8cm. · · · µ µ µ Þ AB > AC > BC Þ ACB > ABC > BAC hay C > B > A (Định lý 1) c) Độ dài các cạnh AB, BC, CA lần lượt tỉ lệ nghịch với 2,3,4 . Þ AB.2 = BC.3 = CA.4 AB BC AC ·ACB B· AC ·ABC hay Cµ µA Bµ (Định lý 1) d) Tính được BC 17 (cm) 4,13 (cm) AB = 19cm » 4,35cm; BC = 17cm » 4,13cm; AC = 6cm. · · · µ µ µ Þ AC > AB > BC Þ ABC > ACB > BAC hay B > C > A (Định lý 1) e) DEF cân tại D. Eµ Fµ (t/c tam giác cân) DE DF EF Eµ Fµ Dµ (định lý 1) Dµ Eµ Fµ 1800 (tổng 3 góc của một tam giác) Dµ 2Eµ 1800 Dµ 2Eµ 3Eµ 1800 3Eµ Dµ Eµ 3 600 Eµ Mà Dµ Eµ Dµ Eµ 0 600 Eµ 0 600 Eµ 1 Dµ 2Eµ 1800 Dµ 1800 2Eµ 1800 2.600 600 (Vì 600 Eµ ) Dµ 600 2 Từ (1) và (2) suy ra: Dµ 600 Eµ (đpcm) f) GHI cân tại I. Hµ Gµ (t/c tam giác cân) µ µ $ IG = IH > GH Þ H = G > I (định lý 1) $ µ µ 0 I + G + H = 180 (tổng 3 góc của một tam giác) Þ $I + 2Hµ= 1800 Û 2Hµ- 2$I = 1800 - 3$I Þ 2(Hµ- $I ) = 3(600 - $I )
4. µ $ µ $ 0 $ 0 $ Mà H > I Þ H - I > 0 Þ 60 - I > 0 Û 60 > I (1) 0 $ 0 0 $ µ 0 µ 180 - I 180 - 60 0 0 0 I + 2H = 180 Þ H = > = 60 (Vì 60 I ) Hµ 60 2 2 2 1800 I 1800 Mặt khác: Hµ 900 3 (Vì I 00 ) 2 2 Từ (1), (2) và (3) suy ra: 900 Hµ 600 I (đpcm) µ µ µ 0 Bài 2: a) A + B + C = 180 (tổng 3 góc của một tam giác) Þ Cµ= 1800 - (450 + 550) = 800 µ µ µ 0 0 0 Þ C > B > A (Vì 80 55 45 ) Þ AB > AC > BC (Định lý 2) µ 0 0 0 µ 0 0 0 0 b) A = 180 - 120 = 60 Þ C = 180 - (60 + 54 ) = 66 µ µ µ 0 0 0 Þ C > A > B (Vì 66 60 54 ) AB BC AC (Định lý 2) c) ABC cân tại A. Bµ Cµ (t/c tam giác cân) µA Bµ Cµ 1800 (tổng 3 góc của một tam giác) µA 2Bµ 1800 µA 1800 2Bµ µ 0 0 µ 0 0 µ µ 0 Mà A > 60 Þ 180 - 2B > 60 Þ 120 > 2B Þ B < 60 µ µ µ 0 Þ B = C < A (Vì Bµ Cµ 60 µA ) ABC có Bµ Cµ µA AC AB BC (Định lý 2) Aµ Bµ Cµ A + B + C 1800 d) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau: = = = = = 200 (tổng 3 góc 2 3 4 2 + 3 + 4 9 của một tam giác) µ 0 0 µ 0 0 µ 0 0 Þ A = 2.20 = 40 ; B = 3.20 = 60 ; C = 4.20 = 80 ABC có: Cµ Bµ µA (Vì 800 600 400 ) AB AC BC (Định lý 2) e) Bµ Cµ 700
5. 1 1 Vì số đo các góc B,C lần lượt tỉ lệ nghịch với ; 3 4 µ µ µ 1 µ 1 B C Þ B. = C. Þ = 3 4 3 4 Bµ Cµ Bµ+ Cµ 700 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau: = = = = 100 3 4 3 + 4 7 µ 0 0 µ 0 0 Þ B = 3.10 = 30 ; C = 4.10 = 40 ABC có: µA Cµ Bµ (Vì 1100 400 300 ) BC AB AC (Định lý 2) Bµ Cµ f) Bµ Cµ 1400 . Vì số đo các góc B,C lần lượt tỉ lệ với 3;4 3 4 Bµ Cµ Bµ+ Cµ 1400 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau: = = = = 200 3 4 3 + 4 7 µ 0 0 µ 0 0 Þ B = 3.20 = 60 ; C = 4.20 = 80 ABC có: Cµ Bµ µA (Vì 800 600 400 ) AB AC BC (Định lý 2) A Bài 3: Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AB AE, chứng minh được ABD AED (c-g-c). E · · · DEC xBD ACB và DB DE. B D C Từ đó DB DE DC. x Bài 4: a) ADC có D· AC là góc tù nên CD > CA (1) và ·ADC là góc nhọn. Mà ·ADC và B· DC là 2 góc kề bù. B· DC là góc tù. BDC có B· AC là góc tù nên BC > DC (2). Từ (1) và (2) suy ra CB > CD > CA b) ADE có D· AE là góc tù nên ·AED là góc nhọn. Mà ·AED và D· EC là 2 góc kề bù. D· EC là góc tù.
6. DEC có D· EC là góc tù nên DC > DE . Mặt khác: BC > DC (cmt) BC DE A Bài 5: Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA MD, chứng minh được MAB MDC (c-g-c). · · · · MAB MDC, chú ý rằng CD AB AC MAC MDC. B M C Do đó M· AB M· AC. D Bài 6: a) ABC có AB AC BC Cµ Bµ µA (định lý 1) 1 1 Bµ µA Bµ µA ·ABI B· AI 2 2 ABI có ·ABI B· AI AI BI (định lý 2) b) ABC có B· AC là góc lớn nhất (Do BC lớn nhất) nên ·ABC; ·ACB là góc nhọn. ABE có B· AE là góc lớn nhất nên ·AEB là góc nhọn. Mà ·AEB và C· EB là 2 góc kề bù C· EB là góc tù C· EB > ·AEB c)Trên AC lấy điểm B ' sao cho AB ' = AB Xét AB ' D và ABD , có: AB AB ' B· AD B· ' AD ABD AB ' D (c.g.c) BD B ' D và Bµ' Bµ AD chung Ta có: Bµ Cµ (gt) Bµ' Cµ Xét B ' DC có Bµ' Cµ DC B ' D DC BD (Vì BD B ' D )