Bài tập môn Hình học Lớp 7 - Bài: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập môn Hình học Lớp 7 - Bài: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông (Có lời giải)

1.  CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN * Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau. B B' Aµ = Aµ' = 900  BC = B'C'  ΔABC = ΔA'B'C' AC = A'C'  A C A' C' II. BÀI TẬP Bài 1: Cho góc xOy. Tia Oz là tia phân giác góc xOy. Lấy điểm A thuộc tia Oz (A O). Kẻ AB vuông góc với Ox, AC vuông góc với Oy (B Ox, C Oy). Chứng minh OAB OAC. Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm M. Kẻ MD  BC (D BC). a) Chứng minh BA BD; b) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM và BA. Chứng minh ABC DBE; c) Kẻ DH  MC (H MC) và AK  ME (K ME). Gọi N là giao điểm của hai tia DH và AK. Chứng minh MN là tia phân giác góc HMK; d) Chứng minh ba điểm B, M,N thẳng hàng. Bài 3: Cho ABC có hai đường cao BM, CN. Chứng minh nếu BM = CN thì ABC cân. Bài 4: Cho tam giác ABC . Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I . Kẻ ID ^ AC(E Î AC). Chứng minh rằng AD = AE . Bài 5: Cho tam giác ABC có AB < AC . Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I . Qua I kẻ các đường thẳng vuông góc với hai cạnh của góc A, cắt các tia AB và AC theo thứ tự tại H và K . Chứng minh rằng: a) AH = AK b) BH = CK AC + AB AC - AB c) AK = ,CK = 2 2
2. Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối tia của tia CB lấy điểm N sao cho BM CN. a) Chứng minh tam giác AMN cân; b) Kẻ BE  AM (E AM), CF  AN (F AN). Chứng minh rằng BME CNF; c) EB và FC kéo dài cắt nhau tại O. Chứng minh AO là tia phân giác của góc MAN. d) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AM, qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AN, chúng cắt nhau ở H. Chứng minh ba điểm A,O,H thẳng hàng. Bài 7: Cho ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A. Vẽ MI  AB tại I, MK  AC tại K. Chứng minh: a) MI = MK b) ABC cân. c) Cho biết AB = 37, AM = 35. Tính BC. d) Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh VADE cân. e) Vẽ BQ  AD tại Q, CR  AE tại R. Chứng minh VABQ VACR . Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A ( µA 90 ). Các đường trung trực của AB, AC cắt nhau tại O. a) Chứng minh rằng: AO là tia phân giác của góc A. b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại K. Chứng minh AK là tia phân giác của góc A. c) Vẽ BD  AC tại D, CE  AB tại e, BD cắt CE tại H. Chứng minh A, O, H, K thẳng hàng. Bài 9: Cho ABC có AB < AC . Vẽ tia phân giác Ax. Đường thẳng đi qua B vuông góc với đường thẳng Ax cắt AC tại D. a) Chứng minh ABD cân. b) Đường trung trực của BC cắt Ax ở E. Vẽ EF vuông góc với đường thẳng AB tại F, EG vuông góc với đường thẳng AC tại G. Chứng minh: BF = CG.
3. HDG Bài 1: Do Oz là tia phân giác x· Oy nên A· OB A· OC, từ đó x B OAB OAC (cạnh huyền - góc nhọn). A z Bài 2: O a) Ta có BMA BMD (cạnh huyền - góc nhọn), từ đó BA BD. C y b) Từ kết quả câu a) chứng minh được ABC DBE (g-c-g). c) Chú ý MA MD, từ đó MAK MDH (cạnh huyền - góc nhọn) MK MH. Do đó MKN MHN (cạnh huyền - cạnh góc vuông) B · · KMN HMN ĐPCM. D A· MD K· MH d) Chứng minh được A· MB H· MN. M 2 2 A H C · · · · Do đó AMB AMN HMN AMN 180 B, M,N thẳng K N hàng. E · ° · ° Bài 3: Ta có: BM ^ AC,CN ^ AB Þ BNC = 90 ;CMB = 90 A Xét DBNC và DCMB có: B· NC C· MB 90 (cmt) N M BC là cạnh chung B C CN = BM (gt) Þ DBNC = DCMB(ch - cgv) ˆ ˆ Þ B = C (2 góc tương ứng) Þ DABC cân tại A Bài 4: Kẻ HI ^ BC A DBID = DBIH (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra ID = IH (1) E DCIE = DCIH (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra IE = IH (2) D I Từ 1 và 2 suy ra ID = IE. ( ) ( ) C B H DIAD = DIAE (cạnh huyền – cạnh góc vuông) suy ra AD = AE
4. Bài 5: A a)DAIH = DAKI (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra AH = AK (1) K b) Gọi M là trung điểm của BC. M B C DBMI = DCMI (c.g.c) Þ IB = IC H DAHI = DAKI (câu a) IH = IK I DIHB = DIKC (cạnh huyền – cạnh góc vuông) suy ra BH = CK c) AC = AK + KC (1) AB = AH – BH (2) Từ (1)và (2)suy ra AC + AB = (AK + AH )+ (KC – BH ). AC AB Do AH = AK , BH = CK nên AC + AB = 2AK , suy ra AK 2 Từ (1)và (2)suy ra: AC – AB = (AK – AH )+ (KC + BH ). AC AB Do AH = AK , BH = CK nên AC – AB = 2CK , suy ra CK 2 Bài 6: a) Chứng minh được ABM CAN (c-g-c) đpcm A b) Từ kết quả câu a) chứng minh được BME CNF (cạnh huyền - góc nhọn). c) Từ kết quả câu b) ta có ME NF, mà AM AN AE AF. E F Cũng có E· BM F· CN O· BC O· CB OBC cân tại O, từ đó OB OC OE OF. M B C N O Bởi vậy AEO AFO (c-g-c) ĐPCM. d) Chứng minh được AMH ANH (cạnh huyền - cạnh góc H vuông), từ đó suy ra AH là phân giác góc MAN. Mặt khác AO là phân giác góc MAN nên AH và AO trùng nhau hay A,O,H thẳng hàng.