Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

1. CHƯƠNGCHƯƠNG IV .I VECTƠ §7. Các khái niệm mở đầu §8. Tổng và hiệu của hai vectơ §9. Tích của một vectơ với một số §10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ §11. Tích vô hướng của hai vectơ Bài tập cuối chương 4
2. CHƯƠNGCHƯƠNG IV . IVECTƠ TOÁN HÌNH 8 ➉ TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 1 TỔNG CỦA HAI VECTƠ 2 HIỆU CỦA HAI VECTƠ 3 BÀI TẬP
3. Một con tàu chuyển động từ bờ bên này sang bờ bên kia của một dòng sông với vận tốc riêng không đổi. Giả sử vận tốc dòng nước là không đổi và đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng đến vận tốc thực tế của tàu. Nếu không quan tâm đến điểm đến thì cần giữ lái cho tàu tạo với bờ sông một góc bao nhiêu để tàu sang bờ bên kia được nhanh nhất?
4. 1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ HĐ1: Với hai vectơ và cho trước. Lấy một điểm tùy ý, vẽ = , 푪 = . Lấy điểm ′ khác và cũng vẽ các véc tơ ′ ′ = , ′푪′ = . Hỏi hai véc tơ 푪 và ′푪′ có mối quan hệ gì? Lời giải Ta thấy hai véc tơ 푪 và ′푪′ bằng nhau.
5. 1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ • Cho hai vectơ và . Lấy một điểm tùy ý, vẽ = , 푪 = (H4.13). Vectơ 푪 được gọi là tổng của hai vectơ và và được kí hiệu là + • Phép lấy tổng của hai véc tơ được gọi là phép cộng véc tơ.
6. 1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ HĐ2: Cho hình bình hành 푪푫. Tìm mối quan hệ giữa hai véc tơ + 푫 và 푪. Lời giải Do là hình bình hành nên 푫 = 푪. Suy ra + 푫 = + 푪 = 푪 . Vậy + 푫 = 푪.
7. 1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ • Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì , , 푪, ta có + 푪 = 푪. • Quy tắc hình bình hành: Nếu 푪푫 là một hình bình hành thì + 푫 = 푪.
8. 1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ • HĐ3: a) Trong hình 4.14a, hãy chỉ ra véc tơ + và véc tơ + b) Trong hình 4.14b, hãy chỉ ra véc tơ + + và véc tơ + + . Lời giải • Dựa vào hình 4.14a ta có: + = + 푪 = 푪 ; + = 푫 + 푫푪 = 푪. • Dựa vào hình 4.14b ta có: + + = + 푪 + 푪푫 = 푪 + 푪푫 = 푫 + + = + 푪 + 푪푫 = + 푫 = 푫
9. 1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ • Với ba véc tơ , , tùy ý: • Tính chất giao hoán: + = + • Tính chất kết hợp: + + = + + • Tính chất của véc tơ – không: + = + = • Chú ý. Do các véc tơ + + và + + bằng nhau, nên ta còn viết chúng dưới dạng + + và gọi là tổng của ba véc tơ , , . Tương tự, ta cũng có thể viết tổng của một số véc tơ mà không cần dùng dấu ngoặc
10. 1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ • Ví dụ 1. Cho hình vuông 푪푫 với độ dài cạnh bằng . Tính độ dài của các véc tơ + 푪 , + 푫푪 + 푫 Lời giải Do = 푫푪 nên + 푪 = 푫푪 + 푪 = 푫 . Vậy + 푪 = 푫 = 푫 = Ta có + 푫푪 + 푫 = + 푫 + 푫푪 = 푫 + 푫푪 = 푪 Do đó: + 푫푪 + 푫 = 푪 = 푪 =
11. 1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ • Luyện tập 1. Cho hình thoi 푪푫 với cạnh có độ dài bằng và 푫෣ = °. Tính độ dài của các véc tơ 푪 + 푪푫, 푫 + 푪푫 + . Lời giải Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có 푪 + 푪푫 = 푪 Do hình thoi 푪푫 có 푫෣ = nên ∆ 푪 đều. Vậy 푪 + 푪푫 = 푪 = Ta có 푫 + 푪푫 + = 푪푫 + 푫 + = 푪푫 + 푫 = 푪 . Do đó 푫 + 푪푫 + = 푪 =
12. 2. HIỆU CỦA HAI VÉC TƠ • HĐ4: Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai véc tơ để biểu diễn hai lực cân bằng thì hai véc tơ này có mối liên hệ gì với nhau? Lời giải • Hai lực cân bằng là hai lực cùng đặt lên một vật, có cường độ bằng nhau, phương nằm trên cùng một đường thẳng, ngược chiều nhau. • Nếu dùng hai véc tơ để biểu diễn hai lực cân bằng thì hai véc tơ đó có cùng điểm đầu, ngược hướng và có cùng độ lớn.
13. 0 2. HIỆU CỦA HAI VÉC TƠ • Véc tơ có cùng độ dài và ngược hướng với véc tơ được gọi là véc tơ đối của véc tơ . • Véc tơ đối của véc tơ được kí hiệu là − . • Véc tơ được coi là véc tơ đối của chính nó. Chú ý. Hai véc tơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng
14. CHƯƠNGCHƯƠNG IV . IVECTƠ TOÁN ĐẠI SỐ 7 ➉ CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1 KHÁI NIỆM VECTƠ 2 HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU 3 BÀI TẬP
15. Vectơ + − được gọi là hiệu của hai vec tơ và và được kí hiệu là − . Phép lấy hiệu hai vec tơ được gọi là phép trừ vec tơ. Chú ý. Nếu + = thì − = + − = + + − = + = . Với ba điểm O, M, N tùy ý, ta có 푴푵 = 푴푶 + 푶푵 = −푶푴 + 푶푵 = 푶푵 − 푶푴. Quy tắc hiệu: Với ba điểm O, M, N, ta có 푴푵 = 푶푵 − 푶푴. Lời giải Ví dụ 2: Cho Hình bình hành ABCD và một • Áp dụng quy tắc hiệu, điểm O bất kì. Chứng minh rằng ta có 푶 − 푶 = , 푶푪 − 푶푫 = 푫푪. 푶 − 푶 = 푶푪 − 푶푫. • Mặt khác = 푫푪 nên 푶 − 푶 = 푶푪 − 푶푫.
16. Ví dụ 3: Lời giải • a) Chứng minh rằng nếu 푰là trung điểm • a) (H4.15) Khi I là trung điểm của AB, thì hai của thì 푰 + 푰 = . vec tơ 푰 và 푰 có cùng độ dài và ngược • b) Chưng minh rằng nếu 푮là trọng tâm hướng. của tam giác ABC thì 푮 + 푮 + 푮푪 = . • Do đó, 푰 và 푰 đối nhau, suy ra 푰 + 푰 = .
17. Ví dụ 3: Lời giải • a) Chứng minh rằng nếu 푰là trung điểm b) (H4.16) Trọng tâm G của tam giác ABC của thì 푰 + 푰 = . thuộc trung tuyến AI và 푮 = 푮푰. Lấy điểm D đối xứng với G qua I. • b) Chưng minh rằng nếu 푮là trọng tâm của tam giác ABC thì 푮 + 푮 + 푮푪 = . • Khi đó tứ giác 푮 푫푪có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình bình hành. • Ta có 푮 = 푮푰 = 푮푫. • Hai vec tơ 푮 và 푮푫có cùng độ dài và ngược hướng nên chúng là hai vec tơ đối nhau, do đó 푮 + 푮푫 = . • Trong hình bình hành푮 푫푪, ta có • 푮 + 푮푪 = 푮푫. • Vậy 푮 + 푮 + 푮푪 = .
18. Luyện tập 2. Lời giải Cho tứ giác 푪푫. Gọi 푴, 푵lần lượt là • Ta có 푶 + 푶 + 푶푪 + 푶푫 trung điểm của các cạnh ,푪푫 và O là = 푶푴 + 푴 + 푶푴 + 푴 + 푶푵 + 푵푪 + 푶푵 trung điểm của 푴푵. Chứng minh rằng + 푵푫 푶 + 푶 + 푶푪 + 푶푫 = . = 푶푴 + 푶푵 + 푴 + 푴 + 푶푴 + +푶푵 + 푵푪 + 푵푫 =
19. Chú ý: Phép cộng vec tơ tương ứng với các quy tắc tổng hợp lực, tổng hợp vận tốc. • Nếu hai lực cùng tác động vào chất điểm và được biểu diễn bởi các vec tơ 풖 ,풖 thì hợp lực tác dộng vào được biễu diễn bởi vec tơ 풖 + 풖 . • Nếu một con thuyền di chuyển trên sông với vận tốc riêng( vận tốc so với dòng nước) được biễu diễn bởi vec tơ 풗풓 và vận tốc của dòng nước( so với bờ) biễu diễn bởi vec tơ풗풏 thì vận tốc thực tế của thuyền (so với bờ) được biểu diễn bởi vec tơ 풗풓 + 풗풏.
20. Ví dụ 4: Lời giải Cho tứ giác 푪푫. Gọi 푴, 푵lần lượt là Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song trung điểm của các cạnh ,푪푫 và O là song풅 , 풅 (H4.17) trung điểm của 푴푵. Chứng minh rằng Giả sử tàu xuất phát từ ∈ 풅 và bánh lái , luôn 푶 + 푶 + 푶푪 + 푶푫 = . được giữ để tàu tạo với bờ góc 휶. Gọi 풗풓 và 풗풏lần lượt là vec tơ vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi 푴, 푵là các điểm sao cho 풗풓 = 푴 và 풗풏 = 푴푵. • Khi đó tàu chuyển chuyển động với vec tơ vận tốc thực tế là 풗 = 풗풓 + 풗풏 = 푴 + 푴푵 = 푵 • Gọi , 푪tương ứng là giao điểm của 푵, 푴với 풅 . Tàu chuyền động thẳng từ đến với vận tốc thực tế 푵, do đó thời gian cần thiết kế để 푪 tàu sang được bờ 풅 là = . 푵 푴
21. 푪 Ví dụ 4: • Mặt khác 푴 = 풗 không đổi nên nhỏ 풓 푴 Cho tứ giác 푪푫. Gọi 푴, 푵lần lượt là nhất ⇔ 푪nhỏ nhất ⇔ 푪 ⊥ 풅 ⇔ 푴 ⊥ 풅 . trung điểm của các cạnh ,푪푫 và O là • Vậy để tàu sang được bờ bên kia nhanh nhất, ta trung điểm của 푴푵. Chứng minh rằng cần giữ bánh lái để tàu luôn vuông góc với bờ. 푶 + 푶 + 푶푪 + 푶푫 = .
22. Vận dụng: Lời giải Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng ퟒ 푵 ( ứng với khối lượng xấp xỉ 풌품) lên một con dốc nghiêng so với phương nằm ngang (H.4.18). Nếu lực kéo của mỗi người bằng 푵, thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo? Chú ý: Ta có Ta coi khẩu pháo chịu tác động của ba lực: • Trọng lực 푷 có độ lớn 푷 = ퟒ 푵, có Trọng lực 푷 ( có độ lớn 푷 = ퟒ 푵, có phương vuông góc với phương nằm ngang phương vuông góc với phương nằm ngang và và hướng xuống dưới hướng xuống dưới), phản lực 풘 ( có độ lớn • Phản lực 풘 có độ lớn 풘 = 푷 퐜퐨퐬 = 풘 = 푷 퐜퐨퐬 , có phương vuông góc với ퟒ. 푵, mặt dốc và hướng lên trên) và lực kéo 푭 ( theo phương dốc, hướng từ chân dốc lên • có phương vuông góc với mặt dốc và hướng đỉnh dốc). lên trên)
23. Vận dụng: Lời giải Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng ퟒ 푵 ( ứng với khối lượng xấp xỉ 풌품) lên một con dốc nghiêng so với phương nằm ngang (H.4.18). Nếu lực kéo của mỗi người bằng 푵, thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo? • Gọi 푭 = 푷 + 풘 ta có Chú ý: Ta coi khẩu pháo chịu tác động của ba lực: • 푭 = 푶푪 = 푪 − 푶 = 푷 − 풘 Trọng lực 푷 ( có độ lớn 푷 = ퟒ 푵, có = ퟒ푵 phương vuông góc với phương nằm ngang và hướng xuống dưới), phản lực 풘 ( có độ lớn • Để kéo được khẩu pháo lên dốc thì 푭 > 푭 , 푭 풘 = 푷 퐜퐨퐬 , có phương vuông góc với • nghĩa là số người kéo pháo phải lớn hơn = mặt dốc và hướng lên trên) và lực kéo 푭 ( ퟒ = , ퟒ theo phương dốc, hướng từ chân dốc lên đỉnh dốc). • Vậy cần tối thiểu 12 người để kéo pháo.
24. Bài tập: Lời giải 4.6. Cho bốn điểm bất kỳ , , 푪,푫. Hãy a) Ta có + 푪 + 푪푫 + 푫 chứng minh rằng = + 푪 + 푪푫 + 푫 a) + 푪 + 푪푫 + 푫 = . = 푪 + 푪 = . b) 푪 − 푫 = 푪 − 푫 b) Ta có 푪 − 푫 = 푫푪 푪 − 푫 = 푫푪 nên 푪 − 푫 = 푪 − 푫.
25. Bài tập: Lời giải 4.7. Cho hình bình hành 푪푫. Hãy tìm điểm 푴 để 푴 = + 푫. Tìm mối quan hệ giữa hai vec tơ 푪푫và 푪푴. Ta có thep quy tắc hình bình hành 푴 = + 푫 ⇔ 푴 = 푪 nên 푴 là đỉnh thứ tư của hình bình hành 푪푴 ( như hình vẽ).
26. Bài tập: Lời giải 4.8. Cho tam giác đều 푪 cạnh . Tính độ a) Tính độ dài vectơ − 푪 dài các vec tơ − 푪, + 푪. Ta có − 푪 = 푪 nên − 푪 = 푪 = 푪 = B D b) Tính độ dài vectơ + 푪 • Gọi 푯 là trung điểm của 푪 ⇒ 푯 ⊥ 푪. 푪 H Suy ra 푯 = = . • Dựng 푫 là điểm sao cho tứ giác 푫푪 là hình thoi. A C • Ta lại có + 푪 = 푫 = 푫 = 푯 = . = .
27. Bài tập: Lời giải 4.9. Hình 4.19 biểu diễn hai lực푭 , 푭 • Gọi = 푭 , 푪 = 푭 cùng tác động lên một vật, cho 푭 = 푵, • Ta có 푭 + 푭 = + 푪 = 푫 = 푭 푭 = 푵 . Tính độ lớn của hợp lực • Xét tam giác 푫 푭 + 푭 . • 푫 = + 푫 − . 푫. 퐜퐨퐬 = + ퟒ − . . . = . • Vậy 푭 = 푵.
28. Bài tập: 4.10. Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này để sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn được giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn ( hình vẽ). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố Lời giải bên ngoài khác không ảnh hưởng đến vận • Gọi tàu thứ nhất là tàu hướng xuống hạ lưu tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên có vận tốc thực tế là 풗 = 풗 + 풗 kia trước? 풓 풏 • tàu thứ hai là tàu hướng lên thượng nguồn có vận tốc thực tế là 풗 = 풗풓 − 풗풏 • Ta thấy 풗 > 풗 nên tàu thứ nhất sẽ sang bờ bên kia trước.
29. Bài tập trắc nghiệm: Lời giải Câu 1. Cho hình bình hành 푪푫 và 푰 là Phương án C sai vì theo quy tắc hình bình giao điểm của 푪 và 푫. Trong các khẳng hành thì + 푫 = 푪. định sau, khẳng định nào sai? A. = 푫푪. B. 푰 + 푰 + 푰푪 + 푰푫 = . C. + 푪 = 푫. D. + 푪 = 푫.
30. Bài tập trắc nghiệm: Lời giải Câu 2. Cho 4 điểm 푴, 푵, 푷, 푸. Trong các Ta có khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 푴푵 + 푵푷 + 푷푸 + 푸푴 = 푴푷 + 푷푸 + 푸푴 A. 푴푵 + 푵푷 + 푷푸 + 푸푴 = 푵푷. = 푴푸 + 푸푴 = 푴푴 = . B. 푴푵 + 푵푷 + 푷푸 + 푸푴 = . C. 푴푵 + 푵푷 + 푷푸 + 푸푴 = 푷푸. D. 푴푵 + 푵푷 + 푷푸 + 푸푴 = 푴푷.
31. Bài tập trắc nghiệm: Lời giải Câu 3. Cho bốn điểm , , 푪, 푫. Trong Ta có các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? + 푪푫 = 푫 + 푫 + 푪 + 푫 A. + 푪푫 = 푫 + 푪 . = 푫 + 푪 . B. + 푪 + 푪푫 = 푫 . C. + 푪 = 푪푫 + 푫 . D. + 푫 = 푪푫 + 푪 .
32. Bài tập trắc nghiệm: Lời giải Câu 4. Cho 풖 = 푫푪 + + 푫 với ퟒ Ta có 풖 = 푫푪 + + 푫 = 푫푪 + 푫 điểm bất kì , , 푪, 푫. Chọn khẳng định = 푫 + 푫푪 = 푪. đúng? A. 풖 = . B. 풖 = 푫푪. C. 풖 = 푪. D. 풖 = 푪.
33. Bài tập trắc nghiệm: Lời giải Câu 5. Cho tam giác 푪. Trong các khẳng Xét các đáp án: định sau, khẳng định nào đúng?  Đáp án. A. Ta có + 푪 = 푫 ≠ 푪 (với A. + 푪 = 푪. B. + 푪 = 푪 . 푫 là điểm thỏa mãn 푫푪là hình bình hành). Suy ra A sai. C. 푪 + = 푪 . D. + = .  Đáp án. B. Ta có 푴푷 + 푵푴 = 푵푴 + 푴푷 = 푵푷. Suy ra B đúng.  Đáp án. C. Ta có 푪 + = − 푪 + = − 푫 ≠ 푪 (với 푫 là điểm thỏa mãn 푫푪là hình bình hành). Suy ra C sai.  Đáp án. D. Ta có + = + = ≠ . Suy ra D sai.
34. Bài tập trắc nghiệm: Lời giải Câu 6. Cho hình vuông 푪푫 có cạnh A a B bằng . Tính độ dài vectơ + 푫 theo . A. + 푫 = . D C B. + 푫 = . C. + 푫 = . Ta có + 푫 = 푪. D. + 푫 = . Suy ra + 푫 = 푪 = 푪 = .
35. Bài tập trắc nghiệm: Lời giải A Câu 7. Cho tam giác 푪 . Gọi 푴, 푵, ​푷 N lần lượt là trung điểm của các cạnh M , 푪, 푪. Khi đó 푴푷 + 푵푷 bằng véctơ C nào trong các vectơ sau? B P A. 푴. B. 푷 . Ta có 푴푷 + 푵푷 = 푵 + 푵푷 = 푷. C. 푷. D. 푴푵.
36. Bài tập trắc nghiệm: Lời giải Câu 8. Cho ba điểm , , 푪 thuộc đường Do 푶 + 푶 + 푶푪 = nên 푶 là trọng tâm tròn tâm 푶 thỏa mãn 푶 + 푶 + 푶푪 = . tam giác 푪. ෣ Tính góc 푶 . Mà 푶 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A. 푶 ෣ = . B. 푶 ෣ = . nên tam giác 푪 là tam giác đều. C. 푶 ෣ = . D. 푶 ෣ = . Suy ra 푶 ෣ = .
37. Bài tập trắc nghiệm: Lời giải Câu 9. Cho hình vuông 푪푫 có cạnh bằng . Khi đó + 푪 bằng A. . B. . C. . D. . Dựng hình bình hành 푬푪 tâm 푭. Ta có + 푪 = 푬 = 푬 = 푭 = + 푭 = + = . ퟒ
38. Bài tập trắc nghiệm: Lời giải A B Câu 10. Cho hình thang 푪푫 //푪푫 và có hai đường chéo vuông góc với nhau. Biết + 푪푫 = . Tính 푪 + 푫 . A. . B. . D C E C. . D. . F Dựng hình bình hành 푬푪 và hình bình hành 푬푭푫. Vì 푪 ⊥ 푫 nên 푫 ⊥ 푬. Do đó hình bình hành 푬푭푫 là hình chữ nhật. Khi đó 푪 + 푫 = 푬 + 푫 = 푭 = 푭 = 푫푬 = .