›
›
›

Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

pptx 60 trang Thu Mai 03/03/2023 3290
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptxbai_giang_toan_lop_10_sach_ket_noi_tri_thuc_bai_6_he_thuc_lu.pptx

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

  1. CHƯƠNG III. HỆ THỨCCHƯƠNG LƯỢNG I TRONG TAM GIÁC TOÁN ĐẠI SỐ 6 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ➉ 1 ĐỊNH LÍ CÔSIN 2 ĐỊNH LÍ SIN 3 GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 4 CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC 5 BÀI TẬP 6 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 5
  2. Ngắm Tháp Rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta cũng có thể xác định được khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa. Em có biết vì sao? Tháp Rùa nằm trong lòng hồ Hoàn Kiếm ở Thủ đô Hà Nội
  3. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN HĐ1. • c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì • Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân hướng đông nam) thì có thể dùng Định Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 1 giờ, xác các số đo trong câu b hay không? tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tộc và đi tiếp. • Đối với tam giác 푪 ta thường kí hiệu , , 푪 là các góc của tam giác tại đỉnh • a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong tương ứng; , , tương ứng là độ dài 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1 km trên của các cạnh đối diện với đỉnh , , 푪; 풑 thực tế ứng dụng với 1 cm trên bản vẽ). là nữa chu vi; 푺 là diện tích; 푹, 풓 tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, • b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết nội tiếp tam giác. sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilômét (số đo gần đúng).
  4. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN HĐ1. • Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tộc và đi tiếp. • a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1 km trên thực tế ứng dụng với 1 cm trên bản vẽ). • Lời giải 20.1 =20 (km) tương ứng với 20 cm trên sơ đồ. a, Giả sử tàu biển xuất phát từ điểm O như • Trong 0,5 giờ tiếp theo, tàu di chuyển từ A đến hình vẽ B với quãng • Trong 1 giờ, tàu di chuyển từ O đến A với • đường là: 20.0,5 = 10 (km) tương ứng với 10 quãng đường là: cm trên sơ đồ.
  5. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN HĐ1. Lời giải • Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tộc và đi tiếp. • a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1 km trên thực tế ứng dụng với 1 cm trên bản vẽ). • b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết b) Trên sơ đồ, khoảng cách từ cảng sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách đến tàu là đoạn OB dài khoảng 28 cm. cảng Vân Phong bao nhiêu kilômét (số đo gần đúng). Do đó khoảng cách từ cảng đến tàu thực tế khoảng 28 km.
  6. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN HĐ1. Sau 2 giờ đầu, tàu đi từ O đến A, với • Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân quãng đường là Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với 20.2 = 40 (km) tương ứng 40 cm trên vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 1 giờ, sơ đồ. tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ Sau đó, tàu chuyển sang hướng nam, vị nguyên vận tộc và đi tiếp. trí của tàu là điểm B. c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển Khi đó ta có thể tính chính xác khoảng sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì có thể dùng Định lí Pythagore cách từ cảng đến (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo tàu, chính là đoạn OB (do tam giác trong câu b hay không? OAB vuông tại A) Lời giải dựa vào định lí Pythagore: c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông 푶 = 푶 + . nam) thì sơ đồ đường đi của tàu như sau:
  7. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN HĐ2. Lời giải • Trong hình 3.8, hãy thực hiện các a) Tam giác vuông 푪푫 : bước sau để thiết lập công thức tính theo , và giá trị lượng giác của góc = 푫 + 푪푫 . . b) 푫 = − 푫 và a) Tính theo 푫 và 푪푫 . 푪푫 = 푫 + = 푫 + . 푫. + b) Tính theo , và 푫 . ⇒ = − 푫 + 푫 + c) Tính 푫 theo và 풐풔 . = + + . 푫. d) Chứng minh = + − 풐풔 . c) Tam giác 푫vuông tại có : 푫 풐풔 = ⇒ 푫 = . 풐풔 d) Theo câu b) ta có : = + + . 푫. = + + . . 풐풔
  8. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN HĐ2. d) Theo câu b) ta có : • Trong hình 3.8, hãy thực hiện các = + + . 푫. = + + . . 풐풔 bước sau để thiết lập công thức tính theo , và giá trị lượng giác • Chú ý. Người ta chứng minh được kết quả trong của góc . HĐ2d đối với cả các trường hợp góc là góc vuông hoặc nhọn. a) Tính theo 푫 và 푪푫 . Định lí côsin. Trong tam giác 푪: b) Tính theo , và 푫 . = + − 풐풔 , c) Tính 푫 theo và 풐풔 . = + − 풐풔 , d) CM: = + − 풐풔 . = + − 풐풔 푪. • Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của Định lí côsin hay không? Lời giải • Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của Định lí côsin bởi vì: • Khi መ = 900 ⇒ 표푠 = 0: 2 = 2 + 2
  9. • Chú ý. Người ta chứng minh được kết quả trong 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN HĐ2d đối với cả các trường hợp góc là góc vuông HĐ2. hoặc nhọn. Định lí côsin. Trong tam giác 푪: • Trong hình 3.8, hãy thực hiện = + − 풐풔 , các bước sau để thiết lập công = + − 풐풔 , thức tính theo , và giá trị = + − 풐풔 푪. lượng giác của góc . • Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt a) Tính theo 푫 và 푪푫 . của Định lí côsin hay không? b) Tính theo , và 푫 . Lời giải c) Tính 푫 theo và 풐풔 . • Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của Định lí côsin bởi vì: Khi ෡ = ⇒ 풐풔 = : d) CM: = + − 풐풔 . = + − 풐풔 ⇔ = + . • Khi ෡ = ⇒ 풐풔 = : = + − 풐풔 ⇔ = + . • Khi 푪෡ = ⇒ 풐풔 푪 = : = + − 풐풔 푪 ⇔ = + .
  10. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN Ví dụ 1. Khám phá. Từ Định lí côsin, hãy viết các công thức tính 풐풔 , 풐풔 , 풐풔 푪 theo độ Cho tam giác 푪 có ෡ = 풐 và dài các cạnh , , của tam giác 푪. = , 푪 = . Tính độ dài cạnh 푪. Lời giải = + − 풐풔 + − ⇔ 풐풔 = . = + − 풐풔 • Giải (H.3.9) + − ⇔ 풐풔 = . • Áp dụng Định lí côsin cho tam giác 푪, ta có: • 푪 = + 푪 − . 푪. 풐풔 풐 = + − 풐풔 푪 = + − . . . − = + − ⇔ 풐풔 푪 = Vậy 푪 = .
  11. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN ′ ′′ Luyện tập 1. • 푪෡ ≈ − ퟒ − , • Cho tam giác 푪 có = , 푪 = và ≈ ퟒ ′ , ′′. ෡ = ퟒ 풐. Tính độ dài các cạnh và độ lớn các • VẽTrải một nghiệm. tam giác 푪, sau đó đo độ dài các góc còn lại của tam giác. cạnh, số đo góc và kiểm tra tính đúng đắn của Định lí côsin tại đỉnh đối với tam giác đó. • Giải: Áp dụng định lý cosin : • 푪 = + 푪 − . 푪. 풐풔 ퟒ 풐 = + − . . . = − ퟒ ⇒ 푪 = − ퟒ . • Áp dụng định lý cosin : + − − ퟒ + − 풐풔 = = − ퟒ . ≈ − , ⇒ ෡ ≈ ′
  12. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN Trải nghiệm. Vẽ một tam giác 푪, sau đó đo độ dài các cạnh, số ⇔ 푪 ≈ , ퟒ ⇔ 푪 ≈ , đo góc và kiểm tra tính đúng đắn của Định lí côsin Như vậy kết quả thu được từ định lí xấp xỉ tại đỉnh đối với tam giác đó. với kết quả đo được. Lời giải Xét tam giác 푪như hình vẽ sau: Vậy định lí côsin tại đỉnh A là đúng. Áp dụng Định lí côsin tại đỉnh A, ta có: 푪 = 푪 + − 푪. . 풐풔 ⇔ 푪 = , + ퟒ, − . , . ퟒ, . 풐풔 , 풐
  13. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN Vận dụng 1. Giả sử sau 1,5 giờ tàu ở vị trí điểm B. Ta có quảng đường OA=20km, quảng đường • Dùng Định lí côsin, tính khoảng cách được AB=10km. đề cập trong HĐ1b. Khoảng cách giữa tàu và cảng Vân Phong Lời giải chính là quảng đường OB. Mặt khác, 푶 ෣ = 풐(do tàu đi theo hướng đông nam). Áp dụng Định lí côsin cho tam giác OAB tại đỉnh A, ta có: 푶 = 푶 + − 푶 . . 풐풔 푶 ෣ ⇔ 푶 = + − . . . 풐풔 풐 Tàu xuất phát từ cảng Vân Phong, đi theo ⇔ 푶 ≈ , ퟒ. thướng Đông với vận tốc 20km/h. Sau khi Vậy khoảng cách từ tài đến cảng Vân Phong đi 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông xấp xỉ 27,98km. nam rồi giữ nguyên vận tốc.
  14. 2. ĐỊNH LÍ SIN Lời giải HĐ3. Xét tam giác MBC vuông tại C ta 푪 có: 풔풊풏 푴 = = ⇒ 푹 = . • Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính 푹 theo và 푴 푹 풔풊풏 푴 풔풊풏 . Từ Hình 3.10 a ta có: ෡ = 푴෡ (cùng chắn cung nhỏ BC). ⇒ 풔풊풏 = 풔풊풏 푴. Do đó 푹 = . 풔풊풏 Hình 3.10 b ta có: ෡ + 푴෡ = 풐 (tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R). ⇒ 풔풊풏 = 풔풊풏 푴. Do đó 푹 = . 풔풊풏 Vậy ở hai hình ta đều có 푹 = . 풔풊풏 Định lí sin. Trong tam giác 푪: = = = 푹. 풔풊풏 풔풊풏 풔풊풏 푪
  15. 2. ĐỊNH LÍ SIN Ví dụ 2. ෡ 풐 • Cho tam giác 푪 có = , • Suy ra = . 풔풊풏 = ; 푪෡ = 풐và = . Tính , , 푹 và số đo 풔풊풏 góc . = 풔풊풏 풔풊풏 • Giải ( H.3.11) = ퟒ 풔풊풏 ≃ , ; ෡ 풐 ෡ ෡ • Ta có: = − + 푪 ⇒ 푹 = = . = 풐 − ( 풐 + 풐) = 풐. 풔풊풏 • Áp dụng Định lí sin, ta có: = = = 푹. 풔풊풏 풔풊풏 풔풊풏
  16. 2. ĐỊNH LÍ SIN Luyện tập 2. • Cho tam giác 푪 có = , = và ෡ = . 풔풊풏 . 풔풊풏 풐. Tính số đo các góc, bán kính đường 풔풊풏 푪 = = ≃ , ⇒ tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của 푹 = = = ퟒ, tam giác. 풔풊풏 . 풔풊풏 Giải • Áp dụng Định lí sin cho tam giác 푪 ta có: = = 푹 풔풊풏 풔풊풏 푪
  17. 3. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó gọi là giải tam giác. Ví dụ 3. Giải Giải tam giác 푪, biết = ퟒ và • Ta có 푪෡ = 풐 − ෡ + ෡ 풐 풐 풐 풐 ෡ = 풐, ෡ = ퟒ 풐. = − ( + ퟒ ) = . • Áp dụng Định lí sin ta có: ퟒ = = . 풔풊풏 풔풊풏 ퟒ 풔풊풏 ퟒ.풔풊풏 • Suy ra = , ; 풔풊풏 ퟒ.풔풊풏 ퟒ • = ≃ , ퟒ. 풔풊풏
  18. 3. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ Luyện tập 3. .풔풊풏 • Giải tam giác 푪, biết = ퟒ , = và • Suy ra 풔풊풏 = ≃ , ෡ = 풐. , ퟒ • Giải ⇒ ≃ ′ . 풐 • Áp dụng Định lí côsin cho tam giác 푪, ta • Ta có 푪෡ = − ෡ + ෡ 풐 풐 풐 có: = − ( ′ + ) = ′. • = + − . 풐풔 • Chú ý. Áp dụng các Định lí côsin, sin và sử = + ퟒ − . . ퟒ . 풐풔 dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác = , trong các trường hợp sau: • Suy ra ≃ , ퟒ. • Biết hai cạnh và góc xen giữa; • Áp dụng Định lí sin cho tam giác 푪, ta có: , ퟒ • Biết ba cạnh; = 풔풊풏 풔풊풏 • Biết một cạnh và hai góc kề.
  19. 3. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ Ví dụ 4. • Bước 4. Gọi C là vị trí của Tháp Rùa. Áp • Trở lại tình huống mở đầu, theo các bước dụng Định lí sin cho tam giác 푪để tính sau, ta có thể tiến hành đo khoảng cách từ vị độ dài cạnh 푪. trí A trên bờ hồ Hoàn Kiếm đến Tháp Rùa (H.3.12): • Bước 1. Trên bờ, đặt một cọc tiêu yại vị trí A và một cọc tiêu tại vị trí B nào đó. Đo khoảng cách AB. • Bước 2. Đứng tại vị trí A, ngắm Tháp Rùa và cọc tiêu B để đo gpcs tạo bởi hai hướng ngắm đó. • Bước 3. Đứng tại B, ngắm cọc tiêu A và Tháp Rùa để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.
  20. 4. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC Ta đã biết tính diện tích tam giác theo chiều cao và độ dài cạnh đáy tương ứng. Liệu còn công thức nào khác để tính diện tích tam giác hay không? HĐ 4. • Cho tam giác 푪 với 푰 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Công thức tính diện tích tam giác + + 풓 푺 = 풑풓 = . • a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác 푪 và diện tích các tam giác 푰 푪, 푰푪 , 푰 . • b) Tính diện tích tam giác 푪theo 풓, , , .
  21. 4. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC HĐ 5. • Cho tam giác 푪 với đường cao 푫. • a) Biểu thị 푫theo và 풔풊풏 . • b) Viết công thức tính diện tích 푺 của tam giác 푪theo , ​ , 풔풊풏 . Công thức tính diện tích tam giác 푪: 푺 = 풔풊풏 = 풔풊풏 = 풔풊풏푪.
  22. 4. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC Ví dụ 5. Luyện tập 4. • Tính diện tích 푺 của tam giác 푪có = • Tính diện tích tam giác 푪 có = , ෡ = ퟒ, = , ෡ = 풐. 풐, 푪෡ = ퟒ 풐. • Giải • Ta có ෡ = 풐 − (푪෡ + ෡) = 풐 − ( 풐 + ퟒ ) = 풐. • Giải (H.3.15) • Áp dụng Định lí sin cho tam giác 푪ta có: .풔풊풏 ퟒ = ⇒ = = . • Ta có: 푺 = 풔풊풏 풔풊풏 ퟒ 풔풊풏 풔풊풏 • Ta có: 푺 = 풔풊풏 = = . . ퟒ. 풔풊풏 = . . . . 풔풊풏 = + .
  23. 4. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC Luyện tập 4. • Chú ý. Do 풔풊풏 = nên từ công thức 푹 • Tính diện tích tam giác 푪 có = , ෡ = 푺 = 풔풊풏 ta có: 풐, 푪෡ = ퟒ 풐. Công thức tính diện tích • Giải (H.3.15) tam giác 푪: 푺 = . • Ta có ෡ = 풐 − 푪෡ + ෡ ퟒ푹 = 풐 − ( 풐 + ퟒ ) = 풐. Thảo luận • Áp dụng Định lí sin cho tam giác 푪ta có: .풔풊풏 ퟒ • Ta đã biết tính 풐풔 theo độ dài các cạnh = ⇒ = = . 풔풊풏 ퟒ 풔풊풏 풔풊풏 của tam giác 푪. Liệu 풔풊풏 và diện tích 푺 của tam giác có được tính theo các cạnh • Ta có: 푺 = 풔풊풏 của tam giác 푪 hay không? = . . . 풔풊풏 = + .
  24. 4. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC Thảo luận − − + + + − = Ta đã biết tính 풐풔 theo độ dài các cạnh của tam giác 푪. Liệu 풔풊풏 và diện tích 푺 của tam giác có được tính − − + − 풑 풑− 풑− 풑− = = theo các cạnh của tam giác 푪 hay không? Lời giải Nên từ công thức 푺 = . 풔풊풏 ta có: Ta có: 푺 = 풑(풑 − )(풑 − )(풑 − ) 풔풊풏 = − 풐풔 + − Công thức Heron. Trong tam giác 푪: = − 푺 = 풑(풑 − )(풑 − )(풑 − ). − + − =
  25. Ví dụ 6.Cho tam giác 퐀퐁퐂 có 퐚 = , 퐛 = ퟒ, 퐜 = . a) Tính 퐬퐢퐧 퐀 . b) Tính diện tích 퐒 bằng hai cách khác nhau. • Áp dụng Công thức Heron, ta cũng có thể tính 푺 theo cách thứ hai như sau: • Tam giác 푪 có nửa chu vi là: + + + ퟒ+ 풑 = = = . a) Áp dụng Định lí côsin, ta có: + − ퟒ + − • Khi đó 푺 = 풑(풑 − )(풑 − )(풑 − ) • 풐풔 = = = , 푪 ퟒ = ⋅ ( − ) ⋅ ( − ퟒ) ⋅ ( − ) • Do đó = − 풐풔 = , . = ⋅ ⋅ ⋅ = ퟒ. • Ta có 푺 = 풔풊풏 = ퟒ.
  26. Vận dụng 3 Công viên Hòa Bình ( Hà Nội) có dạng hình ngũ giác 푪푫푬 như Hình 3.17. Dùng chế độ tính khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên Hòa Bình. • Lời giải • Diện tích tam giác 푫푬: • Ta có chu vi của tam giác 푪푫: 푺 = 풑 풑 − 푫 풑 − 푬 풑 − 푫푬 푪+ 푫+푪푫 + +ퟒퟒ 풑 = = = ≈ ퟒ , • Diện tích tam giác 푪푫: • Chu vi của tam giác 푬: + 푬+ 푬 +ퟒ +ퟒ 푺 = 풑 풑 − 푪 풑 − 푫 풑 − 푪푫 풑 = = = ≈ , • Diện tích tam giác 푬: 푺 = 풑 풑 − 풑 − 푬 풑 − 푬 • Chu vi của tam giác 푫푬: ≈ 푬 + 푫 + 푫푬 + ퟒ + 풑 = = = • Diện tích của công viên là: 푺 ≈ 푺 + 푺 + 푺 ≈ , + ퟒ , + ≈ ,
  27. 3.5. Cho tam giác 푪 có = , = , = . Tính 풐풔 , 푺, 풓. Bài giải + − * Áp dụng công thức Heron ta có: • Ta có 풐풔 = 푺 = 풑(풑 − )(풑 − )(풑 − ) + − = = − − − . . = = ퟒ + + • Nửa chu vi là 푷 = • Do 푺 = 풑. 풓 푺 + + ⇒ 풓 = = . = 풑 = .
  28. 3.6. Cho tam giác 푪 có = , ෡ = ퟒ °, ෡ = °. Tính 푹, , . Bài giải 풔풊풏 . 풔풊풏 ° ⇒ = = • Áp dụng định lý sin ta có 풔풊풏 풔풊풏 ퟒ ° ≈ , = 푹 풔풊풏 • Vì ෡ + ෡ + 푪෡ = ° ⇒ 푹 = 풔풊풏 ⇒ 푪෡ = ° − ෡ − ෡ = ° = . 풔풊풏 ퟒ ° 풔풊풏 푪 = . ⇒ = 풔풊풏 • Ta có = . 풔풊풏 ° 풔풊풏 풔풊풏 = ≈ , 풔풊풏 ퟒ °
  29. 3.7. Giải tam giác 푪 và tính diện tích của tam giác đó, biết ෡ = °, ෡ = °, = . • Bài giải Ta có ෡ ෡ ෡ + + 푪 = ° Diện tích của tam giác là: ෡ ෡ ෡ ⇒ 푪 = ° − − = ° 푺 = . . 풔풊풏 • Áp dụng định lý sin ta có: = = 풔풊풏 풔풊풏 풔풊풏 푪 = . , . . 풔풊풏 ° 풔풊풏 풔풊풏 ° ≈ , = = ≈ , ⇒ 풔풊풏 푪 풔풊풏 ° 풔풊풏 풔풊풏 ° = = ≈ , 풔풊풏 푪 풔풊풏 °
  30. 3.8. Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng , đi theo hướng 푺 °푬 với vận tốc km/h. Đi được phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc km/h. Sau giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo. a) Tính khoảng cách từ cảng tới đảo nơi tàu neo đậu. b) Xác định hướng từ cảng tới đảo nơi tàu neo đậu. Bài giải + 푪 − 푪 a) Theo giả thiết ta có: = 풌 , 푪 = 풌 b) Ta có 풐풔 = . 푪 • Góc 푫෣ = °, 푫෣ = ° ⇒ 푪෣ = ° ≈ , • Khoảng cách từ tới đảo tàu neo đậu bằng đoạn 푪. ⇒ ෡ ≈ ° ′ • Áp dụng định lý côsin ta có: ⇒ 푵 푪෣ = ° ′. • 푪 = + 푪 − . 푪. 풐풔 • Vậy hướng từ cảng tới đảo nơi tàu neo đậu là ° = + − . . . 풐풔 hướng Đông. = , 풌
  31. 3.9. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao m. Từ một vị trí quan sát cao m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh và chân 푪 của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là °và ퟒ ° so với phương nằm ngang (H.3.18). a) Tính các góc của tam giác 푪. b) Tính chiều cao của tòa nhà. Bài giải • a) Ta có 푪෣ = ° − ퟒ ° = °, 푪෣ = ° − 푫෣ = ퟒ ° ⇒ 푪 ෣ = ° − 푪෣ − 푪෣ = ° • b) Áp dụng định lý sin trong tam giác 푪 ta có 푪 푪 푪.풔풊풏 .풔풊풏 ퟒ ° = ⇒ 푪 = = ≈ , . 풔풊풏 풔풊풏 풔풊풏 풔풊풏 ° • Xét tam giác 푪푫 vuông tại 푫 có 푪푫 = 푪. 풔풊풏 ퟒ ° ≈ , • Vậy chiều cao của tòa nhà là: , + = , .
  32. 3.10. Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, người ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được). Đảo Yến nhìn từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình Bài giải • Gọi , là hai vị trí ngoài cùng mà ta quan sát khi nhìn từ bãi biển • Từ một điểm 푪 trên bãi biển dùng giác kế ta xác định được góc 푪 ෣ = 휶. • Lấy điểm 푫 trên bãi biển sao cho , 푪, 푫 thẳng hàng và có độ dài đoạn 푪푫 = mét. Ta xác định được 푫 ෣ = 휷. • Từ đó áp dụng định lí sin cho hai tam giác 푪푫 và 푪 ta xác định được bề rộng của hòn đảo.
  33. 3.11. Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ tới 푫. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ? • B CáchBài giải 2: Cách 1: Dựng 푪푬, 푭 vuông góc với 푫. • Xét tam giác 푪푫푬vuông tại 푬 có 푫෡ = 푪෡ = ퟒ ° ⇒ 푫푬 = 푪푫. 풔풊풏 ퟒ ° = 풌 . • Xét tam giác 푭vuông tại 푭 có ෡ = ° ⇒ 푭 = . 풔풊풏 ° = − 풌 . • Mặt khác 푬푭 = 푪 = 풌 ⇒ 푫 = 푫푬 + 푬푭 + 푭 = + ퟒ + ≈ , 풌 . • Vậy độ dài đường mới sẽ giảm , ퟒퟒ풌 so với đường cũ. Cách 2: Nối 푫 hoặc 푪 từ đó áp dụng định lí sin cho hai tam giác 푪푫 và 푫 ta sẽ tìm được 푫.
  34. Em có biết? Heron (Heron of Alexandria) là một nhà phát minh, nhà toán học Hy Lạp, sống vào khoảng thế kỉ I. Mặc dù cỗ máy với động cơ hơi nước đầu tiên trên thế giới ra đời ở thế kỉ XVIII – một sự kiện quan trọng góp phần tạo nên cuộc cách mạng công nghiệp lần thứ nhất, nhưng chính Heron là người đầu tiên mô tả một mô hình đơn giản cho phép biến hơi nước thành chuyển động quay. Trong toán học, Heron mô tả cách tính diện tích của các đa giác đều từ tới cạnh, diện tích một số mặt và thể tích một số hình trong không gian.
  35. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 1 Cho 휟 푪 có = , = , góc 푪 bằng . Độ dài cạnh là? A = . B = . C = . DD = . Bài giải Ta có: = + − . . 풐풔 푪 = + − . . . 풐풔 = ퟒ ⇒ = .
  36. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 2 Cho tam giác ABC có = , = , ෡ = . Độ dài cạnh 퐚 là? AA = . B = . C = . D = . Bài giải Ta có: = + − 풐풔 = + ퟒ − . . . 풐풔 = ⇒ = .
  37. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 3 Cho tam giác ABC có 퐚 = , = , ෡ = . Độ dài cạnh 퐛 là? AA = . B = . C = ퟒ . D = . Bài giải Ta có: = + − 풐풔 = + − . . . 풐풔 = ퟒ ⇒ = .
  38. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 4 Cho 휟 푪 có = , 푪 = , góc ෠ = 600. Độ dài cạnh 푪 là? AA . B = . C = . D = . Bài giải Theo định lý cosin có: 푪 = + 푪 − . 푪. 풐풔 푪෣ = ⇒ 푪 = . Vậy 푪 = .
  39. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 5 Cho tam giác 푪 có = , 푪 = và = . Tính độ dài cạnh 푪. A 푪 = . B 푪 = . C 푪 = . D 푪 = . Bài giải Theo định lý cosin ta có: 푪 = + 푪 − . 푪. 풐풔 = + − . . . = .
  40. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 6 Tam giác 푪 có = , = , ෡ = . Độ dài cạnh bằng bao nhiêu? A = ퟒ . B = . CC = . D = . Bài giải Ta có: = + − 풐풔 = + − . . . 풐풔 = ퟒ ⇒ = .
  41. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 7 Tam giác 푪 có 푪෡ = , 푪 = , 푪 = . Tính cạnh ? AA = . B = . C = . D = . Bài giải Theo định lí cosin trong 휟 푪 ta có: = 푪 + 푪 − 푪 . 푪 . 풐풔 푪෡ = ⇒ = .
  42. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 8 Cho tam giác ​ 푪, biết = ퟒ, = , = . Tính góc ? A ퟒ′. BB ퟒ ′. C ′. D ퟒ′. Bài giải + − Ta có: 풐풔 = + − ퟒ = . . = − ⇒ ≃ ퟒ ′.
  43. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 9 Cho tam giác 푪, biết = , = ퟒ, = . Tính góc ? A ퟒ ′. B ′. CC ′. D ′. Bài giải + − Ta có: 풐풔 = + − ퟒ = . . = ⇒ ≃ ′.
  44. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 10 Tam giác 푪 có = cm, 푪 = cm, 푪 = cm. Khi đó đường trung tuyến 푴 của tam giác có độ dài là A . B . CC 7,5 . D . Bài giải + 푪 푪 Ta có 푴 = − ퟒ + = − ퟒ = ⇒ 푴 = . ퟒ
  45. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 11 Cho tam giác 푪 có = , 푪 = và độ dài đường trung tuyến 푴 = . Tính độ dài 푪. A . BB ퟒ. C ퟒ, . D . Bài giải A Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến + 푪 푪 Ta có: 푴 = − M ퟒ 3 + 푪 ⇔ = − 13 ퟒ ⇔ 푪 = ퟒ. B C 5
  46. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 12 Cho tam giác 푪 có góc 푪෣ = ° và cạnh 푪 = . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác 푪. A 푹 = ퟒ. BB 푹 = . C 푹 = . D 푹 = . Bài giải 푪 푪 Ta có: = 푹 ⇔ 푹 = 풔풊풏 풔풊풏 = . = .
  47. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 13 Trong mặt phẳng, cho tam giác 푪 có 푪 = ퟒ 퐜퐦, góc ෡ = °, ෡ = ퟒ °. Độ dài cạnh 푪 là AA . B + . C − . D . Bài giải 푪 푪 Ta có = 풔풊풏 풔풊풏 ퟒ. ⇔ 푪 = = .
  48. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 14 Cho 휟 푪 có = ; ෡ = ퟒ °; ෡ = °. Độ dài 푪 gần nhất với kết quả nào? A , . BB , . C , . D , . Bài giải 푪 Ta có: 푪෡ = ° − ෡ − ෡ Áp dụng định lý sin: = 풔풊풏 풔풊풏 푪 = ° − ퟒ ° − ° = ° ⇒ 푪 = . 풔풊풏 풔풊풏 푪 = 풔풊풏 ퟒ ° ≈ , . 풔풊풏 °
  49. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 15 Tam giác 푪 có = , ; ෡ = ′; 푪෡ = . Cạnh bằng bao nhiêu? A , . B ퟒ, . C , . DD , . Bài giải Trong tam giác có: 푪 . 풔풊풏 푪 ⇒ = ෡ + ෡ + 푪෡ = 풔풊풏 ෡ ⇒ = − − ′ = ퟒ ′. , . 풔풊풏 = 풔풊풏 ퟒ ′ Mặt khác = = 풔풊풏 풔풊풏 풔풊풏 푪 ≃ , . ⇒ = 풔풊풏 풔풊풏 푪
  50. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 16 Tam giác ABC có ෡ = ′, ෡ = ퟒ ퟒퟒ′, = . Tính 푪? AA . B . C . D . Bài giải Trong tam giác 푪 có: ෡ + ෡ + 푪෡ = ′ ′ ⇒ 푪෡ = − − ퟒ ퟒퟒ . 풔풊풏 ⇒ 푪 = = ퟒ′. 풔풊풏 푪 Mặt khác = = . 풔풊풏 ퟒ ퟒퟒ′ 풔풊풏 풔풊풏 풔풊풏 푪 = 풔풊풏 ퟒ′ 푪 ⇒ = 풔풊풏 풔풊풏 푪 ≃ .
  51. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 17 Cho 휟 푪 có = , = , = . Diện tích 푺 của tam giác trên là: A ퟒ . BB ퟒ. C . D . Bài giải + + Ta có: Nửa chu vi 휟 푪: 풑 = . Áp dụng công thức Hê-rông: 푺 = 풑(풑 − )(풑 − )(풑 − ) = ( − )( − )( − ) = ퟒ .
  52. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 18 Cho 휟 푪 có = ퟒ, = , = . Diện tích của tam giác là: A . BB . C . D . Bài giải Ta có: 푺 = . . 풔풊풏 휟 푪 = . ퟒ. . 풔풊풏 = .
  53. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 19 Một tam giác có ba cạnh là , ퟒ, . Diện tích tam giác bằng bao nhiêu? AA ퟒ . B ퟒ. C ퟒ . D . Bài giải Ta có: Suy ra: + + 풑 = 푺 = 풑(풑 − )(풑 − )(풑 − ) + ퟒ+ = = ( − )( − ퟒ)( − ) = . = ퟒ.
  54. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 20 Một tam giác có ba cạnh là , ퟒ, . Diện tích tam giác bằng bao nhiêu? AA . B . C . D . ퟒ Bài giải + 푪+ 푪 Mặt khác 풑 = Ta có: = − ; ⇒ = ퟒ , + ퟒ+ = . Suy ra: 푪 = (− ; ) ⇒ 푪 = , 푺 = 풑(풑 − )(풑 − 푪)(풑 − 푪) 푪 = ( ; ) ⇒ 푪 = . = .
  55. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 21 Cho tam giác 푪 có ( ; − ), ( ; − ), 푪( ; ). Diện tích 휟 푪 là A . BB . C . D . Bài giải Ta có: = ( ; − ) ⇒ = , 푪 = ; ⇒ 푪 = , 푪 = ( ; ) ⇒ 푪 = . Mặt khác . 푪 = ⇒ ⊥ 푪. Suy ra: 푺 = . 푪 = . 휟 푪
  56. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 22 Cho tam giác 푪. Biết = ; 푪 = và 푪෣ = °. Tính chu vi và diện tích tam giác 푪. A + 풗à . BB + 풗à . C 풗à . D + 풗à . Bài giải Ta có: 푪 = + 푪 − . . 푪. 풐 풔 푪෣ A = ퟒ + − . . . 퐜퐨퐬 ° = − = . I K Suy ra 푪 = . B J C Chu vi tam giác 푪 là + 푪 + 푪 = + + . Diện tích ∆ 푪 là 푺 = . 푪. 풔풊풏 푪෣ = . . . 풔풊풏 ° = . 휟 푪
  57. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 23 Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ ( = ퟒ, cm; 푪 = , cm; 푪 = , cm). Bán kính của chiếc đĩa này bằng A , B , C , D ퟒ, Bài giải Bán kính 푹 của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 푪. + 푪+푪 ퟒ, + , + , Nửa chu vi của tam giác 푪 là: 풑 = = = cm. ퟒ
  58. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 23 Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ ( = ퟒ, cm; 푪 = , cm; 푪 = , cm). Bán kính của chiếc đĩa này bằng AA , B , C , D ퟒ, Bài giải Diện tích tam giác 푪 là: 푺 = 풑 풑 − 풑 − 푪 풑 − 푪 ≈ , cm2. . 푪.푪 . 푪.푪 Mà 푺 = ⇒ 푹 = ≈ , cm. ퟒ푹 ퟒ푺
  59. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 24 Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ta đo được AB = 24m, 푪 푫෣ = ; 푪 푫෣ = ퟒ . Chiều cao h của khối tháp gần với giá trị nào sau đây? A , ퟒ B , C D Bài giải Ta có 푪 푫෣ = ⇒ 푫෣ = ⇒ 푫 ෣ = − + ퟒ = 푫 .풔풊풏 푫෣ Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có: = ⇒ 푫 = 풔풊풏 푫 ෣ 풔풊풏 푫෣ 풔풊풏 푫 ෣
  60. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 24 Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ta đo được AB = 24m, 푪 푫෣ = ; 푪 푫෣ = ퟒ . Chiều cao h của khối tháp gần với giá trị nào sau đây? AA , ퟒ B , C D Bài giải 푪푫 Tam giác BCD vuông tại C nên có: 풔풊풏 푪 푫෣ = ⇒ 푪푫 = 푫. 풔풊풏 푪 푫෣ 푫 .풔풊풏 푫෣ .풔풊풏 푪 푫෣ ퟒ.풔풊풏 .풔풊풏 ퟒ Vậy 푪푫 = = = , ퟒ 풔풊풏 푫 ෣ 풔풊풏